2024屆北京市朝陽外國語高二數學第二學期期末經典模擬試題含解析

2024屆北京市朝陽外國語高二數學第二學期期末經典模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知（為虛單位），則復數在復平面上所對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知函數，，若方程在上有兩個不等實根，則實數m的取值范圍是（）A． B． C． D．3．現有一條零件生產線，每個零件達到優(yōu)等品的概率都為.某檢驗員從該生產線上隨機抽檢個零件，設其中優(yōu)等品零件的個數為.若，，則（）A． B． C． D．4．將7個座位連成一排，安排4個人就坐，恰有兩個空位相鄰的不同坐法有（）A．240 B．480 C．720 D．9605．設，則“”是“”的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件6．已知函數fx在R上可導，且fx=A．-2 B．2 C．4 D．-47．在極坐標系中，設圓與直線交于兩點，則以線段為直徑的圓的極坐標方程為（）A． B．C． D．8．甲罐中有個紅球，個白球和個黑球，乙罐中有個紅球，個白球和個黑球，先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐，分別以，，表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件，再從乙罐中隨機取出一個球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列結論中不正確的是（）A．事件與事件不相互獨立 B．、、是兩兩互斥的事件C． D．9．已知函數，若是函數的唯一極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．一個圓錐被過其頂點的一個平面截去了較少的一部分幾何體，余下的幾何體的三視圖如圖，則余下部分的幾何體的體積為（）A． B． C． D．11．中，，是的中點，若，則（）.A． B． C． D．12．函數在定義域內可導，的圖象如圖所示，則導函數可能為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積等于___________.14．已知復數滿足（是虛數單位），則______．15．已知集合，，則__________.16．已知函數是定義在上的奇函數，且函數的圖象關于直線對稱，當時，，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知,且.證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.18．（12分）已知分別為內角的對邊，且．（1）求角A；（2）若，求的面積．19．（12分）己知數列的首項均為1,各項均為正數，對任意的不小于2的正整數n，總有，成立，（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前n項和分別為，求所有使得等式成立的正整數m,的值.20．（12分）已知橢圓：的離心率為，焦距為．（1）求的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓交于，兩點（點，均在第一象限），為坐標原點，證明：直線，，的斜率依次成等比數列．21．（12分）某農科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了月日至月日的每天晝夜溫差與實驗室每天每顆種子中的發(fā)芽數，得到如下資料：日期月日月日月日月日月日溫差發(fā)芽數（顆）該農科所確定的研究方案是：先從這組數據中選取組，用剩下的組數據求線性回歸方程，再對被選取的組數據進行檢驗.（1）求選取的組數據恰好是不相鄰兩天數據的概率；（2）若選取的是月日與月日的數據，請根據月日至月日的數據求出關于的線性回歸方程；（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過顆.則認為得到的線性回歸方程是可靠的.試問（2）中所得到的線性回歸方程是可靠的嗎？附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.22．（10分）某學校高三年級有學生1000名，經調查研究，其中750名同學經常參加體育鍛煉（稱為類同學），另外250名同學不經常參加體育鍛煉（稱為類同學），現用分層抽樣方法（按類、類分二層）從該年級的學生中共抽查100名同學.（1）測得該年級所抽查的100名同學身高（單位：厘米）頻率分布直方圖如圖，按照統計學原理，根據頻率分布直方圖計算這100名學生身高數據的平均數和中位數（單位精確到0.01）；（2）如果以身高達到作為達標的標準，對抽取的100名學生，得到列聯表：體育鍛煉與身高達標列聯表身高達標身高不達標合計積極參加體育鍛煉60不積極參加體育鍛煉10合計100①完成上表；②請問有多大的把握認為體育鍛煉與身高達標有關系？參考公式：.參考數據：0.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由得，再利用復數的除法法則將復數表示為一般形式，即可得出復數所表示的點所在的象限.【題目詳解】由得，因此，復數在復平面上對應的點在第二象限，故選B.【題目點撥】本題考查復數的幾何意義，考查復數對應的點所在的象限，解題的關鍵就是利用復數的四則運算將復數表示為一般形式，考查計算能力，屬于基礎題.2、C【解題分析】

