復(fù)旦大學(xué)附中高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元訓(xùn)練：推理與證明

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精復(fù)旦大學(xué)附中2014屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)單元訓(xùn)練：推理與證明本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題）兩部分．滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．由…若a〉b〉0，m>0，則與之間大小關(guān)系為（）A．相等 B．前者大 C．后者大 D．不確定【答案】B2．在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“⊙”如下：當(dāng)時(shí)，⊙=；當(dāng)時(shí),⊙=，則函數(shù)=1⊙2⊙),的最大值等于(）A． B． C． D．12【答案】C3．用反證法證明：“方程且都是奇數(shù),則方程沒有整數(shù)根”正確的假設(shè)是方程存在實(shí)數(shù)根為(）A．整數(shù) B．奇數(shù)或偶數(shù) C．自然數(shù)或負(fù)整數(shù) D．正整數(shù)或負(fù)整數(shù)【答案】C4．有一段演繹推理是這樣的:“直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線;已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線"的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,這是因?yàn)椋?A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤【答案】A5．反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí),反設(shè)正確的是（)A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度 B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60度C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度 D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度【答案】B6．用反證法證明“如果，那么”時(shí)，反證假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是()A． B．C．或 D．且【答案】C7．觀察(x2）′＝2x，（x4)′＝4x3,(cosx)′＝－sinx,由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f(－x)＝f（x)，記g（x）為f（x)的導(dǎo)函數(shù)，則g（－x）＝()A．f(x) B．－f（x) C．g(x) D．－g（x)【答案】D8．正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，。動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿直線向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈,反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)第一次碰到時(shí)，與正方形的邊碰撞的次數(shù)為(）A． B． C． D．【答案】B9．用反證法證明命題：“設(shè)大于0，則、、中至少有一個(gè)不小于2."時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是（）A．都不小于2 B．至少有一個(gè)不大于2C．都小于2 D．至少有一個(gè)小于2【答案】C10．下面使用類比推理正確的是()A．“若,則”類推出“若，則”B．“若"類推出“”C．“若”類推出“(c≠0)”D．“”類推出“”【答案】C11．設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f（2S，a＋b＋c）；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體S－ABC的四個(gè)面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P－ABC的體積為V，則R＝()A．eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f（2V,S1＋S2＋S3＋S4）C．eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4） D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)【答案】C12．由①正方形的對(duì)角線相等；②平行四邊形的對(duì)角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理出一個(gè)結(jié)論，則這個(gè)結(jié)論是（)A．正方形的對(duì)角線相等 B．平行四邊形的對(duì)角線相等C．正方形是平行四邊形 D．其它【答案】A第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分,把正確答案填在題中橫線上)13．