2023-2024學年廣東省湛江市一中部分學校高三上學期1月期末聯(lián)考試題 數(shù)學（解析版）

高三數(shù)學注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號.座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后.用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若復數(shù)，則（）A.2 B. C. D.3.已知向量，，若，則（）A.8 B. C. D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.5.拋物線的焦點為F，M是拋物線上的點，為坐標原點，若的外接圓與拋物線的準線相切，且該圓的面積為，則（）A.4 B.8 C.6 D.106.已知函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向右平移個單位長度 D.向右平移個單位長度7.已知是邊長為8的正三角形，是的中點，沿將折起使得二面角為，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.在數(shù)列中，，且，當時，，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全都選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.《黃帝內經(jīng)》中的十二時辰養(yǎng)生法認為：子時（23點到次日凌晨1點）的睡眠對一天至關重要.相關數(shù)據(jù)表明，入睡時間越晚，沉睡時間越少，睡眠指數(shù)也就越低.根據(jù)某次的抽樣數(shù)據(jù)，對早睡群體和晚睡群體的睡眠指數(shù)各取10個.如下表：編號12345678910早睡群體睡眠指數(shù)65687585858588929295晚睡群體睡眠指數(shù)35405555556668748290根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.早睡群體的睡眠指數(shù)一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高B.早睡群體的睡眠指數(shù)的眾數(shù)為85C.晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為66D.早睡群體的睡眠指數(shù)的方差比晚睡群體的睡眠指數(shù)的方差小10.下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則的最小值為2C.若，則的最大值為2D.若，則11.已知點，，動點在圓上，則（）A..直線截圓所得的弦長為B.的面積的最大值為15C.滿足到直線的距離為的點位置共有3個D.的取值范圍為12.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù).則（）A. B.C.是與的等差中項 D.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若函數(shù)的圖象在點處的切線平行于軸，則_________.14.某美食套餐中，除必選菜品以外，另有四款涼菜及四款飲品可供選擇，其中涼菜可四選二，不可同款，飲品選擇兩杯，可以同款，則該套餐的供餐方案共有_________種.15.如圖，在長方體中，，，異面直線與所成角的余弦值為，則_________.16.法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓的中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則的離心率為_________.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知數(shù)列的前項和滿足.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.18.（12分）已知某公司生產(chǎn)的風干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.（1）若從公司銷售的牛肉干中隨機選取3包，求這3包中恰有2包質量不小于的概率；（2）若從公司銷售的牛肉干中隨機選?。檎麛?shù)）包，記質量在內的包數(shù)為，且，求的最小值.19.（12分）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，.（1）求角；（2）作角的平分線與交于點，且，求.20.（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，垂足為O，E為的中點，平面.（1）證明：.（2）若，，與平面所成的角為，求平面與平面的夾角的余弦值.21.（12分）已知雙曲線的離心率為，且其焦點到漸近線的距離為1.（1）求的方程，（2）若動直線與恰有1個公共點，且與的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，為坐標原點，證明：的面積為定值.22.（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調性.（2）是否存在兩個正整數(shù)，，使得當時，？若存在，求出所有滿足條件的，的值；若不存在，請說明理由.

