小學(xué)奧數(shù)題庫《幾何》幾何圖形正多邊形2星題（含詳解）全國通用版

幾何-幾何圖形-正多邊形-2星題

課程目標(biāo)

知識點考試要求具體要求考察頻率

正多邊形A1.了解正多邊形的概念，認(rèn)識幾種少考

常見的正多邊形

2.掌握正多邊形的內(nèi)角和的計算方

法

知識提要

正多邊形

?概念

各邊相等、各角相等的多邊形叫做正多邊形(邊數(shù)大于或等于3).

?內(nèi)角和計算公式

正"邊形的內(nèi)角和度數(shù)為：5-2)x180°.

?外角和

正n邊形的外角和度數(shù)為360°.

精選例題

正多邊形

1.畫一條直線，將六邊形分成大小相等、形狀相同的兩局部，這樣的直線有條.

【答案】無數(shù).

【分析】無數(shù)條.任何過六邊形中心的直線均符合要求.

2.“足球”可以近似地看成是由一些正五邊形與正六邊形組成的幾何體，每一個頂點處有3條

棱，這個幾何體是阿基米德立體(ArchimedeanSolids)中的一個，通常，可以通過如下列圖

所示的方法，截正二十面體得到“足球"，那么，一個“足球”的棱數(shù)為

【答案】90

【分析】這個多面體由2。個面圍成，有12個頂點，30條棱，所以個頂點都截出一個正五

邊形，所以棱有

12X5+30=90（條）.

3.下列圖六角星的6個頂點恰好是一個正六邊形的6個頂點.那么陰影局部面積是空白局部

面積的倍

【答案】3

【分析】如下列圖將原圖形分割為完全相同的24個小三角形，其中空白局部6塊，陰影局

部18塊，顯然陰影局部面積是空白局部的3倍.

4.如果一個邊長為8的正三角形的面積是28,那么一個邊長為8的正十二邊形面積

是.

【答案】720

【分析】將正十二邊形做如下列圖所示的劃分，可以看出一個正十二邊形由6個邊長8的正

方形和12個邊長為8的正三角形組成，面積為6X82+12X28=720.

5.如下列圖所示，它們是大小相同的五個正六邊形，假設(shè)其陰影局部的面積依次記為

a,b,c,d,e,那么a,b,c,d,e的大小關(guān)系是.

【答案】c—e>a=b=d

【分析】正六邊形的面積是a的2倍；正六邊形的面積是b的2倍；正六邊形的面積是c

的1.5倍；正六邊形的面積是d的2倍；正六邊形的面積是e的1.5倍.所以由大到小為

c=e>a=b=d.

6.如下列圖，小正六邊形沿著大正六邊形的邊，按順時針方向滾動.小正六邊形的邊長是大

正六邊形邊長的一半.如果小正六邊形沿著大正方形的邊滾動了一周后返回出發(fā)時的位置，那

么，在這個過程中線段。4圍繞著。點旋轉(zhuǎn)了圈.（。點是小正六邊形的中心）

【答案】3圈

【分析】觀察小正六邊形沿著大正六邊的邊滾動情況.

從左圖到中圖的滾動過程中，。4繞。點旋轉(zhuǎn)了60°；從中圖到右圖的滾動過程中，。4繞。

點旋轉(zhuǎn)了120°.即小正六邊形從點4位置滾動到點B位置，。4繞。點共旋轉(zhuǎn)了

600+120°=180°.

類似地，從B點滾動到C點，從。點滾動到。點，……最后從尸點又滾動回到4點，。4繞

。點都要旋轉(zhuǎn)180°.因此，當(dāng)小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動一周后返回出發(fā)時的位

置，在這個過程中，線段?！袄@D點旋轉(zhuǎn)了180°X6=1080。，即旋轉(zhuǎn)了三圈.

7.如下列圖所示，一個正八邊形中最長的對角線等于見最短的對角線等于b,那么這個正八

邊形的面積等于（用含字母a、b的式子表示）

【答案】ab

【分析】如下列圖所示，AC=AD=AB=lBC=b,因為是正八邊形，所以BC與4。是

垂直的，因此四邊形4B0C的面積為:x6x^=1,正八邊形的面積為四邊形4引兀面積的4

倍，所以正八邊形的面積等于4=ab.

