四川省達州市2021年中考數(shù)學試卷試題真題(含答案解析)

四川省達州市2021年中考數(shù)學試卷

一、單選題（共10題；共20分）

1.-|的相反數(shù)是（）

A.--B.--C.-D.-

2332

【答案】c

【考點】相反數(shù)及有理數(shù)的相反數(shù)

【解析】【解答】解：-1的相反數(shù)是I.

故答案為：C.

【分析】根據只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，可得一個數(shù)的相反數(shù).

2.如圖，幾何體是由圓柱和長方體組成的，它的主視圖是（）

【答案】A

【考點】簡單組合體的三視圖

【解析】【解答】解：由三視圖中主視圖的定義，可知幾何體的主視圖為:

E_]

故答案為：A.

【分析】主視圖就是從幾何體的正面所看到的平面圖形，由此可得答案.

3.實數(shù)V2+1在數(shù)軸上的對應點可能是（）

ABCD

.-4-3-2-101234

A.4點B.B點、C.C點、D.D點

【答案】D

【考點】實數(shù)在數(shù)軸上的表示

【解析】【解答】解：:&a1.414,

V2+1?2.414,

它表示的點應位于2和3之間，

所以對應點是點D,

故答案為：D.

【分析】利用估算無理數(shù)的大小，可知e+1表示的點應位于2和3之間，即可得答案.

4.下列計算正確的是()

A.\[2+V3=V5B.3/-±3

C.a-a-1=l(a豐0)D.(—3a2b2)2=-6a4b4

【答案】C

【考點】同底數(shù)塞的乘法，二次根式的性質與化簡，同類二次根式，積的乘方

【解析】【解答】解：A.V2+V3,不能合并，故該選項錯誤，

B.正司=3,故該選項錯誤，

C.a-a-1=l(a0)，故該選項正確，

D.(—3a2b2)2=9a4b4,故該選項錯誤，

故答案為：C.

【分析】只有他了二次根式才能合并，可對A作出判斷；利用二次根式的性質：必=|a|,可對B

作出判斷；利用同底數(shù)基相乘的法則和零次嘉的性質，可對C作出判斷；利用積的乘方法則，可對D作出

判斷.

5.如圖，一束光線AB先后經平面鏡OM,ON反射后，反射光線CD與AB平行，當ZABM=

40°時，NDCN的度數(shù)為()

【答案】B

【考點】垂線，平行線的性質，鏡面對稱

【解析】【解答】如下圖，過點B作BE1OM,過點C作CE1ON,BE與CE相交于點E

M

ZCBE=ZABE=90°-ZABM=50°

NABC=NABE+ZCBE=100°

??,CD與AB平行

???NBCD=1800-NABC=80°

e?,NBCE=NDCE,NBCE+NDCE=/BCD

???/BCE=/DCE//BCD"

■■■/DCN=90°-/DCE=50°

故答案為：B.

【分析】過點B作BE_LOM,過點C作CELON,BE和CE交于點E,利用鏡面反射可證得NCBE=NABE,

由此可求出NCBE,NABC的度數(shù)；利用平行線的性質，可求出NBCD的度數(shù)，同時可求出NBCE的度數(shù)；

然后根據NDCN=900-ZDCE,代入計算可求解.

6.在反比例函數(shù)7（k為常數(shù)）上有三點yi），B（x2,y2），C（x3,y3），若/<0<

x

%2<3，則yi>yz>的大小關系為（）

A.yi<y2<丫3B.y2<yi<丫3C.yx<y3<y2D.y3<y2<yi

【答案】C

【考點】反比例函數(shù)的性質

【解析】【解答】解：：fc2+1>0,

???反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第一、三象限，且在每個象限內y隨X的增大而減小，

B（X2,V2）,c（X3,y3）是雙曲線y=B上的兩點，且％3>%2>0，

.,.點B、C在第一象限，0—,

A（xi,yi）在第三象限，

yi<o,

%<丫3<?

故答案為：C.

【分析】利用非負數(shù)的性質，可知k2+l>o,利用反比例函數(shù)的性質可知反比例函數(shù)圖象的兩個分支在第

一、三象限，且在每個象限內y隨x的增大而減小，利用己知條件，可得到y(tǒng)i,y2,y3的大小關系.

