中考數(shù)學(xué)成都中考數(shù)學(xué)二診匯編A卷：圓(含答案)壓軸題

中考數(shù)學(xué)專題：圓

一.解答題

1.如圖，在。0中，直徑AB=10,tan/l=Y3.

3

(1)求弦AC的長(zhǎng)；

(2)。是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且連接C￡>,若8與。。相切，求女的值；

(3)若動(dòng)點(diǎn)P以3CTM/S的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿48方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。以3°?曲的速度從B點(diǎn)出發(fā)

2

沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r連接PQ.當(dāng)f為何值時(shí)，△BPQ為RtZX?

3

2.如圖，以AABC的邊AB為直徑的。0與邊AC相交于點(diǎn)D,BC是。。的切線，E為BC的中點(diǎn)，連接

BD、DE.

(1)求。E是。。的切線；

(2)設(shè)△(?￡>￡■的面積為Si,四邊形A8E￡>的面積為S2,若S2=5SI,求tan/BAC的值；

(3)在(2)的條件下，連接AE,若的半徑為2,求AE的長(zhǎng).

3.如圖1,AB是O。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，CD_LAB于。，E是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CE,ZACE

=/AC￡>,K是線段AO上一點(diǎn)，連接CK并延長(zhǎng)交。0于點(diǎn)F.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若AD=DK,求證：AK?4O=K8?4E；

(3)如圖2,若4E=AK,第=崩，點(diǎn)G是8c的中點(diǎn)，4G與CF交于點(diǎn)P,連接BP.請(qǐng)猜想以，

PB,P尸的數(shù)量關(guān)系，并證明.

4.如圖，四邊形A2C￡＞內(nèi)接于OO,對(duì)角線AC、20相交于點(diǎn)F,AC是的直徑，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E,連

接AE,NBAE=NADB,ANA.BD,CM1.BD,垂足分別為點(diǎn)N、M.

(1)證明：4E是。。的切線；

(2)試探究。M與BN的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)若BD=BC,MN=2DM,當(dāng)4￡：=圾時(shí)，求OF的長(zhǎng).

C

5.如圖，四邊形4BCO內(nèi)接于。。，直徑AC與弦的交點(diǎn)為E,OB//CD,BHLAC,垂足為H,且N

BFA=NDBC.

(1)求證：8尸是。0的切線；

(2)若8，=3,求A。的長(zhǎng)度；

(3)若sinND4C=g,求△08,的面積與四邊形08CD的面積之比.

6.如圖，ZvlBC內(nèi)接于。。，AB為。0的直徑，力為BC的中點(diǎn)，過。作。凡LAB于點(diǎn)E,交。0于點(diǎn)尸,

交弦BC于點(diǎn)G,連接CD,BF.

(1)求證：△2FG絲△ZJCG；

(2)若AC=10,BE=8,求BF的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，P為。。上一點(diǎn)，連接BP,CP,弦CP交直徑A8于點(diǎn)”，若ABPH與ACPB

相似，求CP的長(zhǎng).

7.如圖，A8是。。的直徑，4c是。。的切線，連接0C交。。于E,過點(diǎn)A作AF_LOC于F,交。。于

D,連接Of,BE,BD

(1)求證：NC=NBED；

(2)若A8=12,tanZBED=.2,求CF的長(zhǎng).

4

8.AB為。。的直徑，點(diǎn)C、。為。。上的兩個(gè)點(diǎn)，AD交BC于點(diǎn)F,點(diǎn)E在A8上，DE交BC于點(diǎn)G,

且NZ)GF=/C4B.

(1)如圖1.求證：DE1AB.

(2)如圖2.若4。平分/C4B.求證：BC=2DE.

(3)如圖3.在(2)的條件下，連接OF,若N4FO=45°,AC=8,求OF的長(zhǎng).

9.如圖，在aABC中，AB=4C=10,tanN4=2,點(diǎn)。是線段4c上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合)，以

3

OC為半徑的。0與線段BC的另一個(gè)交點(diǎn)為D,作DEA.AB于E.

(1)求證：OE是。。的切線；

(2)當(dāng)。。與A8相切于點(diǎn)尸時(shí)，求。0的半徑；

(3)在(2)的條件下，連接OB交OE于點(diǎn)M,點(diǎn)G在線段EF上，連接GO.若/GOM=45°,求

。似和FG的長(zhǎng).

10.如圖，在△A8C中，AB=AC,以A3為直徑的。0分別與3C,AC交于點(diǎn)￡>,E,過點(diǎn)。作OFLAC,

垂足為點(diǎn)F.

(1)求證：直線。尸是。。的切線；

(2)求證：8c2=4CQAC；

(3)若。。的半徑為2?,NC￡>F=15°,求陰影部分的面積.

11.如圖，△ABC內(nèi)接于。。，且AB為。。的直徑./AC8的平分線交。。于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作的切線

PC交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過點(diǎn)A作AELCO于點(diǎn)E,過點(diǎn)8作于點(diǎn)F.

