群、環(huán)、域的基本概念與性質(zhì)

群、環(huán)、域的基本概念與性質(zhì)匯報(bào)人：XX2024-01-29群的基本概念與性質(zhì)環(huán)的基本概念與性質(zhì)域的基本概念與性質(zhì)群、環(huán)、域之間的關(guān)系群、環(huán)、域的應(yīng)用舉例contents目錄01群的基本概念與性質(zhì)群是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)，由一個(gè)非空集合和該集合上的一個(gè)二元運(yùn)算構(gòu)成，滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合律、有單位元和存在逆元四個(gè)基本性質(zhì)。群通常用大寫(xiě)字母表示，如$G$，而群中的元素用小寫(xiě)字母表示，如$a,b,cinG$。群的二元運(yùn)算通常用符號(hào)“$cdot$”或“$+$”表示，如無(wú)特別說(shuō)明，一般認(rèn)為群的運(yùn)算是滿(mǎn)足交換律的。群的定義及表示方法對(duì)于任意兩個(gè)元素$a,binG$，它們的運(yùn)算結(jié)果仍在$G$中，即$acdotbinG$。封閉性結(jié)合律單位元逆元對(duì)于任意三個(gè)元素$a,b,cinG$，有$(acdotb)cdotc=acdot(bcdotc)$。存在唯一元素$einG$，使得對(duì)于任意元素$ainG$，有$ecdota=acdote=a$。對(duì)于任意元素$ainG$，存在唯一元素$binG$，使得$acdotb=bcdota=e$，稱(chēng)$b$為$a$的逆元。群的運(yùn)算性質(zhì)子群與陪集設(shè)$H$是群$G$的一個(gè)非空子集，如果$H$關(guān)于$G$的運(yùn)算也構(gòu)成群，則稱(chēng)$H$是$G$的子群。陪集設(shè)$H$是群$G$的一個(gè)子群，對(duì)于任意元素$ainG$，稱(chēng)集合${ah|hinH}$為$H$的一個(gè)左陪集，稱(chēng)集合${ha|hinH}$為$H$的一個(gè)右陪集。陪集的性質(zhì)左陪集和右陪集都是群$G$的子集，且對(duì)于任意兩個(gè)左陪集或右陪集，它們要么相等要么不相交。子群群的同態(tài)設(shè)$(G,cdot)$和$(H,*)$是兩個(gè)群，如果存在一個(gè)映射$varphi:GtoH$，使得對(duì)于任意兩個(gè)元素$a,binG$，都有$varphi(a*b)=varphi(a)cdotvarphi(b)$，則稱(chēng)$varphi$為從$(G,cdot)$到$(H,*)$的一個(gè)同態(tài)映射。群的同構(gòu)如果同態(tài)映射$varphi:GtoH$既是單射又是滿(mǎn)射，則稱(chēng)$varphi$為從$(G,cdot)$到$(H,*)$的一個(gè)同構(gòu)映射，此時(shí)稱(chēng)群$(G,cdot)$和$(H,*)$是同構(gòu)的。同態(tài)核設(shè)$varphi:GtoH$是一個(gè)同態(tài)映射，稱(chēng)集合${ainG|varphi(a)=e_H}$為$varphi$的核，記作$kervarphi$。其中$e_H$是群$(H,*)$的單位元。同態(tài)核是群$(G,cdot)$的一個(gè)正規(guī)子群。群的同態(tài)與同構(gòu)02環(huán)的基本概念與性質(zhì)123環(huán)是一種具有兩種二元運(yùn)算的代數(shù)結(jié)構(gòu)，通常表示為$(R,+,*)$，其中$R$是一個(gè)非空集合，$+$和$*$分別是$R$上的兩種二元運(yùn)算。環(huán)中的元素對(duì)加法構(gòu)成阿貝爾群，即滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律、存在零元、存在逆元。環(huán)中的元素對(duì)乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，且乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律。環(huán)的定義及表示方法對(duì)于任意$a,binR$，有$a*binR$。乘法封閉性對(duì)于任意$a,b,cinR$，有$(a*b)*c=a*(b*c)$。乘法結(jié)合律對(duì)于任意$a,b,cinR$，有$a*(b+c)=a*b+a*c$和$(a+b)*c=a*c+b*c$。乘法對(duì)加法的分配律存在$1inR$，使得對(duì)于任意$ainR$，有$1*a=a*1=a$。存在乘法單位元環(huán)的運(yùn)算性質(zhì)設(shè)$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子集，若$S$對(duì)$+$和$*$也構(gòu)成環(huán)，則稱(chēng)$(S,+,*)$是$(R,+,*)$的子環(huán)。子環(huán)設(shè)$I$是環(huán)$R$的子集，若$I$對(duì)加法構(gòu)成阿貝爾群，且對(duì)于任意$rinR$和任意$iinI$，有$r*iinI$和$i*rinI$，則稱(chēng)$I$是環(huán)$R$的理想。理想設(shè)$I$是環(huán)$R$的理想，定義集合$R/I={r+I|rinR}$，其中$r+I={r+i|iinI}$。在集合$R/I$上定義加法和乘法運(yùn)算，使其構(gòu)成環(huán)，稱(chēng)為環(huán)$R$關(guān)于理想$I$的商環(huán)。商環(huán)子環(huán)、理想與商環(huán)環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)設(shè)$(R_1,+_1,*_1)$和$(R_2,+_2,*_2)$是兩個(gè)環(huán)，若存在映射$varphi:R_1rightarrowR_2$，使得對(duì)于任意$a,binR_1$，有$varphi(a+_1b)=varphi(a)+_2varphi(b)$和$varphi(a*_1b)=varphi(a)*_2varphi(b)$，則稱(chēng)$varphi$是環(huán)同態(tài)。