對的范圍分類，即可將“方程在上有兩個不等實根”轉化為“在內有實數解，且方程的正根落在內”，記，結合函數零點存在性定理即可列不等式組，解得：，問題得解．【題目詳解】當時，可化為：整理得：當時，可化為：整理得：，此方程必有一正、一負根.要使得方程在上有兩個不等實根，則在內有實數解，且方程的正根落在內.記，則，即：，解得：.故選C【題目點撥】本題主要考查了分類思想及轉化思想，還考查了函數零點存在性定理的應用，還考查了計算能力及分析能力，屬于難題．3、C【解題分析】

由求出的范圍，再由方差公式求出值．【題目詳解】∵，∴，化簡得，即，又，解得或，∴，故選C．【題目點撥】本題考查概率公式與方差公式，掌握這兩個公式是解題的關鍵，本題屬于基礎題．4、B【解題分析】12或67為空時，第三個空位有4種選擇；23或34或45或56為空時，第三個空位有3種選擇；因此空位共有2×4+4×3=5、A【解題分析】

利用不等式的性質和充分必要條件的定義進行求解；【題目詳解】∵可得或，

∴由“”能推出“”，但由“”推不出“”，

∴“”是“”的充分非必要條件，

故選A.【題目點撥】本題主要考查不等式的基本性質和充分必要條件，屬于基礎題.6、A【解題分析】

求導后代入x=1可得關于f'1【題目詳解】由fx=令x=1，則f'1本題正確選項：A【題目點撥】本題考查導數值的求解，關鍵是能夠根據導數運算法則得到導函數的解析式，屬于基礎題.7、A【解題分析】試題分析：以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標系，則由題意，得圓的直角坐標方程，直線的直角坐標方程．由，解得或，所以，從而以為直徑的圓的直角坐標方程為，即．將其化為極坐標方程為：，即故選A．考點：簡單曲線的極坐標方程．8、D【解題分析】分析：由題意，，是兩兩互斥事件，條件概率公式求出，，對照選項即可求出答案.詳解：由題意，，是兩兩互斥事件，,,,,而.所以D不正確.故選：D.點睛：本題考查相互獨立事件，解題的關鍵是理解題設中的各個事件，且熟練掌握相互獨立事件的概率簡潔公式，條件概率的求法，本題較復雜，正確理解事件的內蘊是解題的關鍵.9、A【解題分析】分析：由f（x）的導函數形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要對k進行分類討論來確定導函數為0時的根．詳解：∵函數的定義域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函數f（x）的唯一一個極值點∴x=1是導函數f′（x）=0的唯一根．∴ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點，令g（x）=ex﹣kxg′（x）=ex﹣k①k≤0時，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）時單調遞增的g（x）的最小值為g（0）=1，g（x）=0無解②k＞0時，g′（x）=0有解為：x=lnk0＜x＜lnk時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減lnk＜x時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增∴g（x）的最小值為g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=ex和y=ex圖象，它們切于（1，e），綜上所述，k≤e．故答案為：A．點睛：（1）本題主要考查利用導數研究函數的單調性和最值，考查利用導數研究函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關鍵是分析轉化ex﹣kx=0在（0，+∞）無變號零點.10、B【解題分析】分析:由三視圖求出圓錐母線，高，底面半徑．進而求出錐體的底面積，代入錐體體積公式，可得答案．詳解:由已知中的三視圖，圓錐母線l=圓錐的高h=，圓錐底面半徑為r==2，由題得截去的底面弧的圓心角為120°，底面剩余部分為S=πr2+sin120°=π+，故幾何體的體積為：V=Sh=×（π+）×2=.故答案為：B．點睛：（1）本題主要考查三視圖找原圖，考查空間幾何體的體積的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平和空間想象能力基本的計算能力.(2)解答本題的關鍵是弄清幾何體的結構特征并準確計算各幾何要素.11、D【解題分析】

作出圖象，設出未知量，在中，由正弦定理可得，進而可得，在中，還可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，即可得出結論．【題目詳解】解：如圖，設，，，，在中，由正弦定理可得，代入數據解得，故，而在中，，故可得，化簡可得，解之可得，再由勾股定理可得，聯立可得，故在中，，故選：D．【題目點撥】本題考查正弦定理的應用，涉及三角函數的誘導公式以及勾股定理的應用，屬于中檔題．12、D【解題分析】