(1)求證：DP//AB；

(2)試猜想線段AE,EF,之間有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；

(3)若AC=6,BC=8,求線段P。的長(zhǎng).

12.如圖，在△ABC中，/C=90°,40平分/2AC交2c于點(diǎn)￡>,。是A8邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心,

0A長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)￡>,作。于點(diǎn)E,延長(zhǎng)。E交。。于點(diǎn)尸，連接F0并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)G,

已知OE=3,tanNCD4=2.

(1)求證：8c是。。的切線；

(2)求證：OA2=OB,OE；

(3)求線段EG的長(zhǎng).

13.如圖，在AABC中，NACB=90°,40平分NB4C,交BC于點(diǎn)0.以。為圓心，0C為半徑作。0,

分別交A0，BC于點(diǎn)E,F.

(1)求證：A8是。。的切線；

(2)延長(zhǎng)A0交。。于點(diǎn)。，連接CZ),^AD=2AC,求tan。的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)。。的半徑為3,求BC的長(zhǎng).

14.如圖，在△ABC中，AB=AC,以邊AB為直徑的。。交邊BC于點(diǎn)￡),交邊AC于點(diǎn)E.過。點(diǎn)作QF

LAC于點(diǎn)F.

(1)求證：。尸是00的切線；

(2)求證：CF=EF；

(3)延長(zhǎng)F￡>交邊AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若EF=3,8G=9時(shí)，求。。的半徑及CD的長(zhǎng).

c

15.四邊形ABC。是。0的圓內(nèi)接四邊形，線段AB是。。的直徑，連接AC、8。.點(diǎn)，是線段BO上的一

點(diǎn)，連接AH、CH,且NACH=/CB。，AD=CH,BA的延長(zhǎng)線與C￡＞的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

(1)求證：四邊形AOC"是平行四邊形；

(2)若AC=BC,PB=-/SPD,AB+CD=2(A/5+1)

①求證：△O”C為等腰直角三角形；

②求C”的長(zhǎng)度.

16.如圖，已知RtA4BC中，ZACB=90°,AC=442,BC=16.點(diǎn)。在邊BC上，以。為圓心，0B為

半徑的弧經(jīng)過點(diǎn)A.P是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求半徑08的長(zhǎng)；

(2)如果點(diǎn)尸是弧AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PC,求/PCB的正切值；

(3)如果84平分NPBC,延長(zhǎng)BP、C4交于點(diǎn)力，求線段。P的長(zhǎng).

(備用圖)

17.如圖，AB是。。的直徑，弦CCAB于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是A8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC交QB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F,且NPFB=3/CAB.

(1)求證：PC是。。的切線；

(2)延長(zhǎng)AC,。尸相交于點(diǎn)G,連接PG,請(qǐng)?zhí)骄縉CPG和NCAB的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

(3)若tan/C48=上，CF=5,求的半徑.

3

G

18.如圖，在。0的內(nèi)接△4BC中，NC4B=90°,AB=2AC,過點(diǎn)A作BC的垂線相交。。于另一點(diǎn)力，

垂足為，，點(diǎn)E為篇上異于A,B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線8E交直線用于點(diǎn)凡連接AE,連接DE交BC于

點(diǎn)G.

(1)求證：XFEDs

(2)若令=言，AC=2,連接CE,求AE的長(zhǎng)；

(3)在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，若BG=MCG,求tan/C8F的值.

31.如圖所示，以aABC的邊AB為直徑作。0,點(diǎn)C在。0上，BD是。0的弦，NA=NCBD,

過點(diǎn)C作CF1AB于點(diǎn)F,交8。于點(diǎn)G過C作CE//BD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)求證：CG=BG；

(3)若8A=30°,CG=8,求BE的長(zhǎng).

參考答案與試題解析

一.解答題(共56小題)

1.如圖，在。。中，直徑AB=10,tanA=Y3.

3

(1)求弦AC的長(zhǎng)；

(2)。是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且連接C￡>,若。與。。相切，求女的值；

(3)若動(dòng)點(diǎn)P以3cMs的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以3czM/5的速度從B點(diǎn)出發(fā)

2

沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/(0</<羋)，連接PQ.當(dāng)?為何值時(shí)，△BPQ為RtZ\?

