浙江省諸暨市2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題含解析

浙江省諸暨市2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F1、F2分別為橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓C上的一點(diǎn)，且A．32 B．34 C．52．從、、中任取兩個(gè)字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為（）A． B． C． D．3．“－1≤x≤1”是“xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．定義運(yùn)算＝ad－bc，若復(fù)數(shù)z滿足＝－2，則（）A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i5．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)大于，反證假設(shè)正確的是()A．假設(shè)三內(nèi)角都大于 B．假設(shè)三內(nèi)角都不大于C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于 D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于6．已知曲線C：y＝，曲線C關(guān)于y軸的對稱曲線C′的方程是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝7．一位母親根據(jù)兒子歲身高的數(shù)據(jù)建立了身高與年齡(歲)的回歸模型，用這個(gè)模型預(yù)測這個(gè)孩子歲時(shí)的身高，則正確的敘述是（）A．身高在左右 B．身高一定是C．身高在以上 D．身高在以下8．已知定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，滿足，則（）A． B． C． D．9．已知拋物線的參數(shù)方程為，若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長為A． B． C．8 D．410．“x>1”是“l(fā)og12A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件11．若隨機(jī)變量X的分布列：X01P0.2m已知隨機(jī)變量且，，則a與b的值為(

)A． B． C． D．12．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的值為A． B．45 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．劉老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去西安參加自主招生考試，考試結(jié)束后劉老師向四名學(xué)生了解考試情況．四名學(xué)生回答如下：甲說：“我們四人都沒考好．”乙說：“我們四人中有人考的好．”丙說：“乙和丁至少有一人沒考好．”丁說：“我沒考好．”結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對了，則這四名學(xué)生中的______________兩人說對了．14．二項(xiàng)式的展開式的常數(shù)項(xiàng)為________(用數(shù)字作答).15．已知直線上總存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)作的圓：的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．16．要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為的下端為圓柱形、上端為半球形的密閉儲(chǔ)油罐，已知圓柱側(cè)面的單位面積造價(jià)是下底面積的單位面積造價(jià)的一半，而頂部半球面的單位面積造價(jià)又是圓柱側(cè)面的單位面積造價(jià)的一半，儲(chǔ)油罐的下部圓柱的底面半徑_______時(shí)，造價(jià)最低．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）央視傳媒為了解央視舉辦的“朗讀者”節(jié)目的收視時(shí)間情況，隨機(jī)抽取了某市名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中有名男觀眾和名女觀眾，將這名觀眾收視時(shí)間編成如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘），收視時(shí)間在分鐘以上（包括分鐘）的稱為“朗讀愛好者”，收視時(shí)間在分鐘以下（不包括分鐘）的稱為“非朗讀愛好者”.（1）若采用分層抽樣的方法從“朗讀愛好者”和“非朗讀愛好者”中隨機(jī)抽取名，再從這名觀眾中任選名，求至少選到名“朗讀愛好者”的概率；（2）若從收視時(shí)間在40分鐘以上（包括40分鐘）的所有觀眾中選出男、女觀眾各1名，求選出的這兩名觀眾時(shí)間相差5分鐘以上的概率.18．（12分）已知，其前項(xiàng)和為.（1）計(jì)算；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.19．（12分）設(shè)函數(shù)，.（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若關(guān)于的方程有3個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）已知函數(shù)．（1）若有三個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若對任意都恒成立的的最大值為，證明：．21．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（3）若函數(shù)的最小值不小于的最小值，求的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)的最小值為.（1）若，求證：；（2）若，，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)AF2⊥F1F2且O為F1【題目詳解】如下圖所示：由AF2⊥F1∵O為F1F2中點(diǎn)∴OB為ΔA又AF2本題正確選項(xiàng)：B【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠熟練掌握橢圓通徑長和對稱性，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

從、、中任取兩個(gè)字母排成一列，直接利用排列數(shù)公式可得出結(jié)果.【題目詳解】由排列數(shù)的定義可知，從、、中任取兩個(gè)字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解題分析】

