2024屆山東省濟(jì)南市長清第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2024屆山東省濟(jì)南市長清第一中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，若，則（）A． B． C． D．2．定積分等于()A． B． C． D．3．已知命題：若，則；：“”是“”的必要不充分條件，則下列命題是真命題的是（）A． B．C． D．4．如圖是一個算法的程序框圖，當(dāng)輸入的x的值為7時，輸出的y值恰好是，則“？”處應(yīng)填的關(guān)系式可能是（）A． B． C． D．5．設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集，若對任意，都有，則稱S為封閉集．下列命題：①集合為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合T也是封閉集.其中真命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知雙曲線的右焦點與拋物線y2=12x的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于A． B． C．3 D．57．已知，，則（）A． B． C． D．8．從8名女生4名男生中,選出3名學(xué)生組成課外小組,如果按性別比例分層抽樣,則不同的抽取方法數(shù)為()A．112種 B．100種 C．90種 D．80種9．已知函數(shù)，則的零點個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．310．兩個線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：x99.51010.511y1110865其回歸直線方程是，則相對應(yīng)于點（11，5）的殘差為（）A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.211．某個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．12．已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長均為2，有一束平行光線垂直于平面，若四面體繞所在直線旋轉(zhuǎn).且始終在平面的上方，則它在平面內(nèi)影子面積的最小值為________.14．已知為拋物線的焦點，為其標(biāo)準(zhǔn)線與軸的交點，過的直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，且，則__________．15．設(shè)集合，選擇的兩個非空子集和，要使中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有________種.16．己知函數(shù)，則不等式的解集是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，，△ABC的面積為，求a的值．18．（12分）正項數(shù)列的前項和滿足.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.19．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在正實數(shù)，使得對任意都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品在出廠前都要做質(zhì)量檢測，每一件一等品都能通過檢測，每一件二等品通過檢測的概率為.現(xiàn)有10件產(chǎn)品，其中6件是一等品，4件是二等品.(Ⅰ)隨機選取1件產(chǎn)品，求能夠通過檢測的概率；(Ⅱ)隨機選取3件產(chǎn)品，其中一等品的件數(shù)記為，求的分布列；(Ⅲ)隨機選取3件產(chǎn)品，求這三件產(chǎn)品都不能通過檢測的概率.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）若為等比數(shù)列，求的值及數(shù)列的通項公式；（2）在（1）的條件下，設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為以為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓的普通方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線：與圓的交點為、，與直線的交點為,求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)切線方程計算，，再計算的導(dǎo)數(shù)，將2代入得到答案.【題目詳解】函數(shù)的圖像在點處的切線方程是故答案選C【題目點撥】本題考查了切線方程，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.2、B【解題分析】

由定積分表示半個圓的面積，再由圓的面積公式可求結(jié)果?！绢}目詳解】由題意可知定積分表示半徑為的半個圓的面積，所以，選B.【題目點撥】1．由函數(shù)圖象或曲線圍成的曲邊圖形面積的計算及應(yīng)用，一般轉(zhuǎn)化為定積分的計算及應(yīng)用，但一定要找準(zhǔn)積分上限、下限及被積函數(shù)，且當(dāng)圖形的邊界不同時，要討論解決．(1)畫出圖形，確定圖形范圍；(2)解方程組求出圖形交點坐標(biāo)，確定積分上、下限；(3)確定被積函數(shù)，注意分清函數(shù)圖形的上、下位置；(4)計算定積分，求出平面圖形的面積．2．由函數(shù)求其定積分，能用公式的利用公式計算，有些特殊函數(shù)可根據(jù)其幾何意義，求出其圍成的幾何圖形的面積，即其定積分．有些由函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的定積分。3、B【解題分析】試題分析：命題為假命題,比如,但,命題為真命題,不等式的解為,所以,而,所以“”是“”的必要不充分條件,由命題的真假情況,得出為真命題,選B.考點：命題真假的判斷.【易錯點睛】本題主要考查了命題真假的判斷以及充分必要條件的判斷,屬于易錯題.判斷一個命題為假命題時,舉出一個反例即可,判斷為真命題時,要給出足夠的理由.對于命題,為假命題,容易判斷,對于命題,要弄清楚充分條件,必要條件的定義:若,則是的充分不必要條件,若,則是的必要不充分條件,再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷,得出為真命題.4、A【解題分析】試題分析：依題意，輸入的的值為，執(zhí)行次循環(huán)體，的值變?yōu)?，這時，如果輸出的值恰好是，則函數(shù)關(guān)系式可能為,故應(yīng)填A(yù).考點：程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu).5、B【解題分析】

