相似三角形動點問題（鞏固篇）（專項練習）-2021-2022學年九年級數(shù)學上冊基礎知識專項講練（北師大版）

專題4.33相似三角形動點問題（鞏固篇）（專項練習）

一、單選題

1.如圖1,在矩形ABCD中，點E在C￡>上，4EB=90°,點尸從點A出發(fā)，沿AfEfB

的路徑勻速運動到點B停止，作于點。，設點尸運動的路程為x,PQ長為>,若y

與x之間的函數(shù)關系圖象如圖2所示，當x=6時，尸。的值是（）

96

A.2B.—C.—D.1

55

2.如圖，R3ABC中，ZACB=90°,CD平分NACB交AB于點D,按下列步驟作圖：

步驟1：分別以點C和點D為圓心，大于;8的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點;

步驟2：作直線MN,分別交AC,BC于點E,F；

步驟3：連接DE,DF；

若AC=4,BC=2,則線段DE的長為（）

534

A.—B.—C.-y/2D.一

3273

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=9,BO12,點E是邊BC上的一點，2EOBE,點P是對

角線AC上的一個動點，連接PE,過點E作EQ_LEP交線段AC于點Q,則PQ的最小值

是（）

A.1B.-C.—D.3

55

4.如圖，在aABC中，BC=6,E,尸分別是A3,AC的中點，動點P在射線所上，BP

交CE于點、D,/CBP的平分線交CE于點Q,當CQ=：CE時，EP+BP的值為（）

A.6B.9C.12D.18

5.如圖，正方形ABCD的邊長為1,E、F分別是邊BC和CD上的動點（不與正方形的頂

點重合），不管E、F怎樣動，始終保持AELEF,設BE=x,DF=y,則y是x的函數(shù)，函數(shù)

關系式是（）

A.y=x+lB.y=x-lC.y=x2-x+1D.y=x2-x-I

6.如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm,ACD2cm,動點D從A點出發(fā)到B點止，

動點E從C點出發(fā)到A點止.點D運動的速度為1cm/秒，點E運動的速度為2cm秒.如果兩

點同時運動，那么當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是

)

A.3或2.8B.3或4.8C.1或4D.1或6

7.如圖，已知點P是邊長為5的正方形ABCD內(nèi)一點，且PB=3,BKLBP于B,若在射

線BF上找一點M,使以點B,M,C為頂點的三角形與△ABP相似，BM的值為（）

A.3B.yC.3或1D.3或5

8.如圖，在菱形A3CD中，AC=12,BD=16,動點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度

的速度向點B運動，直到點8時停止；動點。同時從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速

度向點。運動，當點P停止運動時，點Q隨之停止運動，連接PQ交AC于點那么在

點P的運動過程中，線段QH的最小值是（）

48c96〃144-48

A.—B.—C.D?—

5252525

9.如圖，在AABC中，ZC=90°,A8=10,8C=8.E是4c邊上一動點，過點后作所〃AB

交8c于點尸，。為線段E尸的中點，當8。平分NABC時，AE的長度是（）

16-30八40r48

A.—B.—C.—D.—

13131313

10.如圖，已知C是線段A8上的任意一點（端點除外），分別以AC,BC為斜邊并且在A8

的同一側(cè)作等腰直角AACD和BCE,連接AE交CO于點M,連接交CE于點N,給出

以下三個結(jié)論：①MN//AB；②上=工+」；③MN4；AB,其中正確結(jié)論的個數(shù)是

MNACBC4

（）

A.0B.1C.2D.3

11.在RSABC中,/C=90o,AC=3,BC=4,D是AB上一動點（不與A、B重合），DELAC于

點E,DF1BC于點F,點D由A向B移動時，矩形DECF的周長變化情況是（）

A.逐漸減小B,逐漸增大C.先增大后減小D.先減小后增大

12.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABC。的面積為定值，它的對稱中心恰與原點重合，

且AB〃y軸，CO交x軸于點過原點的直線EF分別交A。、BC邊于點E、F,以EF為

一邊作矩形EFG”，并使EF的對邊G”所在直線過點“，若點A的橫坐標逐漸增大，圖中

矩形EFG/7的面積的大小變化情況是（）

A.一直減小B.一直不變

C.先減小后增大D.先增大后減小

二、填空題

13.如圖，在RSABC中，NBAC=90。，AB=AC=16cm,AD為BC邊上的高.動點P從

點A出發(fā)，沿ATD方向以0cm/s的速度向點D運動.設^ABP的面積為Si,矩形PDFE

的面積為S2,運動時間為t秒（0<t<8）,則1=秒時，SI=2S2.

