2024屆河南省鶴壁市淇縣一中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆河南省鶴壁市淇縣一中數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60° B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60° D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°2．圓的圓心為()A． B． C． D．3．設(shè)則A． B． C． D．4．若關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則（）A． B． C． D．5．歐拉公式：為虛數(shù)單位），由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，（）A．1 B． C． D．6．已知是離散型隨機(jī)變量，，，，則（）A． B． C． D．7．完成一項(xiàng)工作，有兩種方法，有5個(gè)人只會(huì)用第一種方法，另外有4個(gè)人只會(huì)用第二種方法，從這9個(gè)人中選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作，則不同的選法共有（）A．5種 B．4種 C．9種 D．20種8．實(shí)驗(yàn)女排和育才女排兩隊(duì)進(jìn)行比賽，在一局比賽中實(shí)驗(yàn)女排獲勝的概率是，沒(méi)有平局.若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束，則實(shí)驗(yàn)女排獲勝的概率等于（）A． B． C． D．9．下列命題中為真命題的是（）A．若B．命題：若，則或的逆否命題為：若且，則C．“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直”的充要條件D．若命題，則10．如圖，，分別是邊長(zhǎng)為4的等邊的中線(xiàn)，圓是的內(nèi)切圓，線(xiàn)段與圓交于點(diǎn).在中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．11．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（）A．4 B．7 C．14 D．12．三棱錐中，，，為的中點(diǎn),分別交，于點(diǎn)、，且，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，的取值如下表所示：從散點(diǎn)圖分析，與線(xiàn)性相關(guān)，且，以此預(yù)測(cè)當(dāng)時(shí)，_______.14．將三項(xiàng)式展開(kāi)，當(dāng)時(shí)，得到以下等式：……觀察多項(xiàng)式系數(shù)之間的關(guān)系，可以仿照楊輝三角構(gòu)造如圖所示的廣義楊輝三角形，其構(gòu)造方法為：第0行為1，以下各行每個(gè)數(shù)是它頭上與左右兩肩上3數(shù)（不足3數(shù)的，缺少的數(shù)計(jì)為0）之和，第k行共有2k+1個(gè)數(shù).若在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為75，則實(shí)數(shù)a的值為.15．已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足不等式組，則的最大值是__________．16．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則公比__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）現(xiàn)從某高中隨機(jī)抽取部分高二學(xué)生,調(diào)査其到校所需的時(shí)間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中到校所需時(shí)間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為.(1)求直方圖中的值；(2)如果學(xué)生到校所需時(shí)間不少于1小時(shí),則可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿.若該校錄取1200名新生,請(qǐng)估計(jì)高二新生中有多少人可以申請(qǐng)住宿；(3)以直方圖中的頻率作為概率,現(xiàn)從該學(xué)校的高二新生中任選4名學(xué)生,用表示所選4名學(xué)生中“到校所需時(shí)間少于40分鐘”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（12分）已知矩陣.（1）求直線(xiàn)在對(duì)應(yīng)的變換作用下所得的曲線(xiàn)方程；（2）求矩陣的特征值與特征向量.19．（12分）已知函數(shù)．（1）若曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，求的值；（2）已知當(dāng)時(shí)恒成立，求的最大值．20．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，為了保護(hù)環(huán)境，減少空氣污染，某空氣凈化器制造廠，決定投入生產(chǎn)某種惠民型的空氣凈化器．根據(jù)以往的生產(chǎn)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)得到月生產(chǎn)銷(xiāo)售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律如下：①月固定生產(chǎn)成本為2萬(wàn)元；②每生產(chǎn)該型號(hào)空氣凈化器1百臺(tái)，成本增加1萬(wàn)元；③月生產(chǎn)百臺(tái)的銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）．假定生產(chǎn)的該型號(hào)空氣凈化器都能賣(mài)出（利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入﹣生產(chǎn)成本）．（1）為使該產(chǎn)品的生產(chǎn)不虧本，月產(chǎn)量應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？（2）該產(chǎn)品生產(chǎn)多少臺(tái)時(shí)，可使月利潤(rùn)最大？并求出最大值.21．（12分）已知曲線(xiàn)在平面直角坐標(biāo)系中的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，有曲線(xiàn).（1）將的方程化為普通方程，并求出的平面直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線(xiàn)和兩交點(diǎn)之間的距離.22．（10分）如圖，菱形的對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)分別在，上，，交于點(diǎn).將沿折到的位置，.（1）證明：；（2）求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

