專題04 與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)及函數(shù)方程綜合應(yīng)用 （十大題型）（原卷版）

專題04與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)及函數(shù)方程綜合應(yīng)用思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一、判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)二、已知復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍考點(diǎn)三、求復(fù)合函數(shù)的值域考點(diǎn)四、求復(fù)合函數(shù)的最值考點(diǎn)五、與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的不等式問題考點(diǎn)六、判斷復(fù)合函數(shù)的奇偶性考點(diǎn)七、零點(diǎn)問題考點(diǎn)八、函數(shù)嵌套問題考點(diǎn)九、共零點(diǎn)問題考點(diǎn)十、等高線問題知識(shí)點(diǎn)一、根式的概念和運(yùn)算法則1、次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個(gè)，是負(fù)數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．2、兩個(gè)等式（1）當(dāng)且時(shí)，；（2）知識(shí)點(diǎn)二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：知識(shí)點(diǎn)三、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）當(dāng)，為無(wú)理數(shù)時(shí)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用．2、指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號(hào)先算括號(hào)里的；無(wú)括號(hào)先做指數(shù)運(yùn)算．負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)．在化簡(jiǎn)運(yùn)算中，也要注意公式：，，，，的運(yùn)用，能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算．知識(shí)點(diǎn)四、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪（，為無(wú)理數(shù)）是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無(wú)限逼近的結(jié)果．（2）定義了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍．知識(shí)點(diǎn)五、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．知識(shí)點(diǎn)六、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：時(shí)圖象時(shí)圖象圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)④在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，時(shí)，⑤時(shí)，時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)知識(shí)點(diǎn)七、指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律（1）①，②，③，④，則：又即：時(shí)，（底大冪大）時(shí)，（2）特殊函數(shù)，，，的圖像：知識(shí)點(diǎn)八、對(duì)數(shù)概念1、對(duì)數(shù)的概念如果，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：．其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．知識(shí)點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式中各字母的取值范圍是：且，，．2、對(duì)數(shù)（且）具有下列性質(zhì)：（1）0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即；（2）1的對(duì)數(shù)為0，即；（3）底的對(duì)數(shù)等于1，即．3、兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，．以e（e是一個(gè)無(wú)理數(shù)，）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，簡(jiǎn)記為．4、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化．它們的關(guān)系可由下圖表示．由此可見a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化．知識(shí)點(diǎn)九、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知，（且，、）（1）正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和；推廣：（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；（3）正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)；知識(shí)點(diǎn)十、對(duì)數(shù)公式1、對(duì)數(shù)恒等式：2、換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）令，則有，，即，即，即：．（2），令，則有，則有即，即，即當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)（1）可由（2）推出，但在解決某些問題（1）又有它的靈活性．而且由（2）還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：．知識(shí)點(diǎn)十一、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，知識(shí)點(diǎn)十二、底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的影響1、底數(shù)制約著圖象的升降．如圖知識(shí)點(diǎn)詮釋：由于底數(shù)的取值范圍制約著對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的升降（即函數(shù)的單調(diào)性），因此在解與對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題時(shí)，必須考慮底數(shù)是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數(shù)變化與圖象變化的規(guī)律在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時(shí)，隨a的增大，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像愈靠近x軸；當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象隨a的增大而遠(yuǎn)離x軸．（見下圖）知識(shí)點(diǎn)十三、反函數(shù)1、反函數(shù)的定義設(shè)分別為函數(shù)的定義域和值域，如果由函數(shù)所解得的也是一個(gè)函數(shù)（即對(duì)任意的一個(gè)，都有唯一的與之對(duì)應(yīng)），那么就稱函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，記作，在中，是自變量，是的函數(shù)，習(xí)慣上改寫成（）的形式．函數(shù)（）與函數(shù)（）為同一函數(shù)，因?yàn)樽宰兞康娜≈捣秶炊x域都是B，對(duì)應(yīng)法則都為．由定義可以看出，函數(shù)的定義域A正好是它的反函數(shù)的值域；函數(shù)的值域B正好是它的反函數(shù)的定義域．2、反函數(shù)的性質(zhì)（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．（2）若函數(shù)圖象上有一點(diǎn)，則必在其反函數(shù)圖象上，反之，若在反函數(shù)圖象上，則必在原函數(shù)圖象上．知識(shí)點(diǎn)十四：函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)的零點(diǎn)（1）一般地，如果函數(shù)在實(shí)數(shù)處的值等于零，即，則叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).知識(shí)點(diǎn)詮釋：①函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；③函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根．歸納：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的零點(diǎn)二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)見下表.判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)無(wú)實(shí)根無(wú)零點(diǎn)（3）二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點(diǎn)時(shí)（不是二重零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號(hào).引伸：對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.2、函數(shù)零點(diǎn)的判定（1）利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理如果函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，即，則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)，使，這個(gè)也就是方程的根.1、與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，主要是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)復(fù)合成的新函數(shù)，求新函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值、值域等問題，一般采用換元思想，把復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)化成簡(jiǎn)單的初等函數(shù)．考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性例1．（2023·寧夏吳忠·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．例2．（2023·廣東佛山·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．例3．（2023·海南?？凇じ咭缓Ｄ现袑W(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．例4．（2023·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二、已知復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍例5．（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．例6．（2023·四川德陽(yáng)·高一四川省德陽(yáng)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知的值城為，且在上是增函數(shù)，則的范圍是（