14.在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,P為邊BC上一動點，PELAB于E,PF±AC

于F,M為EF中點，則AM的最小值為.

15.在。ABCD中，E是AD上一點，且點E將AD分為2：3的兩部分，連接BE、AC相

交于F,則SMEF：S^CBF是?

16.如圖，在直角三角形A8C中，ZA=90°,AB=8,AC=15,8c=17.D,P分別是線

段AC,BC上的動點，則BQ+QP的最小值是.

17.如圖，有一正方形ABC。，邊長為4,點E是邊CO上的中點，對角線BO上有一動點F,

當頂點為A、B、F的三角形與頂點為D、E、F的三角形相似時，8尸的值為.

18.如圖，在△ABC中,AB=AC=10,點D是邊BC上一動點（不與B,C重合），ZADE=ZB=a,

4

DE交AC于點E,且cosa=-.下列結(jié)論：?AADE^AACD：②當BD=6時，△ABD

25

與ADCE全等；③4DCE為直角三角形時，BD為8或：■；?CD2=CE<A.其中正確的

結(jié)論是（把你認為正確結(jié)論的序號都填上）

19.如圖，矩形硬紙片ABCD的頂點A在V軸的正半軸及原點上滑動，頂點B在x軸的正

半軸及原點上滑動，點E為AB的中點，AB=24,BC=5,給出下歹lj結(jié)論：①點A從點0出發(fā)，

到點B運動至點O為止，點E經(jīng)過的路徑長為1271；0AOAB的面積的最大值為144；③

當0D最大時，點D的坐標為（生叵，竺返），其中正確的結(jié)論是（填寫序號）.

2626

20.如圖，在矩形48co中，A8=4,8C=3,點P、。分別為直線AB、8C上的動點，且

PDA.PQ,當△PDQ為等腰三角形時，則AP的長為.

21.如圖，在△ABC中，BCn2,BC上的高AH=8,矩形DEFG的邊EF在邊BC上，頂

點D、G分別在邊AB、AC±.設DE=x,矩形DEFG的面積為那么y關于x的函數(shù)

關系式是.（不需寫出x的取值范圍）.

22.如圖，在直角坐標系中，點A（2,0）,點伏0,1）,過點4的直線/垂直于線段AB,點尸是

直線/上在第一象限內(nèi)的一動點，過點戶作PC，x軸，垂足為C,把△ACP沿AP翻折180。，

使點C落在點。處，若以A,D,尸為頂點的三角形與AABP相似，則滿足此條件的點尸的

坐標為?

23.如圖，矩形A8CD中，45=4,8c=8,E為CO的中點，點尸、。為8c上兩個動點，

且PQ=3,當CQ=時，四邊形APQE的周長最小.

24.如圖，在矩形Q4HC中，0c=8,。4=12,8為C”中點，連接A8.動點M從點。出

發(fā)沿。4邊向點A運動，動點N從點A出發(fā)沿A8邊向點5運動，兩個動點同時出發(fā)，速度

都是每秒1個單位長度，連接CM,CN,MN,設運動時間為f(秒)(0<f<10).貝"=

時，ACMN為直角三角形

三、解答題

25.已知：如圖，四邊形ABCD,AB〃DC,CB1AB,AB=16cm,BC=6cm,CD=8cm,動

點P從點D開始沿DA邊勻速運動，動點Q從點A開始沿AB邊勻速運動，它們的運動速

度均為2cm/s.點P和點Q同時出發(fā)，以QA、QP為邊作平行四邊形AQPE,設運動的時間

為t(s),0<t<5.

根據(jù)題意解答下列問題：

(1)用含t的代數(shù)式表示AP；

(2)設四邊形CPQB的面積為S(cm2),求$與t的函數(shù)關系式；

(3)當QPLBD時，求t的值；

(4)在運動過程中，是否存在某一時刻t,使點E在NABD的平分線上？若存在，求出t

的值；若不存在，請說明理由.

26.如圖，中，ZACB=90°,AC=6cm,8c=8cm,點。從點8出發(fā)，沿邊BAfAC

以2cm/s的速度向終點C運動，過點。作。E〃8C,交邊AC(或A8)于點區(qū)設點。的

運動時間為代)，△口)￡的面積為S(cn?).