【解答】解:(1);。。的直徑AB=10,

：.ZACB=W°,

在Rt/SABC中，tanA=^^,

3

.,.NA=30°,

.,.AC=ABcosA=10cos30°=10X返=5

2

即弦AC的長(zhǎng)為5J,

(2)如圖1,

連接OC,由(1)知，ZA=30°,

...NBOC=2/A=60°,

?.?co是。。的切線，

.?./OCZ)=90°,

；./。=90°-60°=30°,

*.?OB=OC=—AB=5,

2

，0￡>=20C=10,

：.BD=OD-08=10-5=5,

,:AB=kBD,

.?/=旭=-12=2

BD5

即k的值為2；

(3)在RtZXABC中，；A8=10,/A=30°,

：.BC=—AB=5,

2

由運(yùn)動(dòng)知，AP=3t,BQ=&t,

2

；0<f<旦

3

.,.0<AP<10,0<BQ<5,

...點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段BC上,

:△BPQ為直角三角形，且NA3C=90°-ZA=60°,

：.ZBQP=90°或/BPQ=90°,

①當(dāng)NBQP=90°時(shí),如圖2,

在RtZXBQP中，BP=AB-AP=10-3t,BQ=^-t,ZABC=60°,

2

3_

：.cosNABC=跑=—±—_=A,

BP10-3t2

3

②當(dāng)N8PQ=90°時(shí),如圖3,

在Rtz^BPQ中，cos/A8C=^~=1,3t=工,

BQ3t2

2

圖3

圖2

圖1

2.如圖，以△ABC的邊AB為直徑的。0與邊AC相交于點(diǎn)￡>,8C是。。的切線，E為BC的中點(diǎn)，連接

BD、DE.

(1)求。E是。。的切線；

(2)設(shè)△(7￡>￡的面積為Si,四邊形ABEQ的面積為S2,若S2=5SI,求tan/BAC的值；

(3)在(2)的條件下，連接AE,若。。的半徑為2,求AE的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：連接。。,

：.OD=OB

：.NODB=NOBD.

是直徑，

AZADB=90Q,

：.ZCDB=90Q.

為BC的中點(diǎn)，

:.DE=BE,

：.NEDB=NEB。，

ZODB+ZEDB=ZOBD+ZEBD,

即NE￡)O=NEBO.

是以AB為直徑的O。的切線，

：.ABLBC,

/.ZEBO=90°,

：.ZODE=90a,

是。。的切線；

(2)解：V52-451,

S&ADB-2sAeDB,

?AD2

"DC=T

,:△BDCSMDB,

.AD=DB

**DBDC*

:.DB2=AD-DC,

.DB=V2

''AD2'

：.tan/BAC=^=返；

AD2_

(3)解：?.?tanNBAC=^=返，

_AD2

...更二返，得BC=?AB=2?

AB22

為BC的中點(diǎn)，

BE=LBC=?

2

AE=22=2

-'-VAB+BE74+(V2)2=3M-

3.如圖1,AB是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，C￡>_L4B于。，E是8A延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CE,ZACE

=ZACD,K是線段A。上一點(diǎn)，連接CK并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)F.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若AD=OK,求證：AK-AO=KB'AE；

(3)如圖2,若AE=AK,金=前，點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，AG與CF交于點(diǎn)P,連接BP.請(qǐng)猜想物,

PB,PF的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖1圖2

'：CDLAB,

：.ZCAD+ZACD=90",

\"OA=OC,

：.ZCAD^ZACO,

又,:NACE=ZACD,

：.ZACE+ZACO=90°,即NECO=90°,

；.CE是OO的切線；

(2)證明：是。。的直徑，

/.ZACB=90°,

：.ZCAD+ZB=90°,

又?.?NCAC+NAC￡>=90°,ZACD=ZB,

：.ZACE^ZB,

'：AD=DK,CDA.AB,

：.CA=CK,NCAD=NCKD,

：.ZCAE=ZBKC,

:.△CAESXBKC,

.AE=AC

??而KB)

：.AC-KC=AE'KB,

又,：NCAD=NCKD,Z.CAD=ZOCA,

.?.△OCAsaCAK,

.AC=AO

?怎而‘

：.AC-KC=AK*AO,

.?.AA?AO=KB?AE；

(3)FA2+PF2=PB2.理由如下：

如圖，連接AF、BF,

B

圖2

VAF=BF，

AZACF=ZBCF=^ZACB=45°,AF=BF,

2

AZECK=ZACK+ZACE=45°+ZACE,ZEKC=ZBCK+ZKBC=45°+ZABC,

：.ZECK=ZEKC,

：.EC^EK=AE+AK^2AE,

'：ZACE=ZCBE,ZE=ZE,

:.叢EACs叢ECB,

?9=嶇=工

*'BCCET

：.BC=2AC,

:點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),

:?BC=2CG=2GB,

：.AC=CGfZACF=ZBCF,

C.CPLAG,AP=PG,

設(shè)AC=CG=G8=x,

則AG="x2+x2=揚(yáng),

.PG^GB,1

*'GBAG&，

又NPGB=NBGA,

：.4PGBS/\BGA,

：.NGBP=/GAB,

：.NGBP+NBCF=ZGAB+ZGAC,

即NBPF=NBAC=NBFP,

：.BP=BF=AF,

?.?在RtZVIPF中，PA2+PF2=AF2,

：.P^+PF1=PBi.

