四川省樂山市2021年中考數(shù)學(xué)真題（含答案）

四川省樂山市2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分.

1.如果規(guī)定收入為正，那么支出為負，收入2元記作+2,支出5元記作（）.

A.5元B.-5元C.-3元D.7元

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)正負數(shù)的性質(zhì)分析，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意得：支出5元記作-5元

故選：B.

【點睛】本題考查了正數(shù)和負數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握正負數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

2.在一次心理健康教育活動中，張老師隨機抽取了40名學(xué)生進行了心理健康測試，并將測試結(jié)果按“健康、

亞健康、不健康”繪制成下列表格，其中測試結(jié)果為“健康”的頻率是（）?

類型健康亞健康不健康

數(shù)據(jù)（人）3271

_74

A.32B.7C.—D.一

105

【答案】D

【解析】

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)頻率的定義計算，即可得到答案.

324

【詳解】根據(jù)題意，得測試結(jié)果為“健康”的頻率是一=—

405

故選：D.

【點睛】本題考查了抽樣調(diào)查的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握頻率的性質(zhì)，從而完成求解.

3.某種商品用千克的售價為〃元，那么這種商品8千克的售價為（）

*8〃，一、c",一、八8機/一、c，一、

A.—（兀）B.----（兀）C.---（兀）D.—（兀）

m8mn8〃

【答案】A

【解析】

【分析】先求出1千克售價，再計算8千克售價即可;

【詳解】???〃［千克的售價為〃元，

n

???1千克商品售價為一，

m

??.8千克商品的售價為J（元）；

m

故答案選A.

【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，準確分析列式是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知直線4、44兩兩相交，且若a=50。，則夕的度數(shù)為（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【解析】

【分析】由垂直的定義可得N2=90°；根據(jù)對頂角相等可得Nl=Na=50°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即

可求得N/?=140。.

【詳解】

?.?/|-L/3,

AZ2=90°；

???Zl=Za=50°f

/.=N1+N2=50°+90°=140°.

故選C.

【點睛】本題考查了垂直的定義、對頂角的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練運用三角形外角的性質(zhì)是解決

問題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知直線4：y=-2x+4與坐標軸分別交于A、B兩點,那么過原點。且將AQ3的面積平分的

直線，2的解析式為（）

3

A.y=-XB.y=xC.y=-xD.y=2x

2-2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)已知解析式求出點A、B坐標，根據(jù)過原點。且將的面積平分列式計算即可;

解得：x—2,

/.4(2,0),

當(dāng)x=0時，y=4,

.?.8(0,4),

???C在直線AB上，

設(shè)C(/n,-2m+4),

SaOBC=/XOBx|Xc|,

53=3。必歸，

???4且將，AO6的面積平分，

,,S4OBC=S4OCA'

：.(9Bx|xc|=OAx|yc|,

/.4m=2x(-2/w+4),

解得m=\,

：.C(l,2),

設(shè)直線，2的解析式為y=丘，

貝味=2,

y=2x；

故答案選D.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，準確計算是解題的關(guān)鍵.

6.如圖是由4個相同的小正方體成的物體，將它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，其主視圖是()

主視

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)該幾何體它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，旋轉(zhuǎn)后幾何體的主視圖與該幾何體旋轉(zhuǎn)前從右面

看到的圖形一樣，由此即可解答.

【詳解】把該幾何體它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，旋轉(zhuǎn)后的主視圖與該幾何體旋轉(zhuǎn)前從右面看到的圖

形一樣，

?.?該幾何體的從右面看到的圖形為

，該幾何體它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，旋轉(zhuǎn)后幾何體的主視圖為

故選C.

【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟知把該幾何體它在水平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)90°后，旋轉(zhuǎn)后幾何

體的主視圖與該幾何體旋轉(zhuǎn)前從右面看到的圖形一樣是解決問題的關(guān)鍵.

7.七巧板起源于我國先秦時期，古算書《周髀算經(jīng)》中有關(guān)于正方形的分割術(shù)，經(jīng)歷代演變而成七巧板，

如圖1所示.19世紀傳到國外，被稱為"唐圖"（意為"來自中國的拼圖”），圖2是由邊長為4的正方形分割

制作的七巧板拼擺成的"葉問蹬”圖.則圖中抬起的"腿"（即陰影部分）的面積為（）

圖1

圖2

75

A.3B.-C.2D.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)由邊長為4的正方形分割制作的七巧板，可得共5種圖形，然后根據(jù)陰影部分的構(gòu)成圖形,

計算陰影部分面積即可.

