全等三角形的判定-SAS

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了全等三角形，知道全等三角形有哪些相等的量？全等三角形的對應(yīng)邊相等全等三角形的對應(yīng)角相等在三角形全等的前提下我們知道了全等三角形的性質(zhì)，而在現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常存在的問題是，需要我們判斷兩個(gè)三角形是否全等，這時(shí)又需要什么條件呢？判斷兩個(gè)三角形是否全等所需要的條件就是——三角形全等的判定。全等三角形的判定條件一：三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，簡稱為“邊邊邊”或“SSS”復(fù)習(xí)：CD問題:如圖有一池塘。要測池塘兩端A、B的距離，可無法直接達(dá)到，因此這兩點(diǎn)的距離無法直接量出。你能想出辦法來嗎？ABABCED在平地上取一個(gè)可直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連結(jié)AC并延長至D使CD=CA延長BC并延長至E使CE=CB連結(jié)ED，那么量出DE的長，就是A、B的距離.你知道為什么嗎？1.畫∠MA′N=∠AABCMNA′B′C′3.連接B′C′，得?A′B′C′.已知△ABC是任意一個(gè)三角形，畫△A′B′C′使∠A′=∠A，A′B′=AB，A′C′=AC.畫法：2、在射線A′M，A′N上分別取A′B′=AB，A′C′=AC.邊角邊公理

有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的

兩個(gè)三角形全等.可以簡寫成

“邊角邊”或“SAS

”S——邊

A——角練一練2.如圖所示,根據(jù)題目條件，判斷下面的三角形是否全等．（1）AC＝DF，∠C＝∠F，BC＝EF；（2）BC＝BD，∠ABC＝∠ABD．答案:(1)全等(2)全等試一試在下列圖中找出全等三角形，并把它們用符號寫出來.Ⅰ?30o8cm9cmⅥ?30o8cm8cmⅣⅣ8cm5cmⅡ30o?8cm5cmⅤ30o8cm?5cmⅧ8cm5cm?30o8cm9cmⅦⅢ?30o8cm8cmⅢCABDO在下列推理中填寫需要補(bǔ)充的條件，使結(jié)論成立：(1)如圖，在△AOB和△DOC中已知AO=DO，BO=CO，求證：△AOB≌△DOCAO=DO(已知)______=_______()BO=CO(已知)∴△AOB≌△DOC（）∠AOB∠DOC對頂角相等SAS證明：在△AOB和△DOC中(2).如圖，在△AEC和△ADB中，已知AE=AD,AC=AB。求證：△AEC≌△ADB____=____(已知)∠A=∠A(公共角)____=____(已知)∴△AEC≌△ADB（）AEBDCAEADACABSAS證明：在△AEC和△ADB中

已知：如圖，MA＝NB，MC＝ND，∠M＝∠N．求證：AB＝CD．∠M∠N

MCND

(SAS）

全等三角形的對應(yīng)邊相等

等量減等量差相等

練習(xí)：∴△AMC≌△BND∴AC=BD∴AC-BC=BD-BC∴AB=CD證明：在△AMC和△BND中1.若AB=AC，則添加什么條件可得△ABD≌△ACD?△ABD≌△ACDAD=ADAB=ACABDC∠BAD=∠CADSAS練習(xí)圖中隱含已知條件2.已知如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE與CD交于點(diǎn)O，△ABE≌△ACDSASAB=AC∠A=∠AAD=AE要證△ABE≌△ACD需添加什么條件?BEAACDO隱含條件已知角，缺少兩邊，而且是與角相鄰的兩條邊！2.已知如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE與CD交于點(diǎn)O，SASOB=OC∠BOD=∠COEOD=OE要證△BOD≌△COE需添加什么條件?BEAACDO△BOD≌△COE隱含條件（對頂角）3.如圖，要證△ACB≌△ADB，至少選用哪些條件可ABCD△ACB≌△ADBSAS證得△ACB≌△ADBAB=AB∠CAB=∠DABAC=AD能使用現(xiàn)有條件就應(yīng)使用現(xiàn)有條件！挖掘隱含條件。3.如圖，要證△ACB≌△ADB，至少選用哪些條件可ABCD△ACB≌△ADBSAS證得△ACB≌△ADBAB=AB∠CBA=∠DBABC=BD例1已知:如圖,AC=AD,∠CAB=∠DAB.

求證:△ACB≌△ADB.ABCD證明:△ACB≌△ADB這兩個(gè)條件夠嗎?還要什么條件呢?還要一條邊例1已知:如圖,AC=AD,∠CAB=∠DAB.

