2024屆遼寧省重點名校數(shù)學高二第二學期期末檢測試題含解析

2024屆遼寧省重點名校數(shù)學高二第二學期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題是真命題的是（）A．，B．設是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件C．“”是“”的充分不必要條件D．的充要條件是2．設向量與向量垂直，且，，則下列向量與向量共線的是（）A． B． C． D．3．設函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．4．若復數(shù)（其中為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則等于（）A． B． C． D．5．把編號分別為1，2，3，4，5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，若分得的電影票超過一張，則必須是連號，那么不同分法的種數(shù)為（）A．36 B．40 C．42 D．486．用數(shù)學歸納法證明，則當時左端應在的基礎上（）A．增加一項 B．增加項C．增加項 D．增加項7．若,則()A． B． C． D．8．若實數(shù)滿足，則的取值范圍為()A． B． C． D．9．點M的極坐標為（1，π），則它的直角坐標為（）A．（1，0） B．（，0） C．（0，1） D．（0，）10．已知函數(shù).正實數(shù)滿足，則下述結論中正確的一項是()A． B．C． D．11．定義在上的函數(shù)若滿足：①對任意、，都有；②對任意，都有，則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”，其中點稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若滿足不等式，當時，的取值范圍為（）A． B． C． D．12．設隨機變量，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________．14．函數(shù)的定義域是________15．若一個直六棱柱的三視圖如圖所示，則這個直六棱柱的體積為．16．若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y?x的最小值是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求和的直角坐標方程；（2）已知直線與軸交于點，且與曲線交于，兩點，求的值.18．（12分）在極坐標系中，圓的方程為.以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，設直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求圓的標準方程和直線的普通方程；（2）若直線與圓交于兩點，且，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；20．（12分）求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程：（1）拋物線的焦點是橢圓的上頂點；（2）橢圓的焦距是8，離心率等于．21．（12分）某工廠為檢驗車間一生產線工作是否正常，現(xiàn)從生產線中隨機抽取一批零件樣本，測量它們的尺寸(單位：)并繪成頻率分布直方圖，如圖所示.根據(jù)長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態(tài)下生產的零件尺寸服從正態(tài)分布，其中近似為零件樣本平均數(shù)，近似為零件樣本方差.(1)求這批零件樣本的和的值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)假設生產狀態(tài)正常，求；(3)若從生產線中任取一零件，測量其尺寸為，根據(jù)原則判斷該生產線是否正常？附：；若，則，，.22．（10分）已知函數(shù)（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)的值域為，求a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

取特殊值來判斷A選項中命題的正誤，取特殊數(shù)列來判斷B選項中命題的正誤，求出不等式，利用集合包含關系來判斷C選項命題的正誤，取特殊向量來說明D選項中命題的正誤．【題目詳解】對于A選項，當時，，所以，A選項中的命題錯誤；對于B選項，若，則等比數(shù)列的公比為，但數(shù)列是遞減數(shù)列，若，等比數(shù)列是遞增數(shù)列，公比為，所以，“”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，B選項中的命題正確；對于C選項，解不等式，得或，由于，所以，“”是“”的既不充分也不必要條件，C選項中的命題錯誤；對于D選項，當時，，但與不一定垂直，所以，D選項中的命題錯誤．故選B.2、B【解題分析】

先根據(jù)向量計算出的值，然后寫出的坐標表示，最后判斷選項中的向量哪一個與其共線.【題目詳解】因為向量與向量垂直，所以，解得，所以，則向量與向量共線，故選：B.【題目點撥】本題考查向量的垂直與共線問題，難度較易.當，若，則，若，則.3、A【解題分析】

構造函數(shù)，首先判斷函數(shù)的奇偶性，利用可判斷時函數(shù)的單調性，結合函數(shù)圖象列不等式組可得結果.【題目詳解】設，則的導數(shù)為，因為時，，即成立，所以當時，恒大于零，當時，函數(shù)為增函數(shù)，又，函數(shù)為定義域上的偶函數(shù)，當時，函數(shù)為減函數(shù)，又函數(shù)的圖象性質類似如圖，數(shù)形結合可得，不等式，或，可得或，使得成立的的取值范圍是故選：A.【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，并由函數(shù)的奇偶性和單調性解不等式，屬于綜合題.聯(lián)系已知條件和結論，構造輔助函數(shù)是高中數(shù)學中一種常用的方法，解題中若遇到有關不等式、方程及最值之類問題，設法建立起目標函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過研究函數(shù)的單調性、最值等問題，常可使問題變得明了，準確構造出符合題意的函數(shù)是解題的關鍵；解這類不等式的關鍵點也是難點就是構造合適的函數(shù)，構造函數(shù)時往往從兩方面著手：①根據(jù)導函數(shù)的“形狀”變換不等式“形狀”；②若是選擇題，可根據(jù)選項的共性歸納構造恰當?shù)暮瘮?shù).4、D【解題分析】