8.假設(shè)一正n邊形，其內(nèi)角度數(shù)是其外角度數(shù)的4倍，那么n=.

【答案】1。

【分析】多邊形外角和是360度，所以這個正多邊形的內(nèi)角和是360X4=1440度，根據(jù)

正多邊形的內(nèi)角和公式5-2)x180=1440,n=10.

9.如下列圖所示，大正六邊形的面積是24平方厘米，其中放了三個一樣的小正六邊形.陰影

面積是平方厘米.

【答案】18

【分析】

如上圖所示，將六邊形分割為三角形格點，正六邊形被分成24個面積為1平方厘米的正三角

形，陰影的面積為：1X18=18（平方厘米）.

10.如圖，4BCDEF為正六邊形，ZG=100°,那么ZNBC=

CD

【答案】40

【分析】正六邊形內(nèi)角和為720度，每個內(nèi)角和為120度，Z凡48=N4BC=120。,

/.BAG=60°,Z.ABG=W0°-100°-60°=20°,所以，

乙NBC=180°-/.ABG-/.ABC=180°-120°-20°=40°

11.如下列圖所示，正十二邊形的面積是60平方米，點。是正十二邊形的中心，那么陰影三

【答案】5

【分析】如下列圖所示，陰影局部面積等于三角形。48的面積，正十二邊形可被分成12個

形如三角形。48的局部，所以三角形。ZB的面積=60+12=5（平方米），即陰影局部面

積為51平方米）.

12.如下列圖所示，正十二邊形和中心白色的正六邊形的邊長均為12.圖中陰影部的面積

【答案】324

【分析】如下列圖所示，陰影局部被分為3個相同的局部，每一個局部由兩個三角形構(gòu)成;

其中一個三角形是腰為12的等腰直角三角形，面積為12X12+2=72,另一個三角形底為

12,高為12x；=6,面積為12x6+2=36.每一個局部面積為72+36=108.陰影局部

面積為108X3=324.

13.給定一個正六邊形，用不相鄰的頂點所連的線段可以將這個正六邊形分割為4個三角形,

例如，下列圖所示的是兩種不同的分割方法，那么，不同的分割方法一共有種.

【答案】14

每次繞中心旋轉(zhuǎn)60°,一共可以得到6種不同的分割方法;

每次繞中心旋轉(zhuǎn)60°,一共可以得到2種不同的分割方法:

綜上所述，一共有6+6+2=14（種）不同的分割方法.

14.（1）一個正方形的對角線的長度為見那么這個正方形的面積等于.（用含字母

a的式子表示）

（2）一個正六邊形中最長的對角線等于a,最短的對角線等于b,那么這個正六邊形的面積等

于.（用含字母a、b的式子表示）

（3）一個正八邊形中最長的對角線等于見最短的對角線等于b,那么這個正八邊形的面積等

于.（用含字母a、b的式子表示）

（4）一個正十邊形中最長的對角線等于a,最短的對角線等于b,那么這個正十邊形的面積等

于.（用含字母a、b的式子表示）

（5）一個正十二邊形中最長的對角線等于a,最短的對角線等于A那么這個正十二邊形的面

積等于.（用含字母a、b的式子表示）

（6）一個正2n邊形中最長的對角線等于a,最短的對角線等于瓦那么這個正2n邊形的面

積等于.（用含字母a、b的式子表示）

【答案】（1）y：

3ab

⑵??；

⑶ab；

對角緯X對角緯

【分析】（1）對角線相互垂直的圖形，面積可以用2來計算?因此正方形的面積

為爭

(2)如下列圖所示的正六邊形，可看出兩條對角線相互垂直，因此陰影局部的面積為

竺，所以正六邊形的面積為yX3=號；

(3)如下列圖所示的正八邊形，陰影局部的面積為兇_他，原正八邊形可以分成4個陰影

2~4

局部，因此正八邊形的面積為胃x4=ab；

(4)可以想象，正十邊形可以分成5個陰影局部，因此正十邊形的面積為十x5=??；

(5)正十二邊形的面積為gx6=辭；

(6)正2n邊形的面積為孚xn=?.

15.如下列圖所示，三個正六邊形的面積均為6平方厘米，那么，陰影局部的面積

是平方厘米.

