四川省成都市東辰國際學校2024屆高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

四川省成都市東辰國際學校2024屆高二數(shù)學第二學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知球是棱長為1的正方體的外接球，則平面截球所得的截面面積為()A． B． C． D．2．函數(shù)在上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，若，則滿足的的取值范圍是（）A． B． C． D．3．若集合，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．5．已知函數(shù)，若、，，使得成立，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．或6．甲、乙等人在南沙聚會后在天后宮沙灘排成一排拍照留念，甲和乙必須相鄰的排法有（）．A．種 B．種 C．種 D．種7．設，則“”是的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，若曲線與交于、兩點，則等于（）A． B． C． D．9．在二項式的展開式中，含的項的系數(shù)是（）．A． B． C． D．10．《數(shù)術(shù)記遺》是《算經(jīng)十書》中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元世紀）所著，該書主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計數(shù)種計算器械的使用方法某研究性學習小組人分工搜集整理種計算器械的相關(guān)資料，其中一人種、另兩人每人種計算器械，則不同的分配方法有（）A． B． C． D．11．已知點和，若某直線上存在點P，使得，則稱該直線為“橢型直線”，現(xiàn)有下列直線：①；②；③；④．其中是“橢型直線”的是（）A．①③ B．①② C．②③ D．③④12．命題“，”的否定是（）A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機變量，且，則_______．14．為強化安全意識，某校擬在周一至周五的五天中隨機選擇天進行緊急疏散演練，則選擇的天恰好為連續(xù)天的概率是__________．15．如圖所示，在圓錐中，為底面圓的兩條直徑，，且,，為的中點，則異面直線與所成角的正切值為__________.16．記曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個極值點，，且，證明：.18．（12分）已知函數(shù)．（1）當，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）設不等式的解集為，若，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）某學校高三年級有學生1000名，經(jīng)調(diào)查研究，其中750名同學經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為類同學），另外250名同學不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為類同學），現(xiàn)用分層抽樣方法（按類、類分二層）從該年級的學生中共抽查100名同學.（1）測得該年級所抽查的100名同學身高（單位：厘米）頻率分布直方圖如圖，按照統(tǒng)計學原理，根據(jù)頻率分布直方圖計算這100名學生身高數(shù)據(jù)的平均數(shù)和中位數(shù)（單位精確到0.01）；（2）如果以身高達到作為達標的標準，對抽取的100名學生，得到列聯(lián)表：體育鍛煉與身高達標列聯(lián)表身高達標身高不達標合計積極參加體育鍛煉60不積極參加體育鍛煉10合計100①完成上表；②請問有多大的把握認為體育鍛煉與身高達標有關(guān)系？參考公式：.參考數(shù)據(jù)：0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，(1)若B1C=1，求直線AB(2)在(1)的條件下，求二面角A1(3)若B1C=2，CG⊥平面A1ABB1，G為垂足，令CG=pCA+qCB+rCB22．（10分）已知函數(shù)有極值.（1）求的取值范圍；（2）若在處取得極值，且當時，恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)正方體的特征，求出球的直徑和球心O到平面的距離，求出截面圓的半徑，即可得到面積.【題目詳解】球是棱長為1的正方體的外接球，其體對角線就是球的直徑，所以球的半徑為，根據(jù)正方體的性質(zhì)O到平面的距離為，所以平面截球所得的截面圓的半徑為，所以其面積為.故選：D【題目點撥】此題考查求幾何體外接球問題，根據(jù)幾何特征求出外接球的半徑，根據(jù)圓心到截面的距離求截面圓的半徑，進而求解面積.2、C【解題分析】

先由函數(shù)是奇函數(shù)求出，化原不等式為，再由函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為為奇函數(shù)，若，則，所以不等式可化為，又在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選C【題目點撥】本題主要考查由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，熟記函數(shù)基本性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.3、C【解題分析】

由題意首先求得集合B，然后逐一考查所給選項是否正確即可．【題目詳解】求解二次不等式可得：，則．據(jù)此可知：，選項A錯誤；，選項B錯誤；且集合A是集合B的子集，選項C正確，選項D錯誤．本題選擇C選項，故選C．【題目點撥】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關(guān)系的判斷等知識，熟記集合的基本運算方法是解答的關(guān)鍵，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力．4、D【解題分析】