(1)當點。與點A重合時，求/的值；

(2)求S關于r的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量f的取值范圍.

27.如圖，在AABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,點尸從點A出發(fā)，沿A8以4aw/s的

速度向點B運動，同時點。從點C出發(fā)，沿C4以3c機/s的速度向點A運動，當其中一點到

達終點時，另一點也停止運動，設運動時間為xs.

(1)當x為何值時，PQ//BC2

(2)AAP。與能否相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由.

28.如圖，在矩形ABC。中，AB=8cm,BC=16cm,點P從點A沿邊AB向點8以lcm/s的

速度移動，同時點Q從點8沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，有一點到終點運動即停

止，設運動時間為f秒.

(l)r為何值時，△P8Q的面積為12cm2；

(2)若PQ_LOQ,求f的值.

參考答案

1.B

【分析】

由圖象可知：AE=3,BE=4,根據(jù)勾股定理可得AB=5,當x=6時，點P在BE上，設此時

的PQ為PQ，先求出P'E的長，再根據(jù)△P'Q'E~AAEB,求出P'Q'的長，即PQ的長.

【詳解】

解：由圖象可知：

AE=3,BE=4,ZA￡B=90°,

-,.AB=732+42=5

當x=6時，點P在BE上，設此時的PQ為P'Q'如圖

圖1

止匕時P'E=4-(7-x)=x-3=6-3=3

VABCD是矩形，

/.AB//CD

/.^QEP=ZABE

?：NAEB=NPQ'E=90。

：./XPQE~AAEB

.PQEP

.PQ=3

，u~3~~5

9

???也飛

即PQ=^9

故選：B.

【點撥】本題考查的是動點問題函數(shù)圖象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性質(zhì)，解

題關鍵是深刻理解動點的函數(shù)圖象，了解圖象中關鍵點所代表的實際意義，理解動點的完整

運動過程.

2.D

【分析】

先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到/ECD=/DCF=45。，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到CE=DE,

ZECD=ZEDC=45°,進而得到NCED=90。，證得DE〃CB,所以△AEDs/\ACB,設

ED=x,根據(jù)相似三角形對應線段成比例列式求出x即可.

【詳解】

：CD平分NACB,；.NECD=NDCF=45。，：MN垂直平分CD,；.CE=DE,/.ZECD

=/EDC=45°,.,.NCED=90°,又：/ACB=90°,；.DE〃CB,.,.△AED^AACB,

荒=器，設ED=x，則EC=x,AE=4—x,...三=],解得x=],故選D.

【點撥】本題主要考查了角平分線，垂直平分線，相似三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是證明

DE〃CB.

3.C

【詳解】

解析:在RSABC中,

AC=y/AB2+BC2=A/92+122=15，

取PQ中點M,在RSPEQ中,

PQ=2EM,

當EM_LAC時，EM最小，

,/ZEMC=ZABC=90°,

ZECM=ZACB,

.,.△EMC^AABC

.EMEC

-AC

EM4

E[J—=—

915

.\EM=y,

?T

故選：C

4.C

【分析】

根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)得到相等的角，然后利用等角對等邊，得出BP=PM,從而用

其它的線段長表示出EP+BP,再根據(jù)線段CQ和CE的關系，得出EQ和CQ的關系，再綜合

根據(jù)平行線得出三角形相似得出EM和BC的關系，從而解決EP+BP的值.

【詳解】

如圖，延長8Q交射線EF于

F分另IJ是AB、AC的中點，

：.EF//BC,

：.ZM=ZCBM,

??,8。是NC8尸的平分線，

:.NPBM=NCBM,

；.NM=NPBM,

：.BP=PM,

：.EP+BP=EP+PM=EM,

?；CQ=；CE,

：?EQ=2CQ,

由EF//BC得，△MEQs^BCQ,

.EM_EQ

"^BC~"CQ

=2,

:.EM=2BC=2x6=12,

g|JEP+BP=12.

故選：C.

【點撥】本題考查了了平行線和角平分線的性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關

鍵是利用平行線和角平分線的性質(zhì)得出相等的角，根據(jù)題意判定量三角形相似.

5.C

【詳解】

試題分析：易證△ABES/SECF,根據(jù)相似三角形對應邊的比相等即可求解.

