2024屆江蘇省贛榆縣海頭高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆江蘇省贛榆縣海頭高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)實(shí)數(shù)，滿足不等式組則的最小值是（）A． B． C． D．2．若直線l：過(guò)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)直線l的斜率為（）A．2 B． C． D．23．已知有下列各式：，，成立，觀察上面各式，按此規(guī)律若，則正數(shù)（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，，，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)之和，則（）A． B． C． D．5．某學(xué)習(xí)小組有名男生和名女生，現(xiàn)從該小組中先后隨機(jī)抽取兩名同學(xué)進(jìn)行成果展示，則在抽到第個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第個(gè)同學(xué)也是男生的概率為（）A． B． C． D．6．如圖，可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，為的導(dǎo)函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．，是的極大值點(diǎn)B．，是的極小值點(diǎn)C．，不是的極值點(diǎn)D．，是是的極值點(diǎn)7．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)記載：“芻甍者，下有袤有廣，而上有袤無(wú)丈芻，草也；甍，屋蓋也”翻譯為：“底面有長(zhǎng)有寬為矩形，頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱芻甍字面意思為茅草屋頂”如圖，為一芻甍的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形則它的體積為A． B．160 C． D．648．已知是空間中兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，有以下結(jié)論：①②③④.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．39．證明等式時(shí)，某學(xué)生的證明過(guò)程如下（1）當(dāng)n=1時(shí)，，等式成立；（2）假設(shè)時(shí)，等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，等式也成立，故原式成立.那么上述證明（）A．過(guò)程全都正確 B．當(dāng)n=1時(shí)驗(yàn)證不正確C．歸納假設(shè)不正確 D．從到的推理不正確10．某運(yùn)動(dòng)隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員4名，女運(yùn)動(dòng)員3名，若選派2人外出參加比賽，且至少有1名女運(yùn)動(dòng)員入選，則不同的選法共有（）A．6種 B．12種 C．15種 D．21種11．已知i是虛數(shù)單位，m,n∈R，且m+i=1+ni，則＝()A．i B．1 C．－i D．－112．如果點(diǎn)位于第三象限，那么角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將參數(shù)方程（為參數(shù)）化成普通方程為_(kāi)_________.14．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是__________.15．已知函數(shù)，若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．16．已知一組數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則數(shù)據(jù)2，2，2，2，2的方差為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）食品安全問(wèn)題越來(lái)越引起人們的重視，農(nóng)藥、化肥的濫用對(duì)人民群眾的健康帶來(lái)一定的危害，為了給消費(fèi)者帶來(lái)放心的蔬菜，某農(nóng)村合作社每年投入200萬(wàn)元，搭建了甲、乙兩個(gè)無(wú)公害蔬菜大棚，每個(gè)大棚至少要投入20萬(wàn)元，其中甲大棚種西紅柿，乙大棚種黃瓜，根據(jù)以往的種菜經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)種西紅柿的年收益P、種黃瓜的年收益Q與投入a(單位：萬(wàn)元)滿足P＝80＋＋120.設(shè)甲大棚的投入為x(單位：萬(wàn)元)，每年兩個(gè)大棚的總收益為f(x)(單位：萬(wàn)元)．(1)求f(50)的值；(2)試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)大棚的投入，才能使總收益f(x)最大？18．（12分）已知，為拋物線上的相異兩點(diǎn)，且.（1）若直線過(guò)，求的值；（2）若直線的垂直平分線交軸與點(diǎn)，求面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù).（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.20．（12分）已知為圓上一動(dòng)點(diǎn)，圓心關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)，且.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第二象限，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.21．（12分）已知復(fù)數(shù)（a，），（c，）.（1）當(dāng)，，，時(shí)，求，，；（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果猜想與的關(guān)系，并證明該關(guān)系的一般性22．（10分）已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c＝1，F(xiàn)(x)＝求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立，試求b的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線在軸上截距的變化，找到該直線在軸上的截距取得最小值時(shí)的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)可得出答案．【題目詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)該直線在軸上的截距最小，取得最小值，即，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，一般利用平移直線的思想，利用其在坐標(biāo)軸上截距最值的思想找出最優(yōu)來(lái)處理，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題．2、A【解題分析】

