2024屆江蘇省興化市第一中學高二數學第二學期期末考試模擬試題含解析

2024屆江蘇省興化市第一中學高二數學第二學期期末考試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數中，是偶函數且在區(qū)間上單調遞減的函數是（）A． B． C． D．2．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C．48 D．3．《周髀算經》、《九章算術》、《海島算經》、《孫子算經》是我國古代數學的重要文獻.現擬把這4部著作分給甲、乙、丙3位同學閱讀，每人至少1本，則甲沒分到《周髀算經》的分配方法共有（）A．18種 B．24種 C．30種 D．36種4．已知O為坐標原點,拋物線y2=2x與過焦點的直線交于A,B兩點,則的值是A． B． C．3 D．35．甲、乙兩名游客來龍巖旅游，計劃分別從“古田會址”、“冠豸山”、“龍崆洞”、“永福櫻花園”四個旅游景點中任意選取3個景點參觀游覽，則兩人選取的景點中有且僅有兩個景點相同的概率為（）A． B． C． D．6．若且，且，則實數的取值范圍（）A． B．C．或 D．或7．已知隨機變量服從二項分布，則（）A． B． C． D．8．設橢圓的左、右焦點分別為,點.已知動點在橢圓上,且點不共線,若的周長的最小值為,則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．9．下列推理是歸納推理的是（）A．，為定點，動點滿足，得的軌跡為橢圓.B．由，，求出，，，猜想出數列的前項和的表達式.C．由圓的面積，猜出橢圓的面積.D．科學家利用鳥類的飛行原理制造飛機.10．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝，c＝elnx，則a，b，c的大小關系為（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c11．設集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，則集合中的元素共有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個12．已知，則（）A． B．3 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則________14．4名學生被中大、華工、華師錄取，若每所大學至少要錄取1名，則共有不同的錄取方法__________．15．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．16．，，，，……則根據以上四個等式，猜想第個等式是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四邊形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知的三個頂點為，為的中點.求：(1)所在直線的方程；(2)邊上中線所在直線的方程；(3)邊上的垂直平分線的方程．19．（12分）在2018年高校自主招生期間，某校把學生的平時成績按“百分制”折算，選出前名學生，并對這名學生按成績分組，第一組，第二組，第三組，第四組，第五組.如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數依次成等差數列，且第四組的人數為60.（1）請寫出第一、二、三、五組的人數，并在圖中補全頻率分布直方圖；（2）若大學決定在成績高的第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生進行面試.①若大學本次面試中有，，三位考官，規(guī)定獲得至少兩位考官的認可即為面試成功，且各考官面試結果相互獨立.已知甲同學已經被抽中，并且通過這三位考官面試的概率依次為，，，求甲同學面試成功的概率；②若大學決定在這6名學生中隨機抽取3名學生接受考官的面試，第3組有名學生被考官面試，求的分布列和數學期望.20．（12分）某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調研:項目:通信設備.根據調研,投資到該項目上，所有可能結果為:獲利、損失、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為；項目:新能源汽車.根據調研，投資到該項目上，所有可能結果為:獲利、虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為.經測算，當投入兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益(即數學期望)也相等.(1)求的值;(2)若將萬元全部投到其中的一個項目，請你從投資回報穩(wěn)定性考慮，為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.21．（12分）如圖，已知，分別為橢圓：的上、下焦點，是拋物線：的焦點，點是與在第二象限的交點，且.（1）求橢圓的方程；（2）與圓相切的直線：（其中）交橢圓于點，，若橢圓上一點滿足，求實數的取值范圍.22．（10分）如圖，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是是的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的大??；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由奇函數和偶函數圖象的對稱性，根據的圖象和的定義域便可判斷出錯誤，而由的單調性便可判斷選項錯誤，從而得出正確．【題目詳解】選項：根據的圖象知該函數非奇非偶，可知錯誤；選項：的定義域為，知該函數非奇非偶，可知錯誤；選項：時，為增函數，不符合題意，可知錯誤；選項：，可知函數為偶函數，根據其圖象可看出該函數在上單調遞減，可知正確.本題正確選項：【題目點撥】本題考查奇函數和偶函數圖象的對稱性，函數單調性的問題，屬于基礎題．2、B【解題分析】