已知是定義在上的不恒為零的函數(shù),且對(duì)任意滿足下列關(guān)系式:，，，考察下列結(jié)論：①；②為偶函數(shù);③數(shù)列為等比數(shù)列；④數(shù)列為等差數(shù)列，其中正確的結(jié)論是:____________.【答案】①③④14．已知經(jīng)過(guò)計(jì)算和驗(yàn)證有下列正確的不等式：，,，，,根據(jù)以上不等式的規(guī)律，寫出一個(gè)一般性的不等式.【答案】15．設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8，S4，S12，S8，S16,S12成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，_____________,____________,成等比數(shù)列?！敬鸢浮浚?16．平面幾何中,△ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A－BCD中(如圖所示），平面DEC平分二面角A－CD－B且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是____________．【答案】eq\f(AE,EB)＝eq\f（S△ACD，S△BCD）三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．如圖（1），在三角形中，，若，則；若類比該命題，如圖（2）,三棱錐中，面，若點(diǎn)在三角形所在平面內(nèi)的射影為,則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．【答案】命題是:三棱錐中，面,若點(diǎn)在三角形所在平面內(nèi)的射影為，則有是一個(gè)真命題．證明如下：在圖（2)中,連結(jié)，并延長(zhǎng)交于，連結(jié),則有．因?yàn)槊妫?所以．又，所以．于是．18．已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c,若成等差數(shù)列.求證：B不可能是鈍角.【答案】（用反證法證明1）∵，，成等差數(shù)列，∴，∴b2≤ac即ac－b2≥0.假設(shè)B是鈍角，則cosB〈0，由余弦定理可得，.這與cosB<0矛盾，故假設(shè)不成立?！郆不可能是鈍角.（用反證法證明2)∵,，成等差數(shù)列，∴，假設(shè)B是鈍角，則，則B是△ABC的最大內(nèi)角，所以b>a，b〉c，（在三角形中，大角對(duì)大邊),從而，這與矛盾，故假設(shè)不成立,因此B不可能是鈍角。（用綜合法證明）∵，，成等差數(shù)列，∴，證明:∵,，成等差數(shù)列，∴,即2ac=b(a+c），由余弦定理和基本不等式可得，，∵a，b,c為△ABC三邊，∴a+c〉b，∴，∴cosB>0，∴∠B<900,因此B不可能是鈍角。19．祖暅原理也就是“等積原理”，它是由我國(guó)南北朝杰出的數(shù)學(xué)家、祖沖之的兒子祖暅?zhǔn)紫忍岢鰜?lái)的.祖暅原理的內(nèi)容是：夾在兩個(gè)平行平面間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平行平面的平面所截,如果截得兩個(gè)截面的面積總相等,那么這兩個(gè)幾何體的體積相等?？梢杂迷?shī)句“兩個(gè)胖子一般高，平行地面刀刀切，刀刀切出等面積,兩人必然同樣胖”形象表示其內(nèi)涵。利用祖暅原理可以推導(dǎo)幾何體的體積公式，關(guān)鍵是要構(gòu)造一個(gè)參照體.試用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式?！敬鸢浮课覀兿韧茖?dǎo)半球的體積。為了計(jì)算半徑為R的半球的體積，我們先觀察、、這三個(gè)量（等底等高）之間的不等關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)<〈,即，根據(jù)這一不等關(guān)系，我們可以猜測(cè)，并且由猜測(cè)可發(fā)現(xiàn).下面進(jìn)一步驗(yàn)證了猜想的可靠性.關(guān)鍵是要構(gòu)造一個(gè)參照體，這樣的參照體我們可以用圓柱內(nèi)挖去一個(gè)圓錐構(gòu)造出,如右圖所示。下面利用祖暅原理證明猜想。證明：用平行于平面α的任意一個(gè)平面去截這兩個(gè)幾何體,截面分別為圓面和圓環(huán)面.如果截平面與平面α的距離為，那么圓面半徑,圓環(huán)面的大圓半徑為R，小圓半徑為r.因此，，∴。根據(jù)祖暅原理，這兩個(gè)幾何體的體積相等，即,所以.20．已知是整數(shù)，是偶數(shù)，求證：也是偶數(shù)．【答案】(反證法）假設(shè)不是偶數(shù)，即是奇數(shù)．設(shè)，則．是偶數(shù)，是奇數(shù),這與已知是偶數(shù)矛盾．由上述矛盾可知，一定是偶數(shù)．21．已知，且,求證：．【答案】因?yàn)椋?，所?，要證明原不等式成立，只需證明r，即證，從而只需證明，即，因?yàn)椋?，所以成立，故原不等式成立?2．求證:16<eq\o（\s\up12（4），\s\do5(Σ),\s\do12(i=1)）eq\f(1,\r(k)）<17．【答案】eq\f(1，\r（k))=eq\f(2,\r(k)+\r(k）)〈eq\f(2,\r(k－1）+\r（k）)=2（eq\r(k)－eq\r（k－1）)，同時(shí)eq\f(1,\r(k））〉eq\f(2,\r（k+1）+\r(k))=2(eq\r（k+1）－eq\r(k）)．于是得2eq\o（\s\up12（80)，\s\do5（Σ)，\s\do12（k=1))(eq\r（k+1)－eq\r(k)）〈eq\o(\s\up12(80），\s\do5（Σ），\s\do12(k=