畫法幾何與機械制圖（第二版）課件：點、直線、平面的投影

點、直線、平面的投影2.1

投影法基礎(chǔ)2.2點的投影

2.3直線的投影2.5直線與平面、平面與平面之間的相對位置2.4

平面的投影

退出

投射線BACbca同理，可作出點B、C在平面P上的投影b、c，連接△abc，△abc則為△ABC在投影面P上的投影。S為不在P面上的一個點，稱為投射中心P投影面平面P稱為投影面空間△ABC上任一點A與投影中心S的連線SA稱為投射線；交點a稱為空間點A在投影面P上的投影。

這種使空間形體在平面上產(chǎn)生投影的方法稱為投影法。投射中心S工程中常用的投影法為中心投影法和平行投影法投影的基本概念：2.1投影法基礎(chǔ)

投射線(投射方向)BACbcaP投射中心S

投射線從投射中心出發(fā)（即投射線相交于一點）的投影法，稱為中心投影法。

中心投影法主要用于繪制富有真實感的立體圖即透視圖，在建筑制圖中用這種方法繪制透視圖。2.1.1中心投影法2.1.2平行投影法

若將投影中心S按指定的方向移到無窮遠處，則所有的投射線可看作互相平行的，這種投射線互相平行的投影法稱為平行投影法。(b)正投影法：投射線垂直于投影面，稱為正投影法(a)斜投影法投射線投射方向PbACBacP投射線投射方向ABCbac(a)斜投影法：投射線傾斜于投影面，稱為斜投影法平行投影法工程圖樣主要是用正投影，簡稱投影。(b)正投影法用斜投影法得到的投影－斜投影（畫斜軸測圖）用正投影法得到的投影－正投影P2.2點的投影由此可得到一個結(jié)論：

過A作投影面P的垂線，得到垂足a即為點A在投影面P上的正投影。

過點A只能作一條P平面的垂線，所以A點在投影面P上的投影a是唯一的。一般情況下，點的一個投影不能確定空間點的位置。CABa（b、c）

但a卻不能唯一確定空間點A的位置。因為過A所作的P平面的垂線上所有各點的投影都重合在a上。2.2.1投影面體系

圖a是由兩個互相垂直的投影面構(gòu)成的兩投影面體系，可以反映空間點的三個坐標(biāo)，即可用兩投影面體系來確定空間立體的位置。V正立投影面（簡稱正面）H水平投影面（簡稱水平面）V、H交線OX軸（a）四個分角（b）第一分角

兩投影面體系圖b是第一分角

雖然在兩投影面體系中已經(jīng)能夠確定空間點的位置，但是對于立體來說，為了更清晰地表達其形狀結(jié)構(gòu)，也常將立體放置在三個互相垂直的投影面體系中，畫出立體的三面投影。ⅤⅣⅢⅠⅧⅡⅥ（Ⅶ）八個分角的劃分

三個相互垂直的投影面，將空間劃分成八個分角，我國采用的是第一分角投影，有些國家采用的第三角投影。

三投影面體系

第一分角的三個投影面，也可以看作在原有兩投影面的基礎(chǔ)上，再增加一個與它們垂直的投影面構(gòu)成的，稱為三投影面體系。WHVV正立投影面（簡稱正面）H水平投影面（簡稱水平面）W側(cè)立投影面（簡稱側(cè)面）OYZXV、H、W的交點原點OV、H交線OX軸V、W交線OZ軸H、W交線OY軸AxAzAaaya"a'yAazax2.2.3點在三投影面體系中的投影a’A點的正面投影（V面投影）aA點的水平投影（H面投影）a”A點的側(cè)面投影（W面投影）xAA點的x坐標(biāo)yAA點到y(tǒng)坐標(biāo)zAA點的z坐標(biāo)HWVOYZX（立體圖）實際作圖時，將三個投影面展開在一個面上。1.點的投影與坐標(biāo)的關(guān)系如下：A點到W面的距離Aa”A點到V面的距離Aa'A點到H面的距離Aa=xA

