陜西省西安高新唐南中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題含解析

陜西省西安高新唐南中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．求值：4cos50°－tan40°＝()A． B． C． D．2－12．已知，、，則向量與的夾角是（）A． B． C． D．3．若關于的一元二次不等式的解集為，則（）A． B． C． D．4．“”是“方程表示焦點在軸上的雙曲線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．甲、乙同時參加某次法語考試，甲、乙考試達到優(yōu)秀的概率分別為0.6，0.7，兩人考試相互獨立，則甲、乙兩人都未達到優(yōu)秀的概率為（）A．0.42 B．0.12 C．0.18 D．0.286．對于問題：“已知x,y,z是互不相同的正數(shù)，求證：三個數(shù)x+1A．x+1z,y+1C．x+1z,y+17．已知關于的實系數(shù)一元二次方程的一個根在復平面上對應點是，則這個方程可以是（）A． B．C． D．8．在一次數(shù)學測試中，高一某班50名學生成績的平均分為82，方差為8.2，則下列四個數(shù)中不可能是該班數(shù)學成績的是（）A．60 B．70 C．80 D．1009．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且，若橢圓離心率，則雙曲線的離心率（）A． B． C．3 D．410．下列關于“頻率”和“概率”的說法中正確的是（）（1）在大量隨機試驗中，事件出現(xiàn)的頻率與其概率很接近；（2）概率可以作為當實驗次數(shù)無限增大時頻率的極限；（3）計算頻率通常是為了估計概率．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）11．某中學高二年級的一個研究性學習小組擬完成下列兩項調查：①從某社區(qū)430戶高收入家庭，980戶中等收入家庭，290戶低收入家庭中任意選出170戶調查社會購買力的某項指標；②從本年級12名體育特長生中隨機選出5人調查其學習負擔情況；則該研究性學習小組宜采用的抽樣方法分別是（）A．①用系統(tǒng)抽樣，②用簡單隨機抽樣 B．①用系統(tǒng)抽樣，②用分層抽樣C．①用分層抽樣，②用系統(tǒng)抽樣 D．①用分層抽樣，②用簡單隨機抽樣12．若，則，就稱A是伙伴關系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關系的集合的個數(shù)為（）A．15 B．16 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列1，2，3，4，5，6中，任取k個元素位置保持不動，將其余個元素變動位置，得到不同的新數(shù)列，記不同新數(shù)列的個數(shù)為，則的值為________.14．如圖，在楊輝三角形中，每一行除首末兩個數(shù)之外，其余每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和，若第行中的三個連續(xù)的數(shù)之比是2∶3∶4，則的值是_________.15．在正四棱錐P-ABCD中，PA=2，直線PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC的中點，則異面直線PA與BE所成角的大小為___________．16．用1、2、3、4、5、6組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是_________（用數(shù)字作答）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足：，（R，N*）．（1）若，求證：；（2）若，求證：．18．（12分）某大型工廠有臺大型機器，在個月中，臺機器至多出現(xiàn)次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需名工人進行維修．每臺機器出現(xiàn)故障的概率為．已知名工人每月只有維修臺機器的能力，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人維修，就能使該廠獲得萬元的利潤，否則將虧損萬元．該工廠每月需支付給每名維修工人萬元的工資．（1）若每臺機器在當月不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時有工人進行維修，則稱工廠能正常運行．若該廠只有名維修工人，求工廠每月能正常運行的概率；（2）已知該廠現(xiàn)有名維修工人．（?。┯浽搹S每月獲利為萬元，求的分布列與數(shù)學期望；（ⅱ）以工廠每月獲利的數(shù)學期望為決策依據(jù)，試問該廠是否應再招聘名維修工人？19．（12分）選修4-5：不等式選講設函數(shù).（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若，求不等式的解集.20．（12分）在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）求曲線上的直線距離最大的點的直角坐標.21．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標．22．（10分）定義在上的函數(shù)滿足：對任意的實數(shù)，存在非零常數(shù)，都有成立.（1）當時，若，，求函數(shù)在閉區(qū)間上的值域；（2）設函數(shù)的值域為，證明：函數(shù)為周期函數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

原式第一項利用誘導公式化簡，第二項利用同角三角函數(shù)間的基本關系切化弦，通分后利用同分母分式的減法法則計算，再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化為一個角的余弦函數(shù)，約分即可得到結果．【題目詳解】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故選C．【題目點撥】本題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關系，以及誘導公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關鍵．2、D【解題分析】

