四川省自貢市2021年中考數(shù)學真題（解析版）

2021年四川省自貢市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（共12個小題，每小題4分，共48分，在每題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的）

1.自貢恐龍博物館是世界三大恐龍遺址博物館之一.今年''五一黃金周”共接待游客8.87萬人次，人數(shù)

88700用科學記數(shù)法表示為（）

A.0.887xlO5B.8.87xlO3C.8.87xlO4D.88.7x10'

【答案】C

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中修冏＜10,〃為整數(shù).確定力的值時，要看把原數(shù)變

成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值大0時，〃是正整數(shù)；

當原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負整數(shù).

【詳解】解：88700用科學記數(shù)法表示為&87X10L

故選：C.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中仁同＜10,〃為整

數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及"的值.

2.如圖是一個小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，有“迎”字一面的相對面上的字是（）

C.年D.喜

【笞案》B

【解析】

【分析】正方體的表面展開圖“一四一”型，相對的面之間一定相隔一個正方形，根據(jù)這一特點解答.

【詳解】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方體，“迎”與“黨”是相對面，“建”

與“百”是相對面，“喜”與“年”是相對面.

故答案為：B.

【點睛】本題主要考查了正方體相對兩個面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對面入手，分析及解

答問題.

3.下列運算正確的是（）

A5a②—4/=1B.（-a”）、///

C.a9-i-a3=a3D.{a-2b}1=ci2-Ah2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)合并同類項法則，積的乘方，同底數(shù)'幕的除法，完全平方公式逐一計算即可.

【詳解】解：A.5。2_4/=。2,該項運算錯誤；

B.（―/沙3）2=。76,該項運算正確；

C./+。3=。6,該項運算錯誤；

D.（a-2b）2=a2-4ab+4b2,該項運算錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查整式的運算，掌握合并同類項法則，積的乘方，同底數(shù)基的除法，完全平方公式是解題

的關(guān)鍵.

4.下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是（）

A?BCD0

【答案】D

【解析】

【分析】利用軸對稱圖形的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A是軸對稱圖形，對稱軸有1條；

B不是軸對稱圖形；

C不是軸對稱圖形；

D是軸對稱圖形，對稱軸有2條；

故選：D.

【點睛】本題考查識別軸對稱圖形，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，AC是正五邊形ABCDE的對角線，NAC￡＞的度數(shù)是（）

A.72°B.36°C,74°D.88°

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可得/B=N38=108。，AB=BC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

ZBCA^ZBAC^36°,利用角的和差即可求解.

【詳解】解：?.,ABCZJE是正五邊形，

NB=NBCD=108°,AB=BC,

：.ZBCA=ZBAC=36°,

：.ZACD=108°-36°=72°,

故選：A.

【點睛】本題考查正五邊形的性質(zhì)，求出正五邊形內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵.

6.學校為了解“陽光體育”活動開展情況，隨機調(diào)查了50名學生一周參加體育鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表所示:

人數(shù)（人）9161411

時間（小時）78910

這些學生一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.16,15B.11,15C.8,8.5D.8,9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的意義與表格直接求解即可.

【詳解】解：這50名學生這一周在校的體育鍛煉時間是8小時的人數(shù)最多，故眾數(shù)為8；

統(tǒng)計表中是按從小到大的順序排列的，最中間兩個人的鍛煉時間分別是8,9,故中位數(shù)是（8+9）+2=8.5.

故選：C.

【點睛】本題考查了眾數(shù)和中位數(shù)的意義，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù).將一組數(shù)據(jù)從小到

大（或從大到?。┲匦屡帕泻螅钪虚g的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

7.已知—12=0，則代數(shù)式一3》2+9X+5值是（）

A.31B.-31C.41D.-41

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，可先求出x2-3x的值，再化簡-3/+9%+5=-3卜2-3%）+5,然后整體代入所求代數(shù)

式求值即可.

【詳解】解：?.*一3“-12=0，

x2-3x=12，

/.-3X2+9%+5=-3（X2-3X）+5=-3X12+5=-31.

故選:B.

