2024屆天一大聯(lián)考高二數(shù)學第二學期期末教學質量檢測試題含解析

2024屆天一大聯(lián)考高二數(shù)學第二學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《數(shù)術記遺》是《算經十書》中的一部，相傳是漢末徐岳（約公元世紀）所著，該書主要記述了：積算（即籌算）太乙、兩儀、三才、五行、八卦、九宮、運籌、了知、成數(shù)、把頭、龜算、珠算計數(shù)種計算器械的使用方法某研究性學習小組人分工搜集整理種計算器械的相關資料，其中一人種、另兩人每人種計算器械，則不同的分配方法有（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則使得成立的的解集為（）A． B． C． D．3．設橢圓的左、右焦點分別為,點.已知動點在橢圓上,且點不共線,若的周長的最小值為,則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．4．已知的展開式中含的項的系數(shù)為，則（）A． B． C． D．5．如圖所示，陰影部分的面積為（）A． B．1 C． D．6．的展開式的各項系數(shù)之和為3，則該展開式中項的系數(shù)為（）A．2 B．8 C． D．-177．若當時,函數(shù)取得最大值,則()A． B． C． D．8．已知隨機變量服從二項分布，則（）A． B． C． D．9．“楊輝三角”又稱“賈憲三角”，是因為賈憲約在公元1050年首先使用“賈憲三角”進行高次開方運算，而楊輝在公元1261年所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了賈憲三角形數(shù)表，并稱之為“開方作法本源”圖．下列數(shù)表的構造思路就源于“楊輝三角”．該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這個數(shù)是（）2017201620152014……654321403340314029…………11975380648060………………201612816124……362820………A． B．C． D．10．已知方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值為（）A．4 B．4或-4 C．2 D．2或-212．在二項式的展開式中任取2項，則取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知公比不為1的等比數(shù)列的首項，前項和為，若是與的等差中項，則__________．14．觀察下列各式：，，，，由此可猜想，若，則__________.15．在極坐標系中，點到直線的距離為________.16．在中，，，則________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角所對的邊分別是且.（1）求角A；（2）若為鈍角三角形，且，當時，求的取值范圍.18．（12分）已知橢圓：的一個焦點為，點在上.（1）求橢圓的方程；（2）若直線：與橢圓相交于，兩點，問軸上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由.19．（12分）“蛟龍?zhí)枴睆暮５字袔Щ啬撤N生物，甲乙兩個生物小組分別獨立開展對該生物離開恒溫箱的成活情況進行研究，每次試驗一個生物，甲組能使生物成活的概率為，乙組能使生物成活的概率為，假定試驗后生物成活，則稱該次試驗成功，如果生物不成活，則稱該次試驗是失敗的．(1)甲小組做了三次試驗，求至少兩次試驗成功的概率；(2)若甲乙兩小組各進行2次試驗，求兩個小組試驗成功至少3次的概率．20．（12分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，梯形面積為.（1）當，時，求梯形的周長(精確到)；（2）記，求面積以為自變量的函數(shù)解析式，并寫出其定義域.21．（12分）已知函數(shù)在處取得極大值為.（1）求的值；（2）求曲線在處的切線方程.22．（10分）已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

本題涉及平均分組問題，先計算出分組的方法，然后乘以得出總的方法數(shù).【題目詳解】先將種計算器械分為三組，方法數(shù)有種，再排給個人，方法數(shù)有種，故選A.【題目點撥】本小題主要考查簡單的排列組合問題，考查平均分組要注意的地方，屬于基礎題.2、A【解題分析】

由已知可得：是偶函數(shù)，當時，在為增函數(shù)，利用的單調性及奇偶性將轉化成：，解得：，問題得解.【題目詳解】因為所以是偶函數(shù).當時，又在為增函數(shù)，在為減函數(shù)所以在為增函數(shù)所以等價于，解得：故選：A【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)單調性及奇偶性的應用，還考查了轉化思想及函數(shù)單調性的判斷，屬于中檔題。3、A【解題分析】分析：利用橢圓定義的周長為，結合三點共線時，的最小值為，再利用對稱性，可得橢圓的離心率.詳解：的周長為，∴故選：A點睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝a2－c2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．4、D【解題分析】

