2022考研數(shù)學一真題及答案8

2022考研數(shù)學一真題及答案一、選擇題1—8小題．每題4分，共32分．１．假設函數(shù)在處連續(xù)，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【詳解】，，要使函數(shù)在處連續(xù)，必須滿足．所以應該選〔A〕2．設函數(shù)是可導函數(shù)，且滿足，那么〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【詳解】設，那么，也就是是單調增加函數(shù)．也就得到，所以應該選〔C〕3．函數(shù)在點處沿向量的方向導數(shù)為〔A〕〔B〕(C〕〔D〕【詳解】，所以函數(shù)在點處的梯度為，所以在點處沿向量的方向導數(shù)為應該選〔D〕４．甲、乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10〔單位：米〕處，如圖中，實線表示甲的速度曲線〔單位：米/秒〕，虛線表示乙的速度曲線〔單位：米/秒〕，三塊陰影局部的面積分別為，計時開始后乙追上甲的時刻為，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【詳解】由定積分的物理意義：當曲線表示變速直線運動的速度函數(shù)時，表示時刻內所走的路程．此題中的陰影面積分別表示在時間段內甲、乙兩人所走路程之差，顯然應該在時乙追上甲，應該選〔C〕．5．設為單位列向量，為階單位矩陣，那么〔A〕不可逆〔B〕不可逆〔C〕不可逆〔D〕不可逆【詳解】矩陣的特征值為和個，從而的特征值分別為；；；．顯然只有存在零特征值，所以不可逆，應該選〔A〕．6．矩陣，，，那么〔A〕相似，相似〔B〕相似，不相似〔C〕不相似，相似〔D〕不相似，不相似【詳解】矩陣的特征值都是．是否可對解化，只需要關心的情況．對于矩陣，，秩等于1，也就是矩陣屬于特征值存在兩個線性無關的特征向量，也就是可以對角化，也就是．對于矩陣，，秩等于2，也就是矩陣屬于特征值只有一個線性無關的特征向量，也就是不可以對角化，當然不相似應選擇〔B〕．7．設是兩個隨機事件，假設，，那么的充分必要條件是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【詳解】由乘法公式：可得下面結論：類似，由可得所以可知選擇〔A〕．8．設為來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，假設，那么以下結論中不正確的選項是〔〕〔A〕服從分布〔B〕服從分布〔C〕服從分布〔D〕服從分布解：〔1〕顯然且互相獨立，所以服從分布，也就是〔A〕結論是正確的；〔2〕，所以〔C〕結論也是正確的；〔3〕注意，所以〔D〕結論也是正確的；〔4〕對于選項〔B〕：，所以〔B〕結論是錯誤的，應該選擇〔B〕二、填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.把答案填在題中橫線上〕9．函數(shù)，那么．解：由函數(shù)的馬克勞林級數(shù)公式：，知，其中為展開式中的系數(shù)．由于，所以．10．微分方程的通解為．【詳解】這是一個二階常系數(shù)線性齊次微分方程，特征方程有一對共共軛的根，所以通解為11．假設曲線積分在區(qū)域內與途徑無關，那么.【詳解】設，顯然在區(qū)域內具有連續(xù)的偏導數(shù)，由于與途徑無關，所以有12．冪級數(shù)在區(qū)間內的和函數(shù)為【詳解】所以13．設矩陣，為線性無關的三維列向量，那么向量組的秩為．【詳解】對矩陣進展初等變換，知矩陣A的秩為2，由于為線性無關，所以向量組的秩為2．14．設隨機變量的分布函數(shù)，其中為標準正態(tài)分布函數(shù)，那么．【詳解】隨機變量的概率密度為，所以三、解答題15．〔此題總分值10分〕設函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，，求，．【詳解】，；．16．〔此題總分值10分〕求【詳解】由定積分的定義17．〔此題總分值10分〕函數(shù)是由方程．【詳解】在方程兩邊同時對求導，得〔1〕在〔1〕兩邊同時對求導，得也就是令，得．當時，；當時，當時，，，函數(shù)取極大值；當時，，函數(shù)取極小值．18．〔此題總分值10分〕設函數(shù)在區(qū)間上具有二階導數(shù)，且，，證明：〔1〕方程在區(qū)間至少存在一個實根；〔2〕方程在區(qū)間內至少存在兩個不同實根．證明：〔1〕根據(jù)的局部保號性的結論，由條件可知，存在，及，使得，由于在上連續(xù)，且，由零點定理，存在，使得，也就是方程在區(qū)間至少存在一個實根；〔2〕由條件可知，由〔1〕可知，由洛爾定理，存在，使得；設，由條件可知在區(qū)間上可導，且，分別在區(qū)間上對函數(shù)使用爾定理，那么存在使得，也就是方程在區(qū)間內至少存在兩個不同實根．19．〔此題總分值10分〕設薄片型是圓錐面被柱面所割下的有限局部，其上任一點的密度為，記圓錐面與柱面的交線為．〔1〕求在布上的投影曲線的方程；〔2〕求的質量【詳解】〔1〕交線的方程為，消去變量，得到．所以在布上的投影曲線的方程為〔2〕利用第一類曲面積分，得20．〔此題總分值11分〕設三階矩陣有三個不同的特征值，且〔1〕證明：；〔2〕假設，求方程組的通解．【詳解】〔1〕證明：因為矩陣有三個不同的特征值，所以是非零矩陣，也就是．假假設時，那么是矩陣的二重特征值，與條件不符合，所以有，又因為，也就是線性相關，，也就只有．〔2〕因為，所以的根底解系中只有一個線性無關的解向量．由于，所以根底解系為；又由，得非齊次方程組的特解可取為；方程組的通解為，其中為任意常數(shù)．21．〔此題總分值11分〕設二次型在正交變換下的標準形為，求的值及一個正交矩陣．【詳解】二次型矩陣因為二次型的標準形為．也就說明矩陣有零特征值，所以，故令得矩陣的特征值為．通過分別解方程組得矩陣的屬于特征值的特征向量，屬于特征值特征值的特征向量，的特征向量，所以為所求正交矩陣．22．〔此題總分值11分〕設隨機變量互相獨立，且的概率分布為，的概率密度為．〔1〕求概率；〔2〕求的概率密度．【詳解】〔1〕所以〔2〕的分布函數(shù)為故的概率密度為23．〔此題總分值11分〕某工程師為理解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質量做了次測量，該物體的質量是的，設次測量結果互相獨立且均服從正態(tài)分布該工程師記錄的是次測量的絕對誤差，利用估計參數(shù)