解：；NBAE和NEFC都是NAEB的余角.

AZBAE-ZFEC.

.,.△ABE^AECF

那么AB：EC=BE：CF,

VAB=1,BE=x,EC=1-x,CF=1-y.

AAB?CF=EC?BE,

即lx(1-y)=(1-x)x.

化簡得：y=x2-x+l.

故選C.

考點：根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式.

6.B

【解析】

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由題意可知有兩種相似形式，△AQEs/viBC和

可求運動的時間是3秒或4.8秒.

【詳解】

根據(jù)題意得：設當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是x秒，①

若△A￡>ES/\A8C,則AO：A8=AE：AC,即x：6=(12-20：12,解得：x=3；

②若△A￡>Es/\AC8,則A。：AC=AE：AB,即x：12=(12-2x)：6,解得：x=4.8.

所以當以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似時，運動的時間是3秒或4.8秒.

故選B.

【點撥】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題時要注意此題有兩種情況，不要漏解；還要注

意運用方程思想解題.

7.C

【分析】

由于/ABC=/PBF=90。，同時減去/PBC后可得到/ABP=NCBF,若以點B,M,C為頂

點的三角形與△ABP相似，那么必有：AB：PB=BC：BM或AB：BP=BM：BC,可據(jù)此求

得BM的值.

【詳解】

???四邊形ABCD是正方形，

.,.ZABC=90°,AB=BC=5；

XVZPBF=90°,

/.ZABP=ZCBF=90°-ZCBP；

若以點B,M,C為頂點的三角形與△ABP相似，

EI不43BM5BM25

則：①=-ZTT，即nrl彳=-L-?解得BM=—;

rnDCS33

②生蹤艮喘粉解得BM=3；

故選c.

【點撥】本題考查的知識點是相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關鍵是應注意相似三角形的對

應頂點不明確時，要分類討論，不要漏解.

8.B

【分析】

2

由C0//AP得到△CQH^/XAPH,得。”：PH=2：3,進而得QH=,PQ,再求PQ的最小值，

即當PQ與菱形ABCD的高相等時PQ最小，根據(jù)面積求出菱形的高即PQ的最小值，從而

得出。”的最小值.

【詳解】

解：在菱形ABC。中，CDMAB,

：.CQ//AP,

:.XCQHsXAPH；

設點P運動的時間為r（秒），貝UCQ=2f,AP=3t,

.QH_=CQ=2t_=2

"PH~AP~3t~3'

：.QH=^PQ；

當PQ_LCD時，即當P。與菱形ABC。的高相等時，P。的長最小，

設菱形ABC。的高為〃，

ZCOD=900,DO=^BD=S,C0=^AC=6,

CD=yjDCP+CO1=^82+62=10.-

10/?=yxl2x6,

48

解得/?=y,

故選：B.

【點撥】此題應用的知識有菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理及平行線間的

距離等，方法主要是面積法，難度中等.

9.B

【分析】

根據(jù)角平分線、中點及平行線的性質(zhì)，得出FD=ED=FB,設FD=ED=FB=x,再根據(jù)

△CEF-ACAB,得出x的值，根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】

解：平分NABC

AZABD=ZFBD

'：EF//AB

ZFDB=ZABD

.\ZFDB=ZFBD

???△FBD為等腰三角形

???FB=FD

???。為線段EF的中點

AFD=ED

.'.FD=ED=FB

設FD=ED=FB=x

EF=2x

*：EF//AB

.'.△CEF^ACAB

.CFEF

CBAB

.CB-FBEF

CBAB

解得：X=4￡0

4064

.\CF=8-BF=8—

1313

?八4080

EF=2x——=

1313

VZC=90°,AB=10,BC=8

；?AC=7AB2-BC2=>/102-82=6

在RSCEF中

4830

.,.AE=AC-CE=6—=

13

故選：B.

【點撥】本題主要考查了角平分線、中點及平行線的性質(zhì)，也考察了相似三角形的性質(zhì)，勾

股定理的應用；解題關鍵是熟練掌握角平分線、平行線以及相似三角形的性質(zhì)以及利用方程

解決實際問題.

10.D

【分析】

（1）用平行線分線段成比例定理；

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，化簡分式可得;

（3）要利用二次函數(shù)最值即可求解.