環(huán)同態(tài)若環(huán)同態(tài)$varphi:R_1rightarrowR_2$既是單射又是滿(mǎn)射，則稱(chēng)$varphi$是環(huán)同構(gòu)。此時(shí)稱(chēng)環(huán)$(R_1,+_1,*_1)$與$(R_2,+_2,*_2)$同構(gòu)。環(huán)同構(gòu)03域的基本概念與性質(zhì)域是一種特殊的環(huán)，滿(mǎn)足乘法交換律和乘法消去律。域中的元素關(guān)于加法和乘法構(gòu)成阿貝爾群，且乘法對(duì)加法滿(mǎn)足分配律。通常用大寫(xiě)字母F,K等表示域，域中的元素用小寫(xiě)字母a,b,c等表示。域的定義及表示方法加法交換律和結(jié)合律對(duì)于任意a,b,c∈F，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)。乘法交換律和結(jié)合律對(duì)于任意a,b,c∈F，有ab=ba，(ab)c=a(bc)。分配律對(duì)于任意a,b,c∈F，有a(b+c)=ab+ac，(a+b)c=ac+bc。乘法消去律對(duì)于任意a,b∈F，若ab=0，則a=0或b=0。域的運(yùn)算性質(zhì)子域設(shè)F是一個(gè)域，S是F的一個(gè)非空子集。如果S關(guān)于F中的加法和乘法也構(gòu)成一個(gè)域，則稱(chēng)S是F的一個(gè)子域。擴(kuò)域設(shè)K是F的一個(gè)擴(kuò)域，即K包含F(xiàn)作為一個(gè)子域。如果K中的元素都是F上的代數(shù)元，則稱(chēng)K是F的一個(gè)代數(shù)擴(kuò)域；否則，稱(chēng)K是F的一個(gè)超越擴(kuò)域。子域與擴(kuò)域同態(tài)設(shè)F和K是兩個(gè)域，如果存在一個(gè)從F到K的映射σ，使得對(duì)于任意a,b∈F，有σ(a+b)=σ(a)+σ(b)，σ(ab)=σ(a)σ(b)，則稱(chēng)σ是從F到K的一個(gè)同態(tài)映射。同構(gòu)如果同態(tài)映射σ既是單射又是滿(mǎn)射，則稱(chēng)σ是從F到K的一個(gè)同構(gòu)映射，此時(shí)稱(chēng)F和K是同構(gòu)的。同構(gòu)的域具有相同的代數(shù)性質(zhì)。域的同態(tài)與同構(gòu)04群、環(huán)、域之間的關(guān)系聯(lián)系群和環(huán)都是代數(shù)結(jié)構(gòu)，都可以在其上定義加法和乘法運(yùn)算。環(huán)中的加法運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群。區(qū)別群只要求有一種運(yùn)算滿(mǎn)足封閉性、結(jié)合律、有單位元、有逆元，而環(huán)則要求有兩種運(yùn)算（加法和乘法），并且乘法運(yùn)算不要求有逆元，但要滿(mǎn)足分配律。群與環(huán)的聯(lián)系與區(qū)別環(huán)與域的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系環(huán)和域都是代數(shù)結(jié)構(gòu)，都可以在其上定義加法和乘法運(yùn)算。域是一種特殊的環(huán)，其中的非零元素都有乘法逆元。區(qū)別環(huán)中的元素不一定都有乘法逆元，而域中的非零元素都有乘法逆元。此外，域中的乘法運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，而環(huán)則不一定。03環(huán)和域是研究數(shù)論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓?fù)涞阮I(lǐng)域的基礎(chǔ)工具，對(duì)于理解數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和解決實(shí)際問(wèn)題具有重要意義。01群、環(huán)、域是代數(shù)結(jié)構(gòu)中的基本概念，它們?cè)跀?shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。02群論是研究對(duì)稱(chēng)性和變換的重要工具，在密碼學(xué)、圖論、量子力學(xué)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。群、環(huán)、域在代數(shù)結(jié)構(gòu)中的地位05群、環(huán)、域的應(yīng)用舉例利用群中的可逆運(yùn)算，如置換群，設(shè)計(jì)對(duì)稱(chēng)加密算法。對(duì)稱(chēng)加密非對(duì)稱(chēng)加密密鑰交換基于群論中的離散對(duì)數(shù)問(wèn)題，構(gòu)造如RSA等非對(duì)稱(chēng)加密算法。利用群的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)Diffie-Hellman等密鑰交換協(xié)議。030201群在密碼學(xué)中的應(yīng)用環(huán)上的線性空間與線性碼密切相關(guān)，可用于糾錯(cuò)編碼。線性碼利用環(huán)中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，構(gòu)造具有優(yōu)良性質(zhì)的循環(huán)碼。循環(huán)碼通過(guò)環(huán)的同態(tài)映射，將復(fù)雜編碼問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單環(huán)上的編碼問(wèn)題。環(huán)的同態(tài)與編碼環(huán)