由題意直接驗證①的正誤；令x＝y(tǒng)可推出②是正確的；舉反例集合S＝{0}判斷③錯誤；S＝{0}，T＝{0，1}，推出﹣1不屬于T，判斷④錯誤．【題目詳解】解：由a，b，c，d為整數(shù)，可得（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i∈S；（a+bi）﹣（c+di）＝（a﹣c）+（b﹣d）i∈S；（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i∈S；集合S＝{a+bi|（a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集，①正確；當(dāng)S為封閉集時，因為x﹣y∈S，取x＝y(tǒng)，得0∈S，②正確；對于集合S＝{0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯誤；取S＝{0}，T＝{0，1}，滿足S?T?C，但由于0﹣1＝﹣1不屬于T，故T不是封閉集，④錯誤．故正確的命題是①②，故選B．【題目點撥】本題是新定義題，考查對封閉集概念的深刻理解，對邏輯思維能力的要求較高.6、A【解題分析】

因為拋物線的焦點是，所以雙曲線的半焦距，，，所以一條漸近線方程為，即，，故選A.【點考點定位】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)、點和直線的位置關(guān)系，考查推理論證能力、邏輯思維能力、計算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想7、C【解題分析】

由兩角和的正切公式得出，結(jié)合平方關(guān)系求出，即可得出的值.【題目詳解】，即由平方關(guān)系得出，解得：故選：C【題目點撥】本題主要考查了兩角和的正切公式，平方關(guān)系，屬于中檔題.8、A【解題分析】分析：根據(jù)分層抽樣的總體個數(shù)和樣本容量，做出女生和男生各應(yīng)抽取的人數(shù)，得到女生要抽取2人，男生要抽取1人，根據(jù)分步計數(shù)原理得到需要抽取的方法數(shù)．詳解：∵8名女生，4名男生中選出3名學(xué)生組成課外小組，∴每個個體被抽到的概率是，根據(jù)分層抽樣要求，應(yīng)選出8×=2名女生，4×=1名男生，∴有C82?C41=1．故答案為：A．點睛：本題主要考查分層抽樣和計數(shù)原理，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平.9、C【解題分析】

分段令，解方程即可得解.【題目詳解】當(dāng)時，令，得；當(dāng)時，令，得.故選C.【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)零點的求解，涉及指數(shù)和對數(shù)方程，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

求出樣本中心，代入回歸直線的方程，求得，得出回歸直線的方程，令，解得，進(jìn)而求解相應(yīng)點的殘差，得到答案.【題目詳解】由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，把樣本中心代入回歸方程，即，解得，即回歸直線的方程為，令，解得，所以相應(yīng)點的殘差為，故選B.【題目點撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解及應(yīng)用，其中解答中正確求解回歸直線的方程，利用回歸直線的方程得出預(yù)測值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解題分析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為三棱錐，根據(jù)三棱錐體積公式直接求得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為高為的三棱錐三棱錐體積：本題正確選項：【題目點撥】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)三視圖確定幾何體的底面積和高，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進(jìn)而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【題目詳解】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設(shè)，分別為中點，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【題目點撥】本題考查學(xué)生空間想象能力，補體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關(guān)系，快速得到側(cè)棱長，進(jìn)而補體成正方體解決．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

在四面體中找出與垂直的面，在旋轉(zhuǎn)的過程中在面內(nèi)的射影始終與垂直求解.【題目詳解】和都是等邊三角形，取中點，易證，，即平面，所以.設(shè)在平面內(nèi)的投影為，則在四面體繞著旋轉(zhuǎn)時，恒有.因為平面，所以在平面內(nèi)的投影為.因此，四面體在平面內(nèi)的投影四邊形的面積要使射影面積最小，即需最短；在中，，，且邊上的高為，利用等面積法求得，邊上的高，且，所以旋轉(zhuǎn)時，射影的長的最小值是.所以【題目點撥】本題考查空間立體幾何體的投影問題，屬于難度題.14、8.【解題分析】分析：求得拋物線的焦點和準(zhǔn)線方程，可得E的坐標(biāo)，設(shè)過F的直線為y=k（x-1），代入拋物線方程y2=4x，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，可得M的坐標(biāo)，運用兩點的距離公式可得k，再由拋物線的焦點弦公式，計算可得所求值．詳解：F（1，0）為拋物線C：y2=4x的焦點，