【答案】12

【分析】如下列圖所示，一個正六邊形可以分成面積相等的六個三角形，所以每個三角形面

積為6+6=1（平方厘米），空白局部包括6個這樣的三角形，所以陰影局部面積為

18-6=12（平方厘米）.

16.如下列圖所示，△ABC的面積是12平方厘米，以正六邊形的邊長為正方形的邊長，向外

做了6個正方形，最后以正方形的邊長為等邊三角形的邊長，做了6個小等邊三角形，這六個

小三角形的面積之和是平方厘米.

【答案】24

【分析】A4BC可以分成三個等腰三角形，那么這個正六邊形的面積為△/!/?(?的兩倍，即

24平方厘米.

正六邊形又可以分割成6個和陰影一樣的等邊三角形，那么這六個小三角形的面積之和也為

24平方厘米.

17.下列圖中正六邊形的面積為24平方米，其中4B、C都是所在邊的中點，。是BC的三

等分點，陰影局部的面積是平方米.

B

【答案】5

【分析】

A

B

將六邊形分割為三角形格點，如上圖所示，正六邊形被分成24個面積為1平方米的正三角

形，根據(jù)畢克公式，內(nèi)部點幾=2,邊上點b=3,那么陰影的面積為：(2+3+2-1)X2=5

(平方米).

18.正六邊形4BCDEF的面積是1平方米，將六條邊分別向兩端各延長一倍，交于六個點，組

成如下列圖的圖形，那么整個圖形的面積是平方米.

【答案】2

【分析】

采用分割法，連接正六邊形的對角線，會發(fā)現(xiàn)，所有的三角形面積都相同，一共有12個小三

角形，原來正六邊形的面積是1平方米，由6個小三角形組成，所以現(xiàn)在的大圖形的面積是：

IX2=2（平方米）.

19.某人從某點向前走16米，原地向右轉(zhuǎn)18。，再向前走16米，再向右轉(zhuǎn)18?！@樣走下

去，他第一次回到出發(fā)點時，一共走了米.

【答案】320

【分析】這個人每次走相同的長度之后右轉(zhuǎn)18。，那么如果他要回到出發(fā)點，至少需要轉(zhuǎn)

360°,也就是轉(zhuǎn)360°+18°=20（次），期間一共走了20X16=320（米）.實際上，由于多

邊形外角和是360°,這個人走的軌跡構(gòu)成一個正二十邊形.

20.圖中每個正六邊形的面積都是1,那么圖中虛線圍成的五邊形ABCDE的面積是

【答案】6：

【分析】從圖中可以看出，虛線4B和虛線C。外的圖形都等于兩個正六邊形的一半，也就

是都等于一個正六邊形的面積：虛線BC和虛線CE外的圖形都等于一個正六邊形的一半，那

么它們合起來等于一個正六邊形的面積；虛線4E外的圖形是兩個三角形，從下列圖中可以看

出，每個三角形都是一個正六邊形面積的1,所以虛線外圖形的面積等于

11

1x3+—x2=3—,

63

所以五邊形的面積是

12

10-3-=6-.

21.古希臘的數(shù)學(xué)家們將自然數(shù)按照以下方式與多邊形聯(lián)系起來,

三邊形數(shù):1,3,6,10,15,

四邊形數(shù):1,4,9,16,25,

五邊形數(shù):1,5,12,22,35,

六邊形數(shù):1,6,15,28,45,

按照上面的順序,第8個三邊形數(shù)為.

【答案】36

【分析】三邊形：1、1+2、1+2+3、1+2+3+4、1+2+3+4+5、

1+2+3+4+5+6、...、1+2+3+…+8=36.

22.假設(shè)干個大小相同的正五邊形如圖排成環(huán)狀，圖中所示的只是3個五邊形，那么要完成這

一圈共需個正五邊形.

【答案】1。個

【分析】如圖，設(shè)。，4B、C、。形的頂點，連結(jié)。4,OB,OC.

從圖中可以看出，△。/和AOBC是完全相同的，所以

Z.OBA=ZOBC,

是正五邊形的一個外角，所以

ZOB/1=360°+5=72",

又=所以

N40B=180°-72°X2=36",

所以要用360°+36°=10個正五邊形才能圍成一圈.