4.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于OO,對(duì)角線4C、8。相交于點(diǎn)凡AC是。。的直徑，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)E,連

接AE,/BAE=/ADB,ANLBD,CMA,BD,垂足分別為點(diǎn)N、M.

(1)證明：AE是。0的切線；

(2)試探究OM與BN的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)若BD=BC,MN=2DM,當(dāng)AE=&時(shí)，求OF的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：：AC是00的直徑,

AZADC=90Q,

AZADB+ZBDC=90°,

；NBAC=NBDC,NBAE=NADB,

：.ZBAE+ZBAC=90°,即NCAE=90°,

：.AELAC,

AE是。。的切線；

（2）解：DM=BN,理由如下：

"：ANLBD,CM1.BD,ZADC=90°,

Z.ZAND=ZANB=ZDMC=ZADC=90°,

NADN+NMDC=NMC￡>+NMQC=90°,

4ADN=ZMCD,

：ADMCS/\AND,

?DM=CD,

,,ANAD"

■:NABN=NACD,乙4NB=/ADC=90°,

：./\ADC^/\ANB,

?AD=CDnnBN=CD

*,ANBN"ANAD'

?DM^BN

*,ANAN"

:.DM=BN；

（3）解：由（2）知DM=BN,則BM=￡W,

設(shè)DM=BN=a,

,:MN=2DM,BD=BC,

:.MN=2a,BM=DN=3a,BD=BC=4a,

VZBMC=90°,

*'*CM=正2_5比2=｛（4a）2-（3a）2=^m

?：4C是。。的直徑，AN1BD,

：.ZABC=ZAND=90°,

,：ZADB=ZACB,

:.△ADNs^ACB,

.ANDN3a2,

*'AB=BC=4a=7,

設(shè)AN=3b,AB=4bSO）,

VZANB=ZABC=90a,BN=a,

：.AN2+BN2=AB2,即（3b）2+/=（4/j）2

解得：b=?a,

7_

：.AN=^^-a,AB=MLI,

77

"：BC=4a,

AAC=22=<

VAB+BCJ(-^-a)2+(4a)2=-^y^a,

cosZACB=cosZADB=cosZE4B==c-=

AC4

7a

,:AE=M，

A8=AEXcosNEAB=&義^5=近=_^ZZa,

427

：.a=—,

8

.*.AC=VT4，

oc=2AC=^^,

22

?：NANF=NCMF=90°,NAFM=NMFC,

：./\ANF^/\CMF,

5.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。0,直徑AC與弦B。的交點(diǎn)為E,OB//CD,BH1AC,垂足為4,且N

BFA=/DBC.

(1)求證：8尸是。。的切線；

(2)若BH=3,求A。的長(zhǎng)度;

(3)^sinZ￡>AC=A,求△08”的面積與四邊形OBC。的面積之比.

【解答】解：(1)證明：'：ZBFA=ZDBC,/DBC=/DAC,

：.ZDAC=ZBFAf

■:OB//CD,

：.ZBOF=ZACDf

〈AC是。。的直徑，

AZADC=90°,

：.ZDAC+ZACD=90°,

.,.ZBOF+ZBM=90°,

：.ZOBF=90°,

???OB1.BF,

???8尸是。。的切線；

(2),.?BH_LAC,

：.ZOHB=90°,

〈AC是OO的直徑，

???NA￡>C=90°,

???ZADC=ZOHB,

,：ZBOC=ZACDf

：.AACDsABOH,

?ADACc

BHBO

*：BH=3,

：.AD=6；

(3)°：MACDsRBOH,

:?/DAC=NOBH,

VsinZ￡)AC=^=A,

AC7

：.sinZOBH=^,設(shè)?！?4a,OB=la,

7

：.AC=2OB=\4a,

：.DC=Sa,

B/y=7oB2-OH2=A^a,

過C作CM_LOB于M,

OB=OC,

:.CM=BH=~4^a,

"."OB//CD,CMLOB,

：.CMLCD,

S四邊形OBCD=SAOCD+SAOCB

CM+^OB'CM

22

=A(8a+7“)義手乳a

2

_15V33a2

-------,

2

弘0即=上xx4aXJ^a=2?^2,

22

.SAOBH_4

??----------------------一一”?

S四邊形OBCD15

答：△OB”的面積與四邊形OBCZ)的面積之比為-L.

15

6.如圖，△ABC內(nèi)接于。。，A8為。。的直徑，。為它的中點(diǎn)，過。作。尸，AB于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)F,

交弦BC于點(diǎn)G,連接CO,BF.

(1)求證：△BFG絲△OCG；

(2)若AC=10,BE=8,求BF的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，P為。。上一點(diǎn)，連接BP,CP,弦CP交直徑AB于點(diǎn)H,若ABPH與ACPB

相似，求CP的長(zhǎng).