E（-1，0）為其準(zhǔn)線與x軸的交點，

設(shè)過F的直線為y=k（x-1），

代入拋物線方程y2=4x，可得

k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則中點解得k2=1，則x1+x2=6，由拋物線的定義可得|AB|=x1+x2+2=8，故答案為8.點睛：本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，考查運算能力，屬于中檔題．15、【解題分析】試題分析：若集合中分別有一個元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有一個元素，集合中有兩個元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有一個元素，集合中有三個元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有一個元素，集合中有四個元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有兩個元素，集合中有一個元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有兩個元素，集合中有兩個元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有兩個元素，集合中有三個元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有三個元素，集合中有一個元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有三個元素，集合中有兩個元素，則選法種數(shù)有種；若集合中有四個元素，集合中有一個元素，則選法種數(shù)有種；總計有種．故答案應(yīng)填：．考點：組合及組合數(shù)公式．【方法點睛】解法二：集合中沒有相同的元素，且都不是空集，從個元素中選出個元素，有種選法，小的給集合，大的給集合；從個元素中選出個元素，有種選法，再分成兩組，較小元素的一組給集合，較大元素的一組給集合，共有種方法；從個元素中選出個元素，有種選法，再分成兩組，較小元素的一組給集合，較大元素的一組給集合，共有種方法；從個元素中選出個元素，有種選法，再分成兩組，較小元素的一組給集合，較大元素的一組給集合，共有種方法；總計為種方法．根據(jù)題意，中最小的數(shù)大于中最大的數(shù)，則集合中沒有相同的元素，且都不是空集，按中元素數(shù)目這和的情況，分種情況討論，分別計算其選法種數(shù)，進(jìn)而相加可得答案．本題考查組合數(shù)公式的運用，注意組合與排列的不同，進(jìn)而區(qū)別運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于壓軸題．16、【解題分析】

根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x）為奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，則不等式f（2x+1）+f（1）0可以轉(zhuǎn)化為2x+1﹣1，解可得x的取值范圍，即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），有f（﹣x）＝（﹣x）2（2﹣x﹣2x）＝﹣x2（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）＝x2（2x﹣2﹣x），其導(dǎo)數(shù)f′（x）＝2x（2x﹣2﹣x）+x2?ln2（2x+2﹣x）＞0，則f（x）為增函數(shù)；不等式f（2x+1）+f（1）0?f（2x+1）﹣f（1）?f（2x+1）f（﹣1）?2x+1﹣1，解可得x﹣1；即f（2x+1）+f（1）0的解集是[﹣1,+∞）；故答案為[﹣1,+∞）．【題目點撥】本題主要考查不等式的求解，利用條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，以及利用奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運算列出解析式，化簡后利用周期公式求出最小正周期；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出遞增區(qū)間即可；

（2）由，，根據(jù)解析式求出的度數(shù)，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將b，及已知面積代入求出的值，再利用余弦定理即可求出的值．試題解析：（1）∵，，∴∴令（），∴（）∴的單調(diào)區(qū)間為，（2）由得，，∴又∵為的內(nèi)角，∴，∴，∴∵，，∴，∴∴，∴.【題目點撥】此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角形的面積公式，其中熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．18、（Ⅰ）（Ⅱ）猜想證明見解析【解題分析】分析：（1）直接給n取值求出，，.(2)猜想的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.詳解：（Ⅰ）令，則，又，解得；令，則，解得；令，則，解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.由（Ⅰ）可知當(dāng)時，成立；假設(shè)當(dāng)時，，則.那么當(dāng)時，，由，所以，又，所以，所以當(dāng)時，.綜上，.點睛：（1）本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本計算能力.(2)數(shù)學(xué)歸納法的步驟：①證明當(dāng)n=1時，命題成立。②證明假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，則當(dāng)n=k+1時，命題也成立.由①②得原命題成立.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

(1)對函數(shù)求導(dǎo)，對a分類討論得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)而得到單調(diào)性；（2）對a分情況討論，在不同的范圍下，得到函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而去掉絕對值，再構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.【題目詳解】（1）∵，（）①若，則，故在為增函數(shù)②若時，則，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)（2）①若，則由（1）知在為增函數(shù)，又，所以對恒成立，則設(shè)，（），則等價于，，，故在遞減，在遞增，而，顯然當(dāng)，，故不存在正實數(shù)，使得對任意都有恒成立，故不滿足條件②若，則，由（1）知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，∵，∴當(dāng)時，，此時∴設(shè)，，此時等價于，（i）若，∵∴，在為增函數(shù)，∵，∴，故不存在正實數(shù)，使得對任意都有恒成立，故不滿足條件（ii）若，易知在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，∵，∴，，故存在正實數(shù)，（可?。┦沟脤θ我舛加泻愠闪ⅲ蕽M足條件【題目點撥】這個題目考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，以及分類討論思想；對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)恒大于或小于另一個函數(shù)。20、（1）；（2）分布列見解析；（3）.【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)隨機選取一件產(chǎn)品，能夠通過檢測的事件為A，事件A包括兩種情況，一是抽到的是一個一等品，二是抽到的是一個二等品，這兩種情