山西省同煤二中聯(lián)盟體2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

山西省同煤二中聯(lián)盟體2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一根細(xì)金屬絲下端掛著一個(gè)半徑為1cm的金屬球，將它浸沒底面半徑為2cm的圓柱形容器內(nèi)的水中，現(xiàn)將金屬絲向上提升，當(dāng)金屬球被拉出水面時(shí)，容器內(nèi)的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm2．定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)的的個(gè)數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．123．某品牌小汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/時(shí)）的函數(shù)解析式為.若要使該汽車行駛200千米時(shí)的油耗最低，則汽車勻速行駛的速度應(yīng)為（）A．60千米/時(shí) B．80千米/時(shí) C．90千米/時(shí) D．100千米/時(shí)4．在平行四邊形中，，點(diǎn)在邊上，，將沿直線折起成，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與直線共面 B．C．可以是直角三角形 D．5．由0,1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中0與2不相鄰的四位數(shù)有A．6個(gè) B．8個(gè) C．10個(gè) D．12個(gè)6．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家的市場部在對(duì)4家商場進(jìn)行調(diào)研時(shí)，獲得該產(chǎn)品售價(jià)單位：元和銷售量單位：件之間的四組數(shù)據(jù)如表：售價(jià)x46銷售量y1211109為決策產(chǎn)品的市場指導(dǎo)價(jià)，用最小二乘法求得銷售量y與售價(jià)x之間的線性回歸方程，那么方程中的a值為A．17 B． C．18 D．7．若函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，設(shè)曲線在處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．9．函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為()A．25,-2 B．50,-2 C．50,14 D．50,-1410．的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，設(shè)，則（）A． B． C． D．11．設(shè)集合,,,則集合中元素的個(gè)數(shù)為()A． B． C． D．12．名同學(xué)參加班長和文娛委員的競選，每個(gè)職務(wù)只需人，其中甲不能當(dāng)文娛委員，則共有（）種不同結(jié)果（用數(shù)字作答）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線、曲線的交點(diǎn)為則弦的長為______.14．觀察下列等式：，，，……可以推測____（，用含有的代數(shù)式表示）．15．某細(xì)胞集團(tuán)，每小時(shí)有2個(gè)死亡，余下的各個(gè)分裂成2個(gè)，經(jīng)過8小時(shí)后該細(xì)胞集團(tuán)共有772個(gè)細(xì)胞，則最初有細(xì)胞__________個(gè).16．從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）四個(gè)不同的小球放入編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)盒子中.(1)若每個(gè)盒子放一個(gè)球,則共有多少種不同的放法?(2)恰有一個(gè)空盒的放法共有多少種?18．（12分）若正數(shù)滿足，求的最小值.19．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若時(shí)，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.（3）已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，求證：（其中）.20．（12分）如圖,某軍艦艇位于島的的正西方處,且與島的相距12海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以10海里/小時(shí)的速度從島嶼出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄,同時(shí),該軍艦艇從處出發(fā)沿北偏東的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時(shí)追上.（1）求該軍艦艇的速度.（2）求的值.21．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)．(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長；(2)動(dòng)點(diǎn)P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值．22．（10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程．已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）．(1)設(shè)與相交于兩點(diǎn)，求；(2)曲線為（為參數(shù)），點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用等體積法求水面下降高度?！绢}目詳解】球的體積等于水下降的體積即，．答案：D．【題目點(diǎn)撥】利用等體積法求水面下降高度。2、C【解題分析】

由，得出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖像即可．【題目詳解】由于，所以，函數(shù)的周期為，且函數(shù)為偶函數(shù)，由，得出，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)與函數(shù)在上沒有交點(diǎn)，結(jié)合圖像可知，函數(shù)與函數(shù)圖象共有11個(gè)交點(diǎn)，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，有兩種做法：一是代數(shù)法，解代數(shù)方程；二是圖象法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，在畫函數(shù)的圖象是，要注意函數(shù)的各種性質(zhì)，如周期性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)的體現(xiàn)，屬于中等題．3、C【解題分析】分析：先設(shè)速度為x千米/小時(shí)，再求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解：當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，時(shí)間為小時(shí)，所以f(x)=所以令當(dāng)x∈（0,90）時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（90,120）時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.所以x=90時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值.故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和解決實(shí)際問題的能力.(2)如果求函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最值，則必須通過求導(dǎo)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后確定函數(shù)的最值．4、C【解題分析】