“至少有一個(gè)”的否定變換為“一個(gè)都沒(méi)有”，即可求出結(jié)論.【題目詳解】“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，反設(shè)是假設(shè)三內(nèi)角都大于.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法的概念，注意邏輯用語(yǔ)的否定，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

將ρ＝2cos（）化為直角坐標(biāo)方程，可得圓心的直角坐標(biāo)，進(jìn)而化為極坐標(biāo)．【題目詳解】ρ＝2cos（）即ρ2＝2ρcos（），展開(kāi)為ρ2＝2ρ（cosθ﹣sinθ），化為直角坐標(biāo)方程：x2+y2（x﹣y），∴1，可得圓心為C，可得1，tanθ＝﹣1，又點(diǎn)C在第四象限，θ．∴圓心C．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．3、C【解題分析】

由及可比較大小.【題目詳解】∵，∴，即．又．∴．綜上可知：故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.4、D【解題分析】

根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)之間的關(guān)系，可得出一元二次不等式的解集為的等價(jià)條件.【題目詳解】由于關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象恒在軸的下方，所以其開(kāi)口向下，且圖象與軸無(wú)公共點(diǎn)，所以，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查一元不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立，要充分利用二次函數(shù)的開(kāi)口方向和與軸的位置關(guān)系進(jìn)行分析，考查推理能力，屬于中等題.5、B【解題分析】

由題意將復(fù)數(shù)的指數(shù)形式化為三角函數(shù)式，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得答案．【題目詳解】由得故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查歐拉公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)值的求法與復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)求值，是基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】分析：由已知條件利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式求出a，進(jìn)而求出，由此即可求出答案.詳解：是離散型隨機(jī)變量，，，，由已知得，解得，，.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差計(jì)算公式的合理運(yùn)用.7、C【解題分析】

分成兩類(lèi)方法相加.【題目詳解】會(huì)用第一種方法的有5個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有5種選擇；會(huì)用第二種方法的有4個(gè)人，選1個(gè)人完成這項(xiàng)工作有4種選擇；兩者相加一共有9種選擇,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理.8、B【解題分析】試題分析：實(shí)驗(yàn)女排要獲勝必須贏得其中兩局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故獲勝的概率為:,故選B.考點(diǎn)：獨(dú)立事件概率計(jì)算.9、B【解題分析】分析：對(duì)四個(gè)命題，分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．詳解：對(duì)于A，，利用基本不等式，可得，故不正確；

對(duì)于B，命題：若，則或的逆否命題為：若且，則，正確；

對(duì)于C，“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)互相垂直”的充要條件，故不正確；

對(duì)于D，命題命題，則，故不正確．

故選：B．點(diǎn)睛：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬基礎(chǔ)題．10、A【解題分析】

利用等邊三角形中心的性質(zhì)，求得內(nèi)切圓的半徑和陰影部分面積，再根據(jù)幾何概型計(jì)算公式計(jì)算出所求的概率.【題目詳解】在中，，，因?yàn)?，所以，即圓的半徑為，由此可得圖中陰影部分的面積等于，的面積為，故所求概率.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型問(wèn)題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).屬于中檔題.11、B【解題分析】

由題意利用等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，求出首項(xiàng)和公差的值，可得結(jié)論．【題目詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，．再根據(jù)，可得，，則，故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解題分析】