【點睛】此題考查了代數(shù)式求值，此題的關(guān)鍵是代數(shù)式中的字母表示的數(shù)沒有明確告知，而是隱含在題設(shè)

中，得出/一3%=12,是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，A（8,0）,C（-2,0）,以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點8,則點B的坐標為

（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）

【答案】D

【解析】

【分析】先根據(jù)題意得出0A=8,0C=2,再根據(jù)勾股定理計算即可

【詳解】解：由題意可知：AC=AB

VA（8,0）,c（-2,o）

???OA=8,OC=2

：.AC=AB=W

在用△0A8中，OB7AB2_04=Jl（）2—82=6

6）

故選：D

【點睛】本題考查勾股定理、正確寫出點的坐標，圓的半徑相等、熟練進行勾股定理的計算是關(guān)鍵

9.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/（單位：A）與電阻R（單位：。）是反比例函數(shù)關(guān)系,

它的圖象如圖所示.下列說法正確的是（）

R

C.當/W10A時，R>3.6QD.當R=6Q時，/=4A

【答案】C

【解析】

【分析】將將（4,9）代入/=，求出U的值，即可判斷A,B,D,利用反比例函數(shù)的增減性可判斷C.

JJOX

【詳解】解：設(shè)/=上，將（4,9）代入可得/=方，故A錯誤；

...蓄電池的電壓是36V,故B錯誤；

當/W10A時，R23.6C,該項正確；

當當7?=6。時，/=6A,故D錯誤，

故選：C.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，A8為0。的直徑，弦C0LAB于點F,OE_LAC于點E,若?！?3,08=5,則8的長

度是（）

D

B.475C.5百D.19

【答案】A

【解析】

【分析】先利用垂徑定理得出AE=EC,CF=FD,再利用勾股定理列方程即可

【詳解】解：連接0C

'：ABLCD,OELAC

AE=EC,CF=FD

?；0E=3,08=5

O8=OC=OA=5

...在中

AE=yJOA1-OE2=V52-32=4

：.AE=EC=4

設(shè)0F=x,則有AC2-AF2=OC2-OF2

82-(5+X)2=52-X2

X=1A

在Rt^OFC中，F(xiàn)C=^OC2-OF2=V52-1.42=4.8

CD=2FC=9.6

故選：A

【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理、方程思想是解題關(guān)鍵

11.如圖，在正方形A2CZ）中，A8=6,M是AO邊上的一點，AM:MD=l:2.將△創(chuàng)例沿對折

至ABMN,連接ON,則DN的長是（）

C.3D,正

5

【答案】D

【解析】

【分析】延長MN與CD交于點E,連接BE,過點N作NE，CD,根據(jù)折疊的正方形的性質(zhì)得到NE=CE,

在吊AMDE中應(yīng)用勾股定理求出DE的長度，通過證明AAQESAME,利用相似三角形的性質(zhì)求出NF和

DF的長度，利用勾股定理即可求解.

詳解】解：如圖，延長MN與CD交于點E,連接BE,過點N作NFLCD，

???AB=6,M是A。邊上的一點，AM:MD^1:2,

=2,DM=4,

?..將沿8M對折至△BMN,四邊形ABC。是正方形,

AZBNE=ZC=90°,AB=AN^BC,

：.RtxBNE^RtABCE(HL),

NE=CE,

：.EM=MN+NE=NE+2,

RMMDE中,?DE=x,則ME=6-x+2=8-x,

根據(jù)勾股定理可得42+f=(8—x)2,解得x=3,

:.NE=DE=3,ME=5,

VNFLCD,ZMD￡=90。,

/.AMDES^NFE,

￡好2

一=-

出

。5

9

5-

DF——,

5

二DN=yjDF2+NF2=—,

故選：D.

【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等內(nèi)容，做出合適的輔助線是

解題的關(guān)鍵.

12.如圖，直線y=-2x+2與坐標軸交于A、8兩點，點尸是線段AB上的一個動點，過點P作y軸的平行

線交直線y=-x+3于點Q,△OPQ繞點。順時針旋轉(zhuǎn)45°,邊P。掃過區(qū)域（陰影部份）面積的最大值

是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意得』牌=S扇形0G也一S扇形a“N，設(shè)p（a,2-2a）,則Q（a,3-a）,利用扇形面積公式得到

1

?

S陰影=(-3。~+2a+5)8-利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖,

???QqAOPQ-_QqQMN?