【詳解】解：如下圖所示，由邊長為4的正方形分割制作的七巧板，共有以下幾種圖形:

①腰長是2近的等腰直角三角形,

②腰長是2的等腰直角三角形,

③腰長是正的等腰直角三角形,

④邊長是血的正方形,

⑤邊長分別是2和0,頂角分別是45和135的平行四邊形,

根據(jù)圖2可知，圖中抬起的"腿"（即陰影部分）是由一個腰長是&的等腰直角三角形，和一個邊長分別是

2和血,頂角分別是45和135的平行四邊形組成，

如下圖示，

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知，頂角分別是45和135的平行四邊形的高是03,且DB=a

???一個腰長是0的等腰直角三角形的面積是：血=1,

頂角分別是45和135的平行四邊形的面積是：、巧x0=2，

,陰影部分的面積為：1+2=3,

故選：A.

【點睛】本題考查了七巧板中的圖形的構(gòu)成和面積計算，熟悉七巧板中圖形的分類是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，已知點P是菱形A3CD的對角線AC延長線上一點，過點P分別作A。、。。延長線的垂線，垂

足分別為點E、F.若NABC=120°,AB=2,則PE—PE的值為（)

35

A.-B.Jr3C.2D.—

22

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)菱形的基性質(zhì)，得到/FE=30。，，利用勾股理求出AC=26，則AP=26+PC,

PE=-AP=^+-PC,由NPCF=NDCA=30°,得至1」刊三,七，最后算出結(jié)果.

222

【詳解】解：???四邊形ABCO是菱形且/A8C=120。，AB=2,

：.AB^BC=CD=DA=2,ZBAD=60°,AC1,BD,

：.ZCAE=30°,

?：ACLBD,NC4E=30。，/10=2,

；.AC=24^=2拒，

:.AP=26+PC,

在直角△AEP中，

ZPAE=30°,AP=2y/3+PC,

：.PE=yAP=也+；PC,

在直角中，

?.,/PCF=30°,

：.PF=—PC,

2

/.PE-PF=百+；PC-JPC=6,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于

斜邊的一半，關(guān)鍵會在直角三角形中應(yīng)用30°.

9.如圖，已知。4=6,08=8,BC=2,P與OB、A3均相切，點尸是線段AC與拋物線丫=。必

的交點，則。的值為（）

911

A.4B.-C.—D.5

22

【答案】D

【解析】

【分析】在RtZXAOB中，由勾股定理求得BC=10：再求得直線AC的解析式為y=-x+6；設(shè)1.P的半

徑為m,可得尸(加，加+6)；連接P8、PO.PC,根據(jù)S.op=SAOP+S”s+S80P求得巾=1,即可得點

P的坐標為(1,5)；再由拋物線'過點p,由此即可求得。=5.

【詳解】在RtZ\AOB中，。4=6,03=8,

BC=ylOA'+OB2=A/62+82=10；

,：0B=8,8c=2,

OC=6,

：.C(0,6)；

0A-6,

；.A(6,0)；

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

(6k+b=Q

,,0=6

化=—1

解得＜(，

b-6

：.直線AC的解析式為y=-x+6.

設(shè)OP的半徑為加

與。8相切，

...點P的橫坐標為處

?.?點P在直線直線AC上,

:.P{tn,-m+6)；

連接PB、PO、PA,

P與。8、AB均相切,

/\OBP邊OB上的高為m,/\AOB邊AB上的高為m,

P(m,-m+6)；

，△AOP邊OA上的高為加+6,

?°AOB-°AOP干°APB十0BOP'

/.—x6x8=-x6x(-m+6)+—x10/77+—x8m,

22v722

解得m-\9

：.P(1,5)；

?.?拋物線丁=依2過點P,

??Q=5.

故選D.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理、勾股定理、待定系數(shù)法求解析式，正確求出產(chǎn)的半徑是解決問題

的關(guān)鍵.