【詳解】

解：（1）：CD〃BE,

,.△CND^AENB,

=史①，

NEBE

ZCE//AD,

'.△AMD^AEMC,

?MECE)

??等腰直角△ACD和ABCE,

\CD=AD,BE二CE,

CNAM

~NE~~ME

???MN〃AB；

(2)VCD#BE,

.'.△CND^AENB,

.CNDN

^~NE~~NB'

CNDN

設VL——==k,

NENB

則CN=kNE,DN=kNB,

VMN/7AB,

.MN_NENE1

**AC-CE-NE+CN_1+7

MNDNDNk

~BC~^B-DN+NB-I7T，

.MNMN、

??-<----=1,

ACBC

.1-11

??-1:

MNACBC

ACx3cACxBC

AMN=

AC+BCAB

設AB=a(常數(shù))，AC=x,

則MN=，x(a-x)=--

aa

...正確的結(jié)論有3個,

故選：D.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是熟練的掌握相似三角形的判定

與性質(zhì).

11.A

【詳解】

試題分析：:DELAC于點E,ZC=90°,

；.ED〃BC,

.,.△AED^AACB,

.AEED

"~AC~'BC'

；AC=3,BC=4,

4

AED=-AE；

3

3

同理可得DF=—BF；

4

4343

J矩形DECF的周長C為=2(ED+DF)=2(-AE+-BF)=2[-AE+-(BC-CF)]

3434

43341

=2[-AE+-x4—x-AE]=2(3+-AE),

34433

???AE是從0到3逐漸增大，所以DECF的周長也逐漸增大.

故選A.

考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.矩形的性質(zhì).

12.B

【分析】

QPOF

設G”交4。于K,AC與軸交于點P.由△OPEsAEHK,推出一=—,推出OP?EK

HEEK

=HE-OE,易證四邊形。MKE是平行四邊形，推出EK=OM,推出0戶。加="4?！?由矩

形ABC。的面積為定值，推出。尸0M是定值，推出HE，0E是定值，由矩形EFG”的面積

=2HE?E0,推出矩形EFG”的面積是定值.

【詳解】

如圖，設G”交4)于K,與軸交于點尸.

:N0EP+NHEK=9Q。,NHEK+NHKE=9Q°,

：.NHKE=ZOEP,

"：ZOPE=ZH=90°,

:.△OPEsAEHK,

.OP_OE

??=,

HEEK

OP?EK=HE*OE,

易證四邊形OMKE是平行四邊形，

：.EK=OM,

：.OP-OM=HE-OE,

?.?矩形48CQ的面積為定值，

是定值，

是定值，

:矩形EFGH的面積=2HE?E0,

...矩形EFGH的面積是定值.

故選8.

【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、坐標與圖形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題

的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

13.6.

【詳解】

「RSABC中，ZBAC=90°,AB=AC=16cm,AD為BC邊上的高,

AD=BD=CD=8^/2cm.

又?.?AP=0r，AS.=-APBD=-->/2tS>j2=St,PD=8亞一五t.

22

ppAPpp5t

???PE〃BC,/.AAPE^AADC.—=—,CP—==^-==>PE=V2t.

DCAD8A/28A/2

PE=AP=yf2t.

2

S2=PDPE=(8^->/2t)-V2t=16t-2t.

:

VSI=2S2,.,.8t=2（16t-2t）,解得：t=6.

14.2.4

【分析】

根據(jù)已知得當AP_LBC時，AP最短，同樣AM也最短，從而不難根據(jù)相似比求得其值.

【詳解】

連結(jié)AP,

在△ABC中，AB=6,AC=8,BC=10,

.?.NBAC=90。，

VPE±AB,PF_LAC,

???四邊形AFPE是矩形，

；.EF=AP.

：M是EF的中點，

.*.AM=gAP,

根據(jù)直線外一點到宜線上任一點的距離，垂線段最短，即APJ_BC時，AP最短，同樣AM

也最短，

.,.當AP_LBC時，△ABP^ACAB,

AAP：AC=AB：BC,

AAP：8=6：10,

；.AP最短時，AP=4.8,

當AM最短時，AM=AP+2=2.4.

故答案為2.4

【點撥】解決本題的關鍵是理解直線外一點到直線上任一點的距離，垂線段最短，利用相似

求解.

15.4:25或9:25

【分析】

分/㈤皮>=2：3、AE：￡?=3：2兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可.

【詳解】

解：①當AE：￡?=2：3時，

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AE：80=2:5,

②當E￡>=3：2時，

同理可得，％"%?"=(9=9：25,

故答案為4：25或9:25.

