2024屆山東省膠州市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

2024屆山東省膠州市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，集合滿足，則集合的個(gè)數(shù)為A． B． C． D．2．如圖，在正方體中，分別是,的中點(diǎn)，則四面體在平面上的正投影是A． B． C． D．3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若，則（）A．-3 B．0 C．3 D．20194．圓與圓的公切線有幾條（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條5．已知函數(shù).正實(shí)數(shù)滿足，則下述結(jié)論中正確的一項(xiàng)是()A． B．C． D．6．已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（）A． B． C． D．7．8張卡片上分別寫有數(shù)字，從中隨機(jī)取出2張，記事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和小于9”，則（）A． B． C． D．8．函數(shù)y=2x2–e|x|在[–2,2]的圖像大致為（）A． B． C． D．9．已知向量，，且，若實(shí)數(shù)滿足不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C．或 D．11．若，且m，n，，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)在上可導(dǎo)且滿足，則下列一定成立的為A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實(shí)數(shù)______.14．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布X～N(2,σ2)，若P(X<a)=0.32，則P(a≤X<4-a)15．如圖，在三棱柱中，底面，，，是的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為_(kāi)_________．16．某單位有職工52人，現(xiàn)將所有職工按1、2、3、…、52隨機(jī)編號(hào)，若采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為4的樣本，已知6號(hào)、32號(hào)、45號(hào)職工在樣本中，則樣本中還有一個(gè)職工的編號(hào)是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)（）均在函數(shù)的圖像上.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得對(duì)所有都成立的最小正整數(shù).18．（12分）已知（其中且，是自然對(duì)數(shù)的底）.（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（3）若且關(guān)于的不等式在上恒成立，求證：.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線的普通方程及圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓C與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值．20．（12分）設(shè)函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-a|.（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f(x)≥4；（2）若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求a的取值范圍．21．（12分）如圖所示，某地出土的一種“釘”是由四條線段組成，其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上．并記組成該“釘”的四條等長(zhǎng)的線段公共點(diǎn)為，釘尖為．（1）判斷四面體的形狀，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)，當(dāng)在同一水平面內(nèi)時(shí)，求與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；（3）若該“釘”著地后的四個(gè)線段根據(jù)需要可以調(diào)節(jié)與底面成角的大小，且保持三個(gè)線段與底面成角相同，若，，問(wèn)為何值時(shí)，的體積最大，并求出最大值．22．（10分）甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所出次品數(shù)分別為，，且和的分布列為：012012試比較兩名工人誰(shuí)的技術(shù)水平更高．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：根據(jù)題意得到為的子集，確定出滿足條件的集合的個(gè)數(shù)即可詳解：集合，集合滿足，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)是故選點(diǎn)睛：本題是基礎(chǔ)題，考查了集合的子集，當(dāng)集合中有個(gè)元素時(shí)，有個(gè)子集。2、C【解題分析】分析：根據(jù)正投影的概念判斷即可.詳解：根據(jù)正投影的概念判斷選C.選C.點(diǎn)睛：本題考查正投影的概念，需基礎(chǔ)題.3、B【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此求出、、的值，進(jìn)而結(jié)合周期性分析可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則有，即，變形可得：，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，是定義在上的奇函數(shù)，則，又由，則，故.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性周期性的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】

首先求兩圓的圓心距，然后判斷圓心距與半徑和或差的大小關(guān)系,最后判斷公切線的條數(shù).【題目詳解】圓，圓心，，圓,圓心，，圓心距兩圓外切，有3條公切線.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題型.5、A【解題分析】由，即，從而，令，則由得，，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，可得或，又，因此成立，故選A.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，一元二次不等式的解法及數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想.屬于難題.轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決知識(shí)點(diǎn)較多以及知識(shí)跨度較大的問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).以便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用于解題當(dāng)中.解答本題的關(guān)鍵是將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求最值進(jìn)而通過(guò)解不等式解答.6、C【解題分析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長(zhǎng),再求出其對(duì)角線長(zhǎng),然后根據(jù)正四棱柱的體對(duì)角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【題目詳解】依題意正四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑,的中點(diǎn)是球心,如圖:依題意設(shè),則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個(gè)球的表面積是.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.7、C【解題分析】

利用古典概型的概率公式計(jì)算出和，再利用條件概率公式可得出答案。【題目詳解】事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為小于的偶數(shù)”，以為一個(gè)基本事件，則事件包含的基本事件有：、、、、、，共個(gè)，由古典概型的概率公式可得，事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則所取的兩個(gè)數(shù)全是奇數(shù)或全是偶數(shù)，由古典概型的概率公式可得，因此，，故選：C?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計(jì)算，數(shù)量利用條件概率公式，是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)也考查了古典概型的概率公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。8、D【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）=2x2–e|x|在[–2,2]上是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因?yàn)閒(2)=8-e2,0<8-e2<1，所以排除A,B選項(xiàng)；當(dāng)x∈[0,2]時(shí)，y'=4x-ex有一零點(diǎn)，設(shè)為9、A【解題分析】分析：根據(jù)，得到，直線的截距為，作出不等式表示的平面區(qū)域，通過(guò)平推法確定的取值范圍.詳解：向量，，且，，整理得，轉(zhuǎn)換為直線滿足不等式的平面區(qū)域如圖所示.畫直線，平推直線，確定點(diǎn)A、B分別取得截距的最小值和最大值.易得,分別將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入，得，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查兩向量垂直關(guān)系的應(yīng)用，以及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.目標(biāo)函數(shù)型線性規(guī)劃問(wèn)題解題步驟：（1）確定可行區(qū)域（2）將轉(zhuǎn)化為，求z的值，可看做求直線，在y軸上截距的最值．（3）將平移，觀察截距最大（小）值對(duì)應(yīng)的位置，聯(lián)立方程組求點(diǎn)坐標(biāo)．（4）將該點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算Z．10、B【解題分析】分析：根據(jù)分段函數(shù)分成兩個(gè)方程組求解，最后求兩者并集.詳解：因?yàn)?，所以所以選B.點(diǎn)睛：求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.11、D【解題分析】