根據函數的單調性判斷出導函數函數值的符號，然后結合所給的四個選項進行分析、判斷后可得正確的結論．【題目詳解】由圖象可知，函數在時是增函數，因此其導函數在時，有（即函數的圖象在軸上方），因此排除A、C．從原函數圖象上可以看出在區(qū)間上原函數是增函數，所以，在區(qū)間上原函數是減函數，所以；在區(qū)間上原函數是增函數，所以．所以可排除C．故選D．【題目點撥】解題時注意導函數的符號與函數單調性之間的關系，即函數遞增（減）時導函數的符號大（小）于零，由此可判斷出導函數圖象與x軸的相對位置，從而得到導函數圖象的大體形狀．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】直線與拋物線的交點坐標為，據此可得：直線與拋物線圍成的封閉圖形的面積等于:.14、【解題分析】

利用復數的除法運算化簡，進而求得.【題目詳解】依題意，故故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查復數除法運算，考查復數的模的計算，屬于基礎題.15、【解題分析】分析：直接利用交集的定義求解即可.詳解：因為集合，，所以由交集的定義可得，故答案為點睛：本題考查集合的交集的定義，意在考查對基本運算的掌握情況，屬于簡單題.16、【解題分析】分析：詳解：函數是定義在上的奇函數，故函數)關于(2,0)中心對稱，函數的圖象關于直線對稱，得到函數的周期為：4，故答案為：0.點睛：這個題目考查了函數的對稱性和周期性，對于抽象函數，且要求函數值的題目，一般是研究函數的單調性和奇偶性，通過這些性質將要求的函數值轉化為已知表達式的區(qū)間上，將轉化后的自變量代入解析式即可.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據均值不等式可以證明；（Ⅱ）根據均值不等式和已知條件的靈活應用可以證明.【題目詳解】證明Ⅰ，b，，且，，，當且僅當時，等號成立

Ⅱ，，，，，【題目點撥】本題主要考查不等式的證明，均值不等式是常用工具，側重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).18、(1)；(2).【解題分析】

由正弦定理可得，結合，可求，結合范圍，可求．由已知利用余弦定理可得，解得c的值，根據三角形面積公式即可計算得解．【題目詳解】解：．由正弦定理可得：，，，即，，，，，由余弦定理，可得：，可得：，解得：，負值舍去，【題目點撥】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．19、（1），；（2），.【解題分析】

(1)通過因式分解可判斷為等差數列，于是可得通項，通過等比中項性質可知為等比數列，于是可求通項；（2）計算出前n項和，化簡式子，通過分解因式找出因子，然后利用正整數解可求得，.【題目詳解】(1)由于，整理得，而，故，所以為等差數列，所以；由于，可知為等比數列，，所以；（2）由（1）可得，，所以轉化為，整理即，要m,都為正整數，則都分別是2的倍數，且，故2的冪指數中，只有4與16相差12，故，故，此時.【題目點撥】本題主要考查等差數列與等比數列的通項公式，前n項和的計算，意在考查學生的轉化能力，分析能力，計算能力，難度中等.20、(1).(2)見解析.【解題分析】

（1）根據題中條件，得到，再由，求解，即可得出結果；（2）先設直線的方程為，，,聯立直線與橢圓方程，結合判別式、韋達定理等，表示出，只需和相等，即可證明結論成立.【題目詳解】（1）由題意可得，解得，又，所以橢圓方程為.（2）證明：設直線的方程為，，,由，消去，得則，且，故即直線，，的斜率依次成等比數列.【題目點撥】本題主要考查求橢圓的標準方程，以及橢圓的應用，熟記橢圓的標準方程以及橢圓的簡單性質即可，屬于?？碱}型.21、（1）；（2）；（3）見解析【解題分析】分析：（1）根據題意列舉出從5組數據中選取2組數據共有10種情況，每種情況都是可能出現的，滿足條件的事件包括的基本事件有6種．根據等可能事件的概率做出結果．

（2）根據所給的數據，先求出，，即求出本組數據的樣本中心點，根據最小二乘法求出線性回歸方程的系數，寫出線性回歸方程．

（3）根據估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，就認為得到的線性回歸方程是可靠的，根據求得的結果和所給的數據進行比較，得到所求的方程是可靠的．詳解：(1)設“選取的2組數據恰好是不相鄰兩天的數據”為事件A.從5組數據中選取2組數據共有10種情況：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3