【解答】解：⑴???￡＞是標(biāo)的中點(diǎn)，則而=而,

:AB為。。的直徑，DF1AB,

BD=BF，

BF=CD-：.BF=CD,

又；NBFG=ZDCG,NBGF=ZDGC,

.?.△BFG絲△QCG(A4S)；

(2)如圖1,連接。。交BC于點(diǎn)M,

為面的中點(diǎn)，

J.ODA.BC,：.BM=CM,

'：OA=OB,

：.。歷是△ABC的中位線,

.,.OM——AC—5,

2

,/BF=CD，

.??BC=FD.

：.0E=0M=5,

：.OD=OB=OE+BE=5+8=13,

...￡F=D￡=^OD2_OE2=12,

B/-=VBE2+EF2=V82+122=4^;

(3)如圖2,?.?弦CP交A8于點(diǎn)H,則點(diǎn)尸與點(diǎn)C在直徑的兩側(cè)，則NC8P>/HBP,

:△BP，與aCPB相似，

NABP=NPCB,

又,：NCPB=NBPH,

：.NACP=NBCP,

是直徑，則NAC8=/AP8=90°,

.../ACP=/BCP=45°,

過點(diǎn)B作BNJ_PC于點(diǎn)N,由(2)得AB=26,

在RtACBN中，CN=BN=?BC=\2M,

2

■:NCAB=/CPB,

，tanNC4B=tanNCPB=￡,即露血=12,故PN=5近,

5PN5

PC=CN+PN=572+12^2=1772.

7.如圖，48是。0的直徑，AC是00的切線，連接0C交。0于E,過點(diǎn)A作AF_L0C于F,交于

D,連接。E,BE,BD

(1)求證：NC=NBED；

(2)若AB=12,tan/BE￡>=旦，求CF的長(zhǎng).

4

【解答】(1)證明：是。。的直徑，C4切。。于A,

.,.ZC+ZAOC=90°；

又；OC_LA。,

.,.ZOM=90°,

AZAOC+ZBAD=90°,

:.NC=NBAD.

又,：NBED=NBAD,

：.ZC=ZBED.

(2)解：由(1)知/C=/BA￡>,tanZBED=A,

4

tanZC=—,

4

tanZC—-=.且0A=1AB=6,

4OC2

，且萼，解得4c=8,

AC4

OC=V62+82=10,

,：OC-AF^OA-AC,

。尸=%2向2=72_(卷)2=..

VQJ

8.A8為OO的直徑，點(diǎn)C、。為。。上的兩個(gè)點(diǎn)，A。交8c于點(diǎn)凡點(diǎn)E在A8上，OE交BC于點(diǎn)G,

且NDGF=NCAB.

(1)如圖1.求證：DE1AB.

(2)如圖2.若A。平分/C4&求證：BC=2DE.

(3)如圖3.在(2)的條件下，連接。凡若NAFO=45°,AC=8,求OF的長(zhǎng).

???NACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

■:/DGF=/CAB,/DGF=/BGE,

:?/BGE=/CAB,

：.ZBGE+ZCBA=W,

：.ZGEB=90°,

：.DE.LAB；

(2)證明：如圖2,連接O。交BC于H,連接3。

r

??CD=BD,

AOD.LBC,BH=CH,

VDE±AB,OD=OB,

：.SAOBD=LODXBH=LOBXDE,

22

：.BH=DE,

：.BC=2DE.

(3)解：如圖3,作尸RJ_AB于R,OSJ_A。于S,

c

圖3

?..AD平分

：.ZCAD=ZBADf

設(shè)NCAO=x,

:.NFB0=9C-2x,

VZAFO=45°,

：.ZFOB=45°+x,

AZOFB=180°-(90°-2x)-(45°+x)=45°+x,

:?NFOB=/OFB,

：.BF=BO=OAt

?；NFRB=NACB=90°,NFBR=NABC,

:.MBFRSMBAC,

?BFFR

??—=—,

ABAC

VAC=8,

?1FR

??-=-----,

28

:.FR=4,

：.CF=FR=4f

?"尸=運(yùn)了=4遍,

設(shè)SO=t,

VZAFO=45°,

：.FS=OS=t,

,/tan/C4F=tanNOAS="上，

ACAS

\AS=2t,

.??4/=3，=4娓，

?.?IL蠣,

3—

二。尸=心=￥^.

9.如圖，在AABC中，A3=AC=10,tan/A=2,點(diǎn)0是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A,點(diǎn)C重合)，以

3

OC為半徑的。。與線段BC的另一個(gè)交點(diǎn)為D,作DELAB于E.

(1)求證：OE是。0的切線；

(2)當(dāng)。。與相切于點(diǎn)尸時(shí)，求00的半徑；

(3)在(2)的條件下，連接。8交。E于點(diǎn)M,點(diǎn)G在線段EF上，連接G。.若NGOM=45°,求

DW和FG的長(zhǎng).

【解答】解：(1)證明：如圖1,連接。。

'：OC,。。均為。。的半徑，

OC=OD,

：.NDCO=NCDO,

又；在aABC中，AB=-AC,

：.ZABC=ZACB,

：.NABC=NCDO,

J.OD//AB,

'：DEVAB,

：.DE±OD,

是。。的切線.