【點撥】考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比

等于相似比的平方是解題的關鍵.

,,240

16.

17

【分析】

作B關于AC的對稱點E,過E作EPLBC于P,交4。于D則AE=AB=S,此時，BD+DP

的值最小，BD+DP的最小值=改，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

作B關于4c的對稱點E,過E作EPJ_BC于尸，交4。于。，

則AE=A8=8,此時，BD+DP的值最小，8￡>+。尸的最小值=EP,

；N84C=N8PE=90°,NC=NE,

△ABCs/\PBE,

,BEPE

?就一就

.16PE

,,—―----

1715

240

~n~

故答案為：得240

【點撥】本題主要考查了三角形的動點問題與相似三角形的綜合運用，熟練掌握相關概

念是解題關鍵.

17.2&或逑.

3

【分析】

分AABFSAFDE和AABFSA￡D尸兩種情形求解即可.

【詳解】

依題意可得：BD=yjAB2+AD2=^42+42=472>

設3尸=》，則有力F=40-x;

①當△A3尸s^FDE時，（如圖I）

由誓=黑得逑H=解得…=電=2應：

BABF4x

②當AABFSA￡￡>尸時，（如圖2）

由史="得越二=2,

BFBAx4

解得：x=—：

3

綜上所述，8尸的值為2夜或逑.

3

故答案為：2母或也.

3

【點撥】本題考查了正方形背景下的三角形相似，熟練掌握三角形相似的判定定理，靈活運

用分類思想求解是解題的關鍵.

18.①②③

【分析】

山AB=AC可知/B=NC,再由/ADE=/B可判斷①；由三角形外角和定理可得

ZADB=ZDAC+ZC,/DEC=/DAC+/ADE,而/B=/C=/ADE=/a,再由AB=AC且

4

cosa=g可求解出BC=16,則CD=I6-6=IO=AB,據(jù)此可判斷②；由上問可知NADB=NDEC,

分NDEC=90。和/EDC=90。這兩種情況進行求解即可判斷③;若CD2=CE?CA,則三=空，

CDCA

再由/C是公共角，可得△ADEsAACD,而根據(jù)題干條件并不能得到該相似結(jié)論，據(jù)此

可判斷④.

【詳解】

解：由AB=AC可知NB=NC,再由/ADE=NB可知△ADEs^ACD,故①正確；由三角

形外角和定理可得NADB=NDAC+NC,NDEC=NDAC+NADE,而NB=NC=/ADE,故

4

/ADB=/DEC.由AB=AC=10ftcosa=-,uj"求解BC=16,則CD=16-6=10=AB.綜合上述，

由/B=NC、/ADB=NDEC、CD=AB可證明△ABD^ADCE；由上問可知NADB=NDEC,

當/DEC=90。時，/ADB=90。，則D點為BC中點，BD=8.當/EDC=90。時，，貝lJ/BAD=90。，

貝ljBD=10x3=g,故③正確；若CD2=CE?CA,則要=冬，再由NC是公共角，可得

△ADE-AACD,而根據(jù)題干條件并不能得到該相似結(jié)論，故④錯誤；

故答案為①②③.

【點撥】本題綜合考查了三角形全等和相似，對其判定方法要非常熟悉.

19.②③

【分析】

①由條件可知AB=24,則AB的中點E的運動軌跡是圓弧，最后根據(jù)弧長公式即可計算出

點E所經(jīng)過的路徑長；②當△OAB的面積最大時，因為AB=24,所以AOAB為等腰直角三

角形，即OA=OB,可求出最大面積為144：③當O、E、D三點共線時，0D最大，過點D

作DF_Ly軸于點F,可求出OD=25,證明ADFA^AAOB和4DFOS^BOA,可求出DF

長，則D點坐標可求出.

【詳解】

解：??,點E為AB的中點，AB=24,

???AB的中點E的運動軌跡是以點O為圓心，12為半徑的一段圓弧，

,/ZAOB=90°,

Qf)X1X

...點E經(jīng)過的路徑長為二:=6式,故①錯誤;

180

當AOAB的面積最大時，因為AB=24,所以△OAB為等腰直角三角形，即OA=OB,

YE為AB的中點，

???5AOfi=^x24xl2=144,故②正確；

如圖，當O、E、D三點共線時，OD最大，過點D作DFLy軸于點F,

.,.OD=DE+OE=13+12=25,

設DF=x,

；四邊形ABCD是矩形，

??.ZDAB=90°,

?.ZDFA=ZAOB,

ZDAF=ZABO,

.'.△DFA^AAOB

?E為AB的中點,ZAOB=90°,

.-.AE=OE,

.?.ZAOE=ZOAE,

/.△DFO^ABOA,

解得、=等4一誓舍去‘

D,故③正確.