7.以下命題是假命題的是（）

A.V4的算術平方根是2

B.有兩邊相等的三角形是等腰三角形

C.一組數(shù)據：3,-1,1,1,2,4的中位數(shù)是1.5

D.過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行

【答案】A

【考點】算術平方根，平行公理及推論，等腰三角形的判定，中位數(shù)，真命題與假命題

【解析】【解答】解：A,V4的算數(shù)平方根是V2,命題為假命題，符合題意；

B,有兩邊相等的三角形是等腰三角形，命題為真命題，不符合題意；

C,一組數(shù)據：3,-1,1,1,2,4的中位數(shù)是詈=1.5,命題為真命題，不符合題意；

D,過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，命題為真命題，不符合題意,

故答案為：A.

【分析】利用算術平方根的性質，可對A作出判斷；利用等腰三角形的定義，可對B作出判斷；利用中

位數(shù)的求法，可對C作出判斷；利用平行線公理，可對D作出判斷，綜上所述可得到是假命題的選項.

8.生活中常用的十進制是用0~9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，例：12=1x10+2,212=2x

10X10+1X10+2；計算機也常用十六進制來表示字符代碼，它是用O~F來表示0~15,滿十六進

它與十進制對應的數(shù)如下表：

十進制012891011121314151617

十六進制01289ABC0EF1011

例：十六進制2B對應十進制的數(shù)為2x16+11=43,10C對應十進制的數(shù)為1X16x16+0X

16+12=268，那么十六進制中14E對應十進制的數(shù)為()

A.28B.62C.238D.334

【答案】D

【考點】有理數(shù)的加減乘除混合運算

【解析】【解答】由題意得，十六進制中14E對應十進制的數(shù)為：1x16x16+4x16+14=334,

故答案為：D.

【分析】利用已知條件生活中常用的十進制是用0~9這十個數(shù)字來表示數(shù)，滿十進一，十六進制是滿十

六進一，由此可得答案.

9.在平面直角坐標系中，等邊AAOB如圖放置，點A的坐標為(1,0),每一次將AAOB繞著點O逆

時針方向旋轉60。，同時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉后得到』為。當，第二次旋轉后得到

AA2OB2,依次類推，則點A2021的坐標為()

A.(-22020,-V3X22020)B.Q2021,-V3x22021)

C.(22020,-V3x2202。)D.(_22OII,—我x22021)

【答案】C

【考點】點的坐標，等邊三角形的性質，坐標與圖形變化-旋轉

【解析】【解答】解：由題意，點A每6次繞原點循環(huán)一周，

??2021+6=371...........5,

42021點在第四象限，042021=22°21,ZxOA2Q2X=60°,

二點402。的橫坐標為22021=22020,縱坐標為一些X2202]=一百X2202。，

???^2021（22020,-V3x22020）,

故答案為：C.

【分析】利用已知條件，可知點A每6次繞原點循環(huán)一周，由此可推出點A2021在第四象限，再利用旋轉

的性質及等邊三角形的性質，分別求出OA2021,NXOA2021的度數(shù)；然后求出點A2021的坐標.

10.如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，arO）經過點（2,0）,且對稱軸為

直線x=|,有下列結論：①abc>0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④無論a,

b,c取何值，拋物線一定經過七，。）；⑤4am2+4bm-b>0.其中正確結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)與不等式（組）的綜合應用，二次函數(shù)

y=axA2+bx+c的性質

【解析】【解答】①圖象開口朝上，故a>0,根據對稱軸"左同右異"可知b<0,

圖象與y軸交點位于x軸下方，可知c<0

:.abc>0

故①正確；

②%=-/=[得￡1=一匕

???Q+b=0

故②錯誤；

③vy=ax2+bx+c經過（2,0）

???4Q+2b+c=0

又由①得c<0

4a+2b+3cV0

故③正確；

④根據拋物線的對稱性，得到、=2與％=-1時的函數(shù)值相等

:.當%=-1時y=0,即a—b+c=O

??,a=-b

???2Q+c=0即三=—1

:.y=ax2+bx+c經過（點,0）,即經過（—1,0）

故④正確；

⑤當%=|時，y=+c,當x=m時，y=am2+bm+c

va>0

?,?函數(shù)有最小值:Q+：b+c

42

11

???am9￡+bm+cN-a+-b+c

42

2

化簡得4am+4bm—b>0f

故⑤正確.