（1）通過證明是否共面，來判斷直線與直線是否共面；（2）取特殊位置，證明是否成立；（3）尋找可以是直角三角形的條件是否能夠滿足；（4）用反證法思想，說明能否成立．【題目詳解】，如圖，因?yàn)樗狞c(diǎn)不共面，所以面，故直線與直線不共面；沿直線折起成，位置不定，當(dāng)面面，此時(shí)；取中點(diǎn)，連接，則，若有，則面即有，在中，明顯不可能，故不符合；在中，,，而，所以當(dāng)時(shí)，可以是直角三角形；【題目點(diǎn)撥】本題通過平面圖形折疊，考查學(xué)生平面幾何知識(shí)與立體幾何知識(shí)銜接過渡能力，涉及反證法、演繹法思想的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象和邏輯推理能力．5、B【解題分析】分析：首先求由0,1,2,3組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)：先排千位數(shù)，有種排法，再排另外3個(gè)數(shù)，有種排法，利用乘法原理能求出組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)；然后求數(shù)字0，2相鄰的情況：，先把0，2捆綁成一個(gè)數(shù)字參與排列，再減去0在千位的情況，由此能求出其中數(shù)字0，2相鄰的四位數(shù)的個(gè)數(shù)．最后，求得0與2不相鄰的四位數(shù)詳解：由數(shù)字0，1，2，3組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有：．

其中數(shù)字0，2相鄰的四位數(shù)有：則0與2不相鄰的四位數(shù)有。故選B點(diǎn)睛：本題考查排列數(shù)的求法，考查乘法原理、排列、捆綁法，間接法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】

求出樣本中心點(diǎn)，代入線性回歸方程，即可求出a的值．【題目詳解】由題意，，，線性回歸方程，，．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過樣本中心點(diǎn)．7、D【解題分析】

先設(shè)，，則函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，再求函數(shù)的單調(diào)性判斷即可得解.【題目詳解】解：由得，設(shè)，，則函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，∴，又，，又函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查了函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題，屬基礎(chǔ)題。8、C【解題分析】

由題意可得對(duì)任意恒成立，可得，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得在點(diǎn)處切線的斜率，進(jìn)而可求出在點(diǎn)處切線的方程，將點(diǎn)代入切線的方程即可求出，進(jìn)而可求出，再利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系，即可到答案．【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，所以，，所以，所以，所以函數(shù)在處的切線的斜率，又，所以切線的方程為，又切線過點(diǎn)，所以，解得，所以函數(shù)在處的切線的斜率，所以，所以，所以．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的對(duì)稱中心方程應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義及在一點(diǎn)處的切線的方程，同時(shí)考查誘導(dǎo)公式和同角基本關(guān)系，屬于中檔題．9、B【解題分析】

求導(dǎo)，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值和兩端點(diǎn)的函數(shù)值，可得函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2在區(qū)間[﹣4，2]上的最大值和最小值．【題目詳解】∵函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2，∴f′（x）＝6x2+18x，當(dāng)x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)x∈（﹣3，0）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，故函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2在區(qū)間[﹣4，2]上的最大值和最小值分別為50，﹣2，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值及函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于中檔題．10、B【解題分析】

先求出的值，再根據(jù)，利用通項(xiàng)公式求出的值.【題目詳解】令，可得的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，，設(shè)，則.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理求多項(xiàng)式的系數(shù)和，二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解題分析】

由題意可得出：從,,任選一個(gè)；或者從,任選一個(gè)；結(jié)合題中條件,確定對(duì)應(yīng)的選法，即可得出結(jié)果．【題目詳解】解：根據(jù)條件得：從,,任選一個(gè),從而,,任選一個(gè),有種選法；或時(shí),,有兩種選法；共種選法；C中元素有個(gè)．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查列舉法求集合中元素個(gè)數(shù)，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.12、B【解題分析】