首先畫出函數(shù)y=x+1+x-1的圖像，求解不等式【題目詳解】如圖:y=x+1由圖像可知x+1+x-1≥2恒成立，所以解集是R，x-1≤x≤1是R的真子集，所以“故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了充分不必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解題分析】分析：直接利用新定義，化簡求解即可.詳解：由＝ad－bc，則滿足＝－2，可得：，，則.故選D.點(diǎn)睛：本題考查新定義的應(yīng)用，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則的應(yīng)用，以及共軛復(fù)數(shù)，考查計(jì)算能力.5、B【解題分析】

反證法的第一步是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，根據(jù)這個(gè)原則，選出正確的答案.【題目詳解】假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)大于不成立，即假設(shè)三內(nèi)角都不大于，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了反證法的第一步的假設(shè)過程，理解至少有一個(gè)大于的否定是都不大于是解題的關(guān)鍵.6、A【解題分析】

設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)，由關(guān)于直線的對稱的點(diǎn)在已知曲線上，然后代入已知曲線，即可求解．【題目詳解】設(shè)所求曲線上任意一點(diǎn)，則關(guān)于直線的對稱的點(diǎn)在已知曲線，所以，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了已知曲線關(guān)于直線的對稱的曲線方程的求解，其步驟是：在所求曲線上任取一點(diǎn)，求得其關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，代入已知曲線求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．7、A【解題分析】

由線性回歸方程的意義得解.【題目詳解】將代入線性回歸方程求得由線性回歸方程的意義可知是預(yù)測值，故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查線性回歸方程的意義，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】分析：通過計(jì)算前幾項(xiàng)，可得n=3，4，…，2018，數(shù)列以3為周期的數(shù)列，計(jì)算可得所求和．詳解：定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x），可得f（﹣x）=﹣f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，滿足，可得x＞時(shí)，f（x）=f（x﹣3），則f（1）=﹣log25，f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（3）=f（0）=0，f（4）=f（1）=﹣log25，f（5）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，f（6）=f（3）=f（0）=0，f（7）=f（4）=f（1）=﹣log25，f（8）=f（2）=f（﹣1）=﹣f（1）=log25，…f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）=﹣log25+log25+（0﹣log25+log25）×672=0，故選：D．點(diǎn)睛：歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì).二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1)數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2)形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.9、C【解題分析】分析：先根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去，根據(jù)韋達(dá)定理求得的值，進(jìn)而根據(jù)拋物線的定義可知求得答案．詳解：拋物線的參數(shù)方程為，普通方程為，拋物線焦點(diǎn)為，且直線斜率為1，

則直線方程為，代入拋物線方程得，設(shè)根據(jù)拋物線的定義可知|，

故選：C．點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，拋物線的簡單性質(zhì)．對學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查．關(guān)鍵是：將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式即可求得|AB|值，從而解決問題．10、B【解題分析】

試題分析：log12考點(diǎn)：充分必要條件.11、C【解題分析】

先根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列可求m的值，結(jié)合，，可求a與b的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所?；因?yàn)?，，所以解得，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查隨機(jī)變量的期望和方差，注意兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系對期望方差的影響.12、B【解題分析】由已知及等差數(shù)列性質(zhì)有，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、乙，丙【解題分析】甲與乙的關(guān)系是對立事件，二人說話矛盾，必有一對一錯(cuò)，如果選丁正確，則丙也是對的，所以丁錯(cuò)誤，可得丙正確，此時(shí)乙正確。故答案為：乙，丙。14、【解題分析】由已知得到展開式的通項(xiàng)為：，令r=12,得到常數(shù)項(xiàng)為；故答案為：18564.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).15、【解題分析】分析：若直線l上總存在點(diǎn)M使得過點(diǎn)M的兩條切線互相垂直，只需圓心（﹣1，2）到直線l的距離，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．詳解：如圖，設(shè)切點(diǎn)分別為A，B．連接AC，BC，MC，由∠AMB=∠MAC=∠MBC=90°及MA=MB知，四邊形MACB為正方形，故，若直線l上總存在點(diǎn)M使得過點(diǎn)M的兩條切線互相垂直，只需圓心（﹣1，2）到直線l的距離，即m2﹣8m﹣20≤0，∴﹣2≤m≤10，故答案為：﹣2≤m≤10.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力數(shù)形結(jié)合的思想方法.(2)解答本題的關(guān)鍵是分析出.16、.【解題分析】