綜上所述：①③④⑤正確.

故答案為：D.

【分析】觀察函數(shù)圖象，利用拋物線的開口向上，可得到a的取值范圍，拋物線與y軸的交點在y軸的負

半軸，可得到c的取值范圍，根據左同右異，結合a的取值范圍，可得到b的取值范圍，由此可得到abc

的符號，可對①作出判斷；利用拋物線的對稱軸為直線％=-方=：,可對②作出判斷；拋物線經過

點（2,0）及c<0,可得到4a+2b+3c的符號，可對③作出判斷；利用拋物線的對稱性可知x=2和x=-l時

的函數(shù)值相等，可對④作出判斷；分別求出當xg和x=m時的函數(shù)值，再根據當時函數(shù)有最小值，由

此可對⑤作出判斷，綜上所述可得到正確結論的個數(shù).

二、填空題（共5題；共5分）

11.截至2020年末，達州市金融精準扶貧共計392.5億元，居全省第2,惠及建檔立卡貧困戶8.96萬人.將

392.5億元用科學記數(shù)法表示應為元.

【答案】3.925X1O10

【考點】科學記數(shù)法一表示絕對值較大的數(shù)

【解析】【解答】解：1億=108

將392.5億元用科學記數(shù)法表示392.5億=3.925x102x108=3.925x101。元.

故答案為：3.925X1O10.

【分析】根據科學記數(shù)法的表示形式為：axion,其中is|a|<10,此題是絕對值較大的數(shù)，因此n=

整數(shù)數(shù)位-1（1億=1。8）.

12.如圖是一個運算程序示意圖，若開始輸入x的值為3,則輸出y值為.

-y=kl-l（xW4）-

Ty=2x+3（x>4）

【答案】2

【考點】函數(shù)值

【解析】【解答】解：???x=3V4

把x=3代入y=|x|-1(%<4),

解得：y=|3|-1=2,

y值為2,

故答案為：2.

【分析】x=3<4,因此將x=3代入y=|x|-l進行計算，可求出結果.

13.已知a,b滿足等式a2+6a+9+=0,則。2。21b2。2°=.

【答案】-3

【考點】有理數(shù)的乘方，積的乘方，非負數(shù)之和為0

【解析】【解答】解：由a?+6a+9+=0，變形得(a+3)2+爐1=0,

Q+3=0,b—~=0,

??CL——3,b——,

3

a2021b2°20=(—3)2021x(|)2020=(_3)x(_3)2020x(|)2020=(_3)x(.3XA)2020=,3

故答案為：-3

【分析】將已知條件轉化為(a+3)2+Jb-l=0,再利用幾個非負數(shù)之和為0,則每一個數(shù)都為0,

可建立關于a,b的方程組，解方程組求出a,b的值，然后將a,b的值代入代數(shù)式進行計算.

14.若分式方程隼1—4=二中的解為整數(shù)，則整數(shù)a=

【答案】+1

【考點】解分式方程

【解析】【解答】解：笞一4=昔，

x-lX+1

2x—a—2x+a

----------------=4

x-lx+1

(2x—a)(x4-1)—(a-2x)(x—1)

-------------------------------=4

(%-l)(x+1)

整理得：X

若分式方程哲-4=二千的解為整數(shù)，

x-lX+1

??a為整數(shù)，

當<1=±1時，解得：x=±2,經檢驗：X-1r0,x+1力0成立；

當a=±2時，解得：x=±l,經檢驗：分母為0沒有意義，故舍去；

綜上：a=±1,

故答案是：±1.

【分析】先求出分式方程的解，根據分式方程的解為整數(shù)，可求出符合題意的整數(shù)a的值.

15.如圖，在邊長為6的等邊AABC中，點E,F分別是邊AC,BC上的動點，且AE=CF,連

接BE,AF交于點P,連接CP,則CP的最小值為.