(2)解：如圖2,連接。兒

設(shè)。。的半徑為r,則OF=r,OC=r,

:。。與AB相切于點(diǎn)尸，

J.ABLOF,

.?.ZOM=90°,

在RtZ\4。尸中，ZOM=90",OF=r,tanZA=A,

3

.'.AF=—r,

4

.".AO=-r,

4

又：AO=AC-0C=10-r,

r=10-r,

4

?40

9

(3)解：如圖3,由(2)知r=也，

9

.?.AF=3r=旦

43

,/ZODE=NDEF=ZOFE=90°,

四邊形ODEF是矩形

OF=OD,

矩形ODEF是正方形，

;*DE=EF=OF=也，

9

：.BE=AB-AF-EF^XO-12-也=型，

399

■:NBME=NOMD,NBEM=NODM=90°,

：.4BEMs叢ODM,

?EM=BE

"DMOD'

解得DM=毀，

27

在E尸延長(zhǎng)線上截取FT=DM,

；四邊形OOE尸是正方形，

，NOFr=NOQM=90°,OF=OD,

：./\OFT^/\ODM(A4S),

:./FOT=NBOD,OT=OM,

9：ZDOF=90°,ZGOM=45°,

：.ZGOF+ZBOD=45Q,

：.ZGOF+ZFOT=45°,

即NGOT=45°,

：.ZGOT=ZGOM,

又OG=OG,

.,?△OGT^AOGMCSAS）

：.GM=GT=GF+FT=GF-+-DM,

設(shè)GF=a,則EG=歿-a,GM=歿+a,

927

,:EM=DE-DM=也-80=40

92727,

在RtZXEMG中，EM2+EG2=GM2,

即（也）2+（絲-〃）2=（毀+〃）2

27927

解得〃=1,

9

.?.FG的長(zhǎng)為鳥.

9

B

）c

圖3

B

一

圖2

B

以4B為直徑的。。分別與8C,AC交于點(diǎn)O,E,過點(diǎn)。作OFL4C,

垂足為點(diǎn)F.

(1)求證：直線。F是O。的切線；

(2)求證：BC2=4CFMC；

(3)若OO的半徑為2?,ZCDF=15°,求陰影部分的面積.

【解答】解：(1)如圖所示，連接。。

t

：AB=ACf

：.NABC=NC,

*：OB=OD,

：.ZODB=ZABC=ZCf

VDF1AC,

.*.ZCDF+ZC=90°,

：.ZCDF^ZODB=90°,

：.ZODF=90°,

???直線。R是。。的切線；

(2)連接AD,則AO1.8C,貝(JAB=AC,

則DB=DC=LBC,

2

VZCDF+ZC=90°,NC+NDAC=90°,

：.ZCDF=ZDAC,

：/￡>FC=NAOC=90°,

.,.△CFD^ACDA,

.".CD^^CF-AC,即2c2=4CF?AC：

(3)連接OE,

：NC￡>尸=15°,ZC=75°,

.,.ZOAE=30°=N0E4,

AZAOE=120°,

SAOAE=』AEXOEsin/OEA=」X2X2?Xcos30°X2?Xsin30°=3?,

22

2

s陰影部分=5扇形OAE-SAQAE="^^XTTX(2A/3)-3V3=4TT-3^3.

360

11.如圖，△ABC內(nèi)接于oo,且AB為00的直徑.NACB的平分線交oo于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。。的切線

PD交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,過點(diǎn)4作AE1.CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF1.CD于點(diǎn)F.

(1)求證：DP//AB-,

（2）試猜想線段4E,EF,BF之間有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明:

（3）若AC=6,BC=8,求線段的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：連接on如圖,

為。。的直徑,

AZACB=90°,

VZACB的平分線交。0于點(diǎn)D,

：.ZACD=ZBCD=45°,

.../D4B=NA8￡>=45°,

.??△D4B為等腰直角三角形，

：.DOLAB,

為。。的切線，

：.OD±PD,

：.DP//AB-,

(2)答：BF-AE=EF,證明如下：

；A3是。。的直徑，

AZADB^ZADE+^BDF=90°,

'：AE±CD,BFLCD,

：.ZAED^ZBFD^90a,

；.NFBD+NBDF=90°,

NFBD=NAOE,

*/ZAOD=ZBOD,

：.AD=BD,

在aAOE和△O8F中

，ZAED=ZBFD=90"

<ZFBD=ZADE

AD=BD

:.叢ADEQXDBF(A4S),

:.BF=DE,AE=DF,

：.BF-AE=DE-DF,

即BF-AE=EF.

