有理數(shù)復(fù)習有答案

有理數(shù)綜合復(fù)習

基礎(chǔ)訓(xùn)練題

一，填空：

1,在數(shù)軸上表示一2的點到原點的距離等于（）o

2,若|aI=—a,則a（）0.

3,任何有理數(shù)的肯定值都是（）。

4,假如a+b=0,那么a,b肯定是（）。

5,將0.1毫米的厚度的紙對折20次，列式表示厚度是

（）。

6,已知|a|=3,網(wǎng)=2,|a——貝l」a+h=（）

7,|x-2|+|x+3|的最小值是（）o

8,在數(shù)軸上，點A,B分別表示」,，則線段AB的中點所表

42

示的數(shù)是（）o

9,若a,b互為相反數(shù)，也〃互為倒數(shù)，P的肯定值為3,則

10,若abc/0,則皿+乎+q的值是（）

abc

11,下列有規(guī)律排列的一列數(shù)：1,|,|,|,…,

其中從左到右第100個數(shù)是（）o

二，解答問題：

1,已知x+3=0,|y+5|+4的值是4,z對應(yīng)的點到-2對應(yīng)的點的

距離是7,求x,y,z這三個數(shù)兩兩之積的和。

3,若2x+|4-5x|+|l-的值恒為常數(shù)，求x滿意的條件和此時

常數(shù)的值。

20a20l0

4,若a,b,c為整數(shù)，且\a-b\'+\c-a\=\,試求

\c-u\-\-\ci—h\-\-\b-c\的I彳百o

5,計算：一上+2—N+2—U+12—竺+1Z

26122030425672

實力培訓(xùn)題

知識點一：數(shù)軸

例L已知有理數(shù)4在數(shù)軸上原點的右方，有理數(shù)力在原點的左方,

那么（）

A.ab<bB.ab>bC.a+b>0D.a-b>0

拓展訓(xùn)練：

1,如圖a力為數(shù)軸上的兩點表示的有理數(shù)，在

a+b,b-2a,\a-^,\^一時中，負數(shù)的個數(shù)看"（）~Ob>

A.1B.2C.3D.4

2,把滿意2<|a|W5中的整數(shù)a表示在數(shù)軸上，并用不等號連接。

2,利用數(shù)軸能直觀地說明相反數(shù)；

例2：假如數(shù)軸上點A到原點的距離為3,點B到原點的距離為

5,那么A,B兩點的距離為。

拓展訓(xùn)練：

1,在數(shù)軸上表示數(shù)。的點到原點的距離為3,則4—3=.

2,已知數(shù)軸上有A,B兩點，A,B之間的距離為1,點A及

原點0的距離為3,那么全部滿意條件的點B及原點0的距離之

和等于。

3,利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大??；

例3:已知a>0,/?<0且”+。<0,那么有理數(shù)a,8,-。,|母的大小關(guān)系是。

（用“<”號連接）

拓展訓(xùn)練：

1、若加<0,〃>0且帆>網(wǎng),-m,—n,m+n,m—n,n-m的大小，并用

號連接。

例4:已知a<5,比較同及4的大小

拓展訓(xùn)練：

1,已知a>-3,試探討時及3的大小

2,已知兩數(shù)a,6,假如。比b大，試推斷時及網(wǎng)的大小

4,利用數(shù)軸解決及肯定值相關(guān)的問題。

例5:有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子

M+網(wǎng)+k+q+Ld化簡結(jié)果為（）

A.2a+3b-cB.3b-cC.b+cD.c-b

拓展訓(xùn)練：

1,有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡

\a+t\-\h-l\-\a-(]-\l-c|的結(jié)養(yǎng):力。-—71**

2,已知|a+4+|a-*卻，在數(shù)軸上給出關(guān)于a2的四種狀況如圖

所示，則成立的是。

3,a已0知b有理數(shù)ab”,0c在藪a軸上0的a對應(yīng)b的位置O如b下a圖：則

\c-^+\a-(\+\a-^和呷后.結(jié)號是'j~

A?/?—1B.2a—b—1C.1+2a—b—2cD.1—2c+b

三，提高練習

1,已知是有理數(shù)，且如-葉+a+葉4，那以x+y的值是

()

A.-B.-C.，或-3D.-1或3

22222

2,如圖，數(shù)軸上一動點A向左移動2個單位長度到達點3,再

-----—?

