專題8-5條件概率與全概率公式貝葉斯公式8類題型

專題85條件概率與全概率公式，貝葉斯公式8類題型TOC\o"13"\n\h\z\u題型一利用定義求條件概率題型二條件概率的乘法公式應(yīng)用題型三古典概型中的條件概率題型四條件概率：“醫(yī)護(hù)”分配型題型五條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用題型六全概率公式及其應(yīng)用題型七全概率公式與構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)題型八貝葉斯公式及其應(yīng)用一．條件概率的基本性質(zhì)1、定義：一般地，設(shè)A，B為兩個隨機(jī)事件，且，我們稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.2、對于古典概型類，可以采用基本事件總數(shù)的方法來計(jì)算：即，其中N(AB)表示事件AB所包含的基本事件個數(shù)。N(A)表示事件A包含的基本事件個數(shù).3、乘法公式：對任意兩個事件A與B，若，則.4、條件概率的性質(zhì)：設(shè)，則（1）；（2）如果B和C是兩個互斥事件，則；（3）設(shè)和互為對立事件，則5、兩點(diǎn)說明（1）一般地，每一個隨機(jī)試驗(yàn)都是在一定條件下進(jìn)行的，這里所說的條件概率是當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果的一部分信息已知（即在原隨機(jī)試驗(yàn)的條件上，再加上“某事件發(fā)生”的附加條件），求另一事件在此條件下發(fā)生的概率；（2）通常情況下，事件B在“事件A已發(fā)生”這個附加條件下的概率與沒有這個附加條件的概率是不同的。二．全概率公式1、定義：若樣本空間中的事件滿足：（1）任意兩個事件均互斥，即，．（2）．（3）．則對任意事件，都有，則稱該公式為全概率公式2、全概率公式的來由：不難由看出，全概率被分解成了許多部分之和，它的理論和實(shí)用意義在于在較復(fù)雜情況下直接計(jì)算不易，但總伴隨著某個出現(xiàn)，適當(dāng)去構(gòu)造這一組往往可以簡化計(jì)算。3、注意：（1）全概率公式是用來計(jì)算一個復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡單事件的概率計(jì)算，即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問題．（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗(yàn)前提或前一步驟試驗(yàn)有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．4、另一個角度理解全概率公式（1）某一事件的發(fā)生有各種可能得原因，如果是由原因所引起的，那么事件發(fā)生的概率是.（2）每一個原因都可能導(dǎo)致發(fā)生，故發(fā)生的概率是各原因引起發(fā)生概率的總和，即全概率公式。（3）由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)。全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系。三．貝葉斯公式（1）一般地，當(dāng)且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且注意：（1）在理論研究和實(shí)際中還會遇到一類問題，這就是需要根據(jù)試驗(yàn)發(fā)生的結(jié)果尋找原因，看看導(dǎo)致這一試驗(yàn)結(jié)果的各種可能的原因中哪個起主要作用，解決這類問題的方法就是使用貝葉斯公式．貝葉斯公式的意義是導(dǎo)致事件發(fā)生的各種原因可能性的大小，稱之為后驗(yàn)概率．（2）貝葉斯公式充分體現(xiàn)了，，，，，之間的轉(zhuǎn)關(guān)系，即，，之間的內(nèi)在聯(lián)系．四．決條件概率問題的步驟：第一步，判斷是否為條件概率，若題目中出現(xiàn)“在……條件下”“在……前提下”等字眼，一般為條件概率；題目中若沒有出現(xiàn)上述字眼，但已知事件的出現(xiàn)影響所求事件的概率時，也需注意是否為條件概率.若為條件概率，則進(jìn)行第二步，計(jì)算概率，這里有兩種思路.思路一：縮減樣本空間法計(jì)算條件概率.如求P(B|A)，可分別求出事件A，AB包含的基本事件的個數(shù)，再利用公式計(jì)算；思路二：直接利用條件概率的計(jì)算公式計(jì)算條件概率，即先分別計(jì)算出P(AB)，P(A)，再利用公式計(jì)算.當(dāng)直接求事件A發(fā)生的概率不好求時，可以采用化整為零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式間接求出事件A發(fā)生的概率.