第06講復(fù)數(shù)的四則運算（2個知識點方法練創(chuàng)新練成果練）（原卷版）

第06講復(fù)數(shù)的四則運算（2個知識點+方法練+創(chuàng)新練+成果練）【目錄】【新知講解】知識點1.復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義知識點2.復(fù)數(shù)的乘、除運算【方法練】【創(chuàng)新練】【成果練】【知識導(dǎo)圖】【新知講解】知識點1.復(fù)數(shù)的加、減運算及其幾何意義1．復(fù)數(shù)加法與減法的運算法則(1)設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個復(fù)數(shù)，則①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)對任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義如圖所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)向量分別為eq\o(OZ,\s\up14(→))1，eq\o(OZ,\s\up14(→))2，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up14(→))與復(fù)數(shù)z1＋z2對應(yīng)，向量eq\o(Z2Z1,\s\up14(→))與復(fù)數(shù)z1－z2對應(yīng)．規(guī)律方法1．用復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義解題的技巧(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運算去處理．(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復(fù)數(shù)運算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運用于幾何之中．2．常見結(jié)論在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對應(yīng)的點分別為A，B，z1＋z2對應(yīng)的點為C，O為坐標(biāo)原點，則四邊形OACB為平行四邊形；若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為矩形；若|z1|＝|z2|，則四邊形OACB為菱形；若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，則四邊形OACB為正方形．3．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減法滿足交換律、結(jié)合律，復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算．4．復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則，復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則．5．|z－z0|表示復(fù)數(shù)z和z0所對應(yīng)的點的距離，當(dāng)|z－z0|＝r(r＞0)時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是以z0對應(yīng)的點為圓心，半徑為r的圓．例一、單選題1．（2023上·江蘇南通·高三海安高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，為原點，為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量，則（

）A．3 B． C．2 D．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，若，則（

）A． B． C． D．3．（2023下·寧夏銀川·高二寧夏育才中學(xué)校考期中）設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為A，B，C，則三角形的面積為（

）A．3 B． C．2 D．例二、解答題4．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．5．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）類比復(fù)數(shù)加法的幾何意義，請寫出復(fù)數(shù)減法的幾何意義．知識點2.復(fù)數(shù)的乘、除運算例一、單選題1．（2024·河南·模擬預(yù)測）復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．82．（2023上·西藏林芝·高三統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．23．（2022上·安徽安慶·高三?？计谀┤魪?fù)數(shù)z滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第（

）象限．A．一 B．二 C．三 D．四4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，復(fù)數(shù)，且，則（

）A． B．1 C．2 D．例二、解答題5．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，，，，為個復(fù)數(shù)．(1)如果，求證：；(2)若，則有什么樣的結(jié)果？【方法練】一、單選題1．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）下列關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題中，錯誤的是（

）A． B．C．z的共軛復(fù)數(shù)為1+i D．z的虛部為12．（2021·四川成都·石室中學(xué)統(tǒng)考一模）已知（，，i為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)，則（

）A．2 B． C． D．二、多選題3．（2022·山東濟(jì)南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若，，則（

）A． B．C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限 D．是實數(shù)4．（2023下·遼寧丹東·高一統(tǒng)考期末）在復(fù)平面內(nèi)，是坐標(biāo)原點，，則（

）A．的虛部為 B．C． D．三、填空題5．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值是.6．（2020下·高二課時練習(xí)）對個復(fù)數(shù)，，…，，如果存在不全為零的實數(shù)，，…，，使得等式，則稱復(fù)數(shù)，，…，線性相關(guān)；反之，稱為線性無關(guān).那么復(fù)數(shù)，，的關(guān)系為.四、解答題7．（2021·高一課時練習(xí)）（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）.8．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知z是復(fù)數(shù)，z+2i、均為實數(shù)（i為虛數(shù)單位），（1）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．（2）若復(fù)數(shù)z1＝cosθ+isinθ（0≤θ≤π），求復(fù)數(shù)|z﹣z1|的取值范圍．【創(chuàng)新練】一、單選題1．（2022·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)i為虛數(shù)單位，，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第一象限的角平分線上，則（

）A． B．1 C． D．2．（2022·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．或二、多選題3．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）設(shè)，是復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若是純虛數(shù)，則B．若，則C．若，則D．若復(fù)數(shù)滿足，則的最大值為4．（2023下·河北張家口·高一統(tǒng)考期末）實數(shù)x，y滿足，設(shè)，則（

）．A．z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限 B．C．z的虛部是 D．三、填空題5．（2022下·河南焦作·高二焦作市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)．6．（2021·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，(是虛數(shù)單位)，則，.四、解答題7．（2023下·陜西西安·高一期中）計算下列各題:(1)；(2).8．（2022·高一課時練習(xí)）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)．【成果練】一、單選題1．（2020上·山西長治·高二山西省長治市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2022·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）若，則的虛部為（

）A． B．1 C． D．二、多選題3．（2023下·山東·高一濱州一中校聯(lián)考期中）若，是方程的兩個虛數(shù)根，則（

）A．的取值范圍為 B．的共軛復(fù)數(shù)是C． D．為純虛數(shù)4．（2022下·全國·高一校聯(lián)考期中）已知為虛數(shù)單位，，，則下列選項中正確的有（

）A． B．的虛部為1C．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，為方程的根 D．三、填空題5．（2022下·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）若復(fù)數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則.6．若為非零實數(shù)，則下列四個命題都成立：①②③若，則④若，則．則對于任意非零復(fù)數(shù)，上述命題仍然成立的序號是7．（2023·高一課時練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則．8．（2023下·湖南衡陽·高一衡陽市一中校考期末）若復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，四、解答題9．（2023下·海南省直轄縣級單位·高一?？计谥校?）化簡；（2）已知復(fù)數(shù)的，求.10．（2022下·廣西北?！じ叨y(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)滿足：.(1)求復(fù)數(shù)；(2)化簡：.11．（2021·高一單元測試）（1）已知復(fù)數(shù)，求.（2）已知是虛數(shù)單位，化簡復(fù)數(shù)：.12．已知復(fù)數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)實數(shù)取什么值時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時，化簡．13．（2022下·上海奉賢·高一校考期