向右移動5個單位長度到達點C.若點。表康圓加3點A表

示的數(shù)為()°1

A.7B.3C.-3D.-2

3,如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點

A,B,C,D對應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a,牝,小且4-2哈1?,?那名譯攵

ABCD

軸的原點應(yīng)是（)

A.A點B.B點C.C點D.D點

4,數(shù)〃力,c,d所對應(yīng)的點A,B,C,D在數(shù)軸上的位置如圖所示,

那么a+c及匕+d的大小關(guān)系是（—AD0CB

A.a+c<b+dB.a+c-b+dC.a+ob+dD.不

確定的

5,不相等的有理數(shù)a/,c在數(shù)軸上對應(yīng)點分別為A,B,C,若

-4+?-=|a-c|,那么點B（）

A.在A,C點右邊B.在A,C點左邊C.在A,C

點之間D.以上均有可能

6,設(shè)y=k-l|+k+l],則下面四個結(jié)論中正確的是（）

A.y沒有最小值B.只一個X

使y取最小值

C.有限個x（不止一個）使y取最小值D.有無窮多

個x使y取最小值

7,在數(shù)軸上，點A,B分別表示-‘和L則線段AB的中點所

35

表示的數(shù)是。

8,若a>0,/?<0,則使卜一4+,一母=4一人成立的x的取值范圍是。

9,x是有理數(shù)，則公坐+龍+曇的最小值是。

10,已知aScd為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：

且6|4=期=31cl=4|《=6,求|3a—2d—做—2?|+|2Z>—c|的值。

11,(1)閱讀下面材料：

點A,B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)&力，A,B兩點這間的距離表

示為|Aq,當A,B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點,

如圖1,|M=3=W=|a-4；當A,2?兩*都不在源夢寸，:A

①如圖2,點A,B都在原點的右邊

q=|OB|—=網(wǎng)一時=人一Q=|a—4;

②如圖3,點A,B都在原點的左邊

|AB|=|OB|-|O/4|=網(wǎng)_時=;

③如圖4,點A,B在原點的兩邊

BAO

???A

=|O4|+Qfi|=時+.=a+(-")=|a_q。bao

綜上，數(shù)軸上A,B兩點之間的距離［M=k］。人

???A

(2)回答下列問題：b。。

①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示-2和-5的

兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是；

②數(shù)軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是，假如|A目=2,

那么x為；

③當代數(shù)式卜+1|+卜-2|取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是；

④求|x-l|+|x-2|+k-3|+…+k-199彳的最小值。

肯定值復(fù)習

一，引言

肯定值是初中代數(shù)中的一個重要概念，引入肯定值概念之后，對

有理數(shù)，相反數(shù)以和后續(xù)要學(xué)習的算術(shù)根可以有進一步的理

解；肯定值又是初中代數(shù)中一個基本概念,在求代數(shù)式的值，代

數(shù)式的化簡，解方程及解不等式時，經(jīng)常遇到含有肯定值符號

的問題，理解，駕馭肯定值概念應(yīng)留意以下幾個方面：

1,脫去絕值符號是解肯定值問題的切入點。

脫去肯定值符號常用到相關(guān)法則，分類探討，數(shù)形結(jié)合等知

識方法。

去肯定值符號法則：

2,恰當?shù)剡\用肯定值的幾何意義

從數(shù)軸上看表示數(shù)a的點到原點的距離；卜-可表示數(shù)明數(shù)。

的兩點間的距離。

3,敏捷運用肯定值的基本性質(zhì)

二，知識點復(fù)習

1,去肯定值符號法則

例1:已矢口時=5,設(shè)=3且—4=/?一a那么a+〃=。

拓展訓(xùn)練：

1,已知時=1,忖=2,口=3,且a>b>c,那么（a+Z?-c）2=。

2,若同=8弧=5,且a+A>0,那么a-Z>的值是（）

A.3或13B.13或T3C.3或-3D.-3或T3

拓展訓(xùn)練：

1、已矢口,一3|+k+2|的最小值是a,卜一3|—卜+2）的最大值為人，求a+。

的值。

三，提高訓(xùn)練

1,如圖，有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖/示10—b1

則在a+a人-2aM-卜-q,|a+2|,-|b-中，負數(shù)共有（）

A.3個B.1個C.4個D.2個

2,若加是有理數(shù)，則帆-加肯定是（）

A,零B.非負數(shù)C.正數(shù)D.負數(shù)

3,假如卜-2|+%-2=0,那么x的取值范圍是（）

A.x>2B.x<2C.x>2D.x<2

4,a功是有理數(shù)，假如小a+。，那么對于結(jié)論（1）?？隙ú?/p>

是負數(shù)；（2）匕可能是負數(shù)，其中（）

A.只有（1）正確B.只有（2）正確C.（1）（2）都正

確D.（1）（2）都不正確

5,已知同=-a,則化簡所得的結(jié)果為()