3

10.如圖，直線4與反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象相交于A、3兩點,線段A5的中點為點C,過點。作

x

X軸的垂線，垂足為點。.直線4過原點。和點C.若直線12上存在點尸(加，〃)，滿足=

則加+〃的值為()

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，得A（l,3）,8（3,1）,直線4：y=x；根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)，得機=〃；根據(jù)勾股定理,

得PC=Q2（m-2）2；連接R4，PB,FB，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，得C（2,2）,0C1AB；

根據(jù)勾股定理逆定理，得NABO=90。；結(jié)合圓的性質(zhì)，得點A、8、。、P共圓，直線4和A8交于點尸,

歷

點F為圓心；根據(jù)圓周角、圓心角、等腰三角形的性質(zhì)，得="；分PC=尸產(chǎn)+尸。或尸。=尸尸一尸。

2

兩種情況，根據(jù)圓周角、二次根式的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，得8（3,|）,即A（l,3）,8（3,1）

???直線鄉(xiāng)過原點。和點C

直線乙：）=x

P（m,n）在直線4上

/.m-n

：.PC=《2（111—2）2

連接F4，PB,FB

:?PA=PB，線段AB的中點為點C

AC(2,2),OCLAB

過點C作x軸的垂線，垂足為點。

D(2,0)

；?AD=J(2-iy+(()—3)2=W，AB=^/(1-3)2+(3-1)2=2A/2，80=J(3-+1=0

，AD2=AB2+BD1

：.ZABD=90°

.?.點A、B、D,P共圓，直線6和AB交于點F,點F為圓心

BDV2

:.cosZADB=----=

ADM

?：AC^BC,FB=FA=-AD

2

ZBFC=-ZAFB

2

■:ZAPB=ZADB，且=必

2

ZAPB=ZADB=ZBFC

FCpcB

.cos/APB=cosNBFC=，=-^=，=

??FB回回

F

??FC=--

2

...PC=PF+FC或PC=PF-FC

當(dāng)PC=W—尸C時，Z4尸8和NADB位于直線4B兩側(cè)，即NAPB+NAZ)3=180°

PC=PF—FC不符合題意

APC=PF+FC=—+-＞且加＜2

22

，PC=^2(/77-2)2=后(2-間，

m+n-2m=3->/5

故選:A.

【點睛】本題考查了圓、等腰三角形、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、三角函數(shù)、勾股定理、二次根式的知識；

解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓心角、圓周角、等腰三角形三線合一、三角函數(shù)、勾股定理的性質(zhì)，從而完成求

解.

二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分.

11.計算：（2021-萬）°=.

【答案】1

【解析】

【分析】直接利用零指數(shù)哥的性質(zhì)計算得出答案.

【詳解】解：（2021—萬）°=1.

故答案為：1.

【點睛】本題考查零指數(shù)基，是基礎(chǔ)考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

12.因式分解：44—9=.

【答案】（2a-3）（2。+3）

【解析】

【分析】此多項式可直接采用平方差公式進行分解.

【詳解】解：4?2-9=（2a）2-32

—(2a—3)(2a+3).

故答案為：(2a-3)(2。+3).

【點睛】本題考查了公式法分解因式，要求靈活使用各種方法對多項式進行因式分解，一般來說，如果可

以先提取公因式的要先提取公因式，再考慮運用公式法分解.

13.如圖是根據(jù)甲、乙兩人5次射擊的成績(環(huán)數(shù))制作的折線統(tǒng)計圖.你認為誰的成績較為穩(wěn)？

(填“甲”或"乙”)

【答案】甲

【解析】

【分析】先分別求出甲乙的平均數(shù)，再求出甲乙的方差，由方差越小成績越穩(wěn)定做出判斷即可.

【詳解】解：％=C7+6+9+6+7)+5=7(環(huán))，

1乙=C5+9+6+7+8)+5=7(環(huán))，

52甲=[(7-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2H5=1.2,

『乙=[(5-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2H5=2,

V1.2<2,

甲的成績較為穩(wěn)定，

故答案為：甲.

【點睛】本題考查平均數(shù)、方差、折線統(tǒng)計圖，會求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差，會根據(jù)方差判斷一組數(shù)

據(jù)的穩(wěn)定性是解答的關(guān)鍵.

