2024屆上海市十二校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

2024屆上海市十二校高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．歐拉公式：為虛數(shù)單位），由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，（）A．1 B． C． D．2．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．3．若直線l不平行于平面α，且l?α，則（）A．α內(nèi)所有直線與l異面B．α內(nèi)只存在有限條直線與l共面C．α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D．α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l相交4．若則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)是A．6 B．7 C．8 D．95．定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上是()A．增函數(shù)且 B．增函數(shù)且C．減函數(shù)且 D．減函數(shù)且6．已知，則()A．11 B．12 C．13 D．147．已知全集，則A． B． C． D．8．如圖，設(shè)區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，且投入到區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，則點(diǎn)落到由曲線與所圍成陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）A.B.C.D.9．某中學(xué)有高中生3500人，初中生1500人，為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從高中生中抽取70人，則n為()A．100 B．150C．200 D．25010．已知，，，若，則（）A．-5 B．5 C．1 D．-111．將5名報(bào)名參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的同學(xué)分別安排到跳繩、接力，投籃三項(xiàng)比賽中（假設(shè)這些比賽都不設(shè)人數(shù)上限），每人只參加一項(xiàng)，則共有種不同的方案；若每項(xiàng)比賽至少要安排一人時(shí)，則共有種不同的方案，其中的值為（）A．543 B．425 C．393 D．27512．直線與曲線所圍成的曲邊梯形的面積為（）A．9 B． C． D．27二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則__________．14．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則____．15．若復(fù)數(shù)z滿足|z－i|≤(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為_____________．16．某單位有職工52人，現(xiàn)將所有職工按1、2、3、…、52隨機(jī)編號(hào)，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知6號(hào)、32號(hào)、45號(hào)職工在樣本中，則樣本中還有一個(gè)職工的編號(hào)是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a1=1.若a1（I）求an及S（Ⅱ）設(shè)bn=1an+12-118．（12分）已知實(shí)數(shù)使得函數(shù)在定義域內(nèi)為增函數(shù)；實(shí)數(shù)使得函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)，且分別求出條件中的實(shí)數(shù)的取值范圍；甲同學(xué)認(rèn)為“是的充分條件”，乙同學(xué)認(rèn)為“是的必要條件”，請(qǐng)判斷兩位同學(xué)的說法是否正確，并說明理由.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，圓的方程為.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線的普通方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）設(shè)，若對(duì)任意，存在，使得成立，求的取值范圍.21．（12分）已知點(diǎn)，經(jīng)矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下，變?yōu)辄c(diǎn).（1）求的值；（2）直線在對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€，求直線的方程.22．（10分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）求函數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由題意將復(fù)數(shù)的指數(shù)形式化為三角函數(shù)式，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得答案．【題目詳解】由得故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查歐拉公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)值的求法與復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)求值，是基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】分析：求導(dǎo)，代值即可.詳解：，則.故選：C.點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．3、D【解題分析】

通過條件判斷直線l與平面α相交，于是可以判斷ABCD的正誤.【題目詳解】根據(jù)直線l不平行于平面α，且l?α可知直線l與平面α相交，于是ABC錯(cuò)誤，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，直線與直線的位置關(guān)系，難度不大.4、C【解題分析】

根據(jù)題意A中必須有1，2這兩個(gè)元素，因此A的個(gè)數(shù)應(yīng)為集合4，的子集的個(gè)數(shù)．【題目詳解】解：，集合A中必須含有1，2兩個(gè)元素，因此滿足條件的集合A為，，，，，，，共8個(gè)．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了子集的概念，熟練掌握由集合間的關(guān)系得到元素關(guān)系是解題的關(guān)鍵有n個(gè)元素的集合其子集共有個(gè)5、B【解題分析】

先利用函數(shù)奇偶性求出函數(shù)在上的解析式，然后利用周期性求出函數(shù)在上的解析式，結(jié)合解析式對(duì)其單調(diào)性以及函數(shù)值符號(hào)下結(jié)論．【題目詳解】設(shè)，則，，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，則.所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)值符號(hào)的判斷，解決函數(shù)問題關(guān)鍵在于求出函數(shù)的解析式，本題的核心在于利用奇偶性與周期性求出函數(shù)的解析式，屬于中等題．6、B【解題分析】∵，∴，整理，得，；解得,或(不合題意,舍去)；∴n的值為12.故選：B.7、C【解題分析】

根據(jù)補(bǔ)集定義直接求得結(jié)果.【題目詳解】由補(bǔ)集定義得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】試題分析：圖中陰影面積可以用定積分計(jì)算求出，即，正方形OABC的面積為1，所以根據(jù)幾何概型面積計(jì)算公式可知，點(diǎn)落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率為?？键c(diǎn)：1.定積分的應(yīng)用；2.幾何概型。9、A【解題分析】試題分析：根據(jù)已知可得：，故選擇A考點(diǎn)：分層抽樣10、A【解題分析】