A.-1B.1C.2a-3D.3-2a

6,已知0WaW4,那么卜-2|+|3-a|的最大值等于()

A.1B.5C.8D.9

8,滿意,一可=時+網(wǎng)成立的條件是()

A.ab>0B.ab>\C.ab<QD.ab<\

9,若2c<5,則代數(shù)式=-?3+兇的值為。

x-52-xx

10,若必>0,則@+@-園的值等于。

ahah

11,已知a,〃,c是非零有理數(shù)，且a+h+c=O,abc>0,求

abcabc的/古

用川甲網(wǎng)的值。

13,閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：

x(%>0)

我們知道兇=0(x=o),現(xiàn)在我們可以用這一個結(jié)論來化簡含

-x(%<0)

有肯定值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式|x+l|+|x-2|時，可令無+1=0和

工-2=0,分別求得了=一1,%=2(稱-1,2分另lj為卜+及卜-2|的零點

值)。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值％=和x=2可將全體有理數(shù)分成

不重復(fù)且不遺漏的如下3種狀況：

(1)當xv-1時，原式二一(工+1)-(%-2)=-2無+1；

(2)當-lKx<2時，原式=x+l-(x-2)=3;

(3)當xN2時，原式=x+l+x-2=2x-l。

—2,x+1(x<—1)

綜上探討，原式二?3(-1<%<2)

2x-1(x>2)

通過以上閱讀，請你解決以下問題：

⑴分別求出|尤+2|和|尤-4|的零點值;(2)化簡代數(shù)式|尤+2|+|尤-4|

14,(1)當x取何值時，卜-3|有最小值？這個最小值是多少？

(2)當x取何值時，5-卜+2|有最大值？這個最大值是多少？(3)

求卜-4|+卜-5|的最小值。(4)求卜-7|+忖-@+|尤-?的最小值。

15,某公共汽車運營線路AB段上有A,D,C,B四個汽車

站，如圖，現(xiàn)在要在AB段上修建一個加油站M,為了使加油站

選址合理，要求A,B,C,D四個汽奉站駒加施站卡的路程總和

最小，試分析加油站M在何處選址最好？

16,先閱讀下面的材料，然后解答問題：

在一條直線上有依次排列的〃(”1)臺機床在工作，我們要設(shè)置一

個零件供應(yīng)站P,使這〃臺機床到供應(yīng)耕P的距離總和最小，要

AiN?3A2(p)&Aa

解決遽個問題，浣“退”到郵箱單的情孵

如圖①，假如直線上有2臺機床(甲，乙)時,很明顯P設(shè)在4

和4之間的任何地方都行，因為甲和乙分別到P的距離之和等于

A到A?的距離.

如圖②，假如直線上有3臺機床(甲，乙，丙)時，不難推斷，P

設(shè)在中間一臺機床4處最合適，因為假如P放在A?處，甲和丙分

別到P的距離之和恰好為A到A-,的距離；而假如P放在別處，例

如D處，那么甲和丙分別到P的距離之和仍是&到4的距離，可

是乙還得走從4到D近段距離，這是多出來的，因此P放在為處

是最佳選擇。不難知道，假如直線上有4臺機床，P應(yīng)設(shè)在第2

臺及第3臺之間的任何地方；有5臺機床，P應(yīng)設(shè)在第3臺位置。

問題(1)：有〃機床時，P應(yīng)設(shè)在何處？

問題(2)依據(jù)問題(1)的結(jié)論，求卜-1|+卜—2|+卜一3|+...+,-617|

的最小值。

有理數(shù)的運算復(fù)習

一，引言

在小學(xué)里我們已學(xué)會依據(jù)四則運算法則對整數(shù)和分數(shù)進行

計算，當引進負數(shù)概念后，數(shù)集擴大到了有理數(shù)范圍，我們又學(xué)

習了有理數(shù)的計算，有理數(shù)的計算及算術(shù)數(shù)的計算有很大的不

同：首先，有理數(shù)計算每一步要確定符號；其次，代數(shù)及算術(shù)不

同的是“字母代數(shù)”，所以有理數(shù)的計算許多是字母運算，也就

是通常說的符號演算。

數(shù)學(xué)競賽中的計算通常及推理相結(jié)合，這不但要求我們能正確地

算出結(jié)果，而且要擅長視察問題的結(jié)構(gòu)特點，將推理及計算相結(jié)