（點的X坐標(biāo)）=yA

（點的Y坐標(biāo)）=zA

（點的Z坐標(biāo)）(x,y,z)（注2.2.2節(jié)“點在兩投影面體系中的投影”穿插在本節(jié)中）aXzaaYWaYHa"a'ayAyAxAzAV面保持不動，沿OY軸將H面和W面分開，H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，W面繞OZ軸向后旋轉(zhuǎn)90°，攤平為同一平面。投影面展開推論：過a的水平線與過a”的垂線必相交于過O點的45°的斜線上。YHXHYZVWOW1）a'a⊥OX（同反映X坐標(biāo)）；2）a'a"⊥OZ（同反映Z坐標(biāo)）；3）aaX=OaYH=OaYW=a"aZ（同反映Y坐標(biāo)）點的投影規(guī)律：45°投影與投影面大小無關(guān)，畫投影圖時可不畫圖框2.點的投影規(guī)律A(x,y,z)xAHzAaayWa"a'VyAazaxOZXYYWXYHZa’a”a45°OA(10,12,13)[例1]

如圖所示，已知點A的兩面投影a'和a"，求a。XOZYHYWa'a"aa'a"a[例2]

已知點A距離H、V、W分別為13、12、10，作出其三面投影a、a'、a"。YWXZYHO2.2.4投影面和投影軸上的點(a)

立體圖c’Ccc”VHWZXYBb’bb”Dd’dOd”(b)

投影圖c’c”O(jiān)Xcbb’b”d’dd”YwYHZ2.2.5兩點的相對位置YHYWXZOa'a”ab’b”bZXHWVYOb’bBb”a'aAa”為了比較兩點的相對位置，我們作如下約定：OX左右方向OY前后方向OZ上下方向坐標(biāo)差：左右方向：xA

xB上下方向：zA

zB前后方向：yA

yB

若已知兩點的相對位置及其中一點的投影即可作出另一點的投影。B在A之右、之后、之下或者A在B之左、之前、之上1085b’b”b[例3]

已知點A的三面投影a、a’、a”，B點在A之左10、之上8、之前5；畫出B點的三面投影。a'a”aXYWYHZOXVZHYWo2.2.6重影點aa’Aa”A、C兩點處于正前正后的位置，正面投影重合為一點對正面的重影點

（X、Y方向的距離差為零，即XA－Xc＝0；YA－Yc＝0）兩點處于正上正下的位置，水平投影重合為一點對水平面的重影點

（Y、Z方向的距離差為零，即YA－Yc＝0；ZA－Zc＝0）兩點處于正左正右的位置，側(cè)面投影重合為一點對側(cè)面的重影點

當(dāng)兩個點對某一投影面的投影重合時，稱這兩個點為對這一投影面的重影點。（X、Z方向的距離差為零，即XA－Xc＝0；ZA－Zc＝0）Ccc”(c)’兩點在同一投影面上的投影重合，就產(chǎn)生了投影的可見性的問題。根據(jù)正投影的特性可知：即對正面的重影點前遮后對水平面的重影點上遮下對側(cè)面的重影點左遮右a’(c’)acc”a”oYHZXYW

在投影重合的正面，被遮住的點的正面投影c’寫在a’之后，并加上括號，寫成a’(c’)；不強調(diào)可見性時，也可不加括號寫成a’c’。對正面的重影點應(yīng)是前面的點遮后面的點：前后前后XVZHYWoaa’Aa”Ccc”(c)’c”(

)

5

10cc’b’b”[例4]

已知點A與點B為對H面的重影點，B距A為5,

求b’、b”；已知點C與點A為對W面的重影點，C

在A之左10，求C的三面投影c、c’、c”。Xb(a)oYHZYWa’a”2.3直線的投影當(dāng)直線∥投影面時投影反映實長（真實性）當(dāng)直線⊥投影面時投影為一點（積聚性）當(dāng)直線∠投影面時投影為縮短的直線（類似性）1．直線對單一投影面的投影特性2.3.1直線的分類及投影特性

