5.7三角函數的應用參考答案

§5.7三角函數的應用參考答案【類型一】三角函數在實際生活中的應用1.【解】(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的坐標系，則以Ox為始邊，OB為終邊的角為θ－eq\f(π,2).故B點坐標為(4.8cos(θ－eq\f(π,2))，4.8sin(θ－eq\f(π,2)))．∴h＝5.6＋4.8sin(θ－eq\f(π,2))．(2)點A在圓上轉動的角速度是eq\f(π,30)弧度/秒故t秒轉過的弧度數為eq\f(π,30)t，∴h＝5.6＋4.8sin(eq\f(π,30)t－eq\f(π,2))，t∈[0，＋∞)．到達最高點時，h＝10.4m.由sin(eq\f(π,30)t－eq\f(π,2))＝1得eq\f(π,30)t－eq\f(π,2)＝eq\f(π,2)，∴t＝30.∴纜車第一次到達最高點時，用的最少時間為30秒．2.【解】(1)由圖像可知A＝300，T＝2[eq\f(1,180)－(－eq\f(1,900))]＝eq\f(12,900)＝eq\f(1,75).∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,\f(1,75))＝150π.∴I＝300sin(150πt＋φ)．∵函數圖像過(－eq\f(1,900)，0)，∴0＝300sin[150π×(－eq\f(1,900))＋φ]．∴sin(－eq\f(π,6)＋φ)＝0.令－eq\f(π,6)＋φ＝0，∴φ＝eq\f(π,6)，∴I＝300sin(150πt＋eq\f(π,6))，t∈[0，＋∞)．(2)由題意得T≤eq\f(1,150)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,150).∴ω≥300π，∴ω的最小正整數值是943.3.【解】A＝10，eq\f(T,2)＝eq\f(4,300)－eq\f(1,300)＝eq\f(1,100)，T＝eq\f(2,100)＝eq\f(2π,ω)?ω＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)，當t＝eq\f(1,300)時，100π×eq\f(1,300)＋φ＝eq\f(π,2)?φ＝eq\f(π,6)，∴I＝10·sin(100πt＋eq\f(π,6))，當t＝eq\f(1,50)秒時，I＝5安．4.【解】(1)(2)如圖所示．4分(3)1月份的氣溫最低為21.4,7月份的氣溫最高為73.0，根據圖知，eq\f(T,2)＝7－1＝6，∴T＝12. 6分(4)2A＝最高氣溫－最低氣溫＝73.0－21.4＝51.6，∴A＝25.8 8分(5)∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，代入①，得eq\f(y,A)＝eq\f(26.0,25.8)>1≠coseq\f(π,6)，∴①差距明顯；代入②，得eq\f(y－46,A)＝eq\f(26.0－46,25.8)<0≠coseq\f(π,6)，∴②差距明顯；代入④，得eq\f(y－26,A)＝0≠sineq\f(π,6)；∵④差距明顯，不適合；代入③，得eq\f(y－46,－A)＝eq\f(26－46,－25.8)≈0.78，與coseq\f(π,6)較接近，擬合性更好，∴③相對最適合這些 5.【解】(1)由圖可知一天最大用電量為50萬度，最小用電量為30萬度；(2)b＝eq\f(30＋50,2)＝40，A×1＋40＝50?A＝10，由圖可知eq\f(T,2)＝14－8＝6，則T＝12，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6)，則y＝10sin(eq\f(π,6)x＋φ)＋40，代入(8,30)得φ＝eq\f(π,6)，∴解析式為y＝10sin(eq\f(π,6)x＋eq\f(π,6))＋40，x∈[8,14].6.【解】(1)BC與地面所成的角，就是直線與平面所成的角，顯然角θ的范圍為[0，eq\f(π,2)]．(2)連接BD，則∠DBC＝eq\f(π,6)，過D作地面的垂線，垂足為E，在Rt△BED中，∠DBE＝θ＋eq\f(π,6)，DB＝2，∴f(θ)＝2sin(θ＋eq\f(π,6))(0≤θ≤eq\f(π,2))．(3)f(θ)＝2sin(θ＋eq\f(π,6))(0≤θ≤eq\f(π,2))，eq\f(π,6)≤θ＋eq\f(π,6)≤eq\f(2π,3)，∴eq\f(1,2)≤sin(θ＋eq\f(π,6))≤1，即f(θ)的值域為[1,2]．7.【解】(1)如圖所示，以O為原點，過點O的圓的切線為x軸，OO1為y軸建立直角坐標系．設A(x，y)，則h＝y(tǒng)＋0.5，設∠OO1A＝θ，則cosθ＝eq\f(2－y,2)，所以y＝－2cosθ＋2.又θ＝eq\f(2π,12)t，即θ＝eq\f(π,6)t，所以y＝－2coseq\f(π,6)t＋2，則h(t)＝－2coseq\f(π,6)t＋2.5.(2)函數h(t)的圖像如下圖所示．8.【解】(1)當t＝0時，E＝110eq\r(3)(V)．即開始時的電壓為110eq\r(3)V.(2)T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)(s)，即時間間隔為0.02s.(3)電壓的最大值為220eq\r(3)V.當100πt＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即t＝eq\f(1,300)s時第一次取得最大值．9.【解】(1)單擺的周期T＝eq\f(2π,2π)＝1，若令2πt＋eq\f(π,6)＝0，即t＝－eq\f(1,12)，這時s＝0.找出曲線上的五個特殊點，列表如下：t－eq\f(1,12)eq\f(2,12)eq\f(5,12)eq\f(8,12)eq\f(11,12)s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))060－60用光滑的曲線連接這些點，得函數s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))的圖像(如圖)．(2)當t＝0時，s＝6sineq\f(π,6)＝6×eq\f(1,2)＝3，即單擺開始擺動時，離開平衡位置3cm.(3)s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))的振幅為6，所以單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置6cm.(4)s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))的周期為1，所以單擺來回擺動一次需要的時間是1s.10.【解】(1)從擬合曲線可知，函數y＝Asinωt＋b在一個周期內由最大變到最小需9－3＝6(h)，此為半個周期，∴函數的最小正周期為12h，因此eq\f(2π,ω)＝12，得ω＝eq\f(π,6).∵當t＝0時，y＝10，∴b＝10.∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3.∴所求函數的解析式為y＝3sineq\f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．(2)由于船的吃水深度為7m，船底與海底的距離不少于4.5m，故在船舶航行時水深y應不小于7＋4.5＝11.5(m)．∴當y≥11.5時就可以進港．令y＝3sineq\f(π,6)t＋10≥11.5，得sineq\f(π,6)t≥eq\f(1,2)