【答案】2V3

【考點】解直角三角形，三角形全等的判定（SSS）,三角形全等的判定（SAS）,三角形-動點問題

【解析】【解答】如圖所示，???邊長為6的等邊AABC,

ZCAB=60°

又：AE=CF

△ACF=△BAEVAS)

/CAP=NPBA

/EPA=ZPBA+ZPAB=NCAP+ZPAB=NCAB=60°

/APB=120°

.??點P的運動軌跡是以。為圓心，OA為半徑的弧

此時ZAOB=120°

連接C。交。。于P',當點P運動到P'時，CP取到最小值

???CA=CB,CO=CO,OA=OB

△ACO=△BCO(SSS)

?-.ZACO=NBCO=30°,ZAOC=ZBOC=60°

NCAO=NCBO=90°

又AC=6

0Pf=OA=AB-tan300=6x—=273,℃="百

32

CP'=OC-OP,=4V3-2V3=2V3

即C%in=2V3

故答案為：26

【分析】以AB為直徑作圓，利用等邊三角形的性質，可證得AB=AC,NACBNCAB,利用SAS證明

△AC0ABAE,利用全等三角形的性質可證得NCAP=NPBA,由此可證得NAPB=120。；可推出點P的運動

軌跡是以。為圓心，0A為半徑的弧，此時NAOB=120。，連接CO交。。于P',當點P運動到P'時，

CP取到最小值；再利用SSS證明△ACO2ABCO,利用全等三角形的性質，可求出NCAO=NCBO=90。；然

后利用解直角三角形分別求出OP',OC,CP'的長，即可得到CP的最小值.

三、解答題(共10題；共90分)

16.如圖，將一把矩形直尺ABCD和一塊等腰直角三角板EFG擺放在平面直角坐標系中，4B在x軸

上，點G與點A重合，點F在AD上，EF交BC于點M,反比例函數(shù)y=^(x<0)的圖象恰

好經過點F,M,若直尺的寬CD=1,三角板的斜邊FG=4,則k=.

【答案】-12

【考點】矩形的性質，等腰直角三角形，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征

【解析】【解答】解：過點M作MNJ.4D,垂足為N,則MN=CD=1,

在Rt4FMN中，"FN=45°,MN=1,

???FN=MN=1,

又「FG=4,

NA=MB=FG-FN=4—1=3,

設。4=a,則OB=a+1,

二點F(—a,4)>M(—a—1,3)>

又???反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象恰好經過點F,M.

???k=-4a=3(—a—1),

解得，Q=3,k.=—12,

故答案為：-12.

【分析】過點M作MN_LAD于點N,可得到MN=CD=1,利用等腰直角三角形的性質可求出FN的長，從

而可求出NA的長；設OA=a,可表示出OB的長，即可得到點F和點M的坐標；再利用反比例函數(shù)圖象上

點的坐標特點，可建立關于a的方程，解方程求出a的值，即可得到k的值.

17.計算：—I?+（幾—2021）°+2sin600—11—V31

【答案】解：原式=—l+l+2x學一（百一1）

=1

【考點】實數(shù)的運算，0指數(shù)累的運算性質，特殊角的三角函數(shù)值

【解析】【分析】先算乘方運算，同時化簡絕對值，代入特殊角的三角函數(shù)值，再算乘法運算，然后合并

即可.

18.化簡求值：（1-石）+（—三），其中a與2,3構成三角形的三邊，且a為整數(shù).

a—2a￡—4a+4

【答案】解：原式=a-2-3a+l。處變=-2(a-4)(a-2)^=—2a+4;

a—2a—4a—2a—4

12,3,a為三角形的三邊，

3-2VQ<3+29

1<a<5,

a為整數(shù)，

a=2,3或4,

由原分式得Q-2H0,Q-4H0,

QW2且Q04,

a=3,

原式二-2a+4=-2x3+4=-2

【考點】利用分式運算化簡求值，三角形三邊關系

【解析】【分析】先將括號里的分式減法通分計算，再將分式除法轉化為乘法運算，約分化簡；再利用三

角形的三邊關系定理及分式有意義的條件，可求出符合題意的a的值；然后將a的值代入化簡后的代數(shù)式

求值即可.