直線對三個投影面H、V、W的傾角（夾角）分別用α、β、γ來表示（1）投影面垂直線

在三投影面體系中，直線按照對投影面的相對位置分為以下三種:（2）投影面平行線（3）一般位置直線下面分別介紹它們的定義和投影特性2．直線在三投影面體系中的分類及投影特性1）投影面垂直線側(cè)垂線（W

面垂直線）：⊥W，∥H，∥V。正垂線（V面垂直線）：⊥V，∥H，∥W。鉛垂線（H

面垂直線）：⊥H，∥V，∥W。當(dāng)直線∥投影面時，傾角為0°，當(dāng)直線⊥投影面時，傾角為90°。正垂線⊥V面（∥H和W面）鉛垂線⊥H面（∥V和W）側(cè)垂線⊥W面（∥H和V面）a’(b’)b”a”baABVHYWXoZYZVHWXoa’b’a”b”ABa(b)a’b’aba”(b”)ABVHYWXoZ直線按照對投影面的相對位置可分為以下三種:投影面垂直線的投影特性1、在直線所垂直的投影面上，其投影積聚為一點；2、其余兩面投影平行于相應(yīng)的軸線，反映直線的實長。正垂線⊥V面（∥H和W面）鉛垂線⊥H面（∥V和W）側(cè)垂線⊥W面（∥H和V面）投影特性空間情況名稱投影圖2）投影面平行線正平線（V面平行線）：水平線（H面平行線）：側(cè)平線（W面平行線）：∥V面，∠H面，∠W面。真實反映

、

?！蜨面，∠V面，∠W面。真實反映

、

?！蜽面，∠H面，∠V面。真實反映

、

。正平線∥V面

∠H和W水平線∥H面

∠V和W側(cè)平線∥W面

∠H和Vb”a”ABa'b’baa'b’b”a”ABaba'b’a”b”ab

AB

VZHYWXoVZHYWXoVHWoXZ直線按照對投影面的相對位置可分為以下三種:1）投影面垂直線投影特性1、在直線所平行的投影面上，其投影反映實長；2、其余兩面投影為縮短的直線，且平行于相應(yīng)的軸線。水平線∥H面（∠V和W面）

投影面平行線的投影特性γ空間情況γα名稱正平線∥V面（∠H和W）ααβαγββ側(cè)平線∥W面（∠H和V面）γβ投影圖[例1]

已知A點的三面投影，作正平線AB，B點在A

點之左、之上,α＝30°，AB實長為25。30°b’b”bXoYHZYWa”a’a253）一般位置直線：∠H、V、W面(b)投影圖(a)空間情況

一般位置直線的投影投影特性：三面投影均傾斜于投影軸，且為縮短的直線(類似性)，不反映直線對投影面傾角的真實大小。b’a’abb”a”ABVHYWXoZb’a’b”a”abXoYHZYWαβγ2）投影面平行線直線按照對投影面的相對位置可分為以下三種:1）投影面垂直線

根據(jù)直線的投影，建立投影、實長和傾角之間的幾何關(guān)系也可以求出一般位置直線的實長和對投影面的真實傾角，下面討論用直角三角形法求一般位置直線的實長及對投影面的傾角。

直角三角形法原理圖b0αZB－ZA實長水平投影長αΔZW面投影長γΔX實長正面投影長βΔY實長

直角三角形法中四個要素關(guān)系示意圖ΔZa’HXVb’abAB在投影長、坐標(biāo)差、傾角、實長四要素中，只要知道其中的兩個，便可用直角三角形法求出另外兩個。2.3.2直角三角形法實長Ab0=ab返回實長ΔZ實長水平投影長αΔZαΔZ[例2]

