陜西省西安市高新灃東中學(xué)黃岡中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

陜西省西安市高新灃東中學(xué)黃岡中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．2．下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．3．對(duì)變量x,y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi,yiA．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)4．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．35．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，若曲線與交于、兩點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．6．《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5步和12步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是()A． B． C． D．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由時(shí)的假設(shè)到證明時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的式子是（）A． B．C． D．8．已知直線l、直線m和平面，它們的位置關(guān)系同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①；②；③l與m是互相垂直的異面直線若P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且到l、m的距離相等，則點(diǎn)P的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線9．將4名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)三個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少安排一名教師，則不同的分配方案有（）種A．12 B．36 C．72 D．10810．王老師在用幾何畫板同時(shí)畫出指數(shù)函數(shù)（）與其反函數(shù)的圖象，當(dāng)改變的取值時(shí)，發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖象時(shí)而無交點(diǎn)，并且在某處只有一個(gè)交點(diǎn)，則通過所學(xué)的導(dǎo)數(shù)知識(shí)，我們可以求出當(dāng)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，的值為（）A． B． C． D．11．袋中有大小和形狀都相同的個(gè)白球、個(gè)黑球，現(xiàn)從袋中每次取一個(gè)球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是（）A． B． C． D．12．定積分的值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某一部件由四個(gè)電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，則部件正常工作.設(shè)四個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為__________．14．已知直線l過點(diǎn)（1,0）且垂直于??軸，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為4，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_________.15．已知球的半徑為，為球面上兩點(diǎn)，若之間的球面距離是，則這兩點(diǎn)間的距離等于_________16．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）現(xiàn)計(jì)劃用兩張鐵絲網(wǎng)在一片空地上圍成一個(gè)梯形養(yǎng)雞場(chǎng)，，，已知?兩段是由長(zhǎng)為的鐵絲網(wǎng)折成，?兩段是由長(zhǎng)為的鐵絲網(wǎng)折成.設(shè)上底的長(zhǎng)為，所圍成的梯形面積為.（1）求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大?最大面積為多少?18．（12分）某公司的一次招聘中，應(yīng)聘者都要經(jīng)過三個(gè)獨(dú)立項(xiàng)目，，的測(cè)試，如果通過兩個(gè)或三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試即可被錄用.若甲、乙、丙三人通過，，每個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率都是.（1）求甲恰好通過兩個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率；（2）設(shè)甲、乙、丙三人中被錄用的人數(shù)為，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,，,，為等邊三角形.（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）如圖所示，四棱錐中，底面，，為中點(diǎn).（1）試在上確定一點(diǎn)，使得平面；（2）點(diǎn)在滿足（1）的條件下，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）若集合具有以下性質(zhì)：（1）且；（2）若，，則，且當(dāng)時(shí)，，則稱集合為“閉集”.（1）試判斷集合是否為“閉集”，請(qǐng)說明理由；（2）設(shè)集合是“閉集”，求證：若，，則；（3）若集合是一個(gè)“閉集”，試判斷命題“若，，則”的真假，并說明理由.22．（10分）在四棱錐中,平面平面，,四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，,是的中點(diǎn).(1)求證:平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先求出直線和圓相交時(shí)的取值范圍，然后根據(jù)線型的幾何概型概率公式求解即可．【題目詳解】由題意得，圓的圓心為，半徑為，直線方程即為，所以圓心到直線的距離，又直線與圓相交，所以，解得．所以在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題以直線和圓的位置關(guān)系為載體考查幾何概型，解題的關(guān)鍵是由直線和圓相交求出參數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)公式求解，考查轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

根據(jù)三視圖得到原圖是，邊長(zhǎng)為2的正方體，挖掉八分之一的球，以正方體其中一個(gè)頂點(diǎn)為球的球心。【題目詳解】根據(jù)三視圖得到原圖是，邊長(zhǎng)為2的正方體，挖掉八分之一的球，以正方體其中一個(gè)頂點(diǎn)為球的球心，故剩余的體積為：故答案為：B.【題目點(diǎn)撥】思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.3、C【解題分析】試題分析：由散點(diǎn)圖1可知，點(diǎn)從左上方到右下方分布，故變量x與y負(fù)相關(guān)；由散點(diǎn)圖2可知，點(diǎn)從左下方到右上方分布，故變量u與v正相關(guān)，故選C考點(diǎn)：本題考查了散點(diǎn)圖的運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：熟練運(yùn)用隨機(jī)變量的正負(fù)相關(guān)的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題4、C【解題分析】，如圖，由圖可知，兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以原函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選C．5、B【解題分析】