函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點等價于當x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點，即可即m=f（x）有3個不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范圍．【題目詳解】函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點，則當x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），①當0<x＜2時，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，當x=時有最大值，即為f（）=，且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，故f（x）在[0，2）上的值域為（﹣2，]，②當x≥2時，f（x）=＜0，且當x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，當2≤x＜3時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x≥3時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域為[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴當﹣＜m＜0時，當x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點，故當﹣＜m＜0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點，當x=0時,函數(shù)有5個零點．故選D.【題目點撥】(1)本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函數(shù)的零點問題常用的有方程法、圖像法和方程+圖像法.本題利用的就是方程+圖像法.5、B【解題分析】

對的范圍分類討論，當時，函數(shù)在上遞增，在上遞減，即可判斷：、，，使得成立.當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即可判斷：一定不存在、，，使得成立，問題得解.【題目詳解】當時，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，則：、，，使得成立.當時，，函數(shù)在上遞增，在也遞增，又，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時一定不存在、，，使得成立.故選：B【題目點撥】本題主要考查了分類思想及轉(zhuǎn)化思想，還考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于難題。6、B【解題分析】由題意利用捆綁法求解，甲、乙兩人必須相鄰的方法數(shù)為種．選．7、A【解題分析】分析：先化簡兩個不等式，再利用充要條件的定義來判斷.詳解：由得-1＜x-1＜1，所以0＜x＜2.由得x＜2，因為，所以“”是的充分不必要條件.故答案為：A.點睛：（1）本題主要考查充要條件的判斷和不等式的解法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和基本計算能力.(2)本題利用集合法判斷充要條件，首先分清條件和結(jié)論；然后化簡每一個命題，建立命題和集合的對應關(guān)系.，；最后利用下面的結(jié)論判斷：（1）若,則是的充分條件，若，則是的充分非必要條件；（2）若,則是的必要條件，若，則是的必要非充分條件；（3）若且，即時，則是的充要條件.8、B【解題分析】

由題意可知曲線與交于原點和另外一點，設點為原點，點的極坐標為，聯(lián)立兩曲線的極坐標方程，解出的值，可得出，即可得出的值.【題目詳解】易知，曲線與均過原點，設點為原點，點的極坐標為，聯(lián)立曲線與的坐標方程，解得，因此，，故選：B.【題目點撥】本題考查兩圓的相交弦長的計算，常規(guī)方法就是計算出兩圓的相交弦方程，計算出弦心距，利用勾股定理進行計算，也可以聯(lián)立極坐標方程，計算出兩極徑的值，利用兩極徑的差來計算，考查方程思想的應用，屬于中等題.9、C【解題分析】

利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為4求得．【題目詳解】解：對于，對于10﹣3r＝4，∴r＝2，則x4的項的系數(shù)是C52（﹣1）2＝10故選．點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關(guān)于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.10、A【解題分析】

本題涉及平均分組問題，先計算出分組的方法，然后乘以得出總的方法數(shù).【題目詳解】先將種計算器械分為三組，方法數(shù)有種，再排給個人，方法數(shù)有種，故選A.【題目點撥】本小題主要考查簡單的排列組合問題，考查平均分組要注意的地方，屬于基礎題.11、C【解題分析】

先確定動點的軌跡為橢圓，再考慮各選項中的直線與橢圓是否有公共點后可得正確的選項.【題目詳解】由橢圓的定義知，點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，其方程為．對于①，把代入，整理得，由，知不是“橢型直線”；對于②，把代入，整理得，所以是“橢型直線”；對于③，把代入，整理得，由，知是“橢型直線”；對于④，把代入，整理得，由，知不是“橢型直線”．故②③是“橢型直線”．故：C．【題目點撥】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，此類問題一般聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去一個變量后通過方程的解的個數(shù)來判斷位置關(guān)系，本題屬于基礎題.12、A【解題分析】

根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，特稱命題的否定是全稱命題，寫出原命題的否定，得到答案.【題目詳解】因為特稱命題的否定是全稱命題，所以命題“，”的否定是“，”.故選：A.【題目點撥】本題考查含有一個量詞的命題的否定，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

由，得，兩個式子相加，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性和概率和為1即可得到答案．【題目詳解】由隨機變量，且，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得且正態(tài)分布的概率和為1，得.故答案為0.15【題目點撥】本題考查了正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，屬于基礎題．14、【解題分析】試題分析：考查古典概型的計算公式及分析問題解決問題的能力.從個元素中選個的所有可能有種，其中連續(xù)有共種，故由古典概型的計算公式可知恰好為連續(xù)天的概率是.考點：古典概型的計算公式及運用.15、【解題分析】

由于與是異面直線，所以需要平移為相交直線才能找到異面直線與所成角，由此連接OP再利用中位線的性質(zhì)得到異面直線與所成角為,并求出其正切值．【題目詳解】連接，則，即為異面直線與所成的角，又，，，平面，，即，為直角三角形，.【題目點撥】本題考查了異面直線所成角的計算，關(guān)鍵是利用三角形中位線的性質(zhì)使異面直線平移為相交直線．16、【解題分析】