通過平行可得m得值，再通過數(shù)量積運(yùn)算可得結(jié)果.【題目詳解】由于，故，解得，于是，，所以.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查共線與數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力.11、C【解題分析】分析：根據(jù)題意，易得5名同學(xué)中每人有3種報(bào)名方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．第二種先分組再排列，問題得以解決．詳解：5名同學(xué)報(bào)名參加跳繩、接力，投籃三項(xiàng)比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，每人有3種報(bào)名方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，x==243種，當(dāng)每項(xiàng)比賽至少要安排一人時(shí)，先分組有（+）=25種，再排列有=6種，所以y=25×6=150種，所以x+y=1．故選：C．點(diǎn)睛：排列組合的綜合應(yīng)用問題，一般按先選再排，先分組再分配的處理原則．對(duì)于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對(duì)于平均分組問題更要注意順序，避免計(jì)數(shù)的重復(fù)或遺漏．12、A【解題分析】直線x=0,x=3,y=0與曲線y=x2所圍成的曲邊梯形的面積為：.本題選擇A選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】由正態(tài)分布中三個(gè)特殊區(qū)間上的概率知，∴．答案：14、2【解題分析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出a1=﹣4，d=2，由此能求出S1．【題目詳解】∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=0，a6+a1=2，∴，解得a1=﹣4，d=2，∴S1=1a1+=﹣28+42=2．故答案為：2．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的前1項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．15、2π【解題分析】分析：由的幾何意義可知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的實(shí)心圓，由圓的面積公式可得結(jié)論.詳解：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的的軌跡是以為圓心，為半徑的實(shí)心圓，該圓的面積為，故答案為.點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)的模的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，所以若，則表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離，表示以為圓心，以為半徑的圓.16、19【解題分析】按系統(tǒng)抽樣方法，分成4段的間隔為＝13，顯然在第一段中抽取的起始個(gè)體編號(hào)為6，第二段應(yīng)將編號(hào)6＋13＝19的個(gè)體抽出．這就是所要求的．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）an=2n-1，Sn【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，根據(jù)題中條件列方程組求出a1和d的值，于此可得出an（Ⅱ）將bn的通項(xiàng)表示為bn=141n【題目詳解】（Ⅰ）由題意，得a1=1a2=a1所以an=a（Ⅱ）因?yàn)閎n所以Tn【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式，考查裂項(xiàng)求和法，在求解等差數(shù)列的問題時(shí)，一般都是通過建立首項(xiàng)與公差的方程組，求解這兩個(gè)基本量來解決等差數(shù)列的相關(guān)問題，考查計(jì)算能力，屬于中等題。18、（1），（2）甲、乙兩同學(xué)的判斷均不正確，理由見解析【解題分析】

（1）真時(shí)，先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令恒成立，整理得到恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；真時(shí)，只需滿足即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，判斷兩個(gè)集合是否具有包含關(guān)系，根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷充分必要條件.【題目詳解】解，的定義域?yàn)?，因?yàn)樵诙x域內(nèi)為增函數(shù)，所以對(duì)，恒有整理得，恒成立．于是因此滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是因?yàn)榈拇嬖趦蓚€(gè)零點(diǎn)且，所以即，解得因此滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是甲、乙兩同學(xué)的判斷均不正確，因?yàn)?，所以不是的充分條件，因?yàn)?，所以不是的必要條件．【題目點(diǎn)撥】本題考查了由命題的真假，求參數(shù)取值范圍的問題，本題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)是真時(shí)，有的同學(xué)只寫出，而忽略了的正負(fù)決定函數(shù)圖像的開口，第二問考查了當(dāng)命題是以集合形式給出時(shí)，如何判斷充分必要條件，,，若時(shí)，是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，當(dāng)沒有包含關(guān)系時(shí)，是的既不充分也不必要條件，當(dāng)時(shí)，是的充要條件.19、（1）詳見解析；（2）。【解題分析】試題分析：（1）由得，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的參數(shù)方程為，由得，代入得：，整理得：；（2）直線與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，圓心到直線：距離，根據(jù)直線與圓相交所得的弦長(zhǎng)公式，所以，由題意，所以得，即，整理得：，即，解得：。試題解析：（1）的直角坐標(biāo)方程為，在直線的參數(shù)方程中消得：；（2）要滿足弦及圓的半徑為可知只需圓心到直線的距離即可。由點(diǎn)到直線的距離公式有：,整理得：即解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：考點(diǎn)：1.極坐標(biāo)；2.參數(shù)方程。20、（1）；（2）【解題分析】

（1）令，通過零點(diǎn)分段法可得解析式，進(jìn)而將不等式變?yōu)?，在每一段上分別構(gòu)造不等式即可求得結(jié)果；（2）將問題轉(zhuǎn)化為的值域是值域的子集的問題；利用零點(diǎn)分段法可確定解析式，進(jìn)而得到值域；利用絕對(duì)值三角不等式可求得的最小值，由此可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【題目詳解】（1）令，由得：得或或，解得：.即不等式的解集為.（2）對(duì)任意，都有，使得成立，則的值域是值域的子集.，值域?yàn)?；，，解得：或，即的取值范圍?【題目點(diǎn)撥】本題考查絕對(duì)值不等式的求解、與絕對(duì)值不等式有關(guān)的恒成立和能成立問題的求解，涉及到零點(diǎn)分段法和絕對(duì)值三角不等式的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠?qū)⒑?、能成立問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的值域之間的關(guān)系，進(jìn)而通過最值確定不等式.21、(1)；(2)【解題分析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合題中的條件，利用矩陣乘法公式，列出滿足條件的等量關(guān)系式，求得結(jié)果；（2）設(shè)直線上任意一點(diǎn)經(jīng)矩陣變換為，利用矩陣乘法得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用在直線上，代入求得，進(jìn)而得出直線的方程.【題目詳解】（1）解得∴；（2）由（1）知：設(shè)直線上任意一點(diǎn)經(jīng)矩陣變換為則∵∴即∴直線的方程為.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)點(diǎn)和直線經(jīng)矩