故答案為②③.

【點撥】本題考查四邊形綜合題、直角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等

知識.解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

20.1或7

【分析】

當P點在A8上，如圖1,先根據(jù)等角的余角相等得到則可證明

ADPD

RtABPQ,利用相似比得到而=而=1,則P8=A￡>=3,然后計算AB-P8

即可.當尸點在43的延長線上時，如圖2,同樣方法得到RSAOPsRs8PQ,利用相似

比得到P8=AO=3,然后計算AB+PB即可.

【詳解】

解：當尸點在邊A8上，如圖1,

???四邊形A8CO為矩形，

：.AD=BC=3fNA=N8=90。，

?；PDUQ,

???NDPQ=90。，

VZAPD+ZADP=90°fZAPD+ZBPQ=90°f

???/ADP=/BPQ,

ARtAADP^RtABPQ,

.AD_PD

""~BP~~PQJ，

：.PB^AD=3,

：.AP=AB-PB=4-3=1.

當尸點在AB的延長線上時，如圖2,

同樣方法得到RtAAOPsRsBPQ,

.AD_PD

''~BP~~PQ葭

：.PB^AD=3,

：.AP=AB+PB=4+3=1.

綜上所述，AP的長度為1或7.

故答案為1或7.

【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形

中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般

方法是通過作平行線構造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關系；也

考查了矩形的性質(zhì).

3

21.y=——x2+\2x；

2

【分析】

根據(jù)題意和三角形相似，可以用含x的代數(shù)式表示出。G,然后根據(jù)矩形面枳公式，即可得

到y(tǒng)與X的函數(shù)關系式.

【詳解】

解：???四邊形DEFG是矩形，BC=12.BC上的高AH=8,DE=x,矩形OEFG的面積為

：.DG//EF,

??.AADGSAABC,

.8-x_DG

??=,

812

得DG=3(8；x),

...…自―、⑵,

22

故答案為：y=--x+I2x.

【點撥】本題考查根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關系式、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的

關鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

22.（1」）或（4,4）

【分析】

求出直線1的解析式，證出AAOBsaPCA,得出段=坐=1,設AC=m（m>0）,貝U

AOPC2

AnAC1

PC=2m,根據(jù)APCAgZXPDA,得出一=—=一，當APADS/^PBA時，根據(jù)

PDPC2

黑=普=；,AP=2區(qū)m?+（2"i）2=（2非）2,得出m=2,從而求出P點的坐標為（4,4）、

iL/iZ

（。,⑷，若APADS^PA,得出pA式A而n可i求出吁冬R從而得出川+（2人

求出初=;,即可得出P點的坐標為（I』

【詳解】

；點A(2,0),點B(0,1),

??直線AB的解析式為y=-；x+1

.?直線1過點A(4,0),且1_LAB,

??直線1的解析式為：y=2x-4,ZBAO+ZPAC=90°,

,?PC_Lx軸,

??ZPAC+ZAPC=90°,

??ZBAO=ZAPC,

/ZAOB=ZACP,

,.△AOB^APCA,

.BOAO

，a~CA~~PC9

.BOAC\

??-----=------~.

AOPC2

設AC=m(m>0),貝ijPC=2m,

VAPCA^APDA,

???AC=AD,PC=PD,

,ADAC\

??==一?

PDPC2

如圖1：當^PAD^APBA時,

nd。PD

則一=—，

BAPA

nilADBA1

PDPA2

,;AB=fE+22=5

；.AP=2石,

...>+(2㈤2=(26)2,

；.m=±2,(負失去)

/.m=2,

當m=2時，PCM,OC=4,P點的坐標為(4,4),

如圖2,若APADsaBPA,

PAAD1

貝nillj—=—=-，

BAPD2

PA=-AB=—,

22

m=±y,(負舍去)

.1

..m=—,

2

當m=L時，PC=1,0C=—,

22

，P點的坐標為(g,1),

故答案為：P(4,4),P(1,1).