由題意可知曲線與交于原點(diǎn)和另外一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，聯(lián)立兩曲線的極坐標(biāo)方程，解出的值，可得出，即可得出的值.【題目詳解】易知，曲線與均過原點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，聯(lián)立曲線與的坐標(biāo)方程，解得，因此，，故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩圓的相交弦長(zhǎng)的計(jì)算，常規(guī)方法就是計(jì)算出兩圓的相交弦方程，計(jì)算出弦心距，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，也可以聯(lián)立極坐標(biāo)方程，計(jì)算出兩極徑的值，利用兩極徑的差來計(jì)算，考查方程思想的應(yīng)用，屬于中等題.6、C【解題分析】

本題首先可以根據(jù)直角三角形的三邊長(zhǎng)求出三角形的內(nèi)切圓半徑，然后分別計(jì)算出內(nèi)切圓和三角形的面積，最后通過幾何概型的概率計(jì)算公式即可得出答案.【題目詳解】如圖所示，直角三角形的斜邊長(zhǎng)為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.所以內(nèi)切圓的面積為，所以豆子落在內(nèi)切圓外部的概率，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查“面積型”的幾何概型，屬于中檔題.解決幾何概型問題常見類型有：長(zhǎng)度型、角度型、面積型、體積型，求與面積有關(guān)的幾何概型問題關(guān)鍵是計(jì)算問題的總面積以及事件的面積；幾何概型問題還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：（1）不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型導(dǎo)致錯(cuò)誤；（2）基本事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域測(cè)度把握不準(zhǔn)導(dǎo)致錯(cuò)誤；（3）利用幾何概型的概率公式時(shí),忽視驗(yàn)證事件是否等可能性導(dǎo)致錯(cuò)誤．7、B【解題分析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，等式的左邊是，所以當(dāng)時(shí)，等式的左邊是，多增加了，應(yīng)選答案B．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是搞清楚當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)時(shí)，等式的左邊的結(jié)構(gòu)形式是，最終確定添加的項(xiàng)是什么，使得問題獲解．8、D【解題分析】

作出直線m在平面α內(nèi)的射影直線n，假設(shè)l與n垂直，建立坐標(biāo)系，求出P點(diǎn)軌跡即可得出答案．【題目詳解】解：設(shè)直線m在平面α的射影為直線n，則l與n相交，不妨設(shè)l與n垂直，設(shè)直線m與平面α的距離為d，在平面α內(nèi)，以l，n為x軸，y軸建立平面坐標(biāo)系，則P到直線l的距離為|y|，P到直線n的距離為|x|，∴P到直線m的距離為，∴|y|，即y2﹣x2＝d2，∴P點(diǎn)軌跡為雙曲線．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查空間線面位置關(guān)系、軌跡方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．9、B【解題分析】試題分析：第一步從名實(shí)習(xí)教師中選出名組成一個(gè)復(fù)合元素，共有種，第二步把個(gè)元素（包含一個(gè)復(fù)合元素）安排到三個(gè)班實(shí)習(xí)有,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理不同的分配方案有種，故選B．考點(diǎn)：計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．10、B【解題分析】

當(dāng)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則在該點(diǎn)的公切線的斜率相等，列出關(guān)于的方程.【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，解得：故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要注意根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的凹凸性，得到在其公共點(diǎn)處公切線的斜率相等.11、D【解題分析】

分別計(jì)算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根據(jù)條件概率公式求得結(jié)果.【題目詳解】記“第一次取到白球”為事件，則記“第一次取到白球且第二次取到白球”為事件，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的求解問題，易錯(cuò)點(diǎn)是忽略抽取方式為不放回的抽取，錯(cuò)誤的認(rèn)為每次抽到白球均為等可能事件.12、C【解題分析】試題分析：=.故選C.考點(diǎn)：1.微積分基本定理；2.定積分的計(jì)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：先求出四個(gè)電子元件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率都為，再設(shè)A={元件1或元件2正常工作}，B={元件3或元件4正常工作},再求P(A),P(B),再求P(AB)得解.詳解：由于四個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布，所以四個(gè)電子元件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率都為設(shè)A={元件1或元件2正常工作}，B={元件3或元件4正常工作},所以所以該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為.故答案為：.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線，考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)一般地，如果事件相互獨(dú)立，那么這個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率，等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即．14、【解題分析】分析：根據(jù)題干描述畫出相應(yīng)圖形，分析可得拋物線經(jīng)過點(diǎn)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入可求參數(shù)的值，進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).詳細(xì)：由題意可得，點(diǎn)在拋物線上，將代入中，解得：，，由拋物線方程可得：，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：此題考查拋物線的相關(guān)知識(shí)，屬于易得分題，關(guān)鍵在于能夠結(jié)合拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，得到拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，再者熟練準(zhǔn)確記憶拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式也是保證本題能夠得分的關(guān)鍵.15、【解題分析】