求直線AB的實長及對H面的傾角

。

用直角三角形法求線段實長及對投影面傾角b’a’abXoαab實長解法一在水平投影上以ab為底邊作直角三角形。解法二在正面投影上以ΔZ為直角邊作直角三角形。β實長ΔY正面投影長βΔY實長[例3]

求直線AB的實長及對V面的傾角β。解法一在正面投影上以a’b’為底邊作直角三角形。解法二在水平投影上以ΔY為直角邊作直角三角形。實長ΔYβb’a’abXo

用直角三角形法求線段實長及對投影面傾角a’b’b’a’b”a”abABb’a’b”a”ab2.3.3直線上點的投影（1）如果點在直線上，則點的投影在直線的同面投影上。k”k’Kkk”k’koXYWZYHoXYZVH空間情況投影圖（2）不垂直于投影面的直線上的點，分割直線之比投影前后保持不變（定比定理）。""""bkkakbak''''bkkaKBAK===即：[例4]

如圖所示，已知直線AB的兩面投影，試在直線上求出一點C，使AC:CB=2:3。AC=2CB=3b’baa’Xoc’cCAB2312345作圖步驟：（a）由a（或b）任作一直線aB0；（b）在aB0

上以適當(dāng)長度取5等分，得等分點1、2、3、4、5；（c）連b5，自2作直線平行于5b，此直線與ab的交點即c點；（d）由c求得c'，c及c'即為所求。B0分析：b’a’ab[例5]

如圖所示，試判斷點K是否在直線AB上。解法一：用定比定理解法二：利用第三投影k”bA0=b’a’K0kk’A0b”a”bK0=b’k’XoYHZYWoXa’b’abk’k結(jié)論：K點不在AB上2.3.4兩直線的相對位置空間兩直線的的相對位置有三種情況：平行相交交叉:既不平行，也不相交(b)投影圖a’b’abcdc’d’Xo當(dāng)空間兩直線平行時，它們的同面投影分別平行。1．平行兩直線AB∥CD，則ab∥cd、a'b'∥c'd'、a"b"∥c"d"。

平行兩直線的投影特點(a)立體圖VHXoabcdABCDb’a’c’d’c’d’abcdOXb’

[例6]

已知AB、CD為相交兩直線，求AB的正面投影。分析：（4）過a作OX軸的垂線與b’k’的延長線相交得到a'，連接a'b'即為所求。

根據(jù)相交兩直線的投影特點，可求出交點K的正面投影k’，a’必在b’k’的延長線上，據(jù)此求出a'，得到a'b'。作圖步驟：（1）ab、cd的交點即為K點的水平投影k；（2）過k作OX軸的垂線，在c'd'上求出k'；（3）連接b'k'并延長；a’k’k

若空間兩直線相交，同面投影均相交，且交點的投影一定符合點的投影規(guī)律。2．相交二直線

相交兩直線相交的投影特點（a）立體圖（b）投影圖a’b’abc’d’ZYHYWXod”c”b”a”k”bdcaHABCDKkcdk’kⅢ、Ⅳ兩點——對正面的重影點baABⅠ、Ⅱ兩點——對水平面的重影點3．交叉兩直線空間既不平行也不相交的兩直線，稱為交叉兩直線。

交叉兩直線在空中不存在交點，但在同面投影圖上可能出現(xiàn)相交的情況，此時投影圖上的“交點”是兩直線上點的同面投影重合產(chǎn)生的，即重影點的投影。dcCDⅠⅡH1(2)c’d’cdc”d”a’b’aba”b”1”1’2’2”ZXYHYWO(4’)3’5”（6”）1(2)Ⅴ、Ⅵ兩點——對側(cè)面的重影點交叉兩直線的三面投影都相交，但各同面投影交點的關(guān)系不符合點的投影規(guī)律，均為重影點的投影。此例中有三對重影點。