設向量與的夾角為，計算出向量與的坐標，然后由計算出的值，可得出的值.【題目詳解】設向量與的夾角為，，，則，所以，，故選D.【題目點撥】本題考查空間向量的坐標運算，考查利用向量的坐標計算向量的夾角，考查計算能力，屬于中等題.3、D【解題分析】

根據(jù)一元二次不等式與二次函數(shù)之間的關系，可得出一元二次不等式的解集為的等價條件.【題目詳解】由于關于的一元二次不等式的解集為，則二次函數(shù)的圖象恒在軸的下方，所以其開口向下，且圖象與軸無公共點，所以，故選：D.【題目點撥】本題考查一元不等式在實數(shù)集上恒成立，要充分利用二次函數(shù)的開口方向和與軸的位置關系進行分析，考查推理能力，屬于中等題.4、B【解題分析】

解得方程表示焦點在軸上的雙曲線的m的范圍即可解答.【題目詳解】表示焦點在軸上的雙曲線?,解得1<m<5,故選B.【題目點撥】本題考查雙曲線的方程，是基礎題，易錯點是不注意5、B【解題分析】

由兩人考試相互獨立和達到優(yōu)秀的概率可得?！绢}目詳解】所求概率為.故選B.【題目點撥】本題考查相互獨立事件概率計算公式，屬于基礎題。6、C【解題分析】

找到要證命題的否定即得解.【題目詳解】“已知x，y，z是互不相同的正數(shù)，求證：三個數(shù)x+1z，y+1x，而它的反面為：三個數(shù)x+1z，y+1x，故選：C．【題目點撥】本題主要考查用反證法證明數(shù)學命題，命題的否定，屬于基礎題．7、A【解題分析】

先由題意得到方程的兩復數(shù)根為，(為虛數(shù)單位)，求出，，根據(jù)選項，即可得出結果.【題目詳解】因為方程的根在復平面內對應的點是，可設根為：，(為虛數(shù)單位)，所以方程必有另一根，又，，根據(jù)選項可得，該方程為.故選A【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的方程，熟記復數(shù)的運算法則即可，屬于?？碱}型.8、A【解題分析】

假設分數(shù)為時，可知，可知分數(shù)不可能為，得到結果.【題目詳解】當為該班某學生的成績時，則，則與方差為矛盾不可能是該班成績故選：【題目點撥】本題考查平均數(shù)、方差的相關運算，屬于基礎題.9、B【解題分析】

設，，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得，，再由余弦定理，可得，與的關系，結合離心率公式，可得，的關系，計算可得所求值．【題目詳解】設，，為第一象限的交點，由橢圓和雙曲線的定義可得，，解得，，在三角形中，，可得，即有，可得，即為，由，可得，故選．【題目點撥】本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質，主要是離心率，考查解三角形的余弦定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．10、D【解題分析】

利用頻率和概率的定義分析判斷得解.【題目詳解】（1）在大量隨機試驗中，事件出現(xiàn)的頻率與其他概率很接近，所以該命題是真命題；（2）概率可以作為當實驗次數(shù)無限增大時頻率的極限，所以該命題是真命題；（3）計算頻率通常是為了估計概率，所以該命題是真命題.故選D【題目點撥】本題主要考查頻率和概率的關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.11、D【解題分析】

①總體由差異明顯的幾部分構成時，應選用分層抽樣；②總體個體數(shù)有限、逐個抽取、不放回、每個個體被抽到的可能性均等，應選用簡單隨機抽樣；∴選D12、A【解題分析】

首先確定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四種可能，它們組成的非空子集的個數(shù)為即為所求.【題目詳解】根據(jù)伙伴關系集合的概念可知：－1和1本身也具備這種運算，這樣所求集合即由－1,1,3和，2和這“四大”元素所組成的集合的非空子集．所以滿足條件的集合的個數(shù)為24－1＝15.故選A.【題目點撥】本小題主要考查新定義概念的理解，考查集合子集的個數(shù)以及非空子集的個數(shù)，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、720【解題分析】

根據(jù)題意，只需分別計算出即可.【題目詳解】故答案為：720【題目點撥】本題考查排列與組合的應用以及組合數(shù)的計算，考查學生的邏輯思想，是一道中檔題.14、【解題分析】

先根據(jù)題意，設第行中從第項開始，連續(xù)的三個連續(xù)的數(shù)之比是2∶3∶4，得到，求解，即可得出結果.【題目詳解】根據(jù)題意，可得第行的數(shù)分別為：，設第行中從第項開始，連續(xù)的三個連續(xù)的數(shù)之比是2∶3∶4，則有，即，即，解得:.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查楊輝三角形的應用，以及組合數(shù)的性質及運算，熟記組合數(shù)的運算公式即可，屬于?？碱}型.15、45°【解題分析】