重點(diǎn)題型·歸類精重點(diǎn)題型·歸類精練題型一利用定義求條件概率在不透明的盒子中放有大小、形狀完全相同的6張卡片，上面分別標(biāo)有編號1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從中不放回地抽取兩次卡片，每次抽取一張，只要抽到的卡片編號大于4就可以中獎，已知第一次抽到卡片中獎，則第二次抽到卡片中獎的概率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)事件為第一次抽到卡片中獎，事件為第二次抽到卡片中獎，則，，故.故選：B袋中有個球，其中紅、黃、藍(lán)、白、黑球各一個，甲、乙兩人按序從袋中有放回的隨機(jī)摸取一球，記事件甲和乙至少一人摸到紅球，事件甲和乙摸到的球顏色不同，則條件概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出和的值，利用條件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由題意可知，事件甲、乙只有一人摸到紅球，則，，因此，.故選：D.一個袋子中有2個紅球和3個白球，這些小球除顏色外沒有其他差異．從中不放回地抽取2個球，每次只取1個．設(shè)事件=“第一次抽到紅球”，=“第二次抽到紅球”，則概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用古典概率公式求出事件及事件的概率，再利用條件概率公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，，所以.故選：B袋子中裝有大小、形狀完全相同的2個白球和2個紅球，現(xiàn)從中不放回地摸取兩個球，已知第一次摸到的是紅球，則第二次摸到白球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用條件概率求解.【詳解】設(shè)“第一次摸到紅球”的事件為A，設(shè)“第二次摸到白球”的事件為B，則，所以在第一次摸到的是紅球的條件下，第二次第二次摸到白球的概率為：.故選：B某學(xué)習(xí)小組共有10名成員，其中有6名女生，為學(xué)習(xí)期間隨時關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)，現(xiàn)隨機(jī)從這10名成員中抽選2名任小組組長，協(xié)助老師了解學(xué)情，A表示“抽到的2名成員都是女生”，B表示“抽到的2名成員性別相同”，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題可知，，，根據(jù)條件概率公式可得：.故選：D小明每天上學(xué)途中必須經(jīng)過2個紅綠燈，經(jīng)過一段時間觀察發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：在第一個紅綠燈處遇到紅燈的概率是，連續(xù)兩次遇到紅燈的概率是，則在第一個紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)“小明在第一個紅綠燈處遇到紅燈”為事件A，“小明在第二個紅綠燈處遇到紅燈”為事件，則由題意可得，則在第一個紅綠燈處小明遇到紅燈的條件下，第二個紅綠燈處小明也遇到紅燈的概率為．故選：．已知，，則.【答案】【分析】由條件概率公式求解，【詳解】由題意得，而，得，而，解得已知有兩箱書，第一箱中有3本故事書，2本科技書；第二箱中有2本故事書，3本科技書．隨機(jī)選取一箱，再從該箱中隨機(jī)取書兩次，每次任取一本，做不放回抽樣，則在第一次取到科技書的條件下，第二次取到的也是科技書的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記事件“第一箱中取書”，事件“從第二箱中取書”．事件“第次從箱中取到的書是科技書”，，然后根據(jù)題意求出，,的值，再根據(jù)全概率公式和條件概率公式求解即可.【詳解】記事件“第一箱中取書”，事件“從第二箱中取書”．事件“第次從箱中取到的書是科技書”，,則由題意知，，,,所以題型二條件概率的乘法公式應(yīng)用已知，則．【答案】【分析】應(yīng)用概率乘法公式將算兩次，建立方程求解即可.【詳解】由概率乘法公式可知，，已知，代入上式則，解得.若，，，則；．【答案】//【分析】根據(jù)概率乘法公式和加法公式即可求解.【詳解】，.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，某射擊運(yùn)動員進(jìn)行兩次射擊時，第一次擊中9環(huán)的概率為0.6，在第一次擊中9環(huán)的條件下，第二次也擊中9環(huán)的概率為0.8.那么她兩次均擊中9環(huán)的概率為（）A．0.24B．0.36C．0.48D．0.75【答案】C【解析】設(shè)某射擊運(yùn)動員“第一次擊中9環(huán)”為事件A，“第二次擊中9環(huán)”事件B，則由題意得，，所以她兩次均擊中9環(huán)的概率為．故選：C．盒中有個質(zhì)地，形狀完全相同的小球，其中個紅球，個綠球，個黃球；現(xiàn)從盒中隨機(jī)取球，每次取個，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?則在此過程中沒有取到黃球的概率為.