有時，交叉兩直線會出現(xiàn)兩組同面投影平行，另一組相交，有一對重影點的情況。還會出現(xiàn)兩組同面投影相交、另一組平行，有兩對重影點的情況。YWXoYHZb’a’b”aba”c’d’d”c”cdXYHZYWob”b’a’aba”c’d’d”c”cd一對重影點兩對重影點c’d’b’a’abdcd”c”b”a”45’XoYHZYW[例7]

判斷圖中的交叉二直線有幾對重影點，并作出這幾對重影點的三面投影。1’2’2”(4’)3’1(2)1”33”4”6’56(6”)5”Ⅲ、Ⅳ兩點——對正面的重影點Ⅰ、Ⅱ兩點——對水平面的重影點Ⅴ、Ⅵ兩點——對側(cè)面的重影點[例8]

作直線AB與CD相交，交點B距離V面為20mm。2020b’DOBOc’DO＝cdc’BO＝cb（a）因CD為正垂線，b’的正面投影與c’d’重合；距OX軸為20

的直線與cd的交點為b點。（a）dca’ac’（d’）oXaa’c’d’cdoX（b）（b）距OX軸20mm的直線與cd的交點是b，b’可由定比分點求得。分析：bb’bXocc’de’d’eff’h’g’h(g)[例9]AB與CD平行，且分別與直線EF、GH相交于A、B，求出直線AB的兩面投影。分析：（3）由a求出a’，過a’作直線∥c’d’，直線與h’g’的交點即為b’。ab’a’b（1）AB與GH相交，交點B既在AB上也在GH上，而GH為鉛垂線，所以B點的水平投影b重合在h(g)上；（2）又因AB∥CD，據(jù)平行二直線的投影特性，可過b作直線∥cd，得到a；

直角投影定理投影圖

當(dāng)兩直線相交成直角時，如果兩直線中有一條直線平行于某一投影面，則兩直線在該投影面上投影的夾角仍為直角，這種投影特點，通常稱為直角投影定理?，F(xiàn)以垂直相交直線之一為H面平行線加以證明。Xca’b’abc’

已知：AB⊥BC，AB∥H，證明：ab⊥bc?！郃B⊥BbcC平面，則ab⊥bc。證明：∵AB⊥BC、又AB⊥Bb，立體圖AacBbHC2.3.5直角投影定理(兩直線相交成直角的投影)[例10]過C作AB的垂線CD，D為垂足，并求垂線的實長。Dod’ΔZ實長Xa’b’bac’cdDo=ΔZ分析：AB為水平線，CD⊥AB時，CD的水平投影cd應(yīng)垂直于AB的水平投影ab（直角投影定理），這是解決問題的關(guān)鍵。作圖步驟：（1）過c作ab的垂線得到垂足

D的水平投影d，cd為垂線CD的水平投影；（2）由d求得d’，連接c’d’

得到垂線CD的正面投影；（3）以dc為底邊，用直角三角形法求得垂線CD的實長。d2.4.1平面的表示法通常可以用確定平面的幾何元素的投影來表示平面用幾何元素表示平面不在同一直線上的三點Xob’a’bcc’aX相交兩直線c’cb’aa’boc’平行兩直線d’da”b’acbXo任意平面圖形bb’c’aa’cXo

直線與直線外一點a’ab’bcc’Xo2.4平面的投影返回當(dāng)平面∥投影面時投影反映實形（真實性）當(dāng)平面⊥投影面時投影為一直線（積聚性）當(dāng)平面∠投影面時投影為縮小的類似形（類似性）對單一投影面而言2.4.2平面的分類和投影特性平面的投影是由平面對投影面的相對位置所決定的1．平面對單一投影面的投影特性平面對三個投影面H、V、W的傾角分別用α、β、γ來表示（1）投影面平行面平面按照對投影面的相對位置可分為以下三種:（2）投影面垂直面（3）一般位置直平面下面分別介紹它們的定義和投影特性2．平面在三投影面體系中的分類及投影特性1）投影面平行面正平面（V面平行面）：平面按照對投影面的相對位置可分為以下三種:水平面（H面平行面）：側(cè)平面（W面平行面）：∥V面，⊥H面，⊥W面?！蜨面，⊥V面，⊥W面?！蜽面，⊥H面，⊥V面。水平面∥H面⊥V面、W面?zhèn)绕矫妗蜽⊥H面、V面正平面∥V面⊥H面、W面p’pp”VHWXYZop’p”pPPVHWXYZoVHWXYZop”p’Pp投影特性1、在平面所平行的投影面上，其投影反映實形；2、其余兩面投影積聚為直線，且平行于相應(yīng)的軸線。水平面∥H面（⊥V和W面）