先利用復數(shù)的除法將復數(shù)表示為一般形式，結合題中條件求出的值，再利用復數(shù)求模公式求出.【題目詳解】，由于復數(shù)為純虛數(shù)，所以，，得，，因此，，故選D.【題目點撥】本題考查復數(shù)的除法、復數(shù)的概念以及復數(shù)求模，解決復數(shù)問題，要通過復數(shù)的四則運算將復數(shù)表示為一般形式，結合復數(shù)相關知識求解，考查計算能力，屬于基礎題．5、A【解題分析】

將情況分為113和122兩種情況，相加得到答案.【題目詳解】當分的票數(shù)為這種情況時：當分的票數(shù)為這種情況時：一張票數(shù)的人可以選擇：不同分法的種數(shù)為36故答案選A【題目點撥】本題考查了排列組合，將情況分為兩類可以簡化運算.6、D【解題分析】

明確從變?yōu)闀r，等式左端的變化，利用末尾數(shù)字作差即可得到增加的項數(shù).【題目詳解】當時，等式左端為：當時，等式左端為：需增加項本題正確選項：【題目點撥】本題考查數(shù)學歸納法的基礎知識，關鍵是明確等式左端的數(shù)字變化規(guī)律.7、B【解題分析】

對求導,在導函數(shù)里取,解得,代入函數(shù),再計算【題目詳解】答案為B【題目點撥】本題考查了導數(shù)的計算,屬于簡單題.8、C【解題分析】分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，即可求z的取值范圍.詳解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：設，得，平移直線，由圖象可知當直線經過點時，直線的截距最小，此時z最小，為，當直線經過點時，直線的截距最大，此時時z最大，為，即.故選：C.點睛：本題主要考查線性規(guī)劃的基本應用，利用目標函數(shù)的幾何意義是解決問題的關鍵，利用數(shù)形結合是解決問題的基本方法.9、B【解題分析】

將極坐標代入極坐標與直角坐標之間的互化公式，即可得到直角坐標方程.【題目詳解】將極坐標代入互化公式得：，，所以直角坐標為：.故選B.【題目點撥】本題考查極坐標化為直角坐標的公式，注意特殊角三角函數(shù)值不要出錯.10、A【解題分析】由，即，從而，令，則由得，，可知在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，，，可得或，又，因此成立，故選A.【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法及數(shù)學的轉化與劃歸思想.屬于難題.轉化與劃歸思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是將題設條件研究透，這樣才能快速找準突破點.以便將問題轉化為我們所熟悉的知識領域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中.解答本題的關鍵是將方程問題轉化為利用導數(shù)求最值進而通過解不等式解答.11、C【解題分析】

先結合題中條件得出函數(shù)為減函數(shù)且為奇函數(shù)，由，可得出，化簡后得出，結合可求出，再由結合不等式的性質得出的取值范圍.【題目詳解】由知此函數(shù)為減函數(shù).由函數(shù)是關于的“中心捺函數(shù)”，知曲線關于點對稱，故曲線關于原點對稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在上遞減，于是得，.，.則當時，令m=x，y=n則：問題等價于點（x，y）滿足區(qū)域，如圖陰影部分，由線性規(guī)劃知識可知為（x，y）與（0，0）連線的斜率，由圖可得，，故選：C.【題目點撥】本題考查代數(shù)式的取值范圍的求解，解題的關鍵就是分析出函數(shù)的單調性與奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性與單調性將題中的不等關系進行轉化，應用到線性規(guī)劃的知識，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.12、A【解題分析】

根據(jù)對立事件的概率公式，先求出，再依二項分布的期望公式求出結果【題目詳解】，即，所以，，故選A．【題目點撥】本題主要考查二項分布的期望公式，記準公式是解題的關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】