【答案】【分析】分別計(jì)算“第一次取到紅球”的概率和“第一次取到綠球，第二次取到紅球”的概率后相加即可.【詳解】沒有取到黃球，可以是“第一次取到紅球”或“第一次取到綠球，第二次取到紅球”記事件表示第一次取到紅球，表示第二次取到紅球，表示第一次取到綠球，則，，∴沒有取到黃球的概率為.連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子兩次，觀察每次擲出的點(diǎn)數(shù).設(shè)事件A表示“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為1”，事件B表示“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的小1”，則，.【答案】【分析】求出事件A中包含的基本事件和事件B中包含的基本事件，即可求出.【詳解】設(shè)第一次擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，第二次擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為，兩次擲骰子的情況為，共有種可能，則事件A中包含的基本事件為，共6個，事件B中包含的基本事件為，共5個，事件中包含的基本事件為，共1個，則，，.題型三古典概型中的條件概率有甲乙丙丁4名人學(xué)生志愿者參加2022年北京冬奧會志愿服務(wù)，志愿者指揮部隨機(jī)派這4名志愿者參加冰壺，短道速滑、花樣滑冰3個比賽項(xiàng)目的志愿服務(wù)，假設(shè)每個項(xiàng)目至少安排一名志愿者，且每位志愿者只能參與其中一個項(xiàng)目，求在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用事件A表示“甲被安排到了冰壺”，以A為樣本空間，利用古典概率公式求解作答.【詳解】用事件A表示“甲被安排到了冰壺”，B表示“乙被安排到了冰壺”，在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺就是在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生，相當(dāng)于以A為樣本空間，考查事件B發(fā)生，在新的樣本空間中事件B發(fā)生就是積事件AB，包含的樣本點(diǎn)數(shù)，事件A發(fā)生的樣本點(diǎn)數(shù)，所以在甲被安排到了冰壺的條件下，乙也被安排到冰壺的概率為.花店還剩七束花，其中三束郁金香，兩束白玫瑰，兩束康乃馨，李明隨機(jī)選了兩束，已知李明選到的兩束花是同一種花，則這兩束花都是郁金香的概率為________．【答案】【分析】使用條件概率進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)事件“兩束花是同一種花”，事件“兩束花都是郁金香”，則積事件“兩束花都是郁金香”，事件中樣本點(diǎn)的個數(shù)為，積事件中樣本點(diǎn)的個數(shù)為，∴已知李明選到的兩束花是同一種花，則這兩束花都是郁金香的概率為.五一勞動節(jié)某單位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一長假期間值班2天，則甲連續(xù)值班的概率是【答案】 【分析】設(shè)“甲在五一假期值班兩天”，..“甲連續(xù)值班”，根據(jù)題目條件先分別求出，然后由條件概率公式即可求解.【詳解】設(shè)“甲在五一假期值班兩天”，“甲連續(xù)值班”，因?yàn)橐阎自谖逡婚L假期間值班2天，所以丙和乙分別值班一天、兩天或兩天、一天，所以五一假期甲乙丙三人值班方案共有種，又因?yàn)榧自谖逡婚L假期間連續(xù)值班兩天，可以是第1，2兩天或第2，3兩天或第3，4兩天或第4，5兩天，所以甲在五一長假期間值班2天且甲連續(xù)值班的方案共有種，所以由條件概率公式得.題型四條件概率：“醫(yī)護(hù)”分配型我國派出醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國家，現(xiàn)有四個醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁，和有4個需要援助的國家可供選擇，每個醫(yī)療小組只去一個國家，設(shè)事件A＝“4個醫(yī)療小組去的國家各不相同”，事件B＝“小組甲獨(dú)自去一個國家”，則P（A|B）＝（

）A． B． C． D．【答案】A求出，，然后由條件概率公式計(jì)算．【詳解】由題意，，，∴．故選：A．將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個村莊進(jìn)行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則（