根據所給的二項式，利用二項展開式的通項公式寫出第項，整理成最簡形式，令的指數(shù)為，求得，再代入系數(shù)求出結果．【題目詳解】二項展開式通項為，令，得，由題意得，解得.故選：D.【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，本題解題的關鍵是正確寫出二項展開式的通項，在這種題目中通項是解決二項展開式的特定項問題的工具．5、B【解題分析】如圖所示軸與函數(shù)圍成的面積為,因此故選B.6、D【解題分析】

令得各項系數(shù)和，可求得，再由二項式定理求得的系數(shù)，注意多項式乘法法則的應用．【題目詳解】令，可得，，在的展開式中的系數(shù)為：．故選D．【題目點撥】本題考查二項式定理，在二項展開式中，通過對變量適當?shù)馁x值可以求出一些特定的系數(shù)，如令可得展開式中所有項的系數(shù)和，再令可得展開式中偶數(shù)次項系數(shù)和與奇數(shù)次項系數(shù)和的差，兩者結合可得奇數(shù)項系數(shù)和以及偶數(shù)項系數(shù)和．7、B【解題分析】

函數(shù)解析式提取5變形后,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質可得結果.【題目詳解】，其中,當，即時，取得最大值5,，則，故選B.【題目點撥】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式、輔助角公式的應用，以及正弦函數(shù)最值，熟練掌握公式是解本題的關鍵.8、A【解題分析】

由二項分布的公式即可求得時概率值.【題目詳解】由二項分布公式：.故選A.【題目點撥】本題考查二項分布的公式，由題意代入公式即可求出.9、B【解題分析】

數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，從右到左，第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，第2016行只有M，由此可得結論．【題目詳解】由題意，數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列，從右到左，且第一行公差為1，第二行公差為2，第三行公差為4，…，第2015行公差為22014，故從右到左第1行的第一個數(shù)為：2×2﹣1，從右到左第2行的第一個數(shù)為：3×20，從右到左第3行的第一個數(shù)為：4×21，…從右到左第n行的第一個數(shù)為：（n+1）×2n﹣2，第2017行只有M，則M=（1+2017）?22015=2018×22015故答案為：B．【題目點撥】本題主要考查歸納與推理，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.10、A【解題分析】分析：由于是偶函數(shù)，因此只要在時，方程有2個根即可．用分離參數(shù)法轉化為求函數(shù)的極值．詳解：由于是偶函數(shù)，所以方程有兩個根，即有兩個根．設，則，∴時，，遞增，時，，遞減，時，取得極大值也是最大值，又時，，時，，所以要使有兩個根，則．故選A．點睛：本題考查方程根的分布與函數(shù)的零點問題，方程根的個數(shù)問題常常轉化為函數(shù)圖象交點個數(shù)，如能采用分離參數(shù)法，則問題轉化為求函數(shù)的單調性與極值或值域．11、A【解題分析】

設數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列通項公式可得q4＝16，由a3＝a1q2，計算可得．【題目詳解】因故選：A【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質以及通項公式，屬于簡單題．12、C【解題分析】

二項式的展開式共十項，從中任取2項，共有種取法，再研究其系數(shù)為偶數(shù)情況有幾個，從中取兩個有幾種取法得出答案．【題目詳解】二項式的展開式共十項，從中任取2項，共有種取法，展開式系數(shù)為偶數(shù)的有，共六個，取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的取法有種取法，取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的概率為故選：【題目點撥】本題考查二項式定理及等可能事件的概率，正確求解本題的關鍵是找出哪些項的系數(shù)是偶數(shù)，求出取出的2項中系數(shù)均為偶數(shù)的事件包含的基本事件數(shù)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2017【解題分析】由題設可得，又，故，則，應填答案．14、.【解題分析】分析：觀察下列式子，右邊分母組成以為首項，為公差的對稱數(shù)列，分子組成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，即可得到答案.詳解：由題意，，，，可得，所以.點睛：本題主要考查了歸納推理的應用，其中歸納推理的步驟是：（1）通過觀察給定的式子，發(fā)現(xiàn)其運算的相同性或運算規(guī)律，（2）從已知的相同性或運算規(guī)律中推出一個明企鵝的一般性的題，著重考查了考生的推理與論證能力.15、3【解題分析】