合，敏捷選用算法和技巧，提高計算的速成度，有理數(shù)的計算常

用的技巧及方法有：1,利用運算律；2,以符代數(shù)；3,裂項

相消；4,分解相約；5,巧用公式等。

二，知識點反饋

1,利用運算律：加法運算律］力口法交換律U+8=b+a乘法運算律

［加法結(jié)合律^+(b+c)=(a+b)+c

乘法交換鍬

,乘法結(jié)合南???c)=(4

乘法分配聞0+c、)=ab+ac

|卜275+(-7同

例1：計算：4-

拓展訓(xùn)練：

1,計算

227

(1)-0.6-0.08+--------0.92+2+—

51111

(2)%*(3+升］+口+9+\2

11)44

例2：計算：(-哈卜0

拓展訓(xùn)練：

1、計算：(2x3x4x5)x0

!345J

2,裂項相消

(1)a+b班;⑵I11；(3)m]_1

ah+1)nn+1n(n+m)nn+m

(4)211

+〃+2)n(n+1)++

例3,計算+_J_+_!_+…+

1x22x33x42009x2010

拓展訓(xùn)練:

1，計算：、白十%

2007x2009

3,整體替換

「7-11,,377、12?17的8

例4：計算:17---1-27---11—+13---1-8----5—

271739172739

解：分析:

拓展訓(xùn)練:

1、計算:

4,分解相消

2

r

例5：計算:Ix2x4+2x4x8d—+n-2n-4n

<1X3X9+2X6X18d---1-n-3n?9n

三,提高訓(xùn)練

/2009

1,。是最大的負整數(shù)，。是肯定值最小的有理數(shù)，則/助+祟二。

2(X)8

2,計算：⑴*+￡+左1+...-----------

1997x1999

(2)(-0.25)，x(—8F—12+(-2)4

3,若a及-?；橄喾磾?shù)，則1898f+9吐

計算:+…+

9898

5,計算:2-22-23-24-25-26-27-28-29+21°=o

6,-理，-巴，-幽，-奧這四個數(shù)由小到大的排列順序是。

199898199999

7,計算：3.14x31.4+628x0.686+68.6x6.86=()

A.3140B.628C.1000D.1200

g1-2+3—4H—,-14+15上與j二()

'-2+4-6+8-?.?+28-30寸

A.-B.--C.-D.--

4422

計算:5x6+4+2.5x3+2

2x9+8+1x45+4

C-V

10,為了求1+22+23+…+22008的值，可令S=l+2?+23+…+22008,

則2s=22+23+24+-+22009,因此2S-S=22009-1,所以

1+22+23+...+22008=22°09-1仿照以上推理計算出1+52+53+...+52009

的值是()

A,52009-1B,52O1O-1C,三二ID,5*

44

11，，02，〃3,…。2004都是正數(shù)，假如

M=(“1+。2+…+。2003卜(。2+。3+…+。2004)

N=(%+a2+?■■+a2004)x(a2+a3+???+a2OO3)，那么M,N的大小關(guān)系是

)

A.M>NB.M=NC.M<ND.不確定

12,設(shè)三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為l,a+da的形式，又

可表示為0,2為的形式，求或知+從頌的值

a

13,計算

(1)5.7x0.00036-(0.19x0.006-5700x0.0000001M)

(2)(-0.25)4x(-8)3+一》(一6.5)+(一2)4+(一6)+(一*)

14,已知狐〃互為相反數(shù)，a力互為負倒數(shù)，x的肯定值等于3,

求Jr'一(1+m+〃+ab)x2+(zn+n)x2<)l)l+(-ab)20m的值

15,已矢川ab—2|+—2|=0,

求益+(?+1\/?+1)+(O+2X&+2)+…+(a+2006腦+2006)的值

16,圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，

最上面一層有一個圓圈，以下各層均比上一層多一個圓圈，一共

堆了〃層.將圖1倒置后及原圖1拼成圖2的形態(tài)，這樣我們可

以算出圖1中全部圓圈的個數(shù)為"2+3+…+〃=智.

OO---QC)Q.

第1星Q；,,…PPQ.

慕：OO---Oo9^5o--"c&

OO---OOOO--OO

置也層囹4

假如圖1中的圓圈共有12層，(1)我們自上往下，在每個圓圈

中都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,4,…，則最底層最

左邊這個圓圈中的數(shù)是；（2）我們自上往下，在每個圓圈中都按

圖4的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)-23,-22,-21,求圖4中

全部圓圈中各數(shù)的肯定值之和.