）A．事件A與B相互獨(dú)立 B．事件A與C相互獨(dú)立C． D．【答案】D【分析】由古典概率公式求出，再利用相互獨(dú)立事件的定義判斷A，B；用條件概率公式計(jì)算判斷C，D作答.【詳解】將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個村莊義診的試驗(yàn)有個基本事件，它們等可能，事件A含有的基本事件數(shù)為，則，同理，事件AB含有的基本事件數(shù)為，則，事件AC含有的基本事件數(shù)為，則，對于A，，即事件A與B相互不獨(dú)立，A不正確；對于B，，即事件A與C相互不獨(dú)立，B不正確；對于C，，C不正確；對于D，，D正確.A，B，C，D，E共5位教師志愿者被安排到甲?乙?丙?丁4所學(xué)校參加支教活動，要求每所學(xué)校至少安排一位教師志愿者，且每位教師志愿者只能到一所學(xué)校支教，在A教師志愿者被安排到甲學(xué)校支教的前提下，甲學(xué)校有兩名教師志愿者的概率為.【答案】【分析】求出A教師志愿者被安排到甲學(xué)校的排法，然后再求出在A教師志愿者被安排到甲學(xué)校支教的前提下，甲學(xué)校有兩名志愿者的排法，根據(jù)條件概率進(jìn)行計(jì)算，從而可求解．【詳解】A教師志愿者被安排到甲學(xué)校，若甲學(xué)校只有一個人，則有種安排方法，若甲學(xué)校有2個人，則有種安排方法，A教師志愿者被安排到甲學(xué)校共有60種安排方法，在A教師志愿者被安排到甲學(xué)校支教的前提下，甲學(xué)校有兩名志愿者的安排方法有24種，所以在A教師志愿者被安排到甲學(xué)校支教的前提下，甲學(xué)校有兩名志愿者的概率是一個數(shù)學(xué)興趣小組共有2名男生3名女生，從中隨機(jī)選出2名參加交流會，在已知選出的2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為．【答案】【分析】首先求出男女生各1名的概率，再應(yīng)用對立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后應(yīng)用條件概率公式求概率.【詳解】若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，所以2名中有1名是男生的條件下，另1名是女生的概率為，而，，故.題型五條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用已知事件A，B，C滿足A，B是互斥事件，且，，，則的值等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，，由，是互斥事件知，，所以，故選：A．設(shè)A，B是兩個事件，，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A：由，而，則，即時成立，否則不成立，排除；B：當(dāng)A，B是兩個相互獨(dú)立的事件，有，否則不成立，排除；C：由且，故時成立，否則不成立，排除；D：由，而，則，符合；故選：D（多選）下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據(jù)全概率公式可判斷A；根據(jù)條件概率公式的變形可判斷B，C，D.【詳解】對于A，根據(jù)全概率公式可知正確，A正確；對于B，根據(jù)條件公式可知，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確，故選：AD已知則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)條件概率的定義，利用條件分別求得和，從而求得.【詳解】由題知，，，，又，則.故選：C設(shè)A，B是兩個事件，，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用條件概率公式及獨(dú)立事件的概率關(guān)系，結(jié)合概率的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】A：由，而，則，即時成立，否則不成立，排除；B：當(dāng)A，B是兩個相互獨(dú)立的事件，有，否則不成立，排除；C：由且，故時成立，否則不成立，排除；D：由，而，則，符合；故選：D已知隨機(jī)事件A，B的概率分別為，且，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由條件概率的公式對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】由條件概率知：，因?yàn)?，所以，故A不正確；，與不一定相等，所以不一定成立，故B不正確；，所以，故C正確；，故D不正確.故選：C.已知，分別為隨機(jī)事件A，B的對立事件，，，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則A，B對立C．若A，B獨(dú)立，則D．若A，B互斥，則【答案】C【分析】利用條件概率的概率公式以及獨(dú)立事件與對立事件的概率公式，對四個選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷，即可得到答案；【詳解】對A，，故A錯誤；對B，若A，B對立，則，反之不成立，故B錯誤；對C，根據(jù)獨(dú)立事件定義，故C正確；對D，若A，B互斥，則，故D錯誤；故選：C題型六全概率公式及其應(yīng)用長時間玩可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約30%的人近視，而該校大約有40%的學(xué)生每天玩超過2h，這些人的近視率約為60%.