利用點差法得到AB的斜率，結合拋物線定義可得結果.【題目詳解】詳解：設則所以所以取AB中點,分別過點A,B作準線的垂線，垂足分別為因為,，因為M’為AB中點，所以MM’平行于x軸因為M(-1,1)所以，則即故答案為2.【題目點撥】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查了拋物線的性質，設，利用點差法得到，取AB中點,分別過點A,B作準線的垂線，垂足分別為，由拋物線的性質得到，進而得到斜率．14、【解題分析】

將函數(shù)的指數(shù)形式轉化為根式形式,即可求得其定義域.【題目詳解】函數(shù)即根據(jù)二次根式有意義條件可知定義域為故答案為:【題目點撥】本題考查了具體函數(shù)定義域的求法,將函數(shù)解析式進行適當變形,更方便求解,屬于基礎題.15、4【解題分析】試題分析：由題意，．考點：三視圖與體積．16、3【解題分析】

分析：作可行域，根據(jù)目標函數(shù)與可行域關系，確定最小值取法.詳解：作可行域，如圖，平移直線，由圖可知直線過點A(1,2)時，取最小值3.點睛：線性規(guī)劃的實質是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結合的思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域；二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三，一般情況下，目標函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）直線的直角坐標方程為，的普通方程；（2）.【解題分析】

（1）利用將直線的極坐標方程轉化為直角坐標方程.利用將曲線的參數(shù)方程轉化為直角坐標方程.（2）先求得點的坐標，寫出直線的參數(shù)方程并代入的直角坐標方程，寫出韋達定理，利用直線參數(shù)的幾何意義求解出所要求的表達式的值.【題目詳解】解：（1）因為直線的極坐標方程為，所以直線的直角坐標方程為.因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的普通方程.（2）由題可知，所以直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），代入，得.設，兩點所對應的參數(shù)分別為，，則，..【題目點撥】本小題主要考查極坐標方程、參數(shù)方程轉化為直角坐標方程，考查直線參數(shù)方程的幾何意義，屬于中檔題.18、（1）詳見解析；（2）。【解題分析】試題分析：（1）由得，根據(jù)極坐標與直角坐標互化公式，，所以圓C的標準方程為，直線的參數(shù)方程為，由得，代入得：，整理得：；（2）直線與圓C相交于A,B兩點，圓心到直線：距離，根據(jù)直線與圓相交所得的弦長公式，所以，由題意，所以得，即，整理得：，即，解得：。試題解析：（1）的直角坐標方程為，在直線的參數(shù)方程中消得：；（2）要滿足弦及圓的半徑為可知只需圓心到直線的距離即可。由點到直線的距離公式有：,整理得：即解得：，故實數(shù)的取值范圍為：考點：1.極坐標；2.參數(shù)方程。19、（1）見解析；（2）見解析；【解題分析】

（1）要證BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到兩條直線跟BD垂直即證，顯然，從平面中可證，即證.(2)要證明平面PAB⊥平面PAE,可證平面即可.【題目詳解】（1）證明：因為平面,所以；因為底面是菱形，所以;因為,平面,所以平面.（2）證明：因為底面是菱形且，所以為正三角形，所以,因為,所以；因為平面，平面,所以；因為所以平面，平面,所以平面平面.【題目點撥】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.20、(1)(2)或【解題分析】

（1）根據(jù)題意，求出橢圓的上頂點坐標，即可得拋物線的焦點是（0，1），由拋物線的標準方程分析可得答案；（2）根據(jù)題意，由橢圓的焦距可得c的值，又由離心率計算可得a的值，據(jù)此計算可得b的值，分情況討論橢圓的焦點位置，可得橢圓的標準方程，綜合即可得答案．【題目詳解】（1）根據(jù)題意，橢圓的上頂點坐標為（0，1），則拋物線的焦點是（0，1），則拋物線的方程為；（2）根據(jù)題意，橢圓的焦距是8，則2c=8，即c=4，又由橢圓的離心率等于，即，則a=5，則，若橢圓的焦點在x軸上，則其標準方程為：，若橢圓的焦點在y軸上，則其標準方程為：．【題目點撥】本題考查橢圓的幾何性質以及標準方程，涉及拋物線的標準方程，屬于基礎題．21、(1)75,11