2024屆福建省龍巖一中高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題含解析

2024屆福建省龍巖一中高二數(shù)學第二學期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．對任意復數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列結論中正確的是（）A． B． C． D．2．將點的極坐標化成直角坐標為（）A． B． C． D．3．正六邊形的邊長為，以頂點為起點，其他頂點為終點的向量分別為；以頂點為起點，其他頂點為終點的向量分別為．若分別為的最小值、最大值，其中，則下列對的描述正確的是（）A． B． C． D．4．關于函數(shù)有下述四個結論：①f(x)是偶函數(shù)②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個零點④f(x)的最大值為2其中所有正確結論的編號是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③5．定義在R上的偶函數(shù)滿足，當時，，設函數(shù)，，則與的圖象所有交點的橫坐標之和為（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知的邊，的長分別為20,18，，則的角平分線的長為（）A． B． C． D．7．中國鐵路總公司相關負責人表示，到2018年底，全國鐵路營業(yè)里程達到13.1萬公里，其中高鐵營業(yè)里程2.9萬公里，超過世界高鐵總里程的三分之二，下圖是2014年到2018年鐵路和高鐵運營里程（單位：萬公里）的折線圖，以下結論不正確的是（）A．每相鄰兩年相比較，2014年到2015年鐵路運營里程增加最顯著B．從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程與年價正相關C．2018年高鐵運營里程比2014年高鐵運營里程增長80%以上D．從2014年到2018年這5年，高鐵運營里程數(shù)依次成等差數(shù)列8．過三點，，的圓交y軸于M，N兩點，則（）A．2 B．8 C．4 D．109．橢圓短軸的一個端點和兩個焦點相連構成一個三角形，若該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．已知，是兩條不同直線，，是兩個不同平面，則下列命題正確的是（）（A）若，垂直于同一平面，則與平行（B）若，平行于同一平面，則與平行（C）若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線（D）若，不平行，則與不可能垂直于同一平面11．已知，集合，集合，則從M到N的函數(shù)個數(shù)是（）A．6561 B．3363 C．2187 D．21012．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方體的棱長為1，E為線段上的一點，則三棱錐的體積為＿＿＿＿＿.14．的展開式中含項的系數(shù)是__________．15．已知一扇形的面積是8cm2，周長是12cm，則該扇形的圓心角α（0<α<π）的弧度數(shù)是_______16．如圖，在中，，，，點在邊上，且，將射線繞著逆時針方向旋轉(zhuǎn)，并在所得射線上取一點，使得，連接，則的面積為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.18．（12分）已知橢圓的左右焦點分別為，直線經(jīng)過橢圓的右焦點與橢圓交于兩點，且.（I）求直線的方程；（II）已知過右焦點的動直線與橢圓交于不同兩點，是否存在軸上一定點，使？（為坐標原點）若存在，求出點的坐標；若不存在說明理由.19．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為(其中為參數(shù)）.現(xiàn)以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點坐標為，直線交曲線于,兩點，求的值.20．（12分）如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點是圓柱底面面圓周上的點.（1）求證：平面；（2）當三棱錐體積最大時，求二面角的大小；（結果用反三角函數(shù)值表示）（3）若，是的中點，點在線段上，求的最小值.21．（12分）甲、乙、丙三名音樂愛好者參加某電視臺舉辦的演唱技能海選活動，在本次海選中有合格和不合格兩個等級．若海選合格記1分，海選不合格記0分．假設甲、乙、丙海選合格的概率分別為，他們海選合格與不合格是相互獨立的．（1）求在這次海選中，這三名音樂愛好者至少有一名海選合格的概率；（2）記在這次海選中，甲、乙、丙三名音樂愛好者所得分之和為隨機變量,求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．22．（10分）已知二次函數(shù)的圖象過原點，滿足，其導函數(shù)的圖象經(jīng)過點.求函數(shù)的解析式；設函數(shù)，若存在，使得對任意，都有，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：由題可知，然后根據(jù)復數(shù)的運算性質(zhì)及基本概念逐一核對四個選項得到正確答案.詳解：已知則選項A，，錯誤.選項B，，正確.選項C，，錯誤.選項D，，不恒成立，錯誤.故選B.點睛：本題考查了復數(shù)的運算法則、共軛復數(shù)的定義、復數(shù)模的計算.2、C【解題分析】