14.如圖，為了測量“四川大渡河峽谷”石碑的高度，佳佳在點。處測得石碑頂A點的仰角為30。，她朝石

碑前行5米到達點。處，又測得石頂A點的仰角為60°,那么石碑的高度AB的長=米.(結(jié)果保

留根號)

A

【答案】偵

2

【解析】

【分析】先根據(jù)已知條件得出aAOC是等腰三角形，再利用AB=s%60°XAO計算即可

【詳解】解：由題意可知：/A=30°,ZADB=60°

：.ZCAD=30Q

...△AOC是等腰三角形，

.*.OA=OC又￡>C=5米

故AD=5米

在R/Z\ACB中，ZADB=60Q

：.AB=si〃600XAD=—x5=米

22

故答案為：生叵

2

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練記憶特殊角的銳角三角函數(shù)值是關(guān)鍵

15.在Rr.ABC中，NC=90°.有一個銳角為60°,A8=4.若點P在直線43上（不與點A、8重合）,

且NPCB=30°,則CP的長為.

【答案】6或2百或2

【解析】

【分析】依據(jù)題意畫出圖形，分類討論，解直角三角形即可.

詳解】解：情形1：NA=60°,則NB=30°,

,/NPC6=30°,

/.ZACP=60°,

???是等邊三角形，

CP=AC=-AB=2

2;

情形2：ZB=60°,則ZA=30°,BC=2,AC=2y/3,

B

CA

NPCB=30°,

：.CP±AB,

：.^ACBC=^ABCP,解得CP=6；

情形3：ZB=60°,則ZA=30°,BC=2,AC=2y[^，

???NPCB=30°,

CP=AC=26；

故答案為：百或2百或2.

【點睛】本題考查解直角三角形，掌握分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知點A(4,3),點3為直線y=-2上一動點，點C(0,〃)，一2<〃<3,ACJ.BC于點C,

連接若直線與x正半軸所夾的銳角為a,那么當(dāng)sina的值最大時，〃的值為

【答案】|

【解析】

【分析】設(shè)直線y=-2與y軸交于G,過A作直線y=-2于H,AFLy軸于F,根據(jù)平行線的性質(zhì)

得到N43”=a,由三角函數(shù)的定義得到Sina=—,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式——="—，

BA3-〃4

于是得到GB=—,(〃+2)(3-/0(?--)2+—,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

44216

【詳解】解：如圖，設(shè)直線y=-2與)，軸交于G,過A作A”J_直線)，=-2于H,AF_Ly軸于尸，

軸，

ZABH=a,

在RtZsABH中，AB=IAH?+BH?，sina=三,

5

即sina=—=/、—

BAyjAH2+BH2

VSina隨BA的減小而增大,

???當(dāng)BA最小時sina有最大值；即最小時，sina有最大值，即8G最大時，sina有最大值,

VZBGC=ZACB=ZAFC=90°，

：.ZGBC+ZBCG=ZBCG^-ZACF=90°,

：.ZGBC=ZACF,

：.AACFs^CBG,

?,.-B-G=-C-G,

CFAF

?.?A(4,3),C(0,〃)

BGn+2

即Hn----=-----,

3—?4

/.BG=(n+2)(3-ri')=(〃)2+—,

44216

???-2<〃<3

...當(dāng)〃=:1時，8G最大值=2，5

216

故答案為：.

2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線證得

△ACFsACBG是解題的關(guān)鍵.

三、本大題共3個小題，每小題9分，共27分.

?a9r-1

17.當(dāng)x取何正整數(shù)時，代數(shù)式r上上與二一的值的差大于1

23

【答案】1,2,3,4

【解析】

【分析】根據(jù)題意，列一元一次不等式并求解，即可得到x的取值范圍；結(jié)合x為正整數(shù)，通過計算即可得

到答案.

【詳解】根據(jù)題意得：--^-^>1,

23

解得：x<5

???X為正整數(shù)，

yI02r—1

.?.X為1,2,3,4時，代數(shù)式1「與的值的差大于1.

23

【點睛】本題考查了解一元一次不等式；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次不等式的性質(zhì)，從而完成求解.

18.如圖，已知AB=OC,NA=NO，AC與OB相交于點0,求證：ZOBC=ZOCB.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明△ABO名△DCO,得QB=OC,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì),

即可得到答案.

ZA=ZD

【詳解】NAO8=NOOC,

AB=DC

：.(AAS),

OB-OC>

ZOBC=ZOCB.