投影面平行面的投影特性空間情況名稱正平面∥V面（⊥H和W）側(cè)平面∥W面（⊥H和V面）投影圖2）投影面垂直面?zhèn)却姑妫╓面垂直面）：⊥W面（∠H、V，反映α、β）正垂面（V面垂直面）：⊥V面（∠H、W，反映α、γ）鉛垂面（H面垂直面）：⊥H面（∠V、W，反映β、γ）當(dāng)平面∥投影面時，傾角為0°當(dāng)平面⊥投影面時，傾角為90°。正垂面⊥V面

∠H和W面反映αγYZVHWXoVHYWXoZYZVHWXop’pp”Pαγp’pPβp”γp’p”pPβα側(cè)垂面⊥W面

∠H和V面反映αβ鉛垂面⊥H面

∠V和W面反映βγα、β、γ——分別表示平面對投影面H、V、W的傾角。1）投影面平行面平面按照對投影面的相對位置可分為以下三種:投影面垂直面的投影特點1、在平面所垂直的投影面上，該平面的投影積聚為一直線；2、其余兩面投影為縮小的類似形。正垂面鉛垂面?zhèn)却姑嫱队疤匦钥臻g情況名稱投影圖αγβγβααγαββγ3）一般位置平面：∠H、V、W面投影特性：三面投影均為小于實形的類似形。ABCb’a’c’abcVHYWXoZb”a”c”a’b’c’abcb”c”a”(b)投影圖(a)空間情況

一般位置平面的投影XYHYWZo1）投影面平行面2）投影面垂直面平面按照對投影面的相對位置可分為以下三種:2.4.3平面上的點和直線（1）點在平面上，必在平面的一條直線上。（2）直線在平面上，則該直線必定通過平面上的兩個點；或通過一個點且平行于平面內(nèi)一直線。根據(jù)平面幾何知識可知，點和直線在平面上的幾何條件是：[例1]

判斷點D是否在ΔABC上。[例2]