利用極坐標與直角坐標方程互化公式即可得出．【題目詳解】x＝cos，y＝sin，可得點M的直角坐標為．故選：C．【題目點撥】本題考查了極坐標與直角坐標方程互化公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3、A【解題分析】

利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，從而得到結論．【題目詳解】由題意，以頂點A為起點，其他頂點為終點的向量分別為，以頂點D為起點，其他頂點為終點的向量分別為，則利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，又因為分別為的最小值、最大值，所以，故選A．【題目點撥】本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運算公式，分析出向量數(shù)量積的正負是關鍵，著重考查了分析解決問題的能力，屬于中檔試題．4、C【解題分析】

化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案．【題目詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當時，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯誤．當時，，它有兩個零點：；當時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當時，；當時，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④正確，故選C．【題目點撥】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．5、B【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)與的圖象都關于直線對稱，作出兩個函數(shù)圖象，分析其交點情況即可得到答案.【題目詳解】由題意，函數(shù)滿足可知，函數(shù)的圖象關于直線對稱，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關于軸對稱，由函數(shù)可知，函數(shù)的圖象關于直線對稱，畫出函數(shù)與的圖象如圖所示：設圖中四個交點的橫坐標為，由圖可知，，所以函數(shù)與的圖象所有交點的橫坐標之和為4.故選：B【題目點撥】本題考查函數(shù)的奇偶性和對稱性、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；考查數(shù)形結合思想和運算求解能力；利用函數(shù)的奇偶性和對稱性作出函數(shù)圖象是求解本題的關鍵；屬于綜合型、難度大型試題.6、C【解題分析】

利用角平分線定理以及平面向量的線性運算法則可得，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算法則，化簡即可得結果.【題目詳解】如圖，因為是的角平分線，所以，所以，即.兩邊平方得，所以，故選C.【題目點撥】本題主要考查平面向量的線性運算法則，以及平面向量數(shù)量積的運算法則，屬于中檔題.向量數(shù)量積的運算主要掌握兩點：一是數(shù)量積的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.7、D【解題分析】

由折線圖逐項分析即可求解【題目詳解】選項，顯然正確；對于，，選項正確；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差數(shù)列，故錯.故選：D【題目點撥】本題考查統(tǒng)計的知識，考查數(shù)據(jù)處理能力和應用意識,是基礎題8、C【解題分析】

由已知得，，所以，所以，即為直角三角形，其外接圓圓心為AC中點，半徑為長為，所以外接圓方程為，令，得，所以，故選C．考點：圓的方程．9、C【解題分析】

利用等面積法得出、、的等式，可得出、的等量關系式，可求出橢圓的離心率.【題目詳解】由橢圓短軸的一個端點和兩個焦點所構成的三角形面積為，該三角形的周長為，由題意可得，可得，得，因此，該橢圓的離心率為，故選：C.【題目點撥】本題考查橢圓離心率的計算，解題時要結合已知條件列出有關、、的齊次等式，通過化簡計算出離心率的值，考查運算求解能力，屬于中等題.10、D【解題分析】由，若，垂直于同一平面，則，可以相交、平行，故不正確；由，若，平行于同一平面，則，可以平行、重合、相交、異面，故不正確；由，若，不平行，但平面內(nèi)會存在平行于的直線，如平面中平行于，交線的直線；由項，其逆否命題為“若與垂直于同一平面，則，平行”是真命題，故項正確.所以選D.考點：1.直線、平面的垂直、平行判定定理以及性質(zhì)定理的應用.11、C【解題分析】