23.如下列圖所示，六邊形48CDE尸為正六邊形，P為對角線CF上一點，假設(shè)三角形P8C、

三角形PEF的面積分別為3平方米與4平方米，那么正六邊形ABCDEF的面積是平

方米.

BE

【答案】21

【分析】如下列圖所示，連接8尸、CF,三角形4BF的面積是平行四邊形4/3OF面積的一

半.六邊形ABCDEF的面積是平行四邊形ABOF的3倍，故六邊形ABCDEF的面積是三角形

ABF的面積的6倍.三角形BCP的面積與三角形EFP的面積和是平行四邊形BFEC面積的一

半.而六邊形ABCDEF的面積是平行四邊形BFEC的1.5倍，故六邊形ABCDEF的面積是三

角形BCP的面積與三角形EFP的面積和的3倍.所以，由XPBC、APEF的面積分別為3

與4,可知正六邊形48CDEF的面積是（3+4）X3=21（平方米）.

24.如下圖，是正方形內(nèi)部最大的正十二邊形，正方形與正十二邊形的邊長差為，那么正十二

邊形的面積是.

EQ

D

【答案】54

連接OQ,ON,QN.

QON=60°,OQ=QN,所以QON為正三角形.

由勾股定理得

OQ=ON2=QN2=DQ2+DN2=2X(|)2=18

另一方面，正十二邊形面積為

1r

-x12xrx-=3r2

所以陰影局部面積為

3XON2=3X18=54

25.有一個正多邊形，它的內(nèi)角的度數(shù)是它外角度數(shù)的8倍，這個正多邊形共有多少條邊?

【答案】18條

【分析】正71邊形外角和360°,內(nèi)角和是180°X5-2),根據(jù)題意

180°X(n-2)=360X8,

解得

n—18.

26.如圖，連接正六邊形4BCDEF(即ZB=BC=CD=DE=EF=尸4)的各邊中點，得到一

個較小的正六邊形，它的面積是正六邊形ABCDEF面積的幾分之幾?

【答案】四分之三

【分析】因為正六邊形的一個內(nèi)角：(6-2)x180°+6=120°,4GBH=LGIH=120°,

乙IGH=ZBGH=3?！?GH=GH,所以4GBH與△G/”面積相等且完全一樣，即3△BGH

的面積是一個AG。”的面積，所以大正六邊形有8個AGOH,小的正六邊形有6個

△GOH,所以它的面積是正六邊形ABCDEF面積的四分之三.

27.如圖，在一個面積為60的正十二邊形內(nèi)，有一個小正方形，求陰影局部面積.

【答案】10

【分析】根據(jù)正十二邊形的畫法，正十二邊形可以分為六個正方形和十二個正三角形（均以

正十二邊形的邊長為邊長），而陰影局部為1個正方形和2個正三角形，為整個正十二邊形的

陰影局部的面積是10.

28.下列圖中的正三角形與正六邊形的周長相等，正三角形的面積是10。巾2,求正六邊形的面

積.

【答案】15cm2

【分析】如下列圖所示，三角形分割成4個小等邊三角形，六邊形分割成6個小等邊三角

形.

因為三角形與六邊形的周長相等，所以每個小等邊三角形的邊長相等，從而面積相等.六邊形

的面積是三角形的1.5倍，所以面積為10X1.5=15cm2.

29.如圖，正六邊形的面積為6平方厘米，那么陰影局部的面積是多少.

【答案】2平方厘米

【分析】經(jīng)過割補，陰影局部面積等于兩個三角形面積.6+6X2=2（平方厘米）.

30.如圖，4BCCE是正五邊形，CDF是正三角形，ZBFE等于多少度（小于180°的）？

【答案】168°

【分析】ZBCF=108°-60°=48°=ZEDF,因為BC=CF,DF=DE,所以

ZBFC=ZEFD=(180°-48°)+2=66°,

因此

ZBFJ?=360°-66°X2-60°=168°.

31.比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的，其中黑色皮子為正五邊形，白色皮子為正六邊

形，并且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長相等.縫制的方法是：每塊黑色皮子的5邊分別

與5塊白色皮子的邊縫在一起；每塊白色皮子的6邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一

起，另3條邊那么與其他白色皮子的邊縫在一起.如果一個足球外表上共有12塊黑色正五邊

形皮子，那么，這個足球應(yīng)有白色正六邊形皮子多少塊？

【答案】20塊.

