山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

山東省臨沂市羅莊區(qū)七校聯(lián)考2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A．96 B．84 C．60 D．482．（）A． B． C． D．3．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與的一個交點，若，則（）A．8 B．4 C．6 D．34．甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)報名參加社區(qū)服務(wù)活動,社區(qū)服務(wù)活動共有關(guān)愛老人?環(huán)境監(jiān)測?教育咨詢?交通宣傳?文娛活動五個項目,每人限報其中一項,記事件為“5名同學(xué)所報項目各不相同”,事件為“只有甲同學(xué)一人報關(guān)愛老人項目”,則()A． B． C． D．5．已知圓柱的軸截面的周長為，則圓柱體積的最大值為（）A． B． C． D．6．某公司的班車在7:30，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是A． B． C． D．7．在中，，BC邊上的高等于,則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù).若不等式的解集中整數(shù)的個數(shù)為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．正方體中，直線與平面所成角正弦值為（）A． B． C． D．10．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．731511．設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a15，且A．S23 B．S24 C．S12．已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（）A．第項 B．第項 C．第項 D．第項二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知頂點在原點的拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則拋物線的方程為______．14．若復(fù)數(shù)()為純虛數(shù)，則____.15．的展開式的第3項為______.16．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的實數(shù)都有(是自然對數(shù)的底數(shù))，且，若關(guān)于的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在點M(1,1)處的切線方程為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.18．（12分）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點，點在線段PQ上.設(shè)，試求的取值范圍.19．（12分）甲、乙兩人做定點投籃游戲，已知甲每次投籃命中的概率均為，乙每次投籃命中的概率均為，甲投籃3次均未命中的概率為，甲、乙每次投籃是否命中相互之間沒有影響.（Ⅰ）若甲投籃3次，求至少命中2次的概率；（Ⅱ）若甲、乙各投籃2次，設(shè)兩人命中的總次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中任意取出三個不同的數(shù)字.（Ⅰ）求取出的這三個數(shù)字中最大數(shù)字是8的概率；（Ⅱ）記取出的這三個數(shù)字中奇數(shù)的個數(shù)為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.21．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點處的切線方程；（2）若在時恒成立，求的取值范圍。22．（10分）(本小題滿分12分)某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）和，系統(tǒng)和在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和。（Ⅰ）若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求的值；（Ⅱ）設(shè)系統(tǒng)在3次相互獨立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機變量，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望。

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】解：分三類：種兩種花有種種法；種三種花有2種種法；種四種花有種種法．共有2++=1．故選B2、C【解題分析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，即可得到答案．【題目詳解】由，故選C．【題目點撥】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

設(shè)點、，由，可計算出點的橫坐標(biāo)的值，再利用拋物線的定義可求出.【題目詳解】設(shè)點、，易知點，，，，解得，因此，，故選D.【題目點撥】本題考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵在于利用向量共線求出相應(yīng)點的坐標(biāo)，考查計算能力，屬于中等題．4、A【解題分析】

由條件概率與獨立事件可得：，P(AB)=，所以P(A|B)=，得解.【題目詳解】由已知有事件概率為：，事件概率為：P(AB)=，所以P(A|B)=，故選：A.【題目點撥】本題考查條件概率的計算，條件概率的兩種求法:(1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=即可；(2)基本事件法:借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=，本題屬于基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】

分析:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，利用基本不等式，可求圓柱體積的最大值．詳解:設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則4r+2h=12，即2r+h=6，∴2r+h=r+r+h≥3，∴r2h≤∴V=πr2h≤8π，∴圓柱體積的最大值為8π，點睛:(1)本題主要考查圓柱的體積和基本不等式,意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.6、B【解題分析】試題分析：由題意，這是幾何概型問題，班車每30分鐘發(fā)出一輛，到達(dá)發(fā)車站的時間總長度為40，等車不超過10分鐘的時間長度為20，故所求概率為，選B.【考點】幾何概型【名師點睛】這是全國卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問題的關(guān)鍵是確定“測度”,常見的測度有長度、面積、體積等.7、C【解題分析】試題分析：設(shè),故選C.考點：解三角形.8、D【解題分析】

對進(jìn)行變形，得到，令，，即的整數(shù)個數(shù)為3，再由的函數(shù)圖像和的函數(shù)圖像，寫出限制條件，得到答案【題目詳解】，即設(shè)，其中時，時，即符合要求，所以時，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，為極小值.有三個整數(shù)解，則還有一個整數(shù)解為或者是①當(dāng)解集包含時，時，所以需要滿足即，解得②當(dāng)解集包含時，需要滿足即整理得，而，所以無解集，即該情況不成立.綜上所述，由①②得，的范圍為故選D項.【題目點撥】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，兩個函數(shù)圖像的位置關(guān)系與解析式大小之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，題目較綜合，考查內(nèi)容比較多，屬于難題.9、C【解題分析】