作出三角形上的直線EF的正面投影。c’cb’a’ab1’1d’doXoX1’12’2a’b’abcc’e’f’feD點不在ΔABC上

由已知條件可知，求出C的水平投影后連線即可。因C是四邊形ABCD上的一點，因此可將四邊形所表示的平面，轉(zhuǎn)換為用兩條相交直線AC、BD所表示的平面，而C點必在A與兩直線的交點的連線上，從而求得C點的水平投影。分析：（4）連接dc、cb得到四邊形的水平投影。作圖步驟：（1）連接a'c'、b'd'得交點k'；（2）連接bd，由k'在bd上求得其水平投影k；（3）連接ak并延長，由c’在ak的延長線上求得其水平投影c；ck’k[例3]已知平面四邊形ABCD的正面投影和AB、AD邊的水平投影，試完成該四邊形的水平投影。d’c’b’a’dabXOVHWXYZo(a)立體圖PV平面主要用幾何元素表示，也可以用跡線表示。2.4.4平面的跡線表示法跡線——平面與投影面的交線平面P與H面交線水平跡線,用PH表示平面P與W面交線側(cè)面跡線,用PW表示平面P與V面交線正面跡線,用PV表示(b)投影圖XYHYWZoPVPHPWPPHPW基本概念1.一般位置平面的跡線表示法VHWXYZo(a)立體圖2.投影面平行面的跡線表示法(b)投影圖ZYWXYHo（水平面）SSVSWb’Bbb”SVSWb’bb”可用平面有積聚性的跡線表示投影面平行面bb’oXQvB點在水平面Q上，B的正面投影必在QV上，因此過b’作平行于X軸的直線Qv即為所求水平面。bBQvVHXoQb’[例4]過B點作水平面Q。3.投影面垂直面的跡線表示法(b)投影圖ZYWXYHoPVPHPWaa”a’γα(a)立體圖VHWXYZoPVPHPWAa’a”aP（正垂面）因為包含一條直線只能做一個平面與另一個平面垂直，所以平面有積聚性的跡線即可確定平面的空間位置，所以可以用有積聚性的跡線來表示投影面垂直面。PVXoa’aγαZYWXYHo(a)用跡線表示的正垂面PVPHPWaa”a’γα（b）用有積聚性的正面跡線表示正垂面MHa’aoXA點在鉛垂面M上，A的水平投影a必在MH上，過a的所有傾斜于X軸的直線均符合題意，所以可以作無數(shù)個。MMHHXoVAaa’Mv〔例5〕過A點作鉛垂面M，可以作幾個？在V面上所有傾斜于X軸的直線均可表示正垂面在H面上所有傾斜于X軸的直線均可表示鉛垂面

（b）過點B作正垂面Q用跡線表示特殊位置平面(a)過點A作正平面P

（c）過直線EF作鉛垂面SPHaa’XoSHQvbb’Xoe’ef’fXo[例6]（a）過點A作正平面P；（b）過點B作正垂面Q；（c）過直線EF作鉛垂面S,均用跡線表示。（1）如圖（a）所示，過a作PH∥OX軸，PH為所求正平面。（2）如圖（b）所示，過b’作QV傾斜于OX軸（有無窮解，只求一解），QV為所求正垂面。（3）如圖（c）所示，過ef作SH，SH為所求鉛垂面。作圖：水平圓的投影XYHYWZoc’c’c”同理，可自行總結(jié)出其它投影面平行圓的投影特點。

平行于一個投影面，垂直于其他兩個投影面的圓稱為投影面平行圓。它的分類方式與投影面平行面類似。2.4.5圓的投影投影面平行圓（1）水平圓（H面平行圓）：∥H面，⊥V面，⊥W面。（2）正平圓（V面平行圓）：∥V面，⊥H面，⊥W面。（3）側(cè)平圓（W面平行圓）：∥W面，⊥H面，⊥V面。

水平圓∥H面，⊥V面，⊥W面，因此，在H面的投影反映圓的實形，而在V面和W面的投影，積聚成一條直線（長度為圓的直徑）。1．投影面平行圓正垂圓(⊥V、∠H、W):

垂直于一個投影面，傾斜于其它兩個投影面的圓稱為投影面垂直圓。投影面垂直圓（1）正垂圓（V面垂直圓）：⊥V面，∠H面，∠W面。（2）鉛垂圓（H面垂直圓）：⊥H面，∠V面，∠W面。（3）側(cè)垂圓（W面垂直圓）：⊥W面，∠H面，∠V面。Xocc’α

求出橢圓的長、短軸后可由“四心圓弧法”畫橢圓。e’Af’feBEFCVHabcc’αX

同理，可自行總結(jié)出其它投影面垂直圓的投影特點。V面投影積聚為一條直線（長度為圓的直徑）；H、W面的投影均為橢圓，橢圓的長軸等于圓的直徑，短軸由作圖得到。abefe’f’2．投影面垂直圓2.5.1平行關(guān)系1.直線與投影面垂直面平行結(jié)論：⑴當(dāng)直線與垂直于投影面的平面平行時，在平面所垂直的投影面上，直線的投影應(yīng)與平面有積聚性的投影平行。如直線AB與四邊形CDEF。⑵同垂直于某一投影面的直線和平面必定平行。如直線MN與四邊形CDEF。m’n’mna’b’abc’f’d’e’cdfe投影圖XoMNABCDFEcdfemnabH立體圖