先安排甲以外的一人擔(dān)任文娛委員，再從剩下的3人選一人擔(dān)任班長即可．【題目詳解】先從甲以外的三人中選一人當(dāng)文娛委員，有3種選法，再從剩下的3人選一人擔(dān)任班長，有3種選法，故共有種不同結(jié)果．故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根就極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，求得曲線的直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式，即可求解的長.詳解：由,,將曲線與的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為:,即,故為圓心為,半徑為的圓,:,即,表示過原點(diǎn)傾斜角為的直線，因?yàn)榈慕鉃?，，所?點(diǎn)睛：本題主要考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化，以及直線與圓的弦長的求解，其中熟記極坐標(biāo)與直角的坐標(biāo)互化，以及直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想方法以及推理與計(jì)算能力.14、或或【解題分析】

觀察找到規(guī)律由等差數(shù)列求和可得.【題目詳解】由觀察找到規(guī)律可得：故可得解.【題目點(diǎn)撥】本題考查觀察能力和等差數(shù)列求和，屬于中檔題.15、7.【解題分析】

設(shè)開始有細(xì)胞a個(gè)，利用細(xì)胞生長規(guī)律計(jì)算經(jīng)過1小時(shí)、2小時(shí)后的細(xì)胞數(shù)，找出規(guī)律，得到經(jīng)過8小時(shí)后的細(xì)胞數(shù)，根據(jù)條件列式求解.【題目詳解】設(shè)最初有細(xì)胞a個(gè)，因?yàn)槊啃r(shí)有2個(gè)死亡，余下的各個(gè)分裂成2個(gè)，所以經(jīng)過1個(gè)小時(shí)細(xì)胞有，經(jīng)過2個(gè)小時(shí)細(xì)胞有=，······經(jīng)過8個(gè)小時(shí)細(xì)胞有，又，所以，，.故答案為7.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，找出規(guī)律、構(gòu)造數(shù)列是解題關(guān)鍵，考查閱讀理解能力及建模能力，屬于基礎(chǔ)題.16、1【解題分析】試題分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率計(jì)算公式求出事件A的概率，同樣利用古典概型概率計(jì)算公式求出事件AB的概率，然后直接利用條件概率公式求解．解：P（A）=，P（AB）=．由條件概率公式得P（B|A）=．故答案為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了條件概率與互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，解答的關(guān)鍵在于對(duì)條件概率的理解與公式的運(yùn)用，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)24;(2)144.【解題分析】分析：（1）直接把4個(gè)球全排列即得共有多少種不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.詳解：(1)每個(gè)盒子放一個(gè)球,共有=24種不同的放法.(2)先選后排,分三步完成:第一步:四個(gè)盒子中選一只為空盒,有4種選法;第二步:選兩球?yàn)橐粋€(gè)元素,有種選法;第三步:三個(gè)元素放入三個(gè)盒中,有種放法.故共有4×6×6=144種放法.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查計(jì)數(shù)原理和排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用解法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對(duì)象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復(fù)雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.18、【解題分析】試題分析：由柯西不等式得，所以試題解析：因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，且，所以．于是由均值不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立．從而．故的最小值為．此時(shí)．考點(diǎn)：柯西不等式19、（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）；（3）證明見解析【解題分析】

（1）求出，然后分和兩種情況討論（2）由（1）中的結(jié)論，要使恰有1個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)的最小值為0（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即，然后可得，由此可證明，然后兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)即可【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使恰有1個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)的最小值為0，即，解得（3）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，即令，得則，，，…，，即兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得：【題目點(diǎn)撥】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)及證明不等式，屬于較難題.20、（1）14海里/小時(shí)；（2）.【解題分析】分析：（1）由題設(shè)可以得到的長，在中利用余弦定理可以得到的長，從而得到艦艇的速度；（2）在中利用正弦定理可得的值.詳解：(1)依題意知，，，在中，由余弦定理得，解得，所以該軍艦艇的速度為海里/小時(shí)．(2)在中，由正弦定理，得，即．點(diǎn)睛：與解三角形相關(guān)的實(shí)際問題中，我們常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它們的差別.另外，把實(shí)際問題抽象為解三角形問題時(shí)，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，這樣才能確定用什么定理去解決.21、（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.【解題分析】

（1）圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，直線l的參數(shù)方程代入圓C的的直角坐標(biāo)方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義，即可求解；（2）要求△ABP的面積的最大值，只需求出點(diǎn)P到直線l距離的最大值，將點(diǎn)P