[問題二法2：ZACD=ZCAE=45°,所以AE=CE,NDCB=NFBC=45°,所以BF=CF,CF=CE+EF

^AE+EF所以AE+FE=8F]

=22=10,

(3)解：在RtzXACB中，AB7AC+BC

:△DAB為等腰直角三角形,

3空=此=5加,

&&

'：AE±CD,

...△ACE為等腰直角三角形,

：.AE=CE=AC_6=3上

7272

在RtAAED中'。，=五口27￡2=6（就）?-（圾）2=4后,

CD=CE+DE=3V2+4V2=7?,

?：NPDA=NPCD,NP=2P,

:.叢PDAs^pCD,

.PD_PA_AD_5V2

''PCPDCD7圾

：.PA^^-PD,PC=1PD,

75

而PC=PA+AC,

，旦PD+6=2-PD,

75

：.PD=^.

4

12.如圖，在△ABC中，NC=90°,4。平分N8AC交BC于點(diǎn)。，。是AB邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心,

0A長(zhǎng)為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)D,作DE1AB于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DE交。0于點(diǎn)F,連接F0并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)G,

已知DE=3?tanNCDA—?2.

(1)求證：8C是OO的切線;

(2)求證：OA2=OB?OE；

(3)求線段EG的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：如圖，連接0。，

???。0經(jīng)過O,

，OD=OA,

：.ZODA=ZOAD,

YA。平分NB4C,

：.ZOAD=ZCAD,

：.ZODA=ZCAD,

：.AC//OD,

:.0D1.BC,

???8C是。。的切線；

(2)解：???/0。5=90°,DELAB,

2

???由射影定理得，0D=0B-0Ef

?：0A=0D,

???。42=。小?！辏?；

(3)解：如圖，連接。G,

YA。平分N8AC,

：.ZCAD=ZEADf

VDE±AB,

：.ZC=ZAED=90°,

\*AD=AD,

：.(AAS),

:.ZCDA=ZEDA9

AtanZEDA=tanZCDA=2,

VDE=3,

：.AE=6,

設(shè)OO=x,貝iJOE=6-x,

??。。2=05+。石2,

?，?/=(6-x)2+32,

解得：》=耳

4

,JDELAB且AB過圓心O,

'：DF=2DE=6,

"：EG1=DE^+DG2=32+(9)2=Ali.,

_24

：.EG=3^.

2

13.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AO平分NBAC,交3c于點(diǎn)O.以。為圓心，OC為半徑作。0,

分別交A。，BC于點(diǎn)、E,F.

(1)求證：4B是。。的切線；

(2)延長(zhǎng)AO交。。于點(diǎn)。，連接CQ,若AO=2AC,求tan。的值；

(3)在(2)的條件下，設(shè)。。的半徑為3,求BC的長(zhǎng).

【解答】證明：(1)如圖，過點(diǎn)。作

aB,

YAO平分NBAC,OM±AB,ZACB=90°,

JOC=OM,

為。。半徑，且OMJLA5,

???A8是。。切線.

(2)解：TOE是。。的直徑，

：.ZDCE=90°,

VZACB=90°,

AZDCE=NAC8,

：.ZDCO=ZACE,

9：OC=OD,

：.ZD=ZDCO,

???NACE=N。，且NA=NA,

J/\ACE^/\ADC,

?ACCE

**AD'CD，

VAD=2AC,

tanZD=^-h,AC，=A；

CD2AC2

(3)VAACE^AADC,

?ACAE

**AD=AC，

：.AC2=AD(AD-6),且2AC=AD,

???4O=8,

：.AC=4,

9：AO=AO,OC=OM,

ARtAAOM^RtAAOC(HL),

.,.AM=AC=4,

?.?NB=NB,ZOMB=ZACB=90°

.OMQB_BM

*'AC=AB'Be"

-3_=_OB_=_BH_

.丁4+BM=0B+3，

.J12+3BM=40B；

"l4BM=30B+9'

7

.*.AB=4+21=1M,

77___________

-*BC=VAB2-AC2=出獰丁=華?

14.如圖，在△ABC中，AB=AC,以邊AB為直徑的。。交邊BC于點(diǎn)。，交邊AC于點(diǎn)E.過。點(diǎn)作QF

VAC于點(diǎn)F.

(1)求證：。尸是00的切線；

(2)求證：CF=EF；

(3)延長(zhǎng)尸。交邊AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,若EF=3,BG=9時(shí)，求。。的半徑及C。的長(zhǎng).

圖1

"：AB=AC,

ZABC^ZC,

?:OB=OD,

/ABC=/ODB,

：.ZC=ZODBf

：.OD//AC,

V￡>F±AC,

：.DF.LOD.

???。尸是O。的切線；

(2)證明：如圖2,連接QE,

???四邊形AEDB為圓內(nèi)接四邊形,

：.ZCED=ZABC,

ZABC=ZC,

：?NCED=/C,

:?CD=DE,

9：DFLCE,

:.CF=EF；

(3)解:如圖3,連接AO,

圖3

〈AB為。。的直徑,

ZADB=90°，

U：AB=AC,

：.CD=BD,

".,OD//AC,

：./\GOD^/\GAF,

-OP_OG

"AF"AG'

.?.設(shè)OO的半徑是r,則AB=AC=2r,

：.AF=2r-3,OG=9+r,AG=9+2r,

.r9-h?