計算專項訓(xùn)練

【例1】計算下列各題

【例2】計算：

【例3】計算：

反思說明：一般地，多個分數(shù)相加減，假如分子相同，分母是兩

個整數(shù)的積，且每個分母中因數(shù)差相同，可以用裂項相消法求值。

【例4】計算：l+l+l+...+_L

2481024

【例5】計算：

【例6】計算：

【例7】請你從下表歸納出F+23+33+43+...+"3的公式并計算出:

的值。

1+23+33+43+…+50312345

【實戰(zhàn)演練】246810

3691215

1,用簡便方法計算：48121620

510152025

999x998998999-998x999999998=

11

2,-1)x(—1)X???X（焉-1)x(-1)x(一D=

2003ToolTooo

3,已知

1999x1999-1999,2000x2000-20002001x2001-2001

a=------------,b=-------------

1998x1998+19981999x1999+19992000x2000+2000

abc=

111

4,計算:--------------1---------------p???-I

11x13x1513x15x17-------29x31x33

1x2x4+2x4x8+???+〃?2力?4〃

5,（“聰慧杯”試題））2

1x3x9+2x6x18+…十幾?3〃

6,Q+七）+歷懸麗）a+歷』）的值得整

數(shù)部分為（）

A.1B.2C.3D.4

提不：（〃+1產(chǎn)=〃2+2〃+1

--4--------8----1---1--2-------1-6--+.?.40

1x33x55x77x9--------19x21

8,計算：S=l+2+22+23+...+22010

1

9,i-|>1+_L_+_l_+...+的值.

1+2+3+…+100

10,計算

121

2+3—4,,2010的值。

11+-F…+ii—

1+-（1+-X1+-）（1++-）（i+—）（i+—）…（1+------）

24232010

參考答案

基礎(chǔ)訓(xùn)練題

一，填空。

1,2；2,W；3,非負數(shù)；4,互為相反數(shù)；5,

0.1x220毫米;

6,5或1；7,5；8,I；9,-8；10,±3,±

o

b11,雪

200

二，解答題。

1,—25或87；

3,當工―工時，常數(shù)值為7；4,2；5,1

359

6,不可能，因為每次翻轉(zhuǎn)其中隨意4個，無論如何翻轉(zhuǎn)，杯口

朝上的個數(shù)都是奇數(shù)個，所以不可能讓杯口朝上的杯子個數(shù)為偶

數(shù)零，故不可能。

實力培訓(xùn)題

知識點一：數(shù)軸

例1,D拓展訓(xùn)練：1,B；

3,因為2<a<5,-5<a<-2,所以

-5<-4<-3<3<4<5

例2,8或2拓展訓(xùn)練：1,?；蛞?；2,12

例3,b<-四拓展訓(xùn)練：1,題目有誤。

例4,解：當4<a<5時，|a|>4；當-4WaW4時，|?|<4；當a<-4

時,|a|>4.

拓展訓(xùn)練：略。

例5,C拓展訓(xùn)練：1,-2；2,①③3,D

三，培優(yōu)訓(xùn)練

1,C2,I)3,B4,A5,C6,D

7,-；8,b<x<a\9,

15221

10,5；11,①3,3,4；②k+l],1或一3；③TWXW2；④

997002

聚焦肯定值

例1,—2或一8.拓展訓(xùn)練：1,4或0；2,A

例2,A拓展訓(xùn)練：1,通過零點值探討得a=5,b=5;所以

a+b=10.

三，培優(yōu)訓(xùn)練

1,A;2,B；3,D;4,A;5,A;6,B；7,

B；8,C

9,1；10,1或一3；11,0；12,-7；

13,⑴零點值分別為一2,4.⑵略。(分三種狀況探討)

14,(1),3；(2),-2；(3),1；(4),2

15,加油站應(yīng)建在D,C兩汽站之間(包括D,C兩汽車站)16,

95172

有理數(shù)的運算

例1,拓展訓(xùn)練：⑴一L2；⑵與例2,拓展訓(xùn)練：⑴

-34

例3,拓展訓(xùn)練：⑴黑例4,拓展訓(xùn)練：⑴募

三，培優(yōu)訓(xùn)練

1,-1:2,理，-8；3,1；4,段；5,6；

59972

6,_1998^1997^98^977,C;8,D;9,B;

199919989998

<2010o1

10,—馬(原題無答案)；11,A;

4

12,0；解析如下：

由題意：:TH。+匕H。且。HH。

a

1