19.為慶祝中國共產黨成立100周年，在中小學生心中厚植愛黨情懷，我市開展"童心向黨”教育實踐活動,

某校準備組織學生參加唱歌，舞蹈，書法，國學誦讀活動.為了解學生的參與情況，該校隨機抽取了部分

學生進行“你愿意參加哪一項活動"（必選且只選一種）的問卷調查.根據調查結果繪制了條形統(tǒng)計圖和扇形

統(tǒng)計圖，部分信息如下:

唱歌舞蹈書法國學活動名林、,

誦讀

（1）這次抽樣調查的總人數(shù)為人，扇形統(tǒng)計圖中"舞蹈”對應的圓心角度數(shù)為.

（2）若該校有1400名學生，估計選擇參加書法的有多少人?

（3）學校準備從推薦的4位同學（兩男兩女）中選取2人主持活動，利用畫樹狀圖或表格法求恰為一男

一女的概率.

【答案】（1）200；108°

（2）解：1400X^=560（人）

答：估計選擇參加書法的有560人

（3）解：記兩名男生分別為：4,A2,兩名女生分別為：Bj,B2,則列表如圖所示:

第一次

4142BIB

第二次2

為B2Al

4241^28通2.B2A2

Bi4出^2^1B2B1

4/2ABB$2

B222

共有12種等可能結果，其中抽到一男一女的結果有8種,

，恰好抽到一男一女的概率為P=卷=|，

答：恰好抽到一男一女的概率為|

【考點】用樣本估計總體，扇形統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，列表法與樹狀圖法

【解析】【解答】（1）由題意，總人數(shù)為：36-18%=200（人），

"舞蹈”的人數(shù)：200-36-80-24=60（人），

???扇形統(tǒng)計圖中，"舞蹈”對應的圓心角為：黑x360°=108°,

故答案為:200；108°；

【分析】（1）這次抽樣調查的總人數(shù)=參加唱歌的人數(shù)十參加唱歌的人數(shù)所占的百分比，列式計算；扇形

統(tǒng)計圖中"舞蹈"對應的圓心角度數(shù)=360。、參加“舞蹈"的人數(shù)所占的百分比，列式計算即可.

（2）利用該校的人數(shù)x參加書法的人數(shù)所占的百分比，列式計算.

（3）由題意可知此事件是抽取不放回，列表，求出所有的可能的結果數(shù)及恰好抽到一男一女的情況數(shù)，

然后利用概率公式可求解.

20.如圖，在平面直角坐標中，AABC的頂點坐標分別是4（0,4）,B（0,2）,C（3,2）.

/

(1)將AABC以O為旋轉中心旋轉180°，畫出旋轉后對應的44B1G；

(2)將AABC平移后得到41282c2，若點A的對應點A2的坐標為(2,2),求AA^C2的面積

【答案】(1)解：延長AO至4,使得4。=&O；延長BO至Bi,使得BO=B］。；延長co至

G,使得CO=Ci。；再連接即得旋轉后對應的/48修1,如下圖所示：

(2)解：由題意4(0,4),B(0,2),C(3,2),平移后得到AA2B2C2,其中/12(2,2),根據平移的規(guī)

律知，平移過程是向下和向右分別移動兩個單位可得：B2(2,0),C2(5,0),

再連接點AltC1(C2，得441cle2,其中口。2交y軸于點D，如上圖所示：

SA&QC2=SAAQD+SA^DCZ

由。1(一3,-2),。2(5,0)得出直線C&的方程如下：

直線C&：y=；x-^

當x=0時，y=—|

11

???ArD=Y

SAAGCZ=SA4[Q。+S4A\DC2

11

=3xA^D,C]B]4~—xA^D,OC2

111?,111_-

=-x—X3+-X—x5=ll

2424

故SAAQCZ=11?

【考點】三角形的面積，作圖-平移，作圖-旋轉

【解析】【分析】(1)利用旋轉的性質，將△ABC繞著點。旋轉120。，可得到AAiBiCi.