高三數(shù)學參考答案1.C因為或，，所以.2.D因為，所以，故.3.B因為，所以，所以.4.A因為，，，所以.5.B因為的外接圓與拋物線的準線相切，所以的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑.因為圓的面積為，所以圓的半徑為6，又因為圓心在的垂直平分線上，，所以，.6.D，，故將的圖象向右平移個單位長度可得到的圖象.7.C在三棱錐中，底面是以為斜邊的直角三角形.設底面外接圓的圓心為，則其半徑，設三棱錐外接球的球心為，半徑為，因為二面角為，所以點到底面的距離為，且點在底面的射影為的中點，所以.設球心到底面的距離為，則，且，解得，所以.8.A因為，，所以，且當時，，所以，所以，所以.因為，所以，所以，故.9.BD因為早睡群體的睡眠指數(shù)不一定比晚睡群體的睡眠指數(shù)高，所以A錯誤；因為早睡群體的睡眠指數(shù)的10個樣本數(shù)據(jù)中85出現(xiàn)次數(shù)最多，所以B正確；因為晚睡群體的睡眠指數(shù)的第60百分位數(shù)為，所以C錯誤；由樣本數(shù)據(jù)可知，早睡群體的睡眠指數(shù)相對比較穩(wěn)定，所以方差小，故D正確.10.AD因為，所以，因為，所以，所以，故A正確；因為的等號成立條件不成立，所以B錯誤；因為，所以，故C錯誤；因為，當且僅當，即時，等號成立，所以D正確.11.BCD對于A，因為，，所以直線的方程為，圓心到直線的距離為，又因為圓的半徑，所以直線截圓所得的弦長為，A錯誤.對于B，易知，要想的面積最大，只需點到直線的距離最大，而點到直線的距離的最大值為，所以的面積的最大值為，B正確.對于C，當點在直線上方時，點到直線的距離的范圍是，即，由對稱性可知，此時滿足到直線的距離為的點位置有2個.當點在直線下方時，點到直線的距離的范圍是，即，此時滿足到直線的距離為的點位置只有1個.故滿足到直線的距離為的點位置共有3個，C正確.對于D，由題意知.又因為，，，所以，，故，.設點滿足，則，故解得即，，所以.又因為，所以，即的取值范圍為，D正確.12.ACD因為，所以，兩式相減得，所以的周期為4.因為是奇函數(shù)，所以，所以，即，所以.因為，所以，即.因為，所以，所以，所以，所以，故A正確.因為，所以，即，所以.因為，，所以B錯誤.因為，，所以C正確.因為，所以D正確.13.，由，得.14.60由題意可知涼菜選擇方案共有種，飲品選擇方案共有種，因此該套餐的供餐方案共有種.15.連接，交于點，取的中點，連接，.因為，所以與所成的角為（或其補角）.令，在中，由，，得.又，，，由余弦定理得，解得，所以.16.由題意可知點一定在其蒙日圓上，所以，所以，故橢圓的離心率為.17.解：（1）因為，所以當時，，當時，，兩式相減得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則.（2）因為，所以，所以.18.解：（1）因為，所以，則這3包中恰有2包質量不小于248g的概率為.（2）因為，所以.依題意可得，所以，因為，所以，又為正整數(shù)，所以的最小值為2001.19.解：（1）因為，所以，所以.因為，所以，所以，所以，因為，所以.（2）解法1：因為為角平分線，所以，所以.因為，，，所以，所以，即.因為，，所以，所以或（舍去），所以.解法2：由點分別向，作垂足E，F(xiàn)，因為為角平分線，所以，所以，，又因為，所以.①由正弦定理得，所以，，代入①式得，即.如下同解法1參考答案解答過程.20.（1）證明：取的中點，連接，因為為的中點，所以.又平面，平面，所以平面.因為平面，，所以平面平面.因為平面平面，平面平面，所以.因為，所以.由平面，可得.又，所以平面，從而.因為是的中垂線，所以.（2）解：因為平面，所以與平面所成的角為，又，，，，所以.作，垂足為，分別以的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，.設平面的法向量為，則令，得.設平面的法向量為，則令，得.所以，即平面與平面夾角的余弦值為.21.（1）解：設右焦點為，一條漸近線方程為，所以該焦點到漸近線的距離為.因為，所以，.故的方程為.（2）證明：當直線的斜率不存在時，的方程為，此時，.當直線的斜率存在時，不妨設，且.聯(lián)立方程組得.由，得.聯(lián)立方程組得.不妨設與，的交點分別為P，Q，則.同理可得，所以.因為坐標原點到的距離，所以.因