現(xiàn)從每天玩不超過2h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令“玩時間超過2h的學(xué)生”，“玩時間不超過2h的學(xué)生”，B＝“任意調(diào)查一人，利用全概率公式計(jì)算即可.【詳解】令“玩時間超過2h的學(xué)生”，“玩時間不超過2h的學(xué)生”，B＝“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且，互斥，，，，，依題意，，解得，所以所求近視的概率為．故選：A設(shè)甲袋中有3個白球和4個紅球，乙袋中有1個白球和2個紅球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球，則取出的全是紅球的概率為________________.【答案】【分析】考慮從甲袋中取出的球是白球還是紅球，根據(jù)全概率公式，即可求得答案.【詳解】設(shè)A表示事件“從甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”，則表示事件“從甲袋中取出放入乙袋中的球是紅球”,B表示事件“最后從乙袋中取出的球是紅球”,所以，，故,,故設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為（

）A． B． C． D．..【答案】A【分析】以，，分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B表示取得的X光片為次品，求得，，，由條件概率和全概率公式可得答案.【詳解】以，，分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的，B表示取得的X光片為次品，，，，，，，則由全概率公式，所求概率為，故選：A.盒中有2個紅球，3個黑球，2個白球，從中隨機(jī)地取出一個球，觀察其顏色后放回，并加入同色球1個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是紅球的概率是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】從盒中任取1球，是紅球記為，黑球記為，白球記為，則，，彼此互斥，設(shè)第二次抽出的是紅球記為事件B，則，，，，，，，故選：.甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和4個紅球，丙袋中有4個白球和4個紅球．先隨機(jī)取一只袋，再從該袋中先后隨機(jī)取2個球，第一次取出的球是紅球的概率（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)第一次取到紅球?yàn)槭录?，取到甲、乙、丙袋為事?則彼此互斥由全概率公式可得,故選:C.某人外出出差，委托鄰居給家里植物澆一次水，設(shè)不澆水，植物枯萎的概率為0.8，澆水，植物枯萎的概率為0.15.鄰居記得澆水的概率為0.9.則該人回來植物沒有枯萎的概率為（）A．0.785B．0.845C．0.765D．0.215【答案】A【解析】解：記為事件“植物沒有枯萎”，為事件“鄰居記得給植物澆水”，則根據(jù)題意，知，，，，因此．故選：A．某游泳小組共有20名運(yùn)動員，其中一級運(yùn)動員4人，二級運(yùn)動員8人，三級運(yùn)動員8人．現(xiàn)在舉行一場游泳選拔比賽，若一、二、三級運(yùn)動員能夠晉級的概率分別是0.9，0.7，0.4，則在這20名運(yùn)動員中任選一名運(yùn)動員能夠晉級的概率為（）A．0.58B．0.60C．0.62D．0.64【答案】C【解析】記事件B為“選出的運(yùn)動員能晉級”，為“選出的運(yùn)動員是一級運(yùn)動員”，為“選出的運(yùn)動員是二級運(yùn)動員”，為“選出的運(yùn)動員是三級運(yùn)動員”．由題意知，，，，，，由全概率公式得．即任選一名運(yùn)動員能夠晉級的概率為0.62．故選：C．題型七全概率公式與構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)甲?乙?丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，則6次傳球后球在甲手中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，求出，根據(jù)題意求出數(shù)列的遞推公式，求出的表達(dá)式，即可求得的值.【詳解】設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，當(dāng)時，，設(shè)“次傳球后球在甲手中”，則，則．即，所以，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，所以，，所以次傳球后球在甲手中的概率為．