2022考研數(shù)學(xué)一真題及答案8

2022考研數(shù)學(xué)一真題及答案一、選擇題1—8小題．每題4分，共32分．１．假設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【詳解】，，要使函數(shù)在處連續(xù)，必須滿足．所以應(yīng)該選〔A〕2．設(shè)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【詳解】設(shè)，那么，也就是是單調(diào)增加函數(shù)．也就得到，所以應(yīng)該選〔C〕3．函數(shù)在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)為〔A〕〔B〕(C〕〔D〕【詳解】，所以函數(shù)在點(diǎn)處的梯度為，所以在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)為應(yīng)該選〔D〕４．甲、乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開始時(shí)，甲在乙前方10〔單位：米〕處，如圖中，實(shí)線表示甲的速度曲線〔單位：米/秒〕，虛線表示乙的速度曲線〔單位：米/秒〕，三塊陰影局部的面積分別為，計(jì)時(shí)開始后乙追上甲的時(shí)刻為，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【詳解】由定積分的物理意義：當(dāng)曲線表示變速直線運(yùn)動(dòng)的速度函數(shù)時(shí)，表示時(shí)刻內(nèi)所走的路程．此題中的陰影面積分別表示在時(shí)間段內(nèi)甲、乙兩人所走路程之差，顯然應(yīng)該在時(shí)乙追上甲，應(yīng)該選〔C〕．5．設(shè)為單位列向量，為階單位矩陣，那么〔A〕不可逆〔B〕不可逆〔C〕不可逆〔D〕不可逆【詳解】矩陣的特征值為和個(gè)，從而的特征值分別為；；；．顯然只有存在零特征值，所以不可逆，應(yīng)該選〔A〕．6．矩陣，，，那么〔A〕相似，相似〔B〕相似，不相似〔C〕不相似，相似〔D〕不相似，不相似【詳解】矩陣的特征值都是．是否可對(duì)解化，只需要關(guān)心的情況．對(duì)于矩陣，，秩等于1，也就是矩陣屬于特征值存在兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，也就是可以對(duì)角化，也就是．對(duì)于矩陣，，秩等于2，也就是矩陣屬于特征值只有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，也就是不可以對(duì)角化，當(dāng)然不相似應(yīng)選擇〔B〕．7．設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)事件，假設(shè)，，那么的充分必要條件是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【詳解】由乘法公式：可得下面結(jié)論：類似，由可得所以可知選擇〔A〕．8．設(shè)為來(lái)自正態(tài)總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，假設(shè)，那么以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是〔〕〔A〕服從分布〔B〕服從分布〔C〕服從分布〔D〕服從分布解：〔1〕顯然且互相獨(dú)立，所以服從分布，也就是〔A〕結(jié)論是正確的；〔2〕，所以〔C〕結(jié)論也是正確的；〔3〕注意，所以〔D〕結(jié)論也是正確的；〔4〕對(duì)于選項(xiàng)〔B〕：，所以〔B〕結(jié)論是錯(cuò)誤的，應(yīng)該選擇〔B〕二、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上〕9．函數(shù)，那么．解：由函數(shù)的馬克勞林級(jí)數(shù)公式：，知，其中為展開式中的系數(shù)．由于，所以．10．微分方程的通解為．【詳解】這是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊次微分方程，特征方程有一對(duì)共共軛的根，所以通解為11．假設(shè)曲線積分在區(qū)域內(nèi)與途徑無(wú)關(guān)，那么.【詳解】設(shè)，顯然在區(qū)域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，由于與途徑無(wú)關(guān)，所以有12．冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)為【詳解】所以13．設(shè)矩陣，為線性無(wú)關(guān)的三維列向量，那么向量組的秩為．【詳解】對(duì)矩陣進(jìn)展初等變換，知矩陣A的秩為2，由于為線性無(wú)關(guān)，所以向量組的秩為2．14．設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，那么．【詳解】隨機(jī)變量的概率密度為，所以三、解答題15．〔此題總分值10分〕設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，求，．【詳解】，；．16．〔此題總分值10分〕求【詳解】由定積分的定義17．〔此題總分值10分〕函數(shù)是由方程．【詳解】在方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得〔1〕在〔1〕兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，得也就是令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)取極大值；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)取極小值．18．〔此題總分值10分〕設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，，證明：〔1〕方程在區(qū)間至少存在一個(gè)實(shí)根；〔2〕方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根．證明：〔1〕根據(jù)的局部保號(hào)性的結(jié)論，由條件可知，存在，及，使得，由于在上連續(xù)，且，由零點(diǎn)定理，存在，使得，也就是方程在區(qū)間至少存在一個(gè)實(shí)根；〔2〕由條件可知，由〔1〕可知，由洛爾定理，存在，使得；設(shè)，由條件可知在區(qū)間上可導(dǎo)，且，分別在區(qū)間上對(duì)函數(shù)使用爾定理，那么存在使得，也就是方程在區(qū)間內(nèi)至少存在兩個(gè)不同實(shí)根．19．〔此題總分值10分〕設(shè)薄片型是圓錐面被柱面所割下的有限局部，其上任一點(diǎn)的密度為，記圓錐面與柱面的交線為．〔1〕求在布上的投影曲線的方程；〔2〕求的質(zhì)量【詳解】〔1〕交線的方程為，消去變量，得到．所以在布上的投影曲線的方程為〔2〕利用第一類曲面積分，得20．〔此題總分值11分〕設(shè)三階矩陣有三個(gè)不同的特征值，且〔1〕證明：；〔2〕假設(shè)，求方程組的通解．【詳解】〔1〕證明：因?yàn)榫仃囉腥齻€(gè)不同的特征值，所以是非零矩陣，也就是．假假設(shè)時(shí)，那么是矩陣的二重特征值，與條件不符合，所以有，又因?yàn)?，也就是線性相關(guān)，，也就只有．〔2〕因?yàn)椋缘母捉庀抵兄挥幸粋€(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量．由于，所以根底解系為；又由，得非齊次方程組的特解可取為；方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．21．〔此題總分值11分〕設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，求的值及一個(gè)正交矩陣．【詳解】二次型矩陣因?yàn)槎涡偷臉?biāo)準(zhǔn)形為．也就說(shuō)明矩陣有零特征值，所以，故令得矩陣的特征值為．通過(guò)分別解方程組得矩陣的屬于特征值的特征向量，屬于特征值特征值的特征向量，的特征向量，所以為所求正交矩陣．22．〔此題總分值11分〕設(shè)隨機(jī)變量互相獨(dú)立，且的概率分布為，的概率密度為．〔1〕求概率；〔2〕求的概率密度．【詳解】〔1〕所以〔2〕的分布函數(shù)為故的概率密度為23．〔此題總分值11分〕某工程師為理解一臺(tái)天平的精度，用該天平對(duì)一物體的質(zhì)量做了次測(cè)量，該物體的質(zhì)量是的，設(shè)次測(cè)量結(jié)果互相獨(dú)立且均服從正態(tài)分布該工程師記錄的是次測(cè)量的絕對(duì)誤差，利用估計(jì)參數(shù)