求證:△ACB≌△ADB.ABCD它既是△ACB的一條邊,看看線段AB又是△ADB的一條邊△ACB和△ADB的公共邊例1已知:如圖,AC=AD,∠CAB=∠DAB.

求證:△ACB≌△ADB.ABCD證明:在△ACB和△ADB中

AC=AD∠CAB=∠DABAB=AB(公共邊）∴△ACB≌△ADB（SAS）證明三角形全等的步驟：1.寫出在哪兩個(gè)三角形中證明全等。（注意把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上）.2.按邊、角、邊的順序列出三個(gè)條件，用大括號合在一起.3.寫出結(jié)論.每步要有推理的依據(jù).在應(yīng)用時(shí)，怎樣尋找已知條件：已知條件包含兩部分，一是已知中給出的，二是圖形中隱含的（如公共邊，公共角、對頂角、鄰補(bǔ)角、外角、平角等）所以找條件歸結(jié)成兩句話：已知中找，圖形中看.平面幾何中常要說明角相等和線段相等，其說明常用方法：角相等――對頂角相等；同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等；兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等；角平分線定義；等式性質(zhì)；全等三角形的對應(yīng)角相等.線段相等的方法――中點(diǎn)定義；全等三角形的對應(yīng)邊相等；等式性質(zhì).如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，求證：△ABD≌△ACD．練習(xí)問題:如圖有一池塘。要測池塘兩端A、B的距離，可無法直接達(dá)到，因此這兩點(diǎn)的距離無法直接量出。你能想出辦法來嗎？ABCED在平地上取一個(gè)可直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連結(jié)AC并延長至D使CD=CA延長BC并延長至E使CE=CB連結(jié)ED，那么量出DE的長，就是A、B的距離.為什么？按圖寫出“已知”“求證”，并加以證明已知：AD與BE交于點(diǎn)C，CA=CD，CB=CE.求證：AB=DEFABDCE例2：點(diǎn)E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF

求證：△AFD≌△CEB分析：證三角形全等的三個(gè)條件兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等∠A=∠C邊角邊AD//BCAD=CBAE=CFAF=CE？（已知）證明：∵AD//BC∴∠A=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又∵AE=CF在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE

△AFD≌△CEB（SAS）∴AE+EF=CF+EF即AF=CE

擺齊根據(jù)寫出結(jié)論FABDCE指范圍準(zhǔn)備條件(已知）(已證）(已證）課堂練習(xí)1、已知：如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求證：△ABC≌△ADE.122、已知：如圖，AE是△ABC的中線，D是BC延長線上一點(diǎn)，且CD＝AB，∠BCA＝∠BAC.求證：AD＝2AE.ABCDE【點(diǎn)評】這里∠1和∠2不是所證三角形中的角，∠BAC和∠DAE才是三角形的內(nèi)角.所以須證∠BAC＝∠DAE，才能滿足①、②、③三個(gè)條件.

【分析】通過添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是一種常用的思考方法.若已知條件中有中線，常延長中線成兩倍關(guān)系，構(gòu)成全等三角形.F證明題：3．已知:如圖，AD∥BC，AD＝CB.

求證:AB＝CD.【提示】連結(jié)AC，由△ABC≌△CDA，故AB＝CD.4．已知:如圖，∠1＝∠2，BD＝CA.

求證:∠A＝∠D.【提示】先證ΔABC≌ΔADC求證:(1)AE＝CF；(2)AE∥CF；(3)∠AFE＝∠CEF.5．已知:如圖，B、F、E、D在一條直線上，AB＝CD，BF＝ED，∠B＝∠D.【提示】先證ΔABE≌ΔDCF6．已知：如圖，ABC為直線，EB⊥AC，BD＝BC，AB＝BE.

求證：AF⊥EC.【提示】求證△ABD≌△EBC，

得∠A＝∠E，因?yàn)椤螦DB＝∠EDF，∠A＋∠ADB＝90°，所以∠E＋∠EDF＝90°，

AF⊥EC.小結(jié)1.邊角邊公理：有兩邊和它們的______對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）夾角2.邊角邊公理的應(yīng)用中所用到的數(shù)學(xué)方法:證明線段（或角相等）證明線段（或角）所在的兩個(gè)三角形全等.轉(zhuǎn)化1.證明兩個(gè)三角形全等所需的條件應(yīng)按對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對應(yīng)邊順序書寫.2.公理中所出現(xiàn)的邊與角必須在所證明的兩個(gè)三角形中.