先確定直線PA與平面ABCD所成的角，然后作兩異面直線PA和BE所成的角，最后求解．【題目詳解】∵四棱錐P－ABCD是正四棱錐，∴就是直線PA與平面ABCD所成的角，即＝60°，∴是等邊三角形，AC＝PA＝2，設BD與AC交于點O，連接OE，則OE是的中位線，即，且，∴是異面直線PA與BE所成的角，正四棱錐P－ABCD中易證平面PAC，∴，中，，∴是等腰直角三角形，∴＝45°．∴異面直線PA與BE所成的角是45°．故答案為45°．【題目點撥】本題考查異面直線所成的角，考查直線與平面所成的角，考查正四棱錐的性質．要注意在求空間角時，必須作出其“平面角”并證明，然后再計算．16、72【解題分析】

先排奇數(shù)（或偶數(shù)），然后從排好的三個數(shù)形成的四個空中選擇相鄰的三個再排剩下的偶數(shù)（或奇數(shù)），由此可得結果．【題目詳解】先排三個奇數(shù)，共有種結果，然后再從形成的四個空中選擇前三個或后三個空排入三個偶數(shù)，共有種結果．由分步乘法計數(shù)原理可得這樣的六位數(shù)共有個．故答案為：．【題目點撥】對于排列問題，一般情況下要從受到限制的特殊元素開始考慮，有時也從特殊的位置開始討論．對于相鄰問題常用“捆綁法”；對于不相鄰問題常用“插空法”；對于“在與不在”的問題，常使用“直接法”或“排除法”．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解題分析】

（1）用數(shù)學歸納法證明結論即可；（2）因為（N*），則，然后用反證法證明當時有矛盾，所以原不等式成立即可.【題目詳解】（1）當時，．下面用數(shù)學歸納法證明：①當時，，結論成立；②假設當時，有成立，則當時，因，所以時結論也成立．綜合①②可知（N*）成立．（2）因為（N*），則，若，則當時，，與矛盾．所以．【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推公式、數(shù)學歸納法證明、反證法等知識，屬于中檔題.18、（1）；（2）（?。唬áⅲ┎粦?【解題分析】

（1）根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算出事故機器不超過臺的概率即可；（2）（i）求出的可能取值及其對應的概率，得出的分布列和數(shù)學期望；（ⅱ）求出有名維修工人時的工廠利潤，得出結論．【題目詳解】解：（1）因為該工廠只有名維修工人，故要使工廠正常運行，最多只有臺大型機器出現(xiàn)故障．∴該工廠正常運行的概率為：．（2）（i）的可能取值有，，，．∴的分布列為：X3144P∴．（ⅱ）若工廠再招聘一名維修工人，則工廠一定能正常運行，工廠所獲利潤為萬元，因為，∴該廠不應該再招聘名維修工人．【題目點撥】本題考查了相互獨立事件的概率計算，離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望計算，屬于中檔題．19、(1).(2).【解題分析】分析：（1）當時，，根據(jù)絕對值不等式的幾何意義即可求出函數(shù)的值域；（2）當時，不等式即，對分三種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結果.詳解：（1）當時，∵∴，函數(shù)的值域為（2）當時，不等式即①當時，得，解得，∴②當時，得。解得，∴③當時，得，解得，所以無解綜上所述，原不等式的解集為點睛：絕對值不等式的常見解法：①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．20、(1)(2)【解題分析】分析：（1）利用極坐標與直角坐標互化公式可得曲線的直角坐標方程為.（2）直線方程為，設圓上點的坐標為，結合點到直線距離公式和三角函數(shù)的性質可知滿足題意時點坐標為.詳解：（1）因為，，，所以曲線的直角坐標方程為.（2）直線方程為，圓的標準方程為，所以設圓上點坐標為，則，所以當，即時距離最大，此時點坐標為.點睛：本題主要考查極坐標方程與直角坐標方程的轉化，直線與圓的位置關系，三角函數(shù)的性質及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.21、（1）；（2）.【解題分析】

(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)解法一：由題意首先確定直線的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，確定點B的坐標，聯(lián)立直線BF2與橢圓的方程即可確定點E的坐標；解法二：由題意利用幾何關系確定點E的縱坐標，然后代入橢圓方程可得點E的坐標.【題目詳解】（1）設橢圓C的焦距為2c.因為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，橢圓C的標準方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二