概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙江大學(xué)版本

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙江大學(xué)版本匯報(bào)人：AA2024-01-20目錄CONTENTS概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念參數(shù)估計(jì)方法假設(shè)檢驗(yàn)方法01概率論基本概念樣本空間所有可能結(jié)果的集合，常用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合。基本事件只包含一個樣本點(diǎn)的事件。復(fù)合事件由兩個或兩個以上的基本事件組成的事件。樣本空間與事件在給定條件下，某一事件A發(fā)生的可能性大小，記為P(A)。概率定義非負(fù)性規(guī)范性可加性對于任何事件A，有P(A)≥0。整個樣本空間S發(fā)生的概率為1，即P(S)=1。對于互斥事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)。概率定義及性質(zhì)條件概率與獨(dú)立性條件概率在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記為P(A|B)。事件的獨(dú)立性如果事件A和B同時發(fā)生的概率等于它們各自發(fā)生的概率的乘積，即P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A和B是相互獨(dú)立的。全概率公式貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式在全概率公式的條件下，有P(Bi|A)=[P(Bi)P(A|Bi)]/∑[P(Bj)P(A|Bj)]，其中j=1,2,...,n。貝葉斯公式用于在已知某些條件下，求另一事件發(fā)生的概率。如果事件B1,B2,...,Bn是樣本空間S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，則對于任何事件A，有P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)。02隨機(jī)變量及其分布VS隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點(diǎn)映射到一個實(shí)數(shù)。隨機(jī)變量的分類根據(jù)隨機(jī)變量取值的特點(diǎn)，可以將其分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量兩類。隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量概念及分類離散型隨機(jī)變量的分布律是指隨機(jī)變量取各個可能值的概率。分布律的定義包括0-1分布、二項(xiàng)分布、泊松分布等。常見離散型隨機(jī)變量的分布律離散型隨機(jī)變量分布律概率密度函數(shù)的定義連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)是一個非負(fù)可積函數(shù)，它描述了隨機(jī)變量在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率分布情況。常見連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)包括均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等。連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)是指由隨機(jī)變量構(gòu)成的函數(shù)，它描述了隨機(jī)變量之間的關(guān)系。包括離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布和連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布，其中離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布可以通過分布律求得，而連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布則需要通過概率密度函數(shù)求得。隨機(jī)變量函數(shù)的定義隨機(jī)變量函數(shù)的分布隨機(jī)變量函數(shù)分布03多維隨機(jī)變量及其分布聯(lián)合分布律描述兩個隨機(jī)變量同時取值的概率分布規(guī)律，通常用一個二維表格或三維圖形表示。聯(lián)合密度函數(shù)對于連續(xù)型隨機(jī)變量，用聯(lián)合密度函數(shù)描述兩個隨機(jī)變量同時取值的概率分布規(guī)律，其性質(zhì)與一維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)類似。二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律/密度函數(shù)邊緣分布律/密度函數(shù)二維隨機(jī)變量中，一個隨機(jī)變量取某個值時，另一個隨機(jī)變量取值的概率分布規(guī)律?？梢酝ㄟ^對聯(lián)合分布律進(jìn)行求和或積分得到。邊緣分布律對于連續(xù)型隨機(jī)變量，邊緣密度函數(shù)描述了一個隨機(jī)變量取值的概率分布規(guī)律，可以通過對聯(lián)合密度函數(shù)進(jìn)行積分得到。邊緣密度函數(shù)條件分布律在已知一個隨機(jī)變量取值的條件下，另一個隨機(jī)變量取值的概率分布規(guī)律?？梢酝ㄟ^聯(lián)合分布律和邊緣分布律計(jì)算得到。要點(diǎn)一要點(diǎn)二條件密度函數(shù)對于連續(xù)型隨機(jī)變量，條件密度函數(shù)描述了在已知一個隨機(jī)變量取值的條件下，另一個隨機(jī)變量取值的概率分布規(guī)律?？梢酝ㄟ^聯(lián)合密度函數(shù)和邊緣密度函數(shù)計(jì)算得到。條件分布律/密度函數(shù)定義如果兩個隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律（或聯(lián)合密度函數(shù)）可以表示為它們各自邊緣分布律（或邊緣密度函數(shù)）的乘積，則稱這兩個隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的。性質(zhì)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量具有一些重要的性質(zhì)，如它們的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)均為0，它們的聯(lián)合分布律（或聯(lián)合密度函數(shù)）可以完全由各自的邊緣分布律（或邊緣密度函數(shù)）確定等。這些性質(zhì)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中具有重要的應(yīng)用。相互獨(dú)立隨機(jī)變量04隨機(jī)變量數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)常數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于該常數(shù)本身。兩個隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望等于各自數(shù)學(xué)期望之和。隨機(jī)變量線性變換的數(shù)學(xué)期望等于該隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的線性變換。數(shù)學(xué)期望的定義：數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量取值的平均值，反映了隨機(jī)變量取值的“中心位置”。數(shù)學(xué)期望定義及性質(zhì)方差的定義方差是隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望之差的平方的平均值，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)差的定義標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根，具有與方差相同的量綱，更便于進(jìn)行不同隨機(jī)變量之間離散程度的比較。