內(nèi)蒙古烏蘭察布集寧二中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

內(nèi)蒙古烏蘭察布集寧二中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)奇函數(shù)的最小正周期為，則（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞增2．設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（）A． B．C． D．3．已知、為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠P=，則A．2 B．4 C．6 D．84．若，則“復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，則a的值為()A．1 B． C． D．6．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有兩個(gè)相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知實(shí)數(shù)滿足條件，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．將函數(shù)y=sin2x+π6的圖象向右平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到函數(shù)f(x)的圖象,A．kπ-5π12C．kπ-π39．某煤氣站對(duì)外輸送煤氣時(shí)，用1至5號(hào)五個(gè)閥門控制，且必須遵守以下操作規(guī)則：①若開啟3號(hào)，則必須同時(shí)開啟4號(hào)并且關(guān)閉2號(hào)；②若開啟2號(hào)或4號(hào)，則關(guān)閉1號(hào)；③禁止同時(shí)關(guān)閉5號(hào)和1號(hào).則閥門的不同開閉方式種數(shù)為（）A．7 B．8 C．11 D．1410．學(xué)校選派位同學(xué)參加北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)這所大學(xué)的自主招生考試，每所大學(xué)至少有一人參加,則不同的選派方法共有A．540種 B．240種 C．180種 D．150種11．設(shè)集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，則（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}12．在三棱錐中，平面，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)到直線：的距離等于3，則_______.14．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，且，則的虛部是__________．15．已知點(diǎn)在二面角的棱上，點(diǎn)在半平面內(nèi)，且，若對(duì)于半平面內(nèi)異于的任意一點(diǎn)，都有，則二面角大小的取值的集合為__________.16．已知復(fù)數(shù)z滿足，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）高二年級(jí)數(shù)學(xué)課外小組人:（1）從中選一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)，共有多少種不同的選法?（2）從中選名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有多少種不同的選法?18．（12分）北京市政府為做好會(huì)議接待服務(wù)工作，對(duì)可能遭受污染的某海產(chǎn)品在進(jìn)入餐飲區(qū)前必須進(jìn)行兩輪檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售.已知該海產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒有影響.（1）求該海產(chǎn)品不能銷售的概率.（2）如果該海產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果該海產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元（即獲利-80元）.已知一箱中有該海產(chǎn)品4件，記一箱該海產(chǎn)品獲利元，求的分布列，并求出數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知函數(shù)f(x)=2ln（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的圖像在x=1處的切線方程；（2）若函數(shù)g(x)=f(x)-ax+m在[1e,e]20．（12分）已知數(shù)列滿足：，且.（Ⅰ）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）試用數(shù)學(xué)歸納法證明（Ⅰ）中的猜想.21．（12分）（1）求函數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．22．（10分）設(shè)，且.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：利用輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根號(hào)函數(shù)的周期和奇偶性即可得到結(jié)論．詳解：，

∵函數(shù)的周期是，，

∵）是奇函數(shù)，

即∴當(dāng)時(shí)，即則在單調(diào)遞減，

故選：B．點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用輔助角公式是解決本題的關(guān)鍵．2、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，則可判斷，故是上的增函數(shù)，結(jié)合即可得出答案.【題目詳解】解：設(shè)，則，∵，，∴，∴是上的增函數(shù)，又，∴的解集為，即不等式的解集為.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵.3、B【解題分析】本試題主要考查雙曲線的定義，考查余弦定理的應(yīng)用．由雙曲線的定義得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故選B．4、C【解題分析】

先將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)成形式，得其共軛復(fù)數(shù)，通過對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限求出的取值范圍，即可判斷與的關(guān)系．【題目詳解】，所以共軛復(fù)數(shù)，因?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限所以，解得所以“復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限”是“”充要條件，故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與充要關(guān)系，解題的關(guān)鍵是先通過條件求出的取值范圍，屬于一般題．5、D【解題分析】

根據(jù)分布列中所有概率和為1求a的值.【題目詳解】因?yàn)镻(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，所以，選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查分布列的性質(zhì)，考查基本求解能力.6、B【解題分析】分析：將方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，在轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的圖象與一條折線的位置關(guān)系，即可得到答案.詳解：方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，轉(zhuǎn)化為方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，令，，其中表示過斜率為1或的平行折線，結(jié)合圖象，可知其中折線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查了方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷問題，其中把方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想方法，以及分析問題和解答問題的能力.7、D【解題分析】

如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到答案.【題目詳解】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，，則，表示直線軸截距的相反數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)直線過，即，時(shí)有最小值為；當(dāng)直線過，即時(shí)有最大值為，故.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.8、D【解題分析】

求出圖象變換的函數(shù)解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論．【題目詳解】由題意f(x)=sin2kπ-π∴kπ-π故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的平移變換，考查三角函數(shù)的單調(diào)性．解題時(shí)可結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間．9、A【解題分析】