將點(diǎn)帶入直線可得，利用均值不等式“1”的活用即可求解．【題目詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)所以斜率，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查均值不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題．3、C【解題分析】

觀察上面各式,,,,類比推理即可得到結(jié)果.【題目詳解】由題,觀察上面各式可得,,,則,所以,故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查類比推理,考查理解分析能力.4、A【解題分析】

由可知數(shù)列為等差數(shù)列且公差為，然后利用等差數(shù)列求和公式代入計(jì)算即可．【題目詳解】由可知數(shù)列為等差數(shù)列且公差為，所以故選．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的概念及求和公式，屬基礎(chǔ)題．5、C【解題分析】

設(shè)事件A表示“抽到個(gè)同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第個(gè)同學(xué)也是男生”，則，，由此利用條件概率計(jì)算公式能求出在抽到第個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第個(gè)同學(xué)也是男生的概率.【題目詳解】設(shè)事件A表示“抽到個(gè)同學(xué)是男生”，事件B表示“抽到的第個(gè)同學(xué)也是男生”，則，，則在抽到第個(gè)同學(xué)是男生的條件下，抽到第個(gè)同學(xué)也是男生的概率.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了條件概率的求法、解題的關(guān)鍵是理解題干，并能分析出問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解題分析】

由圖判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合為在點(diǎn)P處的切線方程，則有，由此可判斷極值情況.【題目詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，則有是的極小值點(diǎn)，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題通過(guò)圖象考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與極值，分析圖象不難求解.7、A【解題分析】

分析：由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可得其體積.詳解：由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體，它由成一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)，求出棱錐與棱柱的體積相加即可，，故選A.點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問(wèn)題是考查學(xué)生空間想象能力最常見(jiàn)題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對(duì)幾何體直觀圖的影響，對(duì)簡(jiǎn)單組合體三視圖問(wèn)題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.8、B【解題分析】分析：根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，即可作出判定得到結(jié)論.詳解：由題意，對(duì)于①中，若，則兩平面可能是平行的，所以不正確；對(duì)于②中，若，只有當(dāng)與相交時(shí)，才能得到，所以不正確；對(duì)于③中，若，根據(jù)線面垂直和面面垂直的判定定理，可得，所以是正確的；對(duì)于④中，若，所以是不正確的，綜上可知，正確命題的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，故選B.點(diǎn)睛：本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．9、A【解題分析】分析：由題意結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的證明方法考查所給的證明過(guò)程是否存在錯(cuò)誤即可.詳解：考查所給的證明過(guò)程：當(dāng)時(shí)驗(yàn)證是正確的，歸納假設(shè)是正確的，從到的推理也是正確的，即證明過(guò)程中不存在任何的問(wèn)題.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的概念及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、C【解題分析】

先求出所有的方法數(shù)，再求出沒(méi)有女生入選的方法數(shù)，相減可得至少有1位女生入選的方法數(shù).【題目詳解】解：從3位女生，4位男生中選2人參加比賽，所有的方法有種，

其中沒(méi)有女生入選的方法有種，

故至少有1位女生入選的方法有21?6＝15種.

故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查排列組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔題.11、A【解題分析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到的值，再利用復(fù)數(shù)的四則混合運(yùn)算計(jì)算.【題目詳解】因?yàn)?，所以，則.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)相等以及復(fù)數(shù)的四則混合運(yùn)算，難度較易.對(duì)于復(fù)數(shù)的四則混合運(yùn)算，分式類型的復(fù)數(shù)式子，采用分母實(shí)數(shù)化計(jì)算更加方便.12、B【解題分析】

由二倍角的正弦公式以及已知條件得出和的符號(hào)，由此得出角所在的象限.【題目詳解】由于點(diǎn)位于第三象限，則，得，因此，角為第二象限角，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查角所在象限的判斷，解題的關(guān)鍵要結(jié)合已知條件判斷出角的三角函數(shù)值的符號(hào)，利用“一全二正弦，三切四余弦”的規(guī)律判斷出角所在的象限，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解題分析】