作出相關(guān)圖形，設(shè)正方體邊長為1，求出與平面所成角正弦值即為答案.【題目詳解】如圖所示，正方體中，直線與平行，則直線與平面所成角正弦值即為與平面所成角正弦值.因為為等邊三角形，則在平面即為的中心，則為與平面所成角.可設(shè)正方體邊長為1，顯然，因此，則，故答案選C.【題目點撥】本題主要考查線面所成角的正弦值，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計算能力和空間想象能力.10、D【解題分析】原式等于，故選D.11、C【解題分析】因a8=a1+7d,a15=a1+14d，故由題設(shè)3a8=5a1512、B【解題分析】解：數(shù)列即：，據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為：，由解得：，即是這個數(shù)列的第項.本題選擇B選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

求得拋物線的右焦點坐標(biāo)，由此求得拋物線方程.【題目詳解】橢圓的，故，故，所以橢圓右焦點的坐標(biāo)為，故，所以，所以拋物線的方程為.故答案為：【題目點撥】本小題主要考查橢圓焦點的計算，考查根據(jù)拋物線的焦點計算拋物線方程，屬于基礎(chǔ)題.14、0【解題分析】試題分析：由題意得，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得或，當(dāng)時，（舍去），所以.考點：復(fù)數(shù)的概念.15、【解題分析】

利用二項式定理展開式，令可得出答案．【題目詳解】的展開式的第項為，故答案為．【題目點撥】本題考查二項式指定項，解題時充分利用二項式定理展開式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

由得，即.設(shè)，由得，從而.判斷函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合求實數(shù)的取值范圍.【題目詳解】，即.設(shè).,.由，得；由，得或，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，如圖所示當(dāng)時，.又，且時，，由圖象可知，要使不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，需滿足，即.所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）f(x)=x2-4lnx（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極小值為，無極大值【解題分析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線方程得到關(guān)于的方程組，解出即可。（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可。【題目詳解】（1），?因為點M(1,1)處的切線方程為2x+y-3=0，所以,所以，則f(x)=x2-4lnx;（2）定義域為(0,+∞),,令，得（舍負(fù)）.列表如下：xf'(x)-0+f(x)遞減極小值遞增故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.極小值為，無極大值.【題目點撥】本題（1）是根據(jù)切點在曲線上以及函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率這兩點來列方程求參數(shù)的值，（2）是考查函數(shù)的單調(diào)性和極值,本題是一道簡單的綜合題。18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和直線與圓相切得到，解方程組即可.（2）設(shè)，，，當(dāng)直線與軸重合時，求出.當(dāng)直線與軸不重合時，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理化簡，求出的表達(dá)式，再求出的范圍即可.【題目詳解】（1）由題知：，解得，.橢圓；（2）設(shè)，，.當(dāng)直線與軸重合時，則，解得：，.當(dāng)直線與軸不重合時，則，解得：.設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得：.由韋達(dá)定理得，.于是有：，因此.綜上，實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題第一問考查橢圓的性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系，第二問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于難題.19、（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析.【解題分析】試題分析：（1）本題為獨立重復(fù)試驗，根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率公式列方程組解得，再根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率公式求至少命中2次的概率；（2）先確定隨機變量可能取法：0，1，2，3，4，再根據(jù)獨立重復(fù)試驗概率公式求對應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望.試題解析：（1）由題意，，解得，設(shè)“乙投籃3次，至少2次命中”為事件，則（2）由題意的取值為0，1，2，3，4.；；；.故的分布列為.20、；（Ⅱ）見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）取出的這三個數(shù)字中最大數(shù)字是8，其余兩個從1，2，3，4，5，6，7中?。á颍┤〕龅倪@三個數(shù)字中奇數(shù)的個數(shù)為0、1、2、3，求出相應(yīng)的概率，即可求得分布列及期望．；（Ⅱ）ξ的所有可能取值為：0、1、2、3則所以隨機變量的分布列為0123P所以的數(shù)學(xué)期望.點睛：（1）本題主要考查古典概型和離散型隨機變量的分布列和期望，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)……為的均值或數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．21、（1）（2）【解題分析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，，利用直線的點斜式方程，即可求解其切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，求得函數(shù)，進(jìn)而由，即可求解的取值范圍?！绢}目詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，可得，又，所以函數(shù)在點處的切線方程為。（2）因為，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，若，在恒成立，即恒成立，所以，所以的取值范圍是?！绢}目點撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點處的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的恒成立問題，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及準(zhǔn)確利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運算