由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐，根據三視圖數據計算表面積即可.【題目詳解】由三視圖可得幾何體是如圖所示四棱錐，則該幾何體的表面積為：.故選：B【題目點撥】本題主要考查了三視圖，空間幾何體的表面積計算，考查了學生的直觀想象能力.3、B【解題分析】分析：先不考慮限制條件，則共有種方法，若甲分到《周髀算經》，有兩種情況：甲分到一本（只有《周髀算經》），甲分到2本（包括《周髀算經》），減去即可.詳解：先不考慮限制條件，則共有種方法，若甲分到《周髀算經》，有兩種情況：甲分到一本（只有《周髀算經》），此時共有種方法；甲分到2本（包括《周髀算經》），此時共有種方法，則分配方法共有種.點睛：本題考查了分組分配的問題，關鍵在于除去不符合條件的情況，屬于基礎題4、B【解題分析】拋物線的焦點為,當直線l與x軸垂直時，,所以5、A【解題分析】

先求出兩人從四個旅游景點中任意選取3個景點的所有選法，再求出兩人選取的景點中有且僅有兩個景點相同的選法，然后可求出對應概率.【題目詳解】甲、乙兩人從四個旅游景點中任意選取3個景點參觀游覽，總共有種選法，兩人選取的景點中有且僅有兩個景點相同，總共有,則兩人選取的景點中有且僅有兩個景點相同的概率為.故選A.【題目點撥】本題考查了概率的求法，考查了排列組合等知識，考查了計算能力，屬于中檔題.6、C【解題分析】試題分析：根據題意，由于且，且成立，當0<a<1時，根據對數函數遞減性質可知，，故可知范圍是，綜上可知實數的取值范圍C考點：不等式點評：主要是考查了對數不等式的求解，屬于基礎題．7、A【解題分析】

由二項分布的公式即可求得時概率值.【題目詳解】由二項分布公式：.故選A.【題目點撥】本題考查二項分布的公式，由題意代入公式即可求出.8、A【解題分析】分析：利用橢圓定義的周長為，結合三點共線時，的最小值為，再利用對稱性，可得橢圓的離心率.詳解：的周長為，∴故選：A點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．9、B【解題分析】

根據歸納推理的定義即可選出答案?！绢}目詳解】歸納推理是由個別事實概括出一般結論的推理。A為演繹推理B為歸納推理C為類比推理D為類比推理故選B【題目點撥】本題考查歸納推理，屬于簡單題。10、A【解題分析】

利用指數函數、對數函數的單調性直接求解．【題目詳解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（）lnx＞（）0＝1，0＜c＝elnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小關系為b＞c＞a．故選：A．【題目點撥】本題考查三個數的大小的判斷，考查指數函數、對數函數的單調性等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．11、A【解題分析】試題分析：,,所以，即集合中共有3個元素，故選A．考點：集合的運算．12、D【解題分析】