設(shè)有兩個罐子，罐中放有個白球、個黑球，罐中放有個白球，現(xiàn)在從兩個罐子中各摸一個球交換，這樣交換次后，黑球還在罐中的概率為．【答案】【分析】根據(jù)題意，得到，化簡得到，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】設(shè)表示事件交換次后黑球仍在罐中，則，所以，可得，又由，可得，所以由等比數(shù)列性質(zhì)，得，所以．故答案為：．甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中的任何一人，則第4次傳球后球在甲手中的概率為.【答案】【分析】設(shè)表示經(jīng)過第次傳球后球在甲手中，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，依題意利用全概率公式得到，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出，再將代入計(jì)算可得.【詳解】設(shè)表示經(jīng)過第次傳球后球在甲手中，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，所以，即，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即，當(dāng)時.甲、乙兩人各拿兩顆骰子做拋擲游戲，規(guī)則如下：若擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，原擲骰子的人再繼續(xù)擲；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對方接著擲．第一次由甲開始擲，則第n次由甲擲的概率（用含n的式子表示）．【答案】【分析】根據(jù)題意先得“第次由甲擲”和“第次由甲擲”的概率關(guān)系，然后根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列可解.【詳解】易知擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為．“第次由甲擲”這一事件，包含事件“第n次由甲擲，第次繼續(xù)由甲擲”和事件“第n次由乙擲，第次由甲擲”，這兩個事件發(fā)生的概率分別為，，故（其中），所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，即．故答案為：某學(xué)校有、兩個餐廳，已知同學(xué)甲每天中午都會在這兩個餐廳中選擇一個就餐，如果甲當(dāng)天選擇了某個餐廳，他第二天會有的可能性換另一個餐廳就餐，假如第天甲選擇了餐廳，則第天選擇餐廳的概率為.【答案】【分析】根據(jù)全概率公式可得出，可得出，由此可得出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】當(dāng)且時，若甲在第天選擇了餐廳，那么在第天有的可能性選擇餐廳，若甲在第天選擇了餐廳，那么在第天有的可能性選擇餐廳，所以第天選擇餐廳的概率，即，所以.又由題意得，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：甲、乙兩人玩一種游戲，游戲規(guī)則如下：放置一張紙片在地面指定位置，其中一人在固定位置投籃，若籃球被籃板反彈后擊中紙片，則本次游戲成功，此人繼續(xù)投籃，否則游戲失敗，換為對方投籃．已知第一次投籃的人是甲、乙的概率分別為和，甲、乙兩人每次游戲成功的概率分別為和．(1)求第2次投籃的人是甲的概率；(2)記第次投籃的人是甲的概率為，①用表示；②求．【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）分為第1次甲投籃且游戲成功和第1次乙投籃且游戲失敗兩種情形，結(jié)合全概率即可得結(jié)果；（2）（?。┑诖瓮痘@的人是甲包含第次甲投籃且游戲成功和第次乙投籃且游戲失敗兩種情況，由全概率公式可得解；（ⅱ）通過構(gòu)造數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求解即可.【詳解】（1）第2次投籃的人是甲包含兩種情況：①第1次甲投籃且游戲成功，其概率為；②第1次乙投籃且游戲失敗，其概率為，由全概率公式得第2次投籃的人是甲的概率為．（2）（?。┑诖瓮痘@的人是甲包含兩種情況：①第次甲投籃且游戲成功，其概率為；②第次乙投籃且游戲失敗，其概率為，由全概率公式得，即．（ⅱ）由（?。┑?，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即．題型八貝葉斯公式及其應(yīng)用學(xué)校給每位教師隨機(jī)發(fā)了一箱蘋果，李老師將其分為兩份，第1份占總數(shù)的40％，次品率為5％，第2份占總數(shù)的60％，次品率為4％．若李老師分份之前隨機(jī)拿了一個發(fā)現(xiàn)是次品后放回，則該蘋果被分到第1份中的概率為______．【答案】【分析】利用貝葉斯公式即可.【詳解】設(shè)事件B為“拿的蘋果是次品”，為“拿的蘋果來自第i份”，則，，，，所以，所求概率為．故答案為：一道考題有4個選項(xiàng)，要求學(xué)生將其中的一個正確選擇出來．某考生知道正確的概率為，