三十講雙曲線

第三十講雙曲線一、引言：（一）本節(jié)的地位：圓錐曲線是中學教學的核心內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的基礎知識，所以它是高考的重點內(nèi)容，在高考試卷中一般會有一道有關圓錐曲線的解答題，并且橢圓、雙曲線、拋物線出現(xiàn)的幾率大體相當.1（二）考試大綱要求：通過本節(jié)的學習理解雙曲線的定義、掌握雙曲線的標準方程，知道雙曲線的有關幾何性質(zhì)，能利用雙曲線的概念、標準方程和幾何性質(zhì)解決相關問題并進一步理解坐標思想.本節(jié)重點：了解雙曲線的標準方程及其幾何性質(zhì)、進一步理解坐標法；難點是綜合應用概念性質(zhì)解決問題．2（三）考情分析：與橢圓一樣，有關雙曲線的題目一般會出一道大題或小題.在選擇題或填空題中主要考查對概念的理解和靈活運用、基本量的求解以及幾何性質(zhì)的應用，解答題一般為中檔題或難題，往往與函數(shù)、導數(shù)、不等式、數(shù)列等知識綜合考查，主要考查推理能力及數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化與化歸等重要思想.高考考查的題目的類型：對概念的考查、基本量及幾何性質(zhì)的考查、求曲線方程、突出幾何特征的考查、參數(shù)范圍問題等.3二、考點梳理1．雙曲線第一定義：平面內(nèi)與兩個定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫雙曲線的焦距．2．雙曲線第二定義：平面內(nèi)到一個定點的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)的點的軌跡叫做雙曲線．定點叫雙曲線焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)叫雙曲線離心率．43．雙曲線的標準方程與幾何性質(zhì)：5,,,67

例1

設P是雙曲線上一點，雙曲線的一條漸近線方程為，、分別是雙曲線的左、右焦點.若，則 （）三、典型例題選講

（一）考查雙曲線的概念A．1或5B．6C．7D．9分析：根據(jù)標準方程寫出漸近線方程，兩個方程對比求出a的值，利用雙曲線的定義求出的值.8解：雙曲線漸近線方程是y=由已知漸近線為，歸納小結(jié)：本題考查雙曲線的定義及雙曲線的漸近線方程的表示法.，，，

故選C..9（二）基本量求解例2(2009山東卷理)設雙曲線的一條漸近線與拋物線只有一個公共點，則雙曲線的離心率為().A.B.5C.D.解析：雙曲線的一條漸近線為,由方程組10消去y,得有唯一解,所以△=,所以歸納小結(jié)：本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關系,只有一個公共點,則解方程組有惟一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.，，故選D11例3（2009全國Ⅰ理）設雙曲線（a＞0,b＞0）的漸近線與拋物線y=x2+1相切，則該雙曲線的離心率等于()A.B.2C.D.解析：設切點，則切線的斜率為.由題意有,

又，12解得:.

因此選C.

13例4（2009江西）設和為雙曲線（）的兩個焦點,若，是正三角形的三個頂點,則雙曲線的離心率為A．B．C．D．2解析：由有則,故選B.歸納小結(jié)：注意等邊三角形及雙曲線的幾何特征，從而得出,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.314（三）求曲線的方程例5（2009北京）已知雙曲線的離心率為，右準線方程為.（1）求雙曲線C的方程；（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且線段AB的中點在圓上，求m的值.分析：（1）由已知條件列出的關系，求出雙曲線C的方程；（2）將直線與雙曲線方程聯(lián)立，再由中點坐標公式及點在圓上求出m的值.15解（1）由題意，得，解得，∴，∴所求雙曲線C的方程為.（2）設A、B兩點的坐標分別為，線段AB的中點為.16

由得.（判別式）,∴∵點在圓上∴∴，，..1718

歸納小結(jié)：本題主要考查雙曲線的標準方程、中點弦等知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力．19例6

過的直線交雙曲線于兩點，若為弦的中點，求直線的方程．分析：求過定點的直線方程，只需要求出它的斜率．為此可設其斜率是,利用M為弦的中點，即可求得的值，由此寫出直線的方程．也可設出弦的兩端點坐標用“點差法”求解．20解法一：顯然直線不垂直于軸，設其斜率是，則方程為．由消去得21設，由于M為弦的中點，所以，所以．顯然，當時方程①的判別式大于零，所以直線的方程為，即．22又因為，所以．解法二：設，則②－③得23若則，由得，．則點都不在雙曲線上，與題設矛盾，所以．所以．所以直線的方程為，即．經(jīng)檢驗直線符合題意，故所求直線為．24解法三：設，由于關于點M（1，1）對稱，所以的坐標為，則消去平方項，得．④即點的坐標滿足方程④，同理點的坐標也滿足方程④．故直線的方程為．歸納總結(jié)：由于雙曲線（拋物線）不是“封閉”的曲線，以定點為中點的弦不一定存在，所以在求雙曲線（拋物線）中點弦方程時，必須判斷滿足條件的直線是否存在．25（四）軌跡問題例7

已知點為雙曲線（b為正常數(shù)）上任一點,為雙曲線的右焦點,過作右準線的垂線,垂足為,連接并延長交軸于.求線段的中點P的軌跡的方程.分析：求軌跡問題有多種方法，如相關點法等,本題注意到點是線段的中點，可利用相關點法.26解：由已知得,則直線的方程為:,令得,即,設,則,即代入得.27即點P的軌跡的方程為.歸納小結(jié)：將幾何特征轉(zhuǎn)化為代數(shù)關系是解析幾何常用方法.28例8（2006江西卷）是雙曲線的右支上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為（）6B.7C.8D.9（五）突出幾何性質(zhì)的考查29分析：雙曲線的兩個焦點與恰好是兩圓的圓心，欲使的值最大，當且僅當最大且最小，由平面幾何性質(zhì)知，點在線段的延長線上，點是線段與圓的交點時所求的值最大，此時所以選D.30例9（2009重慶）已知以原點為中心的雙曲線的一條準線方程為，離心率．（1）求該雙曲線的方程；（2）如圖，點的坐標為，是圓上的點，點在雙曲線右支上，求的最小值，并求此時點的坐標.31分析：（1）比較基礎，利用條件可求得雙曲線的方程；（2）利用雙曲線的定義將轉(zhuǎn)化為其它線段，再利用不等式的性質(zhì)求解.解：（1）由題意可知，雙曲線的焦點在x軸上，故可設雙曲線的方程為.設，由準線方程為32

得，由得.解得從而，該雙曲線的方程為.33（2）設點D的坐標為，則點A、D為雙曲線的焦點，，所以.因為B是圓上的點，其圓心為，半徑為1，故，從而.34當在線段CD上時取等號，此時的最小值為.

直線CD的方程為，因點M在雙曲線右支上，故.由方程組解得.所以M點的坐為.歸納小結(jié)：本題綜合考查雙曲線的知識及不等式性質(zhì)，考查推理能力及數(shù)形結(jié)合思想.35（六）開放性問題例10

已知雙曲線C的中心是原點，右焦點為Ｆ，一條漸近線m:,設過點A

的直線的方向量．(1)求雙曲線C的方程；(2)若過原點的直線，且a與l的距離為，求K的值；(3)證明：當時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線的距離為.36分析：前兩問是基本問題，比較簡單，第三問開放性問題，可根據(jù)圖形的幾何特征求解．解:（1）設雙曲線C的方程為

,解得，雙曲線C的方程為．（2）直線，直線．由題意，得，解得．37（3）證：設過原點且平行于l的直線．則直線l與b的距離當時，，