則S陰影=S扇形3M+SQMN—SQPQ-S扇形OPN

=q-q

-u扇形。扇形OPN，

???點P在直線y=-2x+2上，點Q在直線y=-x+3上，且八2〃)軸,

設(shè)P(m2-2〃)，則Q(o,3-a),

0P2=儲+(2-2a)2=5/-8a+4,

0Q~—ci~+(3-a)~2a~—6a+9,

S陰影=S扇形0Q”一S扇形OEV

_45萬？0。245乃？op?

360360

1

-f-3。~+2ci+5)8-乃

16

設(shè)y=13/+2。+5=—3+一

G4)3

V-3<0,

.?.當。=?時一，y有最大值，最大值為日，

33

?e-S陰影的最大值為與X：?=|■乃.

jo3

故選：A.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出

所求問題需要的條件.

二、填空題（共6個小題，每小題4分，共24分）

13.請寫出一個滿足不等式x+及>7的整數(shù)解

【答案】6（答案不唯一）

【解析】

【分析】先估算出血的值約為1.4,再解不等式即可.

【詳解】解：?.,收°1.4，

■-x~>1~^2，

.,.%>5.6.

所以6是該不等式的其中一個整數(shù)解（答案不唯一，所有不小于6的整數(shù)都是該不等式的整數(shù)解）;

故答案為：6（答案不唯一）.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式、不等式的整數(shù)解、二次根式的值的估算等內(nèi)容，要求學生在理解

相關(guān)概念的前提下能靈活運用解決問題，本題答案不唯一，有一定的開放性.

14.某中學規(guī)定學生的學期體育成績滿分為100,其中體育課外活動占30%,期末考試成績占70%,小彤的

這兩項成績依次是90,80.則小彤這學期的體育成績是.

【答案】83分.

【解析】

【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計算公式列出算式，再進行計算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：

90x30%+80x70%=83（分）；

答：小彤這學期的體育成績是83分.

故答案為：83分.

【點睛】此題考查了加權(quán)平均數(shù)，掌握加權(quán)平均數(shù)的計算公式是本題的關(guān)鍵，是一道?？碱}.

【答案］--

a+2

【解析】

【分析】利用分式的減法法則，先通分，再進行計算即可求解.

【詳解】解：

a-2a2-4

=2_________8

ci-2(a+2)(〃-2)

2(〃+2)__________8

(〃+2)(〃一2)(a+2)(a—2)

2(?-2)

(Q+2)(Q—2)

2

a+2

故答案為：二二.

【點睛】本題考查分式的減法，掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.某校園學子餐廳把WIFI密碼做成了數(shù)學題，小亮在餐廳就餐時，思索了一會，輸入密碼，順利地連接

到了學子餐廳的網(wǎng)絡(luò)，那么他輸入的密碼是

?：XueZiCanTing

5e3十2=151025

令9十2十4=183654

一8十603=482472

學子餐廳歡迎你！

7十2十5="

【答案】143549

【解析】

【分析】根據(jù)題中密碼規(guī)律確定所求即可.

【詳解】50302=5x3x10000+5x2x100+5X(2+3)=151025

90204=9x2x10000+9x4x100+9x(2+4)=183654,

8二6(g)3=8x6x10000+8x3x1(X)+8x(3+6)=482472,

70205=7x2x10000+7x5x100+7x(2+5)=143549.

故答案為143549

【點睛】本題考查有理數(shù)的混合運算，根據(jù)題意得出規(guī)律并熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵.

17.如圖，△ABC的頂點均在正方形網(wǎng)格格點上.只用不帶刻度的直尺，作出AABC的角平分線8。(不

寫作法，保留作圖痕跡).

【答案】見解析

【解析】

【分析】取格點E,連接AE,作AE的中點D,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知：BD即為△A8C的

角平分線.

【詳解】解：如圖，射線BD即為所求作.

【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈

活運用所學知識解決問題.

18.當自變量一1WxW3時，函數(shù)）=,一4（％為常數(shù)）的最小值為k+3,則滿足條件的k的值為.

【答案】-2

【解析】

【分析】分左＜一1時，-1WZW3時，左＞3時三種情況討論，即可求解.

