2014年北京高考理科數(shù)學(xué)試題及答案

絕密★啟封并使用完畢前2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）本試卷共5頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘，考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。(1)已知集合，，若(A)(B)(C)(D)(2)下列函數(shù)中，在區(qū)間上為增函數(shù)的是(A)(B)(C)(D)否開(kāi)始輸出S結(jié)束是輸入m,n的值(3否開(kāi)始輸出S結(jié)束是輸入m,n的值(A)在直線上(B)在直線上(C)在直線上(D)在直線上(4)當(dāng),時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為(A)7(B)42(C)210(D)840(5)設(shè)是公比為q的等比數(shù)列，則“”是“”為遞增數(shù)列的(A)充分且不必要條件(B)必要且不充分條件(C)充分且必要條件(D)既非充分也非必要條件(6)若滿足且的最小值為，則的值是(A)(B)(C)(D)(7)在空間坐標(biāo)系中，已知，，，，若，，分別表示三棱錐在，，則坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則(A)==(B)=且(C)=且(D)=且(8)有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)兩學(xué)科，成績(jī)?cè)u(píng)定為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”三種．若A同學(xué)每科成績(jī)不低于B同學(xué)，且至少有一顆成績(jī)比B高，則稱(chēng)“A同學(xué)比B同學(xué)成績(jī)好，”現(xiàn)在若干同學(xué)，他們之中沒(méi)有一個(gè)人比另一個(gè)人成績(jī)好，且沒(méi)有任意兩個(gè)人語(yǔ)文成績(jī)一樣，數(shù)學(xué)成績(jī)也一樣的。問(wèn)滿足條件的多少學(xué)生(A)1(B)3(C)4(D)5第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。(9)復(fù)數(shù)_____．(10)已知向量、滿足，、且，則_____．(11)在設(shè)曲線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且具有相同漸近線，則C的方程是．(12)若等差數(shù)列滿足，，則當(dāng)______時(shí)，的前n項(xiàng)和最大．(13)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_____種．(14)設(shè)函數(shù)（是常數(shù)，），若在區(qū)間上具有單調(diào)性，且，則的最小正周期為．三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，演算步驟。(15)（本小題13分）如圖，在中，，，點(diǎn)D在BC邊上，且CD=2，（Ⅰ）求．（Ⅱ）求，的長(zhǎng)．(16)（本小題13分）李明在10場(chǎng)籃球比賽中的投籃情況如下（假設(shè)各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立）場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)場(chǎng)次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場(chǎng)12212客場(chǎng)1188主場(chǎng)21512客場(chǎng)21312主場(chǎng)3128客場(chǎng)3217主場(chǎng)4238客場(chǎng)41815主場(chǎng)52420客場(chǎng)52512（Ⅰ）從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，求李明在該場(chǎng)比賽中投籃命中率超過(guò)0.6的概率；（Ⅱ）從上述比賽中隨機(jī)選擇一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)，求李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.6，另一場(chǎng)不超過(guò)0.6的概率；（Ⅲ）記是表中10個(gè)命中次數(shù)的平均數(shù)，從上述比賽中隨機(jī)選擇一場(chǎng)，記X為李明在這場(chǎng)比賽中的命中次數(shù)，比和的大小。(17)（本小題14分）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，B，C分別為和的中點(diǎn)，在五棱錐中，為的中點(diǎn)，平面與棱，分別相較于點(diǎn)、．（Ⅰ）求證：；EDCMFBAPHG（Ⅱ）若平面，且AEDCMFBAPHG(18)（本小題13分）已知函數(shù)，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值與的最小值．(19)（本小題14分）已知橢圓：．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓G上，點(diǎn)B在直線上，且，求直線AB與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(20)（本小題13分）對(duì)于數(shù)對(duì)序列，，…，，記,，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．（Ⅰ）對(duì)于數(shù)對(duì)序列，，求，；（Ⅱ）記m為四個(gè)數(shù)、、、的最小值，對(duì)于兩個(gè)數(shù)對(duì)，組成的數(shù)對(duì)序列，和，，試分別對(duì)和時(shí)的情況比較和的大??；（Ⅲ）在由5個(gè)數(shù)對(duì)，，，，組成的有序數(shù)對(duì)序列中，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)對(duì)序列P使最小，并寫(xiě)出的值（只需寫(xiě)出結(jié)論）。絕密★考試結(jié)束前2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（理）（北京卷）參考答案一、選擇題（共8小題，每小題5分，共40分）（1）C（2）A（3）B（4）C（5）D（6）D（7）D（8）B二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）（9）1（10）（11）（12）8（13）36（14）三、解答題（共6小題，共80分）（15）（共13分）解：（I）在中，因?yàn)椋?。所以（Ⅱ）在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得所以?6）（共13分）解：（I）根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，在10場(chǎng)比賽中，李明投籃命中率超過(guò)0.6的場(chǎng)次有5場(chǎng)，分別是主場(chǎng)2，主場(chǎng)3，主場(chǎng)5，客場(chǎng)2，客場(chǎng)4.所以在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)比賽中，李明的投籃命中率超過(guò)0.6的概率是0.5.（Ⅱ）設(shè)事件A為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)主場(chǎng)比賽中李明的投籃命中率超過(guò)0.6”，事件B為“在隨機(jī)選擇的一場(chǎng)客場(chǎng)比賽中李明的投籃命中率超過(guò)0.6”，事件C為“在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)中，李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.6，一場(chǎng)不超過(guò)0.6”。則C=，A,B獨(dú)立。根據(jù)投籃統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，.所以，在隨機(jī)選擇的一個(gè)主場(chǎng)和一個(gè)客場(chǎng)中，李明的投籃命中率一場(chǎng)超過(guò)0.6，一場(chǎng)不超過(guò)0.6的概率為.（Ⅲ）.（17）（共14分）解：（I）在正方形中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以∥。又因?yàn)槠矫鍼DE，所以∥平面PDE，因?yàn)槠矫鍭BF，且平面平面，所以∥。（Ⅱ）因?yàn)榈酌鍭BCDE,所以，.如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,, .設(shè)平面ABF的法向量為，則即令，則。所以，設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a,則。設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為。因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上，所以可設(shè)，即。所以。因?yàn)槭瞧矫鍭BF的法向量，所以，即。解得，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為。所以（18）（共13分）解：（I）由得。因?yàn)樵趨^(qū)間上，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減。從而。（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，“”等價(jià)于“”“”等價(jià)于“”。令，則，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立。當(dāng)時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減。從而對(duì)任意恒成立。當(dāng)時(shí)，存在唯一的使得。與在區(qū)間上的情況如下：+0↗↘因?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，所以。進(jìn)一步，“對(duì)任意恒成立”當(dāng)且僅當(dāng)，即，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立。所以，若對(duì)任意恒成立，則a最大值為，b的最小值為1.（19）（共14分）解：（I）由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。所以，從而。因此。故橢圓C的離心率。（Ⅱ）直線AB與圓相切。證明如下：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，，其中。因?yàn)?，所以，即，解得。?dāng)時(shí)，，代入橢圓C的方程，得，故直線AB的方程為。圓心O到直線AB的距離。此時(shí)直線AB與圓相切。當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，即，圓心0到直線AB的距離又，故此時(shí)直線AB與圓相切。（20）（共13分）解：（I