【點睛】本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的

性質(zhì)，從而完成求解.

AB2.x—6

19.已知-----，求A、3的值.

X-12,—x(x—l)(x—2)

【答案】A的值為4,3的值為-2

【解析】

【分析】根據(jù)分式、整式加減運算，以及二元一次方程組的性質(zhì)計算，即可得到答案.

ABA(x-2)B(x-l)

【詳解】----------------=-------------------1------------------

x—12—x(x—l)(x—2)(x—l)(x-2)

A(x—2)+5(x—1)2x—6

(x-l)(x-2)~-(x-l)(x-2)

A(x—2)+B(x—1)=2x—6,

即(A+B)x—(2A+B)=2x—6.

A+B=2

??2A+3=6'

[A=4

解得：,

B=-2

，A的值為4,3的值為—2.

【點睛】本題考查了分式、整式、二元一次方程組的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式加減運算、整式加

減運算、二元一次方程組的性質(zhì)，從而完成求解.

四、本大題共3個小題，每小題10分，共30分.

20.已知關(guān)于X的一元二次方程/+工一加=（）.

（1）若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求加的取值范圍；

（2）二次函數(shù)曠=/+》-/??的部分圖象如圖所示，求一元二次方程/+%一〃?=。的解.

【答案】（1）m>--；（2）%=1,x,=-2

4

【解析】

【分析】（1）根據(jù)時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根求解m的取值范圍即可；

（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點的橫坐標就是當(dāng)產(chǎn)0時對應(yīng)一元二次函數(shù)的解，故將產(chǎn)1代入方程中

求出，"值，再代入一元二次方程中解方程即可求解.

【詳解】解：（1）由題知A=l+4m>0,

1TL>--.

4

（2）由圖知f+x一〃z=0的一個根為1,

F+1一m=0，m—2,

即一元二次方程為九2+%一2=0，

解得王=1,X2=-2,

二一元二次方程X、+*-加=0的解為%=1,x2=-2.

【點睛】本題考查一元二次方程根判別式、解一元一次不等式、解一元一次方程、解一元二次方程，會

解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系是解答的關(guān)鍵.

21.某中學(xué)全校師生聽取了“禁毒”宣傳報告后，對禁毒人員肅然起敬.學(xué)校德育處隨后決定在全校1000

名學(xué)生中開展“我為禁毒獻愛心”的捐款活動.張老師在周五隨機調(diào)查了部分學(xué)生隨身攜帶零花錢的情況,

并將收集的數(shù)據(jù)進行整理，繪制了如圖所示的條形統(tǒng)計圖.

(1)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)；

(2)經(jīng)調(diào)查，當(dāng)學(xué)生身上的零花錢多于15元時，都到出零花錢的20%,其余學(xué)生不參加捐款.請你估計

周五這一天該?？赡苁盏綄W(xué)生自愿捐款多少元？

(3)捐款最多的兩人將和另一個學(xué)校選出的兩人組成一個“禁毒”知識宣講小組，若從4人中隨機指定兩

人擔(dān)任正、副組長，求這兩人來自不同學(xué)校的概率.

2

【答案】(1)平均數(shù)為20.5；眾數(shù)為20；(2)3150元；(3)-

【解析】

【分析】(1)根據(jù)眾數(shù)和平均數(shù)的定義求解；

(2)由圖可知零花錢多于15元的學(xué)生有12人，可算出12人的零花錢平均數(shù)再計算這12人的捐款額，即

可計算1000人的捐款額：

(3)設(shè)捐款最多的兩名學(xué)生分別為4、A?,另一個學(xué)校的兩名學(xué)生分別為耳、B2,列表后利用概率公式

求解可得.

5x1+10x3+15x4+20x6+25+30x3+40

【詳解】解：(1)平均數(shù):=20.5,

20

眾數(shù)：根據(jù)圖可知有6人零花錢是20,故眾數(shù)為20

故答案為：20.5；20

(2)由圖可知零花錢多于15元的學(xué)生有12人，則這12人的零花錢平均數(shù)為:

20x6+25+30x3+40x2105

~12―丁

（竽X20%卜得X1000）=3150（元）.