由曲線與直線聯(lián)立，求出交點，以確定定積分中的取值范圍，最后根據(jù)定積分的幾何意義表示出區(qū)域的面積，根據(jù)定積分公式即可得到答案?！绢}目詳解】聯(lián)立，得到交點為，故曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積；故答案為【題目點撥】本題考查利用定積分求面積，確定被積區(qū)間與被積函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析.(2)證明見解析.【解題分析】分析：(1)先求導數(shù)，再根據(jù)二次方程=0根得情況分類討論：當時，.∴在上單調(diào)遞減.當時，根據(jù)兩根大小再分類討論對應單調(diào)區(qū)間，(2)先化簡不等式消m得，再利用導數(shù)研究，單調(diào)性，得其最小值大于-1，即證得結(jié)果.詳解：（1）由，得，.設，.當時，即時，，.∴在上單調(diào)遞減.當時，即時，令，得，，.當時，，在上，，在上，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞減，當時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）∵有兩個極值點，，且，∴由（1）知有兩個不同的零點，，，，且，此時，，要證明，只要證明.∵，∴只要證明成立.∵，∴.設，，則，當時，，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴有兩個極值點，，且時，.點睛：利用導數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.18、（1）；（2）見解析．【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）由，求出函數(shù)的導數(shù)，分別求出，，即可求出切線方程；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間試題解析：（Ⅰ）當時，∴∴，；∴函教的圖象在點處的切線方程為.（Ⅱ）由題知，函數(shù)的定義域為，，令，解得，，①當時，所以，在區(qū)間和上；在區(qū)間上，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.②當時，恒成立，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.③當時，，在區(qū)間，和上；在上，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是④當時，，時，時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是⑤當時，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，綜上，①時函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是②時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是③當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是④當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是點睛：確定單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)，令，解此方程，求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實根；(3)把函數(shù)的間斷點(即的無定義點)的橫坐標和上面的各實數(shù)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；(4)確定在各個區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.19、（1）或；（2）【解題分析】

（1）使用零點分段法，討論分段的取值范圍，然后取它們的并集，可得結(jié)果.（2）利用等價轉(zhuǎn)化的思想，可得不等式在恒成立，然后解出解集，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）當時，原不等式可化為.①當時，則，所以；②當時，則，所以；⑧當時，則，所以.綜上所述：當時，不等式的解集為或.（2）由，則，由題可知：在恒成立，所以，即，即，所以故所求實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題考查零點分段求解含絕對值不等式，熟練使用分類討論的方法，以及知識的交叉應用，同時掌握等價轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題.20、（1）174，174.55；（2）①列聯(lián)表見解析；②.【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)與中位數(shù)的公式即可求解；（2）①根據(jù)頻率分布直方圖求出身高達標與不達標的比例，結(jié)合積極參加體育鍛煉和不積極參加體育鍛煉的比例，完成表格；②根據(jù)公式計算出即可下結(jié)論.【題目詳解】（1）平均數(shù)，前兩組頻率之和為0.25，前三組頻率之和為0.8，所以中位數(shù)在第三組中位數(shù)為.（2）根據(jù)頻率分布直方圖可得身高不達標所占頻率為0.25，達標所占頻率為0.75，所以身高不達標25人，達標75人，根據(jù)分層抽樣抽取的積極參加體育鍛煉75人，不積極參加體育鍛煉的25人，所以表格為：身高達標身高不達標合計積極參加體育鍛煉601575不積極參加體育鍛煉151025合計7525100假設體育鍛煉與身高達標沒有關(guān)系.所以有把握認為體育鍛煉與身高達標有關(guān)系.【題目點撥】此題考查根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)，計算指定組的頻率，完成列聯(lián)表進行獨立性檢驗，關(guān)鍵在于數(shù)量掌握相關(guān)數(shù)據(jù)的求解方法，準確計算并下結(jié)論.21、（1）π6；（2）3π4；（3）q=49，【解題分析】

(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面A1ACC1的法向量為n=(x,y，z)，則n(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為n=(1,0，1)，取平面ABC的法向量m=(0,0，(3)作CM⊥AB，M為垂足.由B1C⊥平面ABC.可得B1C⊥AB，AB⊥平面MCB作CG⊥MB1，垂足為G，則CG⊥平面ABB1.利用三角形面積計算公式、勾股定理及其CG=pCA【題目詳解】解：(1)建立如圖所示的空