由（1+x）8＝a0+a1x+a2x2+…+a77x+a8x8，可得a0＝a8＝1，a2＝a6＝28，a4＝1．即可得集合有7個元素，利用函數(shù)定義可得從M到N的函數(shù)個數(shù)．【題目詳解】解：由，可得，，．∴，共7個元素，則從M到N的函數(shù)個數(shù)是．故選：C．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應用，及函數(shù)定義，屬于中檔題．12、D【解題分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，由題意可得恒成立，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最值即可．【題目詳解】由函數(shù)，得，故據(jù)題意可得問題等價于時，恒成立，即恒成立，函數(shù)單調(diào)遞減，故而，故選D.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的導數(shù)的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的解法，函數(shù)恒成立的等價轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】以△為底面，則易知三棱錐的高為1，故14、5【解題分析】分析：先求展開式的通項公式，即可求含項的系數(shù).詳解：展開式的通項公式，可得展開式中含項，即，解得，展開式中含項的系數(shù)為.故答案為5.點睛：本題考查了二項式定理的應用，利用二項展開式的通項公式求展開式中某項的系數(shù)是解題關鍵.15、1【解題分析】

設半徑為，則，，可解出對答案．【題目詳解】設半徑為，則，,由有代入有：，解得或，當時，，當時，，又，所以.故答案為：【題目點撥】本題考查扇形的面積，弧度制公式等，屬于容易題．16、【解題分析】

由余弦定理求得，再結合正弦定理得，進而得，得，則面積可求【題目詳解】由，得，解得.因為，所以，，所以.又因為，所以.因為，所以.故答案為【題目點撥】本題考查正弦定理、余弦定理的應用，考查運算求解能力，是中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）．【解題分析】試題分析：（1）由所以．又因為底面平面；（2）如圖以為原點建立空間直角坐標系，求得平面的法向量和．試題解析：（1）連結，因為在中，，所以，所以．因為，所以．又因為底面，所以，因為，所以平面（2）如圖以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則．因為是棱的中點，所以．所以，設為平面的法向量，所以，即，令，則，所以平面的法向量因為是在棱上一點，所以設．設直線與平面所成角為，因為平面的法向量，所以．解得，即，所以考點：1、線面垂直；2、線面角.18、（1）或；（2）【解題分析】

（I）解法一：直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用弦長公式即可得出．解法二：利用焦半徑公式可得．（II）II）設l2的方程為與橢圓聯(lián)立：．假設存在點T（t，0）符合要求，設P（x1，y1），Q（x2，y2）．∠OTP=∠OTQ，再利用根與系數(shù)的關系即可得出．【題目詳解】解：（I）設的方程為與橢圓聯(lián)立得直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點，故恒成立，設，則，，解得，的方程為或；解2：由焦半徑公式有，解得.（II）設的方程為與橢圓聯(lián)立：，由于過橢圓內(nèi)一點，假設存在點符合要求，設，韋達定理：，點在直線上有，即，，解得.【題目點撥】解決解析幾何中探索性問題的方法存在性問題通常采用“肯定順推法”．其步驟為：假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在．19、（1），；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)參普互化和極值互化的公式得到標準方程；（2）聯(lián)立直線和圓的方程，得到關于t的二次，再由韋達定理得到.【題目詳解】（1）由消去參數(shù)，得直線的普通方程為又由得，由得曲線的直角坐標方程為，即；（2）其代入得，則所以.20、（1）詳見解析；（2）；（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)圓柱性質(zhì)可得,由圓的性質(zhì)可得,即可證明平面;（2）先判斷當三棱錐體積最大時的位置.過底面圓心作,即可得二面角的平面角為,根據(jù)所給線段關系解三角形即可求得,進而用反三角函數(shù)表示出即可.（3）將繞旋轉(zhuǎn)到使其共面,且在的反向延長線上,結合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值.【題目詳解】（1）證明:因為是圓柱的母線,平面所以又因為是圓柱的底面直徑所以,即又因為所以平面（2）當三棱錐體積最大時,底面積最大,所以到的距離最大,此時為設底面圓的圓心為,連接則,又因為所以平面因為,所以取中點,則過O作,垂足為則,所以為中點連接,由平面可知所以為二面角的平面角在中,,,所以則二面角的大小為（3）將繞旋轉(zhuǎn)到使其共面,且在的反向延長線上,如下圖所示:因為,,,,在中,由余弦定理可知則所以的最小值為【題目點撥】本題考查了線面垂直的判定,二面角的平面角作法及求法,空間中最短距離的求法