在參數(shù)方程中利用加減消元法或代入消元法消去參數(shù)，可將參數(shù)方程化為普通方程.【題目詳解】由得，兩式相加得，即，因此，將參數(shù)方程（為參數(shù)）化成普通方程為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，將直線的參數(shù)方程化普通方程，常見(jiàn)的有代入消元法和加減消元法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

從橢圓方程中得出、的值，可得出的值，可得出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo).【題目詳解】由題意可得，，，因此，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)的求解，解題時(shí)要從橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中得出、、的值，同時(shí)也要確定焦點(diǎn)的位置，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】分析：若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，等價(jià)為方程存在三個(gè)不相等的實(shí)根，由于當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)根，則當(dāng)時(shí)，方程存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論.詳解：若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，等價(jià)為方程存在三個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，，解得，當(dāng)時(shí)，，只有一個(gè)根.當(dāng)時(shí)，方程存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，即.設(shè)，，令，解得，當(dāng)，解得，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，解得，在上單調(diào)遞減；又，，存在兩個(gè)不相等的實(shí)根，.故答案為.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為方程存在三個(gè)不相等的實(shí)根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大.16、2【解題分析】

根據(jù)方差的性質(zhì)運(yùn)算即可.【題目詳解】由題意知：本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查方差的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）甲大棚萬(wàn)元，乙大棚萬(wàn)元時(shí)，總收益最大,且最大收益為萬(wàn)元.【解題分析】試題分析：（1）當(dāng)甲大棚投入萬(wàn)元，則乙大棚投入萬(wàn)元，此時(shí)直接計(jì)算即可；（2）列出總收益的函數(shù)式得，令，換元將函數(shù)轉(zhuǎn)換為關(guān)于的二次函數(shù)，由二次函數(shù)知識(shí)可求其最大值及相應(yīng)的值.試題解析：（1）∵甲大棚投入50萬(wàn)元，則乙大棚投入150萬(wàn)元，∴（2），依題得，即，故.令，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，∴甲大棚投入128萬(wàn)元，乙大棚投入72萬(wàn)元時(shí)，總收益最大，且最大收益為282萬(wàn)元.考點(diǎn)：1.函數(shù)建模；2.二次函數(shù).18、（1）（2）【解題分析】

（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及弦長(zhǎng)公式，計(jì)算可得所求值；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，以及直線方程，可得的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程代入拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式，化簡(jiǎn)整理，結(jié)合基本不等式可得所求最大值．【題目詳解】解：（1）當(dāng)垂直于軸或斜率為零時(shí)，顯然不符合題意，所以可設(shè)直線的方程為，代入方程，得故，結(jié)合解得.因此，.（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，，則，，．線段的垂直平分線的方程是，①由題意知，是①的一個(gè)解，所以線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)，且點(diǎn)坐標(biāo)為．直線的方程為，即，②②代入得，即，③依題意，，是方程③的兩個(gè)實(shí)根，且，所以△，即．，，，點(diǎn)到線段的距離，．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取得等號(hào)．所以面積的最大值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查直線的垂直平分線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的證明，考查三角形面積的表達(dá)式的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用，屬于中檔題．19、(1)證明見(jiàn)解析.(2).【解題分析】

分析：（1）只要求得在時(shí)的最小值即可證；（2）在上有兩個(gè)不等實(shí)根，可轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)不等實(shí)根，這樣只要研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，由直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)可得的范圍．詳解：（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù).則，令，則，令，得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，（2）解：在有兩個(gè)零點(diǎn)方程在有兩個(gè)根，在有兩個(gè)根，即函數(shù)與的圖像在有兩個(gè)交點(diǎn)．，當(dāng)時(shí)，，在遞增當(dāng)時(shí)，，在遞增所以最小值為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題．用導(dǎo)數(shù)證明不等式可轉(zhuǎn)化這求函數(shù)的最值問(wèn)題，函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，這可用分離參數(shù)法變形，然后再研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而得圖象的大致趨勢(shì)．20、（1）（2）【解題分析】

（1）因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)在的垂直平分線上，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由得，，因?yàn)橹本€與橢圓相切于點(diǎn)，所以，即，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在第二象限，所以，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與垂直交于點(diǎn)，則是點(diǎn)到直線的距離，設(shè)直線的方程為，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，有最大值，所以，即面積的取值范圍為.點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見(jiàn)求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取