【分析】對于每一條邊，以它為一條邊的皮子只有兩塊，我們考慮兩側(cè)皮子是一黑一白的

邊，不妨稱之為混色邊.每條混色邊都要與一塊黑皮子相鄰，一共有12塊黑皮子，每塊黑皮

子的5條邊都是混色邊，故混色邊共有12X5=60條.每條混色邊都要與一條白皮子相鄰，

每塊白皮子恰有3條混色邊，所以這個足球有白色正六邊形皮子60+3=20塊.

32.如下圖，4BCDE是正五邊形，CDF是正三角形，那么/BFE等于多少度？

【答案】168°

【分析】正五邊形的內(nèi)角和是

(5-2)X180°=3X180°=540°,

薄個內(nèi)角是

540°+5=108".

而△CDF是正三角形，每個內(nèi)角是60°,因此

乙CFD=^FCD=6Q°.

而

ZBCF=108°-60°=48°,

是等腰ABC尸的頂角，因此

ZBFC=(180°-48°)+2=66",

同理ZCFE也等于66°.于是

Z.BFE=360°-/.BFC-乙CFD-/.DFE

=360°-66°-60°-66°

=168°.

33.正12邊形的內(nèi)角和是多少度？

【答案】1800度.

【分析】由多邊形內(nèi)角和公式可得：

(12-2)X180=1800度.

34.如圖，ABCDJ為正五邊形,DEPGH/為正六邊形，試求N/1/H的度數(shù).

【答案】132

【分析】正六邊形的每個內(nèi)角是120度，正五邊形的每個內(nèi)角是108度,

/.AJH=360-120-108=132度.

35.某正多邊形的一個外角為36度，那么這個正多邊形共有多少條邊？

【答案】10

【分析】玄=1。（條）.

36.如果一個邊長為a的正三角形的面積是b,那么一個邊長為a的正十二邊形面積是多少？

【答案】6a2+126

【分析】將正十二邊形做如下列圖所示的劃分，可以看出一個正十二邊形由6個邊長為a的

正方形和12個邊長為a的正三角形組成，面積為6a2+12b.

37.如圖，正八邊形中的陰影局部的面積是125平方厘米，問：正八邊形的面積是多少平方厘

米？

【答案】

【分析】該等腰梯形占正八邊形面積的布所以正八邊形的面積是

125X4=500（平方厘米）.

38.如圖，正六邊形4BCDEF的面積是6平方厘米，M是AB中點，N是CD中點,P是EF中

點.請問：三角形MNP的面積是多少平方厘米？

【答案】2.25平方厘米

【分析】

將正六邊形分成六個面積為1平方厘米的正三角形，再取它們各邊的中點將每個正三角形分為

4個小正三角形.于是正六邊形4BCDEF被分成了24個小正三角形，每一個小正三角形的面

積是

6+24=0.25（平方厘米），

三角形MNP由9個小正三角形所組成，所以

三角形MNP的面積=0.25X9=2.25（平方厘米）.

39.如圖，正六邊形4BCDEF的面積是24平方厘米，M是48中點，N是CD中點，P是EF

中點.求三角形MNP的面積.

【答案】9

【分析】

觀察陰影所占的份數(shù)即可.

4().如圖，一個正十二邊形的中心到各個頂點的距離為1厘米，那么這個正十二邊形的面積為

多少平方厘米.

【答案】3

【分析】正十二邊形可以分割成6個如下的圖形ABCD,

此圖形的面積為

11

-x1x1=-

所以正十二邊形的面積為

1

6X^=3（平方厘米）.

41.如圖，假設(shè)多邊形4BCCE為正五邊形，試求角B4C和角4CD的度數(shù).

A

【答案】36度、72度.

【分析】正五邊形的內(nèi)角和是540度，那么角B=540度+5=108度，角

B4C=(180度-108度)+2=36度、角=108度-36度=72度.

42.下列圖是個正五角星，那么等于多少度？

【答案】36°

【分析】180°-(180°-108°)X2=36".