直線與鉛垂面相平行2.5直線與平面、平面與平面的相對位置②平面與平面相交，平面與平面平行直線與平面、平面與平面之間的相對位置，各有兩種情況：①直線與平面相交，直線與平面平行[例1]在ΔEFG中取一條直線GK，使GK∥ΔABC。f’e’ca’Xoc’b’abg’gfek’k分析：ΔABC為正垂面，與正垂面平行的直線GK的正面投影g’k’∥ΔABC的正面投影；再據(jù)GK是ΔEFG上的一條線，求出它的水平投影gk。作圖步驟：⑴過g’作直線g’k’∥ΔABC；⑵求出k，連接gk即可。結(jié)論：

當(dāng)垂直于同一投影面的兩平面平行時，它們有積聚性的同面投影一定平行。a’b’d’c’投影圖Xoabdce’h’f’g’efhgABDCEFHGabdcefhgH兩鉛垂面相平行立體圖僅討論垂直于同一投影面的平面相平行的問題。2.平面與平面平行[例2]已知ΔABC∥ΔGEF，補全ΔABC的正面投影。分析：

因為ΔGEF為正垂面，所以與正垂面平行的也應(yīng)是正垂面，當(dāng)兩個正垂面平行時，它們有積聚性的正面投影應(yīng)相互平行，據(jù)此可作出ΔABC的正面投影。作圖步驟：⑴過b’作直線平行于g’e’f’

；c’a’gXb’cabg’e’f’efo⑵由ΔABC的水平投影確定a’、c’1．直線與平面相交僅討論參與相交的直線或平面之一垂直于投影面的特殊情況。

直線與平面相交產(chǎn)生交點，此交點是直線與平面的共有點，在作圖時要作出交點的投影，并根據(jù)遮擋情況，判斷直線在各投影中的可見性。ABabCFcdfeEDKkH空間情況返回2.5.2相交關(guān)系[例1]

已知直線AB與鉛垂面CDEF相交，試求交點K，并表明可見性。

前后ka’b’abXoc’f’cdfed’e’投影圖分析：ABabCFcdfeEDKkH空間情況

由于CDEF為鉛垂面，它的H面投影積聚為一直線cdef，而交點K是AB與平面CDEF的共有點，所以ab與cdef的交點即為K的水平投影k，由k可在a'b'上求得k'。AB的正面投影中有可見性的判斷問題。K點是可見與不可見的分界點。根據(jù)正面投影“前遮后”，可直接判斷k’右邊的直線可見，k’以左直線不可見，可見用粗實線畫出；不可見部分用虛線畫出。k’

直線與投影面垂直面相交2k投影面垂直線與一般位置平面相交acbc’a’b’0Xｅ’f’e(f)[例3]

求直線EF與ΔABC的交點K，并判斷可見性。分析：ΔABC為一般位置平面，直線EF是鉛垂線，它們相交時，交點的水平投影重合在直線有積聚性的點上，即交點的水平投影已知，然后根據(jù)點在平面上，將交點的正面投影求得。可見性由重影點來判斷。作圖步驟：⑴定出k，過c與k相連并延長于n點；⑵求出c’n’于e’f’的交點為k’；⑶判斷可見性：任找一對重影點Ⅰ、

Ⅱ，正面投影為1’(2’)；求出水平投影1、2，可知直線上的Ⅱ點位于平面之后，因此，k’以上直線不可見。n’nk’1’(2’)12.平面與平面相交僅討論兩平面中至少有一個垂直于投影面的特殊情況

平面與平面相交產(chǎn)生的交線為直線，交線是平面與平面的共有線。在作圖時要作出交線的投影，并根據(jù)遮擋情況，判斷平面在投影中的可見性。BGACcDabnFE

平面與投影面垂直面相交HdegfmMNOXd’e’g’degff’a’b’c’bacn’[例4]求ΔABC與四邊形D