根據正弦的倍角公式和三角函數的基本關系式，化為齊次式，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可得，故選D．【題目點撥】本題主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函數的基本關系式的化簡、求值，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先用同角三角函數平方和關系求出，再利用商關系求出，最后利用二倍角的正切公式求出的值.【題目詳解】因為，，所以，.【題目點撥】本題考查了同角三角函數的平方和關系和商關系，考查了二倍角的正切公式.14、36種【解題分析】先從名學生中任意選個人作為一組，方法種；再把這一組和其它個人分配到所大學，方法有種，再根據分步計數原理可得不同的錄取方法種，故答案為種.故答案為15、【解題分析】試題分析：對函數求導得，對求導得，設直線與曲線相切于點，與曲線相切于點，則，由點在切線上得，由點在切線上得，這兩條直線表示同一條直線，所以，解得.【考點】導數的幾何意義【名師點睛】函數f（x）在點x0處的導數f′（x0）的幾何意義是曲線y＝f（x）在點P（x0，y0）處的切線的斜率．相應地，切線方程為y?y0＝f′（x0）（x?x0）．注意：求曲線切線時，要分清在點P處的切線與過點P的切線的不同．16、.【解題分析】分析：根據已知的四個等式知；等式左邊自然對數的指數都是從開始，連續(xù)個正整數的和，右邊都是．詳解：，，，，……由上邊的式子，我們可以發(fā)現：等式左邊自然對數的指數都是從開始，連續(xù)個正整數的和，右邊都是，可猜想，.故答案為.點睛：本題通過觀察幾組等式，歸納出一般規(guī)律來考查歸納推理，屬于中檔題.歸納推理的一般步驟:一、通過觀察個別情況發(fā)現某些相同的性質.二、從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題(猜想）.常見的歸納推理分為數的歸納和形的歸納兩類：(1)數的歸納包括數的歸納和式子的歸納，解決此類問題時，需要細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時還要聯系相關的知識，如等差數列、等比數列等；(2)形的歸納主要包括圖形數目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）要證平面，可證平面即可，通過勾股定理可證明，再利用線面垂直可證，于是得證；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量和平面的一個法向量，再利用數量積公式即得答案.【題目詳解】（1）證明：在梯形中，∵，設又∵，∴∴∴，則∵平面，平面∴，而∴平面∵，∴平面（2）分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系設則，，，，∴，，設為平面的一個法向量，由，得，取，則∵是平面的一個法向量，∴∴二面角的余弦值為.【題目點撥】本題主要考查線面垂直證明，二面角的相關計算，意在考查學生的空間想象能力，轉化能力，邏輯推理能力及計算能力，難度中等.18、（1）x+1y-4=2；（1）1x-3y+6=2；（3）y=1x+1．【解題分析】

（1）直線方程的兩點式，求出所在直線的方程；（1）先求BC的中點D坐標為（2,1），由直線方程的截距式求出AD所在直線方程；（3）求出直線BC的斜率，由兩直線垂直的條件求出直線DE的斜率，再由斜截式求出DE的方程【題目詳解】(1)因為直線BC經過B(1，1)和C(-1，3)兩點，由兩點式得BC的方程為，即x+1y-4=2．(1)設BC中點D的坐標為(x，y)，則x==2，y==1．BC邊的中線AD過點A(-3，2)，D(2，1)兩點，由截距式得AD所在直線方程為，即1x-3y+6=2．(3)BC的斜率，則BC的垂直平分線DE的斜率k1=1，由斜截式得直線DE的方程為y=1x+1．19、(1)45，75，90，30，圖見解析.（2）①.②分布列見解析；.【解題分析】分析：（1）第四組的人數為60，所以總人數為300，再利用直方圖性質與等差數列的性質即可得出；（2）①設事件為“甲同學面試成功”，利用相互獨立與互斥事件的概率計算公式即可得出；②由題意可得，，，即可得出分布列與數學期望.詳解：（1）第一、二、三、五組的人數分別是45，75，90，30，（2）①設事件為“甲同學面試成功”.則：.②由題意得：，，，，.0123.點睛：本題考查了頻率分布直方圖的性質、相互獨立與互斥事件的概率計算公式、超幾何分布列的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.20、(1)，，；(2)從風險控制角度，建議該投資公司選擇項目.【解題分析】

（1）根據概率和為1列方程求得的值，再利用分布列和數學期望列方程組求得、的值；（2）計算均值與方差，比較即可得出結論．【題目詳解】（1）依題意，，，設投入到項目的資金都為萬元，變量和分別表示投資項目和所獲得的利潤，則和的分布列分別為由分布列得，，因為所以，即，又，解得，；，，（2）當投入萬元資金時，由（1）知，所以，，，因為，說明雖然項目和項目的平均收益相等，但項目更穩(wěn)妥，所以，從風險控制角度，建議該投資公司選擇項目.【題目點撥】本題主要考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望和方差的計