...周五這一天該校收到捐款數(shù)約為:

(3)設(shè)捐款最多的兩名學(xué)生分別為4、&,另一個學(xué)校的兩名學(xué)生分別為用、B2,

列表如下:

4A2與B2

AA44打

44百4員

A艮

員48再

???由表可知，均等機會共12種，兩人來自不同學(xué)校的結(jié)果有8種，

Q9

...這兩人來自不同學(xué)校的概率

123

【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖讀懂統(tǒng)計圖，平均數(shù)和眾數(shù)的定義，用樣本估計總體，同時考查了概率

公式，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵.

k

22.如圖，直線/分別交x軸，y軸于A、B兩點,交反比例函數(shù)y=—(攵#0)的圖象于P、。兩點.若

(1)求&的值;

(2)當(dāng)點尸的橫坐標為一1時，求△尸。。的面積.

【答案】(1)-6；(2)8

【解析】

【分析】(1)過尸作PE垂直于x軸，垂足為E，證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

S4

A0=20E,三皿=3，由此可得S”E=9，SPEO=3.再由反比例函數(shù)比例系數(shù)4的幾何意義即可

'APE,

求得％值.

(2)先求得P(-1,6),8(0,4),再利用待定系數(shù)法求得直線P8的解析式為y=-2x+4.與反比例函數(shù)的

解析式聯(lián)立方程組，解方程組求得Q(3,-2).再根據(jù)SPOQ=SPOB+SQOB即可求解.

/.一ABO^APE.

:AB=2BP，S^AOB=4,

??,uqAPE-Q7,oqPED_-J3?

：.\k\=-x3,\k\=6,即左=—6.

2

(2)由(1)知了=—,P(—1,6).

x

'：AB=2PB,：.SMo=2,，|8。|=4,8(0,4).

設(shè)直線PB的解析式為y=kx+b,

6=-k+b

將點P(T,6)、3(0,4)代入>=履+匕，得〈

。=4

7=-2

解得《

b=4

直線尸8的解析式為y=-2x+4.

-6

V=—

聯(lián)立方程組丁X,解得玉=3,x2=-l,

y--2x+4

2(3,-2).

POQ=SPOB+SQOB=；|OB|X(XQ-Xp)=g*4x4=8.

【點睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，熟練運用反比例函數(shù)比例系數(shù)上的幾何意義是解決問題的

關(guān)鍵.

五、本大題共2個小題，每小題10分，共20分.

23.通過實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學(xué)生興

趣激增，中間一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散.學(xué)生注意力指標)隨時間x(分鐘)

變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)0<x<10和10Wx<20時，圖象是線段；當(dāng)20WXW45時，圖象是反比例

函數(shù)的一部分.

(1)求點A對應(yīng)的指標值；

(2)張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽這道綜合

題的講解時，注意力指標都不低于36?請說明理由.

【答案】(1)20；(2)能，見解析

【解析】

【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，再將x=45代入，即可得出A對應(yīng)的指標值

(2)先用待定系數(shù)法寫出一次函數(shù)的解析式，再根據(jù)注意力指標都不低于36得出

-5x+20>36(0<x<10),9空00N36(20<xW45)得出自變量的取值范圍3一2<xK25,即可得出結(jié)論

2x5

kk

【詳解】解：(1)令反比例函數(shù)為》=與食＞0),由圖可知點(20,45)在＞=—的圖象上,

"=20x45=900,

900日小、

：.y=——.將x=45代入

x

將x=45代入得：

點A對應(yīng)的指標值為&=20.

45

(2)設(shè)直線AB的解析式為丫=履+匕，將40,20)、8(10,45)代入y="+6中,

4=20

%=20解得L5.

得<

10女+。=45

IK--2

直線AB的解析式為y=|x+20.

|x+20>36(0<x<10)

32

由題得《45>36(104x420)解得

900小

--->36(20<x<45)

、x

....3293

?ZJ-------=—＞1/,

55

張老師經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，能使學(xué)生在聽綜合題的講解時，注意力指標都不低于36.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的解析式、不等式組的解集、利用函數(shù)圖像解決實際問

題是中考的?？碱}型。

24.如圖，已知點C是以AB為直徑的圓上一點，。是A8延長線上一點，過點。作8。的垂線交AC的

延長線于點E,連結(jié)CO,且CD=EZ).

E

（1）求證：CO是.0的切線：

（2）若tanNDCE=2,BD=1,求。。的半徑.