）A． B．C． D．例7．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高一沈陽(yáng)市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例8．（2023·四川成都·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三、求復(fù)合函數(shù)的值域例9．（2023·貴州六盤水·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的值域；(2)若關(guān)于x的方程有解，求a的取值范圍.例10．（2023·寧夏吳忠·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的值域；(2)解不等式．例11．（2023·山西·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)（且，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，.(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求在上的值域.例12．（2023·黑龍江綏化·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；(2)若在內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)四、求復(fù)合函數(shù)的最值例14．（2023·廣東佛山·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.(1)求時(shí)，的解析式；(2)若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例15．（2023·河南·高一濟(jì)源高中校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，且．(1)求的值；(2)證明：在上單調(diào)遞增；(3)求在上的最小值．例16．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，且）．(1)若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知函數(shù)，．若的最大值為8，求實(shí)數(shù)的值．例17．（2023·山東德州·高一德州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，m為實(shí)數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；(2)求函數(shù)的最大值的解析式.考點(diǎn)五、與復(fù)合函數(shù)有關(guān)的不等式問題例18．（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為.例19．（2023·上海奉賢·高一?？计谀┎坏仁降慕饧癁椋?0．（2023·浙江杭州·高一學(xué)軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的最小值為．例21．（2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）不等式與不等式是同解不等式，則例22．（2023·遼寧阜新·高一?？计谀┎坏仁降慕饧癁椋键c(diǎn)六、判斷復(fù)合函數(shù)的奇偶性例23．（2023·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則．例24．（2023·陜西西安·高一高新一中?？茧A段練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值為．例25．（2023·湖北恩施·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則．例26．（2023·山西·高一校聯(lián)考期中）若為偶函數(shù)，則.考點(diǎn)七、零點(diǎn)問題例27．（2023·浙江溫州·高一浙江省平陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考期中）若不等式的解集為，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．和 B．和 C．2和 D．和例28．（2023·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)，則函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．3 C．10 D．13例29．（2023·安徽馬鞍山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則（

）A． B．C． D．考點(diǎn)八、函數(shù)嵌套問題例30．已知函數(shù)若方程有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且，則（

）A．10 B．8 C．6 D．4例31．設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有且只有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)九、共零點(diǎn)問題例32．若關(guān)于的方程有三不等的實(shí)數(shù)根，，，且滿足其中兩根，，則的取值范圍是A． B．， C． D．例33．（2023?永州校級(jí)月考）已知函數(shù)，且（1）（2）（3），則的取值范圍是A． B． C． D．考點(diǎn)十、等高線問題例34．已知函數(shù)，若存在四個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c，d，滿足，，則的取值范圍為（

）A．(0，+∞) B． C． D．例35．已知函數(shù)，若存在四個(gè)實(shí)數(shù)，，，，滿足，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（2023·廣東佛山·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．2．（2023·廣東深圳·高一深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則關(guān)于x的不等式的解集為（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江杭州·高一學(xué)軍中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B．C． D．4．（2023·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知定義在上的是單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意恒有，則函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A． B． C．2 D．48．（2023·云南昆明·高一云南師大附中校考階段練習(xí)）若二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為2，3，則二次函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)和在上的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．方程有且只有6個(gè)不同的解 B．方程有且只有3個(gè)不同的解C．方程有且只有5個(gè)不同的解 D．方程有且只有4個(gè)不同的解10．（2023·四川成都·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，則下列說法正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．在上是增函數(shù) D．在上是減函數(shù)11．（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A．函數(shù)至多有2個(gè)零點(diǎn) B．，使得是R上的增函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?D．當(dāng)時(shí)，方程有且只有1個(gè)實(shí)數(shù)根12．（2023·陜西商洛·高一?？茧A段練習(xí)）給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．函數(shù)的最大值為B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是C．若，則的徝為1D．已知定義在上的奇函數(shù)在內(nèi)有1010個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2021三、填空題13．（2023·湖北襄陽(yáng)·高一襄陽(yáng)五中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則滿足不等式的的取值范圍是.14．（2023·河南開封·高一河南大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知a為正實(shí)