【詳解】解：①若氏＜一1時，則當一時，有x＞左，故＞=,一4=%一%，

故當x=-l時，y有最小值，此時函數(shù)y=-i-左，

由題意，一3—％=農(nóng)+,

解得：%=—2,滿足Z＜—1,符合題意；

②若一1WAK3,則當一時，y=|x-^|＞0,

故當*時，＞有最小值，此時函數(shù)y=0,

由題意，6=%+

解得：左=—3,不滿足一1WZW3,不符合題意；

③若左＞3時，則當一1WXW3時，有了＜%,故y=|x-4=k-x，

故當x=3時，＞有最小值，止匕時函數(shù)y=《一3,

由題意，攵-3=費+，方程無解，此情況不存在，

綜上，滿足條件的k的值為-2.

故答案為：—2.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(共8個題，共78分)

19.計算：V25-|-7|+(2-^)°.

【答案】-1

【解析】

【分析】利用算術(shù)平方根、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)幕分別計算各項即可求解.

【詳解】解：原式=5—7+1=—1.

【點睛】本題考查實數(shù)的混合運算，掌握算術(shù)平方根、絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)幕是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別是邊AB、CD的中點.求證：DE=BF.

【答案】證明見試題解析.

【解析】

【分析】由矩形的性質(zhì)和已知得到DF=BE,AB〃CD,故四邊形DEBF是平行四邊形，即可得到答案.

【詳解】???四邊形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,AB=CD,

又E、F分別是邊AB、CD的中點，

?.DF=BE,

又AB〃CD,

四邊形DEBF是平行四邊形，

；.DE=BF.

考點：L矩形的性質(zhì)；2.全等三角形的判定.

21.在一次數(shù)學課外實踐活動中，小明所在的學習小組從綜合樓頂部8處測得辦公樓底部。處的俯角是

53°,從綜合樓底部A處測得辦公樓頂部C處的仰角恰好是30°,綜合樓高24米.請你幫小明求出辦公樓

的高度.（結(jié)果精確到o.l,參考數(shù)據(jù)tan37°80.75,lan53°?1.33,百，1.73）

O

O

□

O

【答案】辦公樓的高度約為10.4米.

【解析】

【分析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出的長，進而得出CO的高度.

【詳解】解：根據(jù)題意，NBD4=53。，48=24,

..…AB

在R/ABOA中，tan53°=——

AD

在R/AACQ中，ZCAD=30°,

故辦公樓的高度約為104米.

【點睛】本題考查了解直角三角形-仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用所學知識

解決問題，屬于中考?？碱}型.

22.隨著我國科技事業(yè)的不斷發(fā)展，國產(chǎn)無人機大量進入快遞行業(yè).現(xiàn)有A,B兩種型號的無人機都被用來

運送快件，A型機比B型機平均每小時多運送20件，A型機運送700件所用時間與B型機運送500件所用

時間相等，兩種無人機平均每小時分別運送多少快件？

【答案】4型機平均每小時運送70件，8型機平均每小時運送50件

【解析】

【分析】設(shè)A型機平均每小時運送x件，根據(jù)A型機比B型機平均每小時多運送20件，得出B型機平均每

小時運送（片20）件，再根據(jù)A型機運送700件所用時間與8型機運送500件所用時間相等，列出方程解之

即可.

【詳解】解：設(shè)A型機平均每小時運送x件，則B型機平均每小時運送（x-20）件,

700500

根據(jù)題意得:

xx-20

解這個方程得：戶70.

經(jīng)檢驗下70是方程的解，，x-20=50.

A型機平均每小時運送70件，B型機平均每小時運送50件.

【點睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

23.為了弘揚愛國主義精神，某校組織了“共和國成就”知識競賽，將成績分為：A（優(yōu)秀）、B（良好）、

C（合格）、D（不合格）四個等級.小李隨機調(diào)查了部分同學的競賽成績，繪制了如下統(tǒng)計圖.

（2）已知調(diào)查對象中只有兩位女生競賽成績不合格，小李準備隨機回訪兩位競賽成績不合格的同學，請用

樹狀圖或列表法求出恰好回訪到一男一女的概率；

（3）該校共有2000名學生，請你估計該校競賽成績“優(yōu)秀”的學生人數(shù).