43.如下列圖，4BCDEF是正六邊形，。是它的中心.畫出線段PQ后，就把正六邊形

4BCDEF分成了兩個形狀、大小都相同的五邊形.能否畫出3條線段，把正六邊形分成6個

形狀、大小都相同的圖形？能否畫出幾條線段，把正六邊形分成3個形狀、大小都相同的四邊

形？能否畫出幾條線段，把正六邊形分成3個形狀、大小都相同的五邊形？

【分析】(1)畫3條線段，把正六邊形分成6個形狀、大小都相同的圖形，答案如下:

(2)把正六邊形分成3個形狀、大小都相同的四邊形，答案如下:

(3)把正六邊形分成3個形狀、大小都相同的五邊形，答案如下:

44.如圖，正六邊形的面積為24平方厘米，那么陰影局部的面積是多少平方厘米？

【答案】6

【分析】將正六邊形等分成24個形狀、大小都相等的正三角形，那么陰影的面積是

24+24X6=6（平方厘米）.

D

45.早在公元前300多年前，古希臘著名科學(xué)家歐幾里德就在他的曠世名著?幾何原本?一書中

記載了幾何學(xué)中最根本、最引人入勝的一條著名定理：“三角形的內(nèi)角和等于18。度”.我們

的問題是：

①四邊形的內(nèi)角和等于多少度（見下列圖）？答：.

五邊形的內(nèi)角和等于多少度（見下列圖）？答：.

②進(jìn)一步，如果把多邊形的邊數(shù)記住小你能夠歸納出兀邊形的內(nèi)角和的計算公式嗎？

答：公式為.

③在家庭裝修中，經(jīng)常采用各種正多邊形（注：正多邊形就是各條邊均相等且各內(nèi)角也相等

的多邊形）的瓷磚搭配出各式各樣的地面圖案.

小明家裝修時采用了三種正多邊形瓷磚鋪地面，這三種型號的瓷磚可以圍繞著地面上的一點既

不重疊又不產(chǎn)生漏洞的拼接起來.其中一種型號是正方形，另一種型號是正六邊形，你知道第

三種型號的多邊形瓷磚的邊數(shù)是多少嗎？請寫出你的計算過程.

【答案】①360°,540°

②（n-2）X180°

③第三種型號的多邊形瓷磚邊數(shù)是3或12.

【分析】③正方形每個內(nèi)角為90°,正六邊形每個內(nèi)角為120°,要拼接起來需要拼接

360°.

當(dāng)一個正多邊形內(nèi)角360°-90--120°=150°時，由180（n-2）=150%得n=12,當(dāng)一

個正多邊形內(nèi)角360°-90°-90°-120°=60°時，由180（n-2）=60n,得n=3,當(dāng)一個

正多邊形內(nèi)角360。-90。-120--120°=30°時，這樣的多邊形不存在，因此第三種型號的

多邊形瓷磚邊數(shù)是3或12.

46.一正多邊形，其每個內(nèi)角小于150°,且大于120。，試求出此多邊形可能是哪幾種正多邊

形？

【答案】可能是正六、七、八、九、十、十一邊形.

【分析】正五邊形的每個內(nèi)角是120度，正十一邊形的每個內(nèi)角約是147度，所以這個正

多邊形可能是正六、七、八、九、十、十一邊形.

47.連結(jié)正六邊形一局部邊的中點，可以得到如下列圖形，如果這個圖形的面積是20,那么正

六邊形的面積是多少？

【答案】40

【分析】將原圖進(jìn)行格點分割，可以看出六邊形被分割成24個大小相同的小正三角形，同

時陰影三角形的大小等于12個小正三角形的面積，所以六邊形面積為

2012X24=40.

48.如下圖，正六邊形的面積是36平方厘米，那么陰影的面積是多少平方厘米？

【答案】12平方厘米

【分析】如下列圖，易得陰影的面積是36+6x2=12平方厘米.