(2)利用平移的性質，由點A和點A2的坐標，可得到平移方法，再畫出4A2B2c2；再利用待定系數(shù)法求

出直線JC2的函數(shù)解析式，即可求出點D的坐標，然后根據SAA1C1C2=SAA1C1D+SAA1DC2,利用三角形的面

積公式可求解.

21.2021年，州河邊新建成了一座美麗的大橋.某學校數(shù)學興趣小組組織了一次測橋墩高度的活動，如圖，

橋墩剛好在坡角為30°的河床斜坡邊，斜坡BC長為48米，在點D處測得橋墩最高點4的仰角為

35°,CD平行于水平線BM,CD長為16V3米，求橋墩AB的高(結果保留1位小數(shù)).(sin35°

*0.57,cos35°?0.82，tan35°Z0.70,V3x1.73)

【答案】解：如圖所示，延長DC交AB于點E,則EDIIBM.

?.ZAED=ZABM=90°,ZECB=ZCBM=30".

在Rt△BCE中，

???ZECB=30°,BC=48米，

BE=-BC=-x48=24（米）.

22

CE=y/CB2-BE2=V482-242=24A/3（米）.

?1?DE=CD+CE=16V3+24V3=40V3（米）.

在Rt△ADE中，

tan^ADE_—,

—DE

AE=DE-tan35。?40x1.73x0.70=48.44（米）.

AB=AE+BE=48.44+24?72.4（米）.

答：橋墩AB的高約為72.4米.

【考點】勾股定理，解直角三角形的應用-仰角俯角問題

【解析】【分析】延長DC交AB于點E,貝IJEDIIBM.,可證得NAED=NABM=90。，NECB=NCBM=30。，在

RSBCE中，利用直角三角形的性質可求出BE的長；再利用勾股定理求出CE的長，即可求出DE的長；然

后利用解直角三角形求出AE的長，從而可求出AB的長.

22.渠縣是全國優(yōu)質黃花主產地，某加工廠加工黃花的成本為30元/千克，根據市場調查發(fā)現(xiàn)，批發(fā)價定

為48元/千克時，每天可銷售500千克.為增大市場占有率，在保證盈利的情況下，工廠采取降價措施.批

發(fā)價每千克降低1元，每天銷量可增加50千克.

(1)寫出工廠每天的利潤IV元與降價x元之間的函數(shù)關系.當降價2元時，工廠每天的利潤為多少元？

(2)當降價多少元時，工廠每天的利潤最大，最大為多少元？

(3)若工廠每天的利潤要達到9750元，并讓利于民，則定價應為多少元？

【答案】(1)解：若降價x元，則每天銷量可增加50x千克，

W=(500+50x)-(48-x-30),

整理得：W=-50x2+400x4-9000,

當x=2時，W=-50x22+400x2+9000=9600,

每天的利潤為9600元

(2)解：W=-50%2+400%+9000=-50(x-4)2+9800,

-50<0,

.,.當x=4時，W取得最大值，最大值為9800,

.??降價4元，利潤最大，最大利潤為9800元

(3)解：令W=9750,得：9750=-50(x-4)2+9800,

解得：比1=5,%2=3,

V要讓利于民，

x=5,48—5=43(元)

定價為43元.

【考點】二次函數(shù)的實際應用-銷售問題

【解析】【分析】(1)利用利潤=每千克的利潤x銷售量，列出W與x之間的函數(shù)解析式，然后將x=2代

入函數(shù)解析式可求出結果.

(2)利用二次函數(shù)的性質，可求出最大利潤.

(3)根據W=9750,建立關于x的方程，解方程求出x的值，利用已知條件可得到符合題意的x的值，

然后求出定價.

23.如圖，AB是。。的直徑，C為。。上一點(C不與點A,B重合)連接AC,BC,過

點C作CD14B,垂足為點D.將AACD沿AC翻折，點D落在點E處得AACE,4E交。

。于點F.

（1）求證：CE是。。的切線；

（2）若ZBAC=15°,0/4=2,求陰影部分面積.