根據(jù)球面距離計(jì)算出的大小，根據(jù)的大小即可計(jì)算出之間的距離.【題目詳解】因?yàn)?，，所以為等邊三角形，所?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)球面距離計(jì)算球面上兩點(diǎn)間的距離，難度較易.計(jì)算球面上兩點(diǎn)間的距離，可通過求解兩點(diǎn)與球心的夾角，根據(jù)角度直接寫出或者利用余弦定理計(jì)算出兩點(diǎn)間的距離.16、84【解題分析】

通過求出各項(xiàng)二項(xiàng)展開式中項(xiàng)的系數(shù)，利用組合數(shù)的性質(zhì)求出系數(shù)和即可得結(jié)果.【題目詳解】的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為：，故答案是：84.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)和的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有指定項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，組合數(shù)公式，屬于簡(jiǎn)單題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），，（2）當(dāng)x為時(shí)，養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大，最大為.【解題分析】

（1）由已知條件的該梯形為等腰梯形，作出高，用含的代數(shù)式表示出上、下底和高，從而表示出面積；（2）利用導(dǎo)數(shù)最值求出最大值【題目詳解】解：（1）由題意，，，過A點(diǎn)作，垂足為E，則，梯形的高由，解得.綜上，，（2）設(shè)，，令，得（，舍去）時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減.∴當(dāng)時(shí)，的最大值是1080000，此時(shí).∴當(dāng)為時(shí)，養(yǎng)雞場(chǎng)的面積最大，最大為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考察用函數(shù)模型解決實(shí)際問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．18、(1)；(2)答案見解析.【解題分析】分析：（1）利用二項(xiàng)分布計(jì)算甲恰好有2次發(fā)生的概率；（2）由每人被錄用的概率值，求出隨機(jī)變量X的概率分布，計(jì)算數(shù)學(xué)期望.詳解：（1）甲恰好通過兩個(gè)項(xiàng)目測(cè)試的概率為；（2）因?yàn)槊咳丝杀讳浻玫母怕蕿?，所以，，，；故隨機(jī)變量X的概率分布表為：X0123P所以，X的數(shù)學(xué)期望為．點(diǎn)睛：解離散型隨機(jī)變量的期望應(yīng)用問題的方法(1)求離散型隨機(jī)變量的期望關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用期望公式進(jìn)行計(jì)算．(2)要注意觀察隨機(jī)變量的概率分布特征，若屬二項(xiàng)分布的，可用二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算，則更為簡(jiǎn)單．19、(1)略；(2)【解題分析】

（1）推導(dǎo)出，從而得到平面，由此可證得；（2）推導(dǎo)出，以B為原點(diǎn)為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解.【題目詳解】（1）證明：在四棱錐中，四邊形是直角梯形，，,，為等邊三角形，所以，所以，,所以，又由，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；?）因?yàn)椋?，以為原點(diǎn)為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，由圖形可知二面角的平面角是鈍角，設(shè)二面角的平面角為，所以，即二面角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線面平行的判定與證明，以及空間角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，通過嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵，同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.20、(1).(2).【解題分析】【試題分析】（1）先確定點(diǎn)的位置為等分點(diǎn)，再運(yùn)用線面平行的判定定理進(jìn)行證明平面；（2）借助（1）的結(jié)論，及線面角的定義構(gòu)造三角形找出直線與平面所成角，再通過解直角三角形求出其正弦值：解：(1)證明:平面PAD.過M作交PA于E,連接DE.因?yàn)?所以，又，故,且，即為平行四邊形,則,又平面PAD,平面PAD,平面；(2)解:因?yàn)椋灾本€MN與平面PAB所成角等于直線DE與平面PAB所成角

底面A