2r-39+2r

?.?r—_9—,

2

即oo的半徑是9.

2

：.AC=AB=9,

,：ZCED^ZABC,NECD=NACB,

:.△CEDsACBA,

.CDCE

"AC"BC"

??-C-D-=--6-,

92CD

."￡>=36

15.四邊形ABC。是。。的圓內(nèi)接四邊形，線段AB是。。的直徑，連接AC、BD.點(diǎn)，是線段BO上的一

點(diǎn)，連接A”、CH,且NACH=/CB￡>,AD=CH,8A的延長(zhǎng)線與C￡>的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

(1)求證：四邊形AOCH是平行四邊形；

(2)若AC=BC,PB=-45PD,AB+CD^2(注+1)

①求證：△QHC為等腰直角三角形；

②求CH的長(zhǎng)度.

【解答】證明：（1）,:/DBC=NDAC,NACH=NCBD

：.ZDAC=ZACH

：.AD//CH,S.AD=CH

：.四邊形ADCH是平行四邊形

（2）①：4B是直徑

4c8=90°=ZADB,且AC=BC

：.ZCAB=ZABC=45°,

.,./C￡>3=NCA8=45°

,JAD//CH

：.ZADH=ZCHD=90°,且NCDB=45°

：.ZCDB=ZDCH=45°

：.CH=DH,且/CH￡）=90°

為等腰直角三角形；

②；四邊形ABCD是。0的圓內(nèi)接四邊形,

；.NADP=NPBC,且NP=NP

:./XA4DPs^CBP

BC且PB=\J5PD,

-PD

P1B

ADAD=CH,

-BCW15

W5

CH

-BC

'：ZCDB^ZCAB=45°,NCH￡>=NACB=90°

:.△CHDsMCB

.CD_CH_1

,,AB=BCW?

：.AB=-J5CD

\'AB+CD=2（V5+1）

:奉CD+CD=2（V5+1）

：.CD=2,且△O〃C為等腰直角三角形

：.CH=yf2

16.如圖，已知RtZXABC中，NACB=90°,AC=472-8c=16.點(diǎn)。在邊BC上，以。為圓心，0B為

半徑的弧經(jīng)過點(diǎn)A.尸是弧A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求半徑。8的長(zhǎng)：

(2)如果點(diǎn)P是弧48的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PC,求/PCB的正切值；

(3)如果區(qū)4平分NP2C,延長(zhǎng)BP、CA交于點(diǎn)。，求線段。尸的長(zhǎng).

(備用圖)

【解答】解：(1):RtzMBC中，NACB=90°,AC=班，BC=16,

,,,AB={hc2+BC2=12五,

如圖1,過。作OHJ_AB于”，

貝ijBH=LAB=6五,

2

"：ZBHO=ZACB=90Q,NB=NB,

:.△BHO—XBCA,

???BH-----O-,B

BCAB

?672_OB

?F-WT

OS=9；

(2)如圖2,連接OP交48于H,過P作PE_LBC于E,

???點(diǎn)P是弧A8的中點(diǎn)，

J.OPLAB,AH=BH=LAB=6?

2

在中，°"=麻宏=廬百/=3,

rZPE0=ZBH0=90o

在△POE與△BOH中，，ZP0E=ZB0H，

OP=OB

：./\POE^/\BOH(AAS),

:.PE=HB=6?,OE=OH=3,

：.CE=BC-OB+OE=10,

；.NPCB的正切值=患=巨返；

CE5

(3)如圖3,過4作于E,連接CP,

平分NPBC,ACLBC,

"E=AC=4&,

：NAE￡>=/4CB=90°,ZD=ZD,

:.AADEsABDC,

?些=嶇

*"CDBC"

設(shè)DE=x,

.x_W2

,*4>/2+AD-"IT'

V2

在Rt/XACB與RtAAEB中，jAC=AE,

lAB=AB

：.Rt/\ACB^Rt/\AEB(HL),

:.BE=BC=16,

'.'CD^+B^^BD2,

：.(4&+^^)2+162=(16+X)2,

V2

解得：x=絲，

7

，">=理返，8。=16+絲=-^,

777

：.CD=塢

7

：.0B=9,過。作OFLPB交PB于F,

則△OBFS/^OBC,

.OBBF

"BD"BC'

,144正，

7

：.BF=1,

：.PB=2BF^\4,

:.PD=BD-BP=%.

7

17.如圖，A8是。。的直徑，弦C￡)J_AB于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接PC交OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

F,且NPFB=3NCAB.

(1)求證：PC是的切線；

(2)延長(zhǎng)AC,OF相交于點(diǎn)G,