【答案】（1）證明：如圖，連接0C,

,/CD1AB,

ZCDA=90°,

??,AACD翻折得到AACE,

ZEAC=ZDAC,ZE=ZCDA=90°,

ZEAD=2ZDAC,

,/0A=0Cz

??.Z0AC=ZOCA

ZCOD=2ZOAC,

ZCOD=ZEAD,

OC//AE,

/.ZECO=180°-ZE=90°,

OC±EC,

CE是OO的切線

（2）解：如圖，連接OF,過點。作0G14E于點G,

???ZE=ZECO=90°,

四邊形OCEG為矩形.

ZBAC=150，04=2,

???ZBAE=2^0AC=30°，

0G=10A-1,

AG=y/OA2-OG2=V3,

OGJ.AE于點G,0A=0F=2,

GF=AG=V3-ZFAO=ZAFO=30°,

OC〃AE,

ZCOF=ZAFO=30",

矩形OCEG面積為0c?OG=2X1=2,

△面積為-OG-GF=-XlXy/3=—，

OGF222

扇形COF面積為丑叱_工兀

360—3

陰影部分面積=矩形OCEG面積-AOGF面積-扇形COF面積=2-立-工〃

23

【考點】圓的綜合題

【解析】【分析】(1)利用垂直的定義可知NCDA=90。，利用折疊的性質可得到NEAD=2NDAC,

NE=NCDA=90。，利用等腰三角形的性質去證明NC0D=NEAD,由此可推出OCIIAE,可推出COJLEC,利

用切線的判定定理，可證得結論.

(2)連接0F,過點。作OGLAE于點G,易證四邊形OCEG是矩形，再證明NBAE=30。，利用30。角所對

的直角邊等于斜邊的一半，求出0G的長；利用勾股定理求出AG的長，GF的長及NCOF的度數(shù)；然后利

用陰影部分面積=矩形OCEG面積-AOGF面積-扇形COF面積，利用三角形、扇形、矩形的面積公式可求出

陰影部分的面積.

24.某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內兩要互相垂直的線段做了如下探究：

(觀察與猜想)

(1)如圖1,在正方形ABCD中，點E,F分別是AB，AD上的兩點，連接DE,CF,DE1

(2)如圖2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,點E是AD上的一點，連接CE,BD,且

CELBD,則啜的值為.

DD

Ab

2

（3）如圖3,在四邊形ABCD中，4==90°,點E為4B上一點，連接DE,過點C作

DE的垂線交ED的延長線于點G,交40的延長線于點F，求證：DE-AB=CF-AD；

(4)如圖4,在RtAABD中，ZBAD=90°,AD=9,tan^ADB=g，將AABD沿BD翻

折，點A落在點C處得ACBD，點E,F分別在邊AB,AD上，連接DE,CF,且DE_L

CF.

①求行的值；

②連接BF,若4E=1,直接寫出BF的長度.

【答案】（1）1

（2）,（類比探究）

（3）解：如圖，過點C作CH1AF交AF的延長線于點H,

???CGLEG,4=4=90°,

?1-/G=/H=/A=/B=90°,

四邊形ABCH為矩形，

?1?AB=CH,ZFCH+/CFH=/DFG+/FDG=90

???/CFH=/DFG,

???ZFCH=ZFDG,

???ZEDA=/FDG,

???/FCH=ZEDA,

4TqZEDA=ZFCH

在ZkOEA和△CFH中，｛

力=々=90°

△DEA~&CFH,

.DE_AD

?.CF~CH'

.DE_AD

??CF~AB）

「?DE?AB=CF?AD

（拓展延伸）

（4）解：①過C作CG_L4D于點G,連接AC交BD于點H

CF1DE,ZBAD=90°，

ZFCG+ZCFG=/CFG+^EDA=90°

ZFCG=ZEDA，

在△DEA和△CFG中，｛ZEDA="FC。

ZEAD=ZFGC=90°

△DEACFG,

.DE_AD

-CF~CG9

在RtUBD中，tan^ADB=-=-,AD=9,

AD3

AB=3,

在RMADH中,tanZADH=-=-,

DH3

設AH=a,貝ijCH=3a,

AH2+DH2=AD2,即a?+（3a）2=92,

0=5”^或￡1=一2可（舍去），

AH=—V10,DH=—V10,

1010

由翻折的性質得：DH1AC,AC=2AH=|V10,

■■ShADC=^ACDH=^ADCG,

iX|V10XV10=X9CG,

解得CG—~~,

DE_AD_9_5

彳=而=掾=I;