根據(jù)已知條件，運(yùn)用組合數(shù)的階乘可得：，再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得所要求的和.【題目詳解】則故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了組合數(shù)的計(jì)算以及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于一般題.12、A【解題分析】易知在上恒成立，在上單調(diào)遞減，又.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由，求導(dǎo)，再根據(jù)點(diǎn)處的切線與直線平行，有求解.【題目詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)處的切線與直線平行，所以，解得.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.14、0.36【解題分析】P(X<a)=0.32,∴P(X>4-a)=0.32,∴P(a<X≤4-a)=1-2P(X<a)=1-2×0.32=0.36.15、【解題分析】分析：記中點(diǎn)為E，則，則直線與所成角即為與所成角，設(shè)，從而即可計(jì)算.詳解：記中點(diǎn)為E，并連接，是的中點(diǎn)，則，直線與所成角即為與所成角，設(shè)，，.故答案為.點(diǎn)睛：(1)求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移．(2)求異面直線所成的角的三步曲：即“一作、二證、三求”．其中空間選點(diǎn)任意，但要靈活，經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過(guò)作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，進(jìn)而求解．16、19【解題分析】按系統(tǒng)抽樣方法，分成4段的間隔為＝13，顯然在第一段中抽取的起始個(gè)體編號(hào)為6，第二段應(yīng)將編號(hào)6＋13＝19的個(gè)體抽出．這就是所要求的．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）1．【解題分析】分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出，由此能求出；（2）由，利用裂項(xiàng)求和法求出，由此能求出滿足要求的最小整數(shù).詳解：（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，符合上式綜上，（2）所以由對(duì)所有都成立，所以，得,故最小正整數(shù)的值為.點(diǎn)睛：利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等．18、（1）;（2）當(dāng)或時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)，最小值為;（3）見(jiàn)解析.【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，再寫出切點(diǎn)坐標(biāo)，就可以寫出切線方程．（2）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得單調(diào)性時(shí)需要分類討論,,，再求最值．（3）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，，求出，再令設(shè)，，求最大值小于，進(jìn)而得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1），時(shí)，，，，，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，，令，解得或，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，；③當(dāng)時(shí)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．綜上所述：當(dāng)或時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，最小值為.（3）證明：由題意知，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，在上恒成立，設(shè)，，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，，存在使得，即，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，設(shè)，，，在恒成立，在上單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，，．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了最值問(wèn)題，考查了不等式恒成立問(wèn)題.若要證明，一般地，只需說(shuō)明即可；若要證明恒成立，一般只需說(shuō)明即可，即將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.19、（1）：，C:；（2）【解題分析】

（1）消去參數(shù)可得直線的普通方程，再把化成，利用可得圓的直角方程.（2）將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程后利用韋達(dá)定理可求的值.【題目詳解】（1）由直線的參數(shù)方程消參得直線普通方程為，由得，故，即圓的直角坐標(biāo)方程為.（2）將的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得,即，由于，故可設(shè)是上述方程的兩實(shí)根,所以，又直線過(guò)點(diǎn)，故由上式及的幾何意義得：【題目點(diǎn)撥】極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，關(guān)鍵是，而直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，關(guān)鍵是．直線的參數(shù)方程有很多種，如果直線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），注意表示直線上的點(diǎn)到的距離，我們常利用這個(gè)幾何意義計(jì)算直線上線段的長(zhǎng)度和、差、積等．20、(1)x∈[2,+∞)∪(-∞,-2](2)a∈[3,+∞)∪(-∞,-3]【解題分析】分析：（1）將a=1代入，分段求解即可；（2）利用fx=|x+a|+|x-a|≥|x+a-詳解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，不等式fx當(dāng)x>1時(shí)，fx=2x≥4，解得當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，fx=2≥4當(dāng)x<-1時(shí)，fx=-2x≥4，解得綜上所述，不等式的解集為[2,+∞)∪(-∞,-2].（2）f∴|2a|≥6，解得a≥3或a≤-3，即a的取值范圍是[3,+∞)∪(-∞,-3].點(diǎn)睛：含絕對(duì)值不等式的常用解法(1)基本性質(zhì)法：對(duì)a∈R＋，|x|＜a?－a＜x＜a，|x|＞a?x＜－a或x＞a.(2)平方法：兩邊平方去掉絕對(duì)值符號(hào)．(3)零點(diǎn)分區(qū)間法：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上絕對(duì)值符號(hào)的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解．(4)幾何法：利用絕對(duì)值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對(duì)值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解．(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解．21、（1）正四面體；理由見(jiàn)解析（2）；（3）當(dāng)時(shí)，最大體積為：；【解題分析】

（1）根據(jù)線段等長(zhǎng)首先確定為四面體外接球球心；又底面，可知為正三棱錐；依次以為頂點(diǎn)均有正三棱錐結(jié)論出現(xiàn)，可知四面體棱長(zhǎng)均相等，可知其為正四面體；（2）由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角；設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，利用表示出各邊，利用勾股定理構(gòu)造方程可求得，從而可求得，進(jìn)而得到結(jié)果；（3）取