將A和直線化成直角坐標系下點和方程，再利用點到直線的距離公式計算即可.【題目詳解】由已知，在直角坐標系下，，直線方程為，所以A到直線的距離為.故答案為：3【題目點撥】本題考查極坐標方程與普通方程的互化，點到直線的距離，考查學生的運算求解能力，是一道容易題.16、【解題分析】

根據特殊角的三角函數(shù)值得到，，再由二倍角公式得到結果.【題目詳解】∵，，，∴，∴，即.∵，∴，由二倍角公式得到：，∴.故答案為.【題目點撥】這個題目考查了特殊角的三角函數(shù)值的應用，以及二倍角公式的應用屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由正弦定理化簡可得，再結合余弦定理即可得到角；（2）結合（1）可得，利用正弦定理把求的范圍轉化為求，結合三角形的性質可得，由正弦函數(shù)的圖形即可得到的范圍，從而得到的取值范圍．【題目詳解】（1）因為由正弦定理得：，由余弦定理可知：所以又因為，故.（2）由（1）知，又，所以，且，則因為△ABC為鈍角三角形且，則，所以，結合圖象可知，，所以.【題目點撥】本題考查正弦定理與余弦定理的綜合應用，考查學生的轉化能力與計算能力，屬于中檔題．18、（1）（2）見解析【解題分析】

先求出c的值，再根據，又，即可得到橢圓的方程;假設y軸上存在點，是以M為直角頂點的等腰直角三角形，設，，線段AB的中點為，根據韋達定理求出點N的坐標，再根據，，即可求出m的值，可得點M的坐標【題目詳解】由題意可得，點在C上，，又，解得，，橢圓C的方程為，假設y軸上存在點，是以M為直角頂點的等腰直角三角形，設，，線段AB的中點為，由，消去y可得，，解得，，，，，，依題意有，，由，可得，可得，由可得，，，代入上式化簡可得，則，解得，當時，點滿足題意，當時，點滿足題意【題目點撥】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）“三次試驗中至少兩次試驗成功”是指三次試驗中，有2次試驗成功或3次試驗全部成功，先計算出2次與3次成功的概率，相加即可得到所要求的概率．（2）分成功3次，4次兩種情況求其概率相加即可【題目詳解】(1)設“甲小組做了三次實驗，至少兩次試驗成功”為事件A，則其概率為.(2)設“甲乙兩小組試驗成功3次”為事件B，則，設“甲乙兩小組試驗成功4次”為事件C，則，故兩個小組試驗成功至少3次的概率為.【題目點撥】本題考查概率的求法，考查n次獨立重復試驗某事件恰好發(fā)生k次的概率、相互獨立事件的概率乘法公式，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．20、（1）周長是；（2），定義域.【解題分析】分析：（1）以下底所在直線為軸，等腰梯形所在的對稱軸為軸，建立直角坐標系，可得橢圓方程為，由題，，則代入橢圓方程得，可求，由此可求求梯形的周長.（2）由題可得，，由此可求，進而得到定義域.詳解：（1）以下底所在直線為軸，等腰梯形所在的對稱軸為軸，建立直角坐標系，可得橢圓方程為，，，∴代入橢圓方程得，∴，所以梯形的周長是；（2）得，∴，，定義域.點睛：本題考查了函數(shù)模型的應用問題，也考查了求函數(shù)定義域的問題，是綜合性題目．