3

【答案】（1）100,補全條形統(tǒng)計圖見解析；（2）P（恰好回訪到一男一女）=§；（3）700人

【解析】

【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖可知C等級的人數(shù)與所占比例，即可求出樣本容量，根據(jù)B所

占百分比求出B等級的人數(shù)，再求出D等級的人數(shù)即可；

（2）畫出表格，利用概率公式即可求解；

（3）利用樣本估計總體的方法求解即可.

【詳解】解：（1）25^25%=100（人），

B等級的人數(shù)為100x35%=35（人），

D等級的人數(shù)為：100-35-35-25=5（人）,

補全條形統(tǒng)計圖如下：

男男男女女

男男男男男女男女男

男男男男男女男女男

男男男女男女男

女男女男女男女女女

女男女男女男女女女

123

P（恰好回訪到一男一女）=F=‘；

205

（3）2000x35%=700（人）.

【點睛】本題考查條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖綜合，從統(tǒng)計圖中獲取相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵.

24.函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具.探究函數(shù)性質(zhì)時，我們經(jīng)歷了列表、描點、連線畫出函數(shù)圖象，然

后觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.請結(jié)合已有的學習經(jīng)驗，畫出函數(shù)丁=--J的圖象，并探

x+4

究其性質(zhì).

列表如下:

X???-4-3-2-101234???

88_24

???24_8…

ya0b-2-

5735~~L35

（1）直接寫出表中，的值，并在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象;

+4

①當—2<xW2時，函數(shù)圖象關(guān)于直線了=%對稱；

②x=2時，函數(shù)有最小值，最小值為一2；

③-lvx<l時，函數(shù)y的值隨x的增大而減小.

其中正確的是.（請寫出所有正確命題的序號）

Qx

（3）結(jié)合圖象，請直接寫出不等式:一>x的解集.

x+4

Q

【答案】（1）。=2,畫出函數(shù)的圖象見解析；（2）②；（3）%<0

【解析】

【分析】(1)把％=-2和x=l分別代入函數(shù)解析式，即可求得八匕值，再利用描點法作出圖像即可;

(2)結(jié)合圖象可從函數(shù)的增減性及對稱性進行判斷；

(3)根據(jù)圖象求得即可.

8x8x(-2)

【詳解】解：(1)當x=-2時，。=一一f—=一=2,

%+4(-2)+4

(2)①函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱，原說法錯誤；

②x=2時，函數(shù)有最小值，最小值為-2,原說法正確：

③—2<x<2時，函數(shù)y的值隨x的增大而減小，則原說法正確.

其中正確的是②，③.

故答案為：②，③；

(3)畫出直線丁=》，

Qv-

...不等式一一^一>X的解集為x<0.

x+4

故答案為：x<0.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，會用描點法畫出函數(shù)圖象，利

用數(shù)形結(jié)合的思想得到函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，點。在以A8為直徑的。。上，過。作。。的切線交A3延長線于點C,AEJ.CD于點E,交

。。于點尸，連接A。，F(xiàn)D.

（1）求證：ZAME=ZZMC；

（2）求證：DFAC^ADDC；

（3）若sinNC=‘，AD=4A/101求EF的長.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EF=6.

【解析】

【分析】（1）連接0。，BD,由圓的切線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理可求得再利用等角的余角

相等，可證明結(jié)論；

（2）如圖，連接B。、BF,利用平行線的性質(zhì)以及圓周角定理證得NC=NAD尸，根據(jù)（1）的結(jié)論可證明

△ADF-AACD,可證明結(jié)論；

（3）設(shè)0A=0D=x,利用三角函數(shù)的定義和勾股定理得到。C=4x,CD=y/^x，AC=5x,根據(jù)相似三角形

的判定和性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）證明：連接ODBD,

；友）是。。的切線，。為切點,

.'.0D1.ED,

：.ZODA+ZEDA=90°,

???AB為。。的直徑，

???ZADB=90°,

???NOZM+N003=90。，

：.ZODB=ZEDA,

,:OB=ODf

：.NODB=NOBD,

：.NEDA=NABD,

VA￡1CD,

JZE=90°,

???NZME=NO4C(等角的余角相等);