3

【答案】（1）見解析；（2）-

2

【解析】

【分析】（1）連接OC、BC,根據(jù)已知條件證明NE+NQ4c=90°,NEC。+NOC4=90°即可得解;

（2）由（1）可得△DCBSADAC,得到。C2=D4-DB，令A(yù)O=r,根據(jù)正切的定義列式求解即可;

【詳解】解：（1）證明：連結(jié)OC、BC.

VOC=OA,DC=DE,

：.ZOCA=ZOAC,Z￡=ZDCE.

'：ED±AD,

：.ZADE=90°,

/.ZE+ZOAC=90°,Z.ECD+ZOCA=90°,

ZDCB+ZBCO=90°,

：.DCICO,即CO是C。的切線.

(2)由(1)知，NDCB=NCAO,又KDB=NADC,

...MCBs^DAC,

.DC_DB

即DC2=DADB.

"~DA~~DC

令A(yù)O=r,。。2=(2r+1)」.

即。C=12r+l，即DE=J2r+1.

AZ)

tanZDCE=2,即tanNE=2=---,

DE

2r+l3

/./=2,

V2r+1

31

解得r=—或r=一一(舍)，

22

3

A：,O的半徑為士.

2

【點睛】本題主要考查了圓的綜合運用，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)、正切的定義求解是解題的關(guān)鍵.

六、本大題共2個小題，第25題12分，第26題13分，共25分.

25.在等腰A6c中，A8=AC,點。是8C邊上一點(不與點8、C重合)，連結(jié)AE>.

(1)如圖1,若NC=60°,點。關(guān)于直線AB的對稱點為點￡,結(jié)AE，DE，則N80E=；

(2)若NC=60°,將線段繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE，連結(jié)3E.

①在圖2中補全圖形；

②探究CO與3E的數(shù)量關(guān)系，并證明；

ARA。

(3)如圖3,若——=——=k,且NAT>E=NC,試探究8E、BD、AC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證

BCDE

明.

【答案】(1)30°；(2)①見解析；②CD=BE；見解析；(3)AC=k(BD+BE),見解析

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)題意得出△ABC是等邊三角形，再利用三角形的外角計算即可

（2）①按要求補全圖即可

②先根據(jù)已知條件證明AABC是等邊三角形，再證明八4萬姓八位）。，即可得出CD=BE

ACBC

（3）先證明——=——,再證明△ACBS^ADE,得出NBAC=NEA￡>,從而證明^八位）。,

ADDE

得出8D+BE=3C,從而證明AC=Z（BO+8E）

【詳解】解：（1）VAB=AC,ZC=60°

...△A8C是等邊三角形

ZB=60°

:點。關(guān)于直線AB的對稱點為點E

：.ABA.DE,

：.ZBDE=30。

故答案為：30°;

（2）①補全圖如圖2所示；

②CO與BE的數(shù)量關(guān)系為：CD=BE；

證明：VAB^AC,NS4c=60。.

???△ABC為正三角形，

又；AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°,

???AD=AE，ZEAD=60°,

VABAD+ADAC60°,ZBAD+ZBAE=O）°,

：.NBAE=/DAC,

，AA￡B^AADC,

/.CD=BE.

（3）連接AE.

A

ADDE

又?：NADE=NC,

，/\ACB^/\ADE,

AZBAC^ZEAD.VAB=AC,.".AE=AD，

ABAD+ADAC=NBAD+ZBAE,

ZDAC=ZBAE,

；./XAEB學(xué)AADC,CD=BE.

'：BD+DC=BC,

BD+BE=BC.

又噎*

：.AC=k(BD+BE).

【點睛】本題考查相似三角形的證明及性質(zhì)、全等三角形的證明及性質(zhì)、三角形的外角、軸對稱，熟練進

行角的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵，相似三角形的證明是重點

26.已知二次函數(shù)y=ox2+H+C的圖象開口向上，且經(jīng)過點812,一;)

(1)求〃的值(用含。的代數(shù)式表示)；

(2)若二次函數(shù)y=ax2+Z?x+c在1VXW3時，>的最大值為1,求。的值；

(3)將線段A3向右平移2個單位得到線段43'.若線段AB'與拋物線y=a?+笈+。+4?！?僅有一

個交點，求。的取值范圍.

513

【答案】(1)b=-2a-1(?>0)；(2)-；(3)-<