由已知可知，是正三角形，從而，，進(jìn)而，是的平分線(xiàn)，，由此能求出三棱錐體積的最大值.【題目詳解】由題意得，，所以是正三角形，分別交，于點(diǎn)、，，，，,，，是的平分線(xiàn)，，以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)，則，整理得，，因此三棱錐體積的最大值為.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的體積公式，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)表格數(shù)據(jù)分別求出，代入求出的值，再計(jì)算當(dāng)時(shí)的值?！绢}目詳解】由表格知道代入得即當(dāng)時(shí)故填6【題目點(diǎn)撥】本題考查線(xiàn)性回歸直線(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題，掌握線(xiàn)性回歸直線(xiàn)過(guò)中心點(diǎn)是解題的關(guān)鍵。14、2【解題分析】試題分析：根據(jù)題意可知的展開(kāi)式為，所以的展開(kāi)式中項(xiàng)是由兩部分構(gòu)成的，即，所以，解得：?？键c(diǎn)：二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用。15、12.【解題分析】分析：畫(huà)出不等式組表示的可行域，平移，結(jié)合所畫(huà)可行域，可求得的最大值.詳解：作出不等式組表示的平面區(qū)域如陰影部分，分析知，當(dāng)時(shí)，平移直線(xiàn)，由圖可得直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，且，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.16、【解題分析】分析：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式把等式改寫(xiě)成含有和的式子，聯(lián)立方程組求解即可.詳解：由題意得：，兩式相除消去并求解得：，，.故答案為：.點(diǎn)睛：等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過(guò)列方程(組)可迎刃而解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）180；（3）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖的矩形面積之和為1求出x的值；（2）根據(jù)上學(xué)時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率估計(jì)住校人數(shù)；（3）根據(jù)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式得出分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望.詳解：(1)由直方圖可得,∴.(2)新生上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為:,,∴估計(jì)1200名新生中有180名學(xué)生可以申請(qǐng)住.(3)的可能取值為,有直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于40分鐘的概率為,,,,,,則的分布列為01234的數(shù)學(xué)期望.點(diǎn)睛：本題考查了頻率分布直方圖，離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.18、（1）；（2）屬于特征值的一個(gè)特征向量為，屬于特征值的一個(gè)特征向量為.【解題分析】

（1）設(shè)是直線(xiàn)上任一點(diǎn)，在變換作用下變?yōu)?，利用矩陣變換關(guān)系，將用表示，代入，即可求解；（2）由特征多項(xiàng)式求出特征值，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)的特征向量.【題目詳解】（1）設(shè)是直線(xiàn)上任一點(diǎn)，在矩陣變換作用下變?yōu)椋瑒t，，，，，即，所以變換后的曲線(xiàn)方程為；（2）矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，得或，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿(mǎn)足，得，所以對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿(mǎn)足，，得，所以對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為，矩陣屬于特征值的一個(gè)特征向量為，屬于特征值的一個(gè)特征向量為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線(xiàn)在矩陣變換作用下的方程、矩陣的特征值和特征向量，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）．【解題分析】

求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率，由已知切線(xiàn)方程可得a，b的值；

由求導(dǎo)數(shù)可得單調(diào)性、最值，可知，由題意可得恒成立，即可得到ab的最大值．【題目詳解】（1）因?yàn)椋越獾茫?）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以．由題意，知恒成立，即恒成立．于是在時(shí)恒成立．記，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．所以的最大值為．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、最值，利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問(wèn)題，考查方程思想和轉(zhuǎn)化思想，以及運(yùn)算能力，屬于難題．20、（1）1百臺(tái)到5.5百臺(tái)范圍內(nèi).（2）產(chǎn)量300臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為2萬(wàn)元.【解題分析】

(1)先利用銷(xiāo)售收入減去成本得到利潤(rùn)的解析式，解分段函數(shù)不等式即可得結(jié)果；（2）結(jié)合(1)中解析式，分別求出兩段函數(shù)利潤(rùn)的取值范圍，綜合兩種情況可得當(dāng)產(chǎn)量300臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為2萬(wàn)元.【題目詳解】(1)由題意得，成本函數(shù)為從而年利潤(rùn)函數(shù)為，要使不虧本，只要，所以或，解得或綜上.答：若要該廠不虧本，月產(chǎn)量x應(yīng)控制在1百臺(tái)到5.5百臺(tái)范圍內(nèi).(2)當(dāng)時(shí),故當(dāng)時(shí),(萬(wàn)元)當(dāng)時(shí),.綜上，當(dāng)產(chǎn)量300臺(tái)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大值為2萬(wàn)元.【題目點(diǎn)撥】與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動(dòng)向，這類(lèi)問(wèn)題的