分兩類解決，第一類：若開啟3號(hào)，然后對(duì)2號(hào)和4號(hào)開啟其中一個(gè)即可判斷出1號(hào)和5號(hào)情況，第二類：若關(guān)閉3號(hào)，關(guān)閉2號(hào)關(guān)閉4號(hào)，對(duì)1號(hào)進(jìn)行討論，即可判斷5號(hào),由此可計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】解：依題意，第一類：若開啟3號(hào)，則開啟4號(hào)并且關(guān)閉2號(hào)，此時(shí)關(guān)閉1號(hào)，開啟5號(hào)，此時(shí)有1種方法；第二類：若關(guān)閉3號(hào)，①開啟2號(hào)關(guān)閉4號(hào)或關(guān)閉2號(hào)開啟4號(hào)或開啟2號(hào)開啟4號(hào)時(shí)，則關(guān)閉1號(hào)，開啟5號(hào)，此時(shí)有種3方法；②關(guān)閉2號(hào)關(guān)閉4號(hào)，則開啟1號(hào)關(guān)閉5號(hào)或開啟1號(hào)開啟5號(hào)或關(guān)閉1號(hào)，開啟5號(hào)，此時(shí)有種3方法；綜上所述，共有種方式.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.10、D【解題分析】分析：按題意5人去三所學(xué)校，人數(shù)分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分類加法原理求解．詳解：由題意不同方法數(shù)有．故選D．點(diǎn)睛：本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，此類問題可以先分組再分配，分組時(shí)在1，2，2一組中要注意2,2分組屬于均勻分組，因此組數(shù)為，不是，否則就出錯(cuò)．11、B【解題分析】分析：由求出a的值，再根據(jù)題意求出b的值，然后由并集運(yùn)算直接得答案.詳解：由，，即，，則.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了并集及其運(yùn)算，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

先求出的外接圓的半徑，然后取的外接圓的圓心，過作，且，由于平面，故點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，為外接球半徑，求解即可.【題目詳解】在中，，，可得，則的外接圓的半徑，取的外接圓的圓心，過作，且，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，則，即外接球半徑，則三棱錐的外接球的表面積為.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球表面積的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

直接利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程，即可得到答案．【題目詳解】由題意可得：，解得或．故答案為：或．【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14、【解題分析】

設(shè)復(fù)數(shù)，代入等式得到答案.【題目詳解】設(shè)復(fù)數(shù)故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的靈活運(yùn)用.15、【解題分析】

畫出圖形，利用斜線與平面內(nèi)直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，判斷二面角的大小即可.【題目詳解】如下圖所示，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂直為點(diǎn)，點(diǎn)在二面角的棱上，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，若對(duì)于平面內(nèi)異于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，都有.因?yàn)樾本€與平面內(nèi)直線所成角中，斜線與它的射影所成的角是最小的，即是直線與平面所成的角，平面，平面，所以，平面平面，所以，二面角的大小是.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查二面角平面角的求解，以及直線與平面所成角的定義，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想和空間想象能力，屬于中等題.16、3-i【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出．【題目詳解】解：（z﹣2）i＝1+i，則（z﹣2）i?（﹣i）＝﹣i（1+i），可得z＝2﹣i+1＝3﹣i．故答案為：3﹣i．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）90（2）45【解題分析】

（1）應(yīng)用排列進(jìn)行計(jì)算；（2）應(yīng)該用組合來進(jìn)行計(jì)算?！绢}目詳解】（1）選一名正組長(zhǎng)和一名副組長(zhǎng)，因?yàn)檎M長(zhǎng)與副組長(zhǎng)屬于不同的職位，所以應(yīng)該用排列，.（2）選名參加省數(shù)學(xué)競(jìng)賽，都是同樣參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，所以應(yīng)該用組合，.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列和組合的基本概念和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。18、（1）；（2）分布列見解析，期望為1.【解題分析】

（1）利用對(duì)立事件的概率計(jì)算該產(chǎn)品不能銷售的概率值；（2）由題意知的可能取值為，，，1，160；計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】（1）記“該產(chǎn)品不能銷售”為事件，則（A），所以，該產(chǎn)品不能銷售的概率為；（2）由已知，的可能取值為，，，1，160計(jì)算，，，，；所以的分布列為1160；所以均值為1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平．19、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求的圖象在處的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的在上的極值和最值，即可得到結(jié)論．試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線的斜率，則切線方程為，即.（2），則.∵，∴當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在處取得極大值.又，，，則，∴在上的最小值是．在上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.20、（Ⅰ），，，猜想.（Ⅱ）證明見解析【解題分析】

（Ⅰ）令，可得，，的值，根據(jù)，可猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，通過證明當(dāng)時(shí)，猜想也成立，從而得到證明.【題目詳解】解：（Ⅰ）由遞推公式可得，，，猜想.（Ⅱ）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.①當(dāng)時(shí)，猜想顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即，則時(shí)，由，得，即當(dāng)時(shí)，猜想也成立，由①②可知，對(duì)任意均成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理及用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立.21、(1)(2)【解題分析】

（1）求出．利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性然后求解最大值；（2）分情況：①在時(shí)，②在時(shí)，③在時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極值與0的關(guān)系，然后求解零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【題目詳解】（1）對(duì)求導(dǎo)數(shù)，．在時(shí)，為增函數(shù)，在時(shí)為減函數(shù)，∴，從而的最大值為．（2）①在時(shí)，在R上為增函數(shù)，且，故無零點(diǎn)．②在時(shí)，在R上單增，又，，故在R上只有一個(gè)零點(diǎn)．③在時(shí)，由可知在時(shí)有唯一極小值，．若，，無零點(diǎn)，若，，只有一個(gè)零點(diǎn)，若，，而．由（1）可知，在時(shí)為減函數(shù)，∴在時(shí)，，從而．∴在與上各有一個(gè)零點(diǎn)．綜上討論可知：時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，是難題．對(duì)于函