【點撥】此題考查了一次函數(shù)的綜合，用到的知識點是相似三角形和全等三角形的判定與性

質(zhì)、勾股定理、一次函數(shù)等，關鍵是根據(jù)題意畫出圖形，注意點P在第一象限有兩個點.

23.|

【分析】

要使四邊形APQE的周長最小.AE與PQ長均為定值，只需AP+QE最短即可，為此將AP

向右平移3,使P點與Q點從何，A點平移到A，，過A作BC對稱點A",連結(jié)AA"交BC

于F,由對稱性A，Q=A"Q,AQ"+QE最短,此時A"、Q、E三點共線，可推得△AFQ^AECQ,

AFFQ2

則葭=&=rCQ可求.

【詳解】

在4）上截取=PQ=3,作A'關于8C的對稱點A"對稱中心記為F。連接"E交BC于

點Q,此時四邊形4尸。后的周長最小,

.?./A"=NQEC,NA"QF=NEQC,

VCE=-CD=2,AAC=BF=3,

2

\C尸=8-3=5,

\△CEQ~AFA“Q,

\CQ--C--E-—^―T

QFAT2'

/.FQ=2CQ,FQ+CQ=CF=5,

\CQ=gcF=g.

故答案為：

【點撥】本題考查四邊形周長最短問題，由AE與PQ長為定值，利用平移AP,將點P與

點Q重合,A點平移到A',過A，作BC對稱點A",A，A"交BC于F,由對稱性知AQ=A"Q,

A"、Q、E三點共線時最短，利用△AFQS/\ECQ性質(zhì)解決FQ=2CQ,構造方程解決問題.

g或41■-衣I

24.

4

【分析】

△CMN是宜角三角形時，有三種情況，一是NCMN=90。，二是/MNC=90。，三是NMCN=90。,

然后進行分類討論求出t的值.

【詳解】

解:

過點N作OA的垂線，交OA于點F,交CH于點E,如圖1,

TB點是CH的中點，

.'.BH=-CH=-OA=6,

22

VAH=OC=8,

???由勾股定理可求：AB=10,

VAN=t,

ABN=10-t,

VNE/7AH,

.'.△BEN^ABHA,

.BNEN

.10—EN

10~~T'

?匚z4（1。7）

..EN=----------

5

4

AFN=8-EN=-r,

當NCMN=90。，

3

山勾股定理可求：AF=-r,

VOM=t,

AAM=12-t,

38

/.MF=AM-AF=12-t-

55

VZOCM+ZCMO=90°,ZCMO+ZFMN=90°,

.'.ZOCM=ZFMN,

VZO=ZNFM=90°,

.'.△COM^AMFN,

?PCOM

8_J_

當NMNO90。,

4

FN=-r

5

4

AEN=8—r

5

Q

VMF=12--f

5

3

???CE=OF=OM+MF=12-T

5

VZMNF+ZCNE=90°,

ZECN+ZCNE=90°,

.'.ZMNF=ZECN,

ZCEN=ZNFM=90°,

/.△CEN^ANFM,

.CEEN

??麗一贏’

34

\2--t8--r

?5_5

—t12—t

55

.41±>/24T

??t=-------------,

4

V0<t<5,

.41-衣7

??t=------:

當NNCM=90°,

由題意知：此情況不存在，

綜上所述，4CMN為直角三角形時，t=J或41一同

24

【點撥】本題主要考查r相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，有一定的綜合性.

25.(1)AP=10-2t；(2)S=-t2-121+78；(3)當1=三$時，PQ1BD；(4)存在.當t="

53618

s時，點E在NABD的平分線.理由見解析.

【分析】

(1)如圖作DH_LAB于H則四邊形DHBC是矩形，利用勾股定理求出AD的長即可解決

問題；

(2)作PN_LAB于N.連接PB,根據(jù)S=SAPQB+SABCP，計算即可;

(3)當PQ_LBD時，ZPQN+ZDBA=90°,ZQPN+ZPQN=90°,推出NQPN=NDBA,推

出tan/QPN淺咯，由此構建方程即可解解題問題；

FN5

(4)存在,連接BE交DHTK,作KM1BD于M.當BE平分NABD時，△KBH^AKBM,

Q

推出KH=KM,BH=BM=8,設KH=KM=x,在RsDKM中，(6-x)2=22+x2,解得x=9,