(2)如圖，連接3。、BF,

〈AB為。。的直徑，

???ZAFB=90°,

：.BF//CFf

：.ZC=ZABF=ZADFf

由(2)得NmE=〃4C,

△AQ/7~"C￡),

.ADDF

??而一而‘

：.DFAC=ADDC；

(3)過。作OH,4?于〃，連接。￡),BD,

設(shè)OA=OD=X9

在RmODC中，sinC-----=—

OC4

0C=4xf

則CD=^OC2-OD2=V15x，

AC=OA+OC=5xf

由（2）得OF-AC=AD-DC,即DFJ回Ex=4娓,

5x

'."ZC+ZDOC=90°,ZODH+ZDOH=90°,

：.ZODH=ZC,

在RAODH中,sinNODH=2=工,

OD4

:.OH——x,

4

DH=y]0D2-OH2=叵x，

由（1）得NZME=ZZMC,

DH=DE=^X，

4

?.?NEFD=NA8￡＞（圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角）,

由（1）得NE￡M=NA8D,

NEFD=NEDA,

：.ZEAD~&EDF,

V15

.EDAD即4x=4屈,

"~EF~~DF

EF4A/6

3

,,.EF=—x,

4

在H/AQEF中,EF2+DE2=￡>F2.即

解得：x=8,

.,.EF=-x8=6.

4

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)定理，也考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解直角

三角形，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，拋物線y=(x+l)(x-a)(其中a>l)與X軸交于A、B兩點，交y軸于點C.

(I)直接寫出NOC4的度數(shù)和線段A8的長(用。表示)；

(2)若點。為AA6c的外心，且△88與△4CO的周長之比為J而：4,求此拋物線的解析式；

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)(x—。)上是否存在一點P,使得NC4P=N￡>B4?若存

在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)ZOCA=45°,AB=a+1；(2)y=x2-x-2；(3)存在，P,(一一，P(1,-2).

242

【解析】

【分析】(1)根據(jù)二次函數(shù)解析式可得4(?,0),C(0,-a),B(-1,0),即可得出OA=OB=a,08=1,

即可證明是等腰宜角三角形，可得NOC4=45。，根據(jù)線段的和差關(guān)系可表示A8的長；

(2)如圖，作△ABC的外接圓。。，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=&〃，利用兩點間距離公式可用

〃表示出BC的長，根據(jù)圓周角定理可得NO=2NOAC=90。，可得△QBC是等腰直角三角形，即可證明

△DBCSAOCA,根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比列方程求出“值即可得答案；

(3)如圖，過點。作。HL4B于H,過點C作AC的垂線，交x軸于凡過點。作OGJ_AC于G,連接

AP交C尸于E,可得AOCr是等腰直角三角形，利用待定系數(shù)法可得直線CF的解析式，根據(jù)外心的定義

及等腰直角三角形的性質(zhì)可求出點。坐標，即可得出B”、QH的長，根據(jù)NC4尸=/￡)胡，

/8"￡>=/ACE=90?？勺C明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出CE的長，根據(jù)兩點間距離公式

可得點E坐標，利用待定系數(shù)法可得直線4E解析式，聯(lián)立直線AE與拋物線的解析式求出點尸坐標即可得

答案.

【詳解】(1)???拋物線y=(x+D(x—a)(其中a>l)與x軸交于4、B兩點,交y軸于點C.

.?.當戶0時，y=-a,

當y=0時，(x+l)(x-a)=0,

解得：Xj=-1,x2=a9

：.A(m0),C(0,-a),B(-1,0),

OB=1,OA=OC=a,

...△OCA是等腰直角三角形，

ZOCA=45°,AB=OA+OB=a+\.

(2)如圖，作△ABC的外接圓。。，

?.?點。為△MC的外心，

：.DB=DC,

???△OCA是等腰直角三角形，。4=小

；./OAC=45。，心缶，

???/8OC和NBAC是BC所對的圓心角和圓周角,

：.ZBDC=2ZBAC=90°,

：.NDBC=45。,

：.ZDBC=ZOAC,

/.△DBCs^OCA,

ABCD與△ACO的周長之比為JTU：4，

.BCVio麗J/+1710

??--=---f即--尸--=----t

AC441a4

解得：a=±2,

經(jīng)檢驗：。=±2是原方程的根，

Va>l,

a=2,

???拋物線解析式為：