根據(jù)造價(jià)關(guān)系，得到總造價(jià)，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值.【題目詳解】設(shè)圓柱的高為，圓柱底面單位面積造價(jià)為，總造價(jià)為，因?yàn)閮?chǔ)油罐容積為，所以，整理得：，所以，令，則，當(dāng)?shù)茫?，?dāng)?shù)茫援?dāng)時(shí)，取最大值，即取得最大值.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題，考查運(yùn)算求解能力和建模能力，求解時(shí)要把相關(guān)的量設(shè)出，并利用函數(shù)與方程思想解決問題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解題分析】試題分析：試題解析：（1）根據(jù)莖葉圖，有“朗讀愛好者”人，“非朗讀愛好者”人，用分層抽樣的方法，每個(gè)人被抽到的概率是選中的“朗讀愛好者”有人，記為，“非朗讀愛好者”有人，記為；記：至少有一名是“朗讀愛好者”被選中，基本事件有，，，，，，，，，共個(gè)；滿足事件的有，，，，，，共個(gè)，則（2）收視時(shí)間在分鐘以上的男觀眾分別是，，，，，女觀眾分別是，現(xiàn)要各抽一名，則有，，，，，，，，，共種情況.收視時(shí)間相差分鐘以上的有，，，，共種情況.故收視時(shí)間相差分鐘以上的概率.18、（1）；（2），證明見解析.【解題分析】

（1）由題可得前4項(xiàng)，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四項(xiàng)和的規(guī)律可猜想，由數(shù)學(xué)歸納法，即可做出證明，得到結(jié)論。【題目詳解】（1）計(jì)算，.（2）猜想.證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，猜想成立.②假設(shè)猜想成立，即成立，那么當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，猜想也成立.由①②可知，對于，猜想都成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了歸納、猜想與數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，其中解答中明確數(shù)學(xué)歸納證明方法：（1）驗(yàn)證時(shí)成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，證得也成立；（3）得到證明的結(jié)論．其中在到的推理中必須使用歸納假設(shè)．著重考查了推理與論證能力．19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可求得函數(shù)的極值；（2）根據(jù)單調(diào)性與極值畫出函數(shù)的大致圖象，則關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于直線與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象從而可求出的范圍.【題目詳解】（1），令，得，或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的單調(diào)遞增區(qū)間和，單調(diào)遞減區(qū)間，當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值.（2）由（1）可知的圖象的大致形狀及走向如圖所示，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)方程有三解.【題目點(diǎn)撥】單本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的調(diào)性與極值，以及函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，屬于中檔題.函數(shù)的性質(zhì)問題以及函數(shù)零點(diǎn)問題是高考的高頻考點(diǎn)，考生需要對初高中階段學(xué)習(xí)的十幾種初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對稱性非常熟悉；另外，函數(shù)零點(diǎn)的幾種等價(jià)形式：函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)在軸的交點(diǎn)方程的根函數(shù)與的交點(diǎn).20、（1）（2）見解析【解題分析】試題分析：（1）若有三個(gè)極值點(diǎn)，只需應(yīng)有兩個(gè)既不等于0也不等于的根；（2）恒成立即.變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.（1），定義域?yàn)?，，∵，只需?yīng)有兩個(gè)既不等于0也不等于的根，，①當(dāng)時(shí)，，∴單增，最多只有一個(gè)實(shí)根，不滿足；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單減；當(dāng)時(shí)，，單增；∴是的極小值，而時(shí)，，時(shí)，，要有兩根，只需，由，又由，反之，若且時(shí)，則，的兩根中，一個(gè)大于，另一個(gè)小于.在定義域中，連同，共有三個(gè)相異實(shí)根，且在三根的左右，正負(fù)異號(hào)，它們是的三個(gè)極值點(diǎn).綜上，的取值范圍為.（2）對恒成立，①當(dāng)或1時(shí)，均滿足；②對恒成立對恒成立，記，，，，欲證，而，只需證明，顯然成立.下證：，，，，先證：，，，.令，，，，，∴在上單增，∴，