49.在下列圖的正八邊形中，長方形的面積是正八邊形面積的幾分之幾？

【答案】I

【分析】如下列圖，正八邊形可以分成四個全等的長方形和八個全等的等腰直角三角形，而

長方形局部是兩個全等的長方形和四個全等的等腰直角三角形，正好是八邊形面積的

50.如圖，正六邊形面積為6,那么陰影局部面積為多少？

【答案】I

【分析】連接陰影圖形的長對角線，此時六邊形被平分為兩半，根據(jù)六邊形的特殊性質(zhì)，和

梯形蝴蝶模型把六邊形分為十八份，陰影局部占了其中八份，所以陰影局部的面積

88

51.如下列圖，正十二邊形和中心白色的正六邊形的邊長均為12,圖中陰影局部的面積是多

少？

【答案】324

【分析】將正十二邊形做如下列圖的劃分，下列圖中的陰影是所求面積的三分之一.

下列圖陰影劃分成一個等腰直角三角形和一個頂角為150度的等腰三角形.

等腰直角三角形的面積為

12X12+2=72.

頂角為150度的三角形面積為

12X62=36.

所求面積為

(72+36)X3=324.

52.如下圖，一個正六邊形的面積為36平方厘米，那么陰影局部的面積為多少平方厘米？

【答案】12

【分析】把圖形進(jìn)行如下列圖的分割，我們發(fā)現(xiàn)，陰影局部面積實際上是三角形。4B面積

的二倍，而三角形。4B面積又是六邊形面積的：

因此陰影局部面積為

364-6x2=12.

53.假設(shè)一多邊形的內(nèi)角分別為2x度、3x度、5x度、6x度、7x度、7x度，試求x的值.

【答案】》=24度

【分析】這個多邊形的內(nèi)角和是(6-2)X180度=720度，所以x=24度.

54.如圖，CDGH1為正五邊形,/WCDEF為正六邊形，試求48前的度數(shù).

【答案】12°

【分析】正五邊形的內(nèi)角和為

(5-2)X180°=540°,

所以正五邊形的內(nèi)角是

540°+5=108",

即

Z/)C/=108°.

正六邊形的內(nèi)角和為

(6-2)X180°=720°,

所以正六邊形的內(nèi)角是

7200+6=120",

即

乙DCB=120°.

于是

/.BC1=/.DCB-乙DCI=120°-108°=12°.

55.如下圖，一個正十二邊形的邊長是1厘米，空白局部是等邊三角形，一共有12個.請算

出陰影局部的面積.

【答案】6平方厘米

【分析】如圖，將陰影局部分割成一個正六邊形和12個小三角形，再把正六邊形分割成6

個正三角形，由于正十二邊形的每個內(nèi)角為180°X（12-2）+12=150。，所以陰影小三角形

的頂角等于150。-60°X2=30。，每個頂角的兩邊和與其相鄰的正三角形的底邊所成的角都

是30。+60。=90。，所以通過如右上圖所示的平移可以組成6個邊長為1厘米的正方形，所

以所求陰影局部面積為/X6=6（平方厘米）.

56.假設(shè)一多邊形，其內(nèi)角分別為x度、2x度、3x度、4x度、5x度,試求x的值.

【答案】x=36度

【分析】這個多邊形的內(nèi)角和是（5-2）X180度=540度，所以x=36度.

57.如圖：將一個正五邊形和一個正六邊形放置在同一條直線上，請問角4B”為多少度？

D

【答案】48

【分析】角B4F=120度，角BHK=108度，所以角B4"=60度，角BHA=72度，因

為三角形內(nèi)角和為180度，所以角ABH=180度-角B4"-角BHA=48度.

58.如圖，48CD/為正五邊形，DEFGHJ為正六邊形,求角4/H的度數(shù).

【答案】132度

【分析】正五邊形的內(nèi)角和為（5-2）X180度=540度，所以正五邊形的內(nèi)角和是540度

+5=108度，即角4/0=108度，正六邊形的內(nèi)角和為（6-2）X180度=720度，所以正

六邊形的內(nèi)角是720度+6=12。度，即角H/O=120度，于是角4〃/=360度-角4/D-

角HJD=360度-108度-120度=132度.

59.如圖，將一個正五邊形和一個正六邊形放置在同一條直線上，請問角CBG為多少度？

【答案】角CBG=84

【分析】六邊形每個內(nèi)角（6-2）X180度+6=120度，正五邊形每個內(nèi)角（5-2）x180

度+5=108度，角180度-120度=60度，角4H8=180度-108度=72度，

角ABH=180度-60度-72度=48度，角CBG=360度-120度-108度-48度=84

度.