②由⑷①已證：△DEA-△CFG,黑=|，

AEDE5

:.—=----=—,

FGCF3

???4E=1,

?=>解得FG=l，

由翻折的性質得：CD=AD=9,

在RtZkCDG中，DG=>JCD2-CG2=y,

AF=AD-FG-DG=9,

555

在R￡△ABF中，BF=yjAB24-AF2=^32+(|)2=|V29

【考點】翻折變換(折疊問題)，相似三角形的判定與性質，解直角三角形

【解析】【解答】解：(1)???四邊形ABCD是正方形，

???AD=DCtZA=NCDF=90°,

???ZADE+ZCDE=90°,

vDE1CF,

???NDCF4-NCDE=90°,

???ZADE=NDCF,

ZA=NCDF=90°

在bADE和LDCF中，｛AD=DC,

ZADE=/DCF

..^ADE^^DCF^ASA),

ADE=CF,

DE3

造=1；

(2)v四邊形ABCD是矩形，

???ZA=NCDE=900,

???NADB+NCDB=90°,

vCE1BD,

:.ZDCE+ZCDB=90°,

???ZADB=ZDCE，

“力q,4=/CDE=90°

在>ADB和LDCE中，｛,

ZADB=ZDCE

ADBDCE,

CECD4

:.—=——=—?

BDAD7

【分析】(1)利用矩形的性質可證得AD=DC,NA=NCDF,再利用垂直的定義及余角的性質可推出

ZADE=ZDCF,利用ASA可證得△ADE2△DCF,利用全等三角形的對應邊相等可得到DE=CF,由此可求出

DE與CF的比值.

(2)利用矩形的性質及余角的性質，可推出NADB=ZDCE,利用有兩組對應角相等的兩三角形相似，可證

得4ADB。ADCE,利用相似三角形的對應邊成比例，可求出CE與BD的比值.

(3)過點C作CH_LAF交AF的延長線于點H,易證四邊形ABCH是矩形，利用矩形的性質去證明

ZFCH=ZEDA,AB=CH；利用有兩組對應角相等的兩三角形相似，可證得△DAE-△CFH,利用相似三角形

的對應邊成比例，可證得結論.

(4)①過點C作CG_LAD于點G,連接AC交BD于點H,利用垂直的定義和余角的性質可證得

ZFCG=ZEDA,利用相似三角形的判定定理可得到△DEA”△CFG,利用相似三角形的性質可得對應邊成

比例；再利用解直角三角形求出AB的長，設AH=a,可表示出DH的長，利用勾股定理建立關于a的方程，

解方程求出a的值，即可得到AH,DH的長；再利用折疊的性質及三角形的面積公式可求出CG的長，由

此可求出DE與CF的比值；②利用①的過程可知AE與FG的比值，由此可求出FG的長；利用折疊的性

質可得到CD的長，利用勾股定理求出DG的長，根據AF=AD-FG-DG,可求出AF的長；然后利用勾股定理

求出BF的長.

25.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y--x2+bx+c交x軸于點A和C(1,O)，交y軸于點

8(0,3)，拋物線的對稱軸交x軸于點E,交拋物線于點F.

(1)求拋物線的解析式；

(2)將線段OE繞著點O沿順時針方向旋轉得到線段OE，,旋轉角為a(0°<a<90。)，連接

AE7,BE，，求BE'+q4E'的最小值.

(3)M為平面直角坐標系中一點，在拋物線上是否存在一點N，使得以A,B,M,N為頂點

的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的橫坐標；若不存在，請說明理由；

【答案】(1)解：：y=-x2+bx+c過C(l,0),B(0,3)

.f-l+b+c=0

-tc=3

..b=-2,c=3

二拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3

(2)解：在OE上取一點D,使得OO=1OE,連接AE',BD

4

/中

OD=(OE=3OE，

對稱軸x=^-=-l.

.■.E(—1,0),OE=1

OE