協(xié)方差的定義協(xié)方差是兩個隨機(jī)變量取值與其各自數(shù)學(xué)期望之差的乘積的平均值，反映了兩個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度。方差、標(biāo)準(zhǔn)差和協(xié)方差相關(guān)系數(shù)和矩、協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣是由多個隨機(jī)變量的協(xié)方差組成的矩陣，用于描述多個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。協(xié)方差矩陣的定義相關(guān)系數(shù)是兩個隨機(jī)變量協(xié)方差與各自標(biāo)準(zhǔn)差乘積的比值，消除了量綱的影響，更客觀地反映了兩個隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)程度。相關(guān)系數(shù)的定義矩是描述隨機(jī)變量分布形態(tài)特征的統(tǒng)計(jì)量，包括原點(diǎn)矩和中心矩。矩的定義05大數(shù)定律與中心極限定理含義大數(shù)定律是概率論中描述隨機(jī)事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性的一種定律。它表明，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時，隨機(jī)事件的頻率將趨近于它的概率。種類常見的大數(shù)定律有伯努利大數(shù)定律、辛欽大數(shù)定律和切比雪夫大數(shù)定律等。應(yīng)用大數(shù)定律在保險、金融、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如用于評估風(fēng)險、計(jì)算保費(fèi)和預(yù)測疾病發(fā)病率等。010203大數(shù)定律含義中心極限定理是概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的一組定理，它描述了當(dāng)大量獨(dú)立隨機(jī)變量相加時，其和的分布將趨近于正態(tài)分布。種類常見的中心極限定理有林德伯格-列維中心極限定理和德莫弗-拉普拉斯中心極限定理等。應(yīng)用中心極限定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)中有廣泛應(yīng)用，如用于參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)和置信區(qū)間計(jì)算等。同時，在自然科學(xué)、社會科學(xué)和工程領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用，如用于分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、預(yù)測自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象等。中心極限定理06數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念03樣本容量樣本中包含的個體數(shù)目，通常用n表示。01總體研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個概率分布來描述。02樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)?？傮w與樣本統(tǒng)計(jì)量的分布統(tǒng)計(jì)量取值的概率分布，與總體分布和樣本容量有關(guān)。常用統(tǒng)計(jì)量及其分布樣本均值、樣本方差、樣本比例等，它們的分布與總體分布和樣本容量有關(guān)。統(tǒng)計(jì)量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計(jì)量及其分布01020304抽樣分布漸近分布中心極限定理大數(shù)定律抽樣分布及漸近分布樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布，描述了不同樣本下統(tǒng)計(jì)量的取值情況。當(dāng)樣本容量趨于無窮大時，樣本統(tǒng)計(jì)量的極限分布。當(dāng)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時，頻率趨于穩(wěn)定，即頻率近似于概率。當(dāng)總體分布未知時，如果樣本容量足夠大，則樣本均值的分布近似于正態(tài)分布。07參數(shù)估計(jì)方法矩估計(jì)法用樣本矩作為總體矩的估計(jì)量，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。最大似然估計(jì)法根據(jù)樣本觀測值出現(xiàn)的概率最大原則來估計(jì)總體參數(shù)，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。最小二乘法通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，適用于線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)方法容忍區(qū)間法在給定置信水平下，構(gòu)造一個包含總體參數(shù)的區(qū)間，使得該區(qū)間長度最短。自助法通過對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行重復(fù)抽樣，構(gòu)造出多個樣本，進(jìn)而得到總體參數(shù)的多個估計(jì)值，并給出估計(jì)值的置信區(qū)間。置信區(qū)間法利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個包含總體參數(shù)的區(qū)間，并給出該區(qū)間包含總體參數(shù)的可信程度。區(qū)間估計(jì)方法08假設(shè)檢驗(yàn)方法1234原假設(shè)與備擇假設(shè)顯著性水平與第一類錯誤檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量與拒絕域P值與決策規(guī)則假設(shè)檢驗(yàn)基本原理在假設(shè)檢驗(yàn)中，原假設(shè)（$H_0$）通常表示沒有差異或沒有效應(yīng)，而備擇假設(shè)（$H_1$）表示存在差異或有效應(yīng)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出的用于判斷原假設(shè)是否成立的統(tǒng)計(jì)量。拒絕域是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取值的范圍，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域時，我們拒絕原假設(shè)。顯著性水平（$alpha$）是事先設(shè)定的一個概率值，用于控制第一類錯誤（即錯誤地拒絕原假設(shè)）的概率。P值是在原假設(shè)下，觀察到的樣本數(shù)據(jù)或更極端情況出現(xiàn)的概率。當(dāng)P值小于或等于顯著性水平時，我們拒絕原假設(shè)。卡方檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)單個正態(tài)總體方差是否等于某個給定值。注意事項(xiàng)在進(jìn)行單樣本t檢驗(yàn)或卡方檢驗(yàn)時，需要確保樣本數(shù)據(jù)來自正態(tài)總體，且滿足相應(yīng)的獨(dú)立性等條件。單樣本t檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)單個正態(tài)總體均值是否等于某個給定值。單個正態(tài)總體均值和方差假設(shè)檢驗(yàn)兩獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)F檢驗(yàn)配對樣本t檢驗(yàn)注意事項(xiàng)兩個正態(tài)總體均值和方差