60.如圖，一個正十二邊形的邊長是1厘米，陰影局部是正三角形，那么空白局部的面積為多

少平方厘米.

【答案】6

【分析】根據(jù)正十二邊形的畫法，補原圖成為下列圖，將外圈六個三角形拼進(jìn)內(nèi)部的正六邊

形，可以看看到空白局部就是6個正方形，所以面積為6.

61.下列圖正六邊形ARCDEF的面積是54.AP=2PF,CQ=2BQ,求陰影四邊形CEPQ的面

積.

【答案】31

【分析】如下列圖，將正六邊形48CDEF等分為54個小正三角形（每個平行四邊形代表兩

個），那么每個小等邊三角形的面積為1,根據(jù)平行四邊形對角線平分平行四邊形面積，采用

數(shù)小三角形方法來計算面積.

APEF面積=3,ACOE面積=9.

四邊形ABQP面積=7+4=11.

上述三塊面積之和為3+9+11=23.

因此，陰影四邊形CEPQ面積為54-23=31.

62.如下圖，正六邊形的面積是6,那么陰影局部的面積是多少？

【答案】2：

【分析】方法一：連結(jié)陰影局部的對角線，如圖1所示.

圖1

這條輔助線平分陰影局部，也正好把正六邊形平分成兩個等腰梯形.那么每個梯形的面積為

6+2=3.

要求出陰影局部的面積，只需求出其中的一半即可.

畫出其中一個梯形，給它的各個頂點標(biāo)上字母，如圖2所示，△BCD和△ABD是一對等高三

角形，并且底邊8。是力。的2倍，所以ABC。的面積是△42。面積的2倍，于是4BCD

面積為

2

3X—=2.

圖2

在沙漏4D0BC中，黑=：,所以

21

sABOC~5s△BDC~與.

因此正六邊形中的陰影局部面積為

12

1—X2=2—.

方法二：利用正六邊形中的格點，將其分割，如圖3所示.

觀察圖形可知，這時正六邊形被分割成18個三角形，這些三角形面積全都相等.陰影局部由

8個三角形組成，所以陰影局部面積為

2

6+18X8=

W

圖3

63.如下圖，正八邊形中的陰影局部面積是125平方厘米,那么正八邊形的面積是多少？

【答案】略.

【分析】因為正八邊形的內(nèi)角是135°,所以

/.PGH=Z.PHG=45".

&GHP,AABK,4CDM,△EFN都是等腰直角三角形.

因為PK=H4=GH,那么正方形PKMN中有4個和△GHP全等的等腰直角三角形.

即上圖中有4個全等的小長方形和8個全等的等腰直角三角形.陰影局部由一個小長方形和2

等腰直角三角形構(gòu)成，面積為125平方厘米，所以正八邊形48CDEFG”相當(dāng)于4個陰影局部

的面積，為

125X4=500（平方厘米）.

BC

64.下列圖中，每個六邊形的面積是6,那么，陰影局部的面積是多少？

【答案】13

【分析】如下列圖分割，陰影局部占了13個小等邊三角形，所以陰影局部的面積是13.

65.一正多邊形，其外角大于30°,且小于60°,試求出此多邊形可能是哪幾種正多邊形？

【答案】正七邊形、正八邊形、正九邊形、正十邊形、正十一邊形.

【分析】這個正多邊形的外角大于30。，且小于60°.于是其邊數(shù)小于

360°+30°=12

且大于

360°+60°=6

從而這個正多邊形的邊數(shù)可能為7、8、9、10、11.

66.如圖，涂陰影局部的小正六角星形面積是16平方厘米.問：圖形的總面積是多少平方厘

米？

【答案】48

【分析】

從原圖中取出原圖的如上圖，其中的陰影局部占右圖的《所以原陰影局部也是總面積的

圖形的總面積為16+：=48（平方厘米）.

67.假設(shè)一正n邊形，（內(nèi)角-外角）和外角相等，那么求"的值.

【答案】門=6

【分析】（內(nèi)角-外角）和外角相等，說明內(nèi)角是外角的兩倍，那么外角的度數(shù)是180度

+3=60度，因為是正n邊形，所以外角相同，外角共有360度+60度=6（個）.即

n=6.

68.下列圖中，每一個正三角形的邊長都是中間那個