江蘇省高考數(shù)學二輪復(fù)習 專題二 立體幾何 第6講 立體幾何中的計算練習-人教版高三數(shù)學試題

第6講立體幾何中的計算eq\a\vs4\al(課后自測診斷——及時查漏補缺·備考不留死角)A級——高考保分練1．若圓錐底面半徑為1，高為2，則圓錐的側(cè)面積為________．解析：由題意，得圓錐的母線長l＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以S圓錐側(cè)＝πrl＝π×1×eq\r(5)＝eq\r(5)π.答案：eq\r(5)π2．已知正六棱柱的側(cè)面積為72cm2，高為6cm，那么它的體積為________cm3.解析：設(shè)正六棱柱的底面邊長為xcm，由題意得6x×6＝72，所以x＝2，于是其體積V＝eq\f(\r(3),4)×22×6×6＝36eq\r(3)(cm)3.答案：36eq\r(3)3．(2019·南京學情調(diào)研)如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，則四棱錐A1-B1C1CB的體積是________．解析：如圖，取B1C1的中點E，連結(jié)A1E，易證A1E⊥平面BB1C1C，所以A1E為四棱錐A1B1C1CB的高，所以V四棱錐A1-B1C1CB＝eq\f(1,3)S矩形BB1C1C×A1E＝eq\f(1,3)×(2×3)×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)4．(2019·常州期末)已知圓錐SO，過SO的中點P作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱PO，圓柱的下底面落在圓錐的底面上(如圖)，則圓柱PO的體積與圓錐SO的體積的比值為________．解析：設(shè)圓錐底面半徑為2r，高為2h，則圓柱底面圓半徑為r，高為h，所以eq\f(V圓柱,V圓錐)＝eq\f(πr2h,\f(1,3)π2r2·2h)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)5．(2019·蘇州期末)如圖，某種螺帽是由一個半徑為2的半球體挖去一個正三棱錐構(gòu)成的幾何體，該正三棱錐的底面三角形內(nèi)接于半球底面大圓，頂點在半球面上，則被挖去的正三棱錐體積為________．解析：正三棱錐的底面正三角形的邊長為2×2×cos30°＝2eq\r(3)，底面正三角形的面積S＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2eq\r(3)×sin60°＝3eq\r(3)，三棱錐的高h＝2.所以正三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×2＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)6．已知球O與棱長為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為________．解析：將正四面體補成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對角線，因為正四面體的棱長為4，所以正方體的棱長為2eq\r(2).因為球O與正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體的內(nèi)切球，即球O的直徑2R＝2eq\r(2)，則球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2),3)π.答案：eq\f(8\r(2),3)π7．(2019·姜堰中學檢測)已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝eq\r(2)，E為AD的中點，現(xiàn)分別沿BE，CE將△ABE，△DCE翻折，使點A，D重合，記為點P，則幾何體PBCE的外接球表面積為________．解析：在幾何體PBCE中，PB⊥PC，PB⊥PE，PC⊥PE，即三棱錐可以補成以PB，PC，PE為邊的長方體，其對角線為外接球的直徑，即2r＝eq\r(12＋12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(10),2)，故r＝eq\f(\r(10),4)，外接球的表面積為4×π×eq\f(10,16)＝eq\f(5π,2).答案：eq\f(5π,2)8．已知圓柱的軸截面的對角線長為2，則這個圓柱的側(cè)面積的最大值為________．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長為l，則l＝eq\r(4－4r2)，0<r<1.圓柱的側(cè)面積為S＝2πrl＝2πr·eq\r(4－4r2)＝4πeq\r(r21－r2)≤2π[r2＋(1－r2)]＝2π，當且僅當r2＝1－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)時取“＝”，所以這個圓柱的側(cè)面積的最大值為2π.答案：2π9．有一個體積為2的長方體，它的長、寬、高依次為a，b,1.現(xiàn)將它的長增加1，寬增加2，且體積不變，則所得新長方體高的最大值為________．解析：設(shè)所得新長方體的高為h.根據(jù)題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝2，,a＋1b＋2h＝2，))所以h＝eq\f(2,a＋1b＋2)＝eq\f(2,ab＋2a＋b＋2)＝eq\f(2,2a＋b＋4)≤eq\f(2,2\r(2ab)＋4)＝eq\f(1,4)，當且僅當2a＝b，即a＝1，b＝2時取等號．故所得新長方體高的最大值為eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)10.(2019·蘇州期末)魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來．若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為________(容器壁的厚度忽略不計，結(jié)果保留π)．解析：設(shè)球形容器的最小半徑為R，則“十字立方體”的24個頂點均在半徑為R的球面上，所以兩根并排的四棱柱體組成的長方體的八個頂點在這個球面上．球的直徑就是長方體的體對角線的長度，所以2R＝eq\r(12＋22＋52)＝eq\r(30)，得4R2＝30.從而S球面＝4πR2＝30π.答案：30π11．已知等邊圓柱(軸截面是正方形的圓柱)的表面積為S，求其內(nèi)接正四棱柱的體積．解：設(shè)等邊圓柱的底面半徑為r，則高h＝2r.因為S＝S側(cè)＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2，所以r＝eq\r(\f(S,6π))，所以內(nèi)接正四棱柱的底面邊長a＝2rsin45°＝eq\r(2)r，所以內(nèi)接正四棱柱的體積V＝S底·h＝(eq\r(2)r)2·2r＝4r3＝eq\f(S\r(6πS),9π2).12.如圖，在五面體ABCDFE中，底面ABCD為矩形，EF∥AB，BC⊥FD，過BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q.(1)證明：PQ∥平面ABCD；(2)若CD⊥BE，EF＝EC＝1，CD＝2EF＝eq\f(2,3)BC，求五面體ABCDFE的體積．解：(1)證明：因為底面ABCD為矩形，所以AD∥BC.又AD?平面ADF，BC?平面ADF，所以BC∥平面ADF.又BC?平面BCPQ，平面BCPQ∩平面ADF＝PQ，所以BC∥PQ.又PQ?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PQ∥平面ABCD.(2)由CD⊥BE，CD⊥CB，易證CD⊥CE.由BC⊥CD，BC⊥FD，易證BC⊥平面CDFE，所以CB⊥CE，即CD，CE，CB兩兩垂直．如圖，連接FB，F(xiàn)C，因為EF＝EC＝1，CD＝2EF＝eq\f(2,3)BC，所以CD＝2，BC＝3，V四棱錐F-ABCD＝eq\f(1,3)×(2×3)×1＝2，V三棱錐F-BCE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×3×1))×1＝eq\f(1,2)，所以VABCDFE＝V四棱錐F-ABCD＋V三棱錐F-BCE＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).B級——難點突破練1．已知底面半徑為1，高為eq\r(3)的圓錐的頂點和底面圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為________．解析：如圖，△ABC為圓錐的軸截面，O為其外接球的球心，設(shè)外接球的半徑為R，連接OB，OA，并延長AO交BC于點D，則AD⊥BC，由題意知，AO＝BO＝R，BD＝1，AD＝eq\r(3)，則在Rt△BOD中，有R2＝(eq\r(3)－R)2＋12，解得R＝eq\f(2\r(3),3)，所以外接球O的表面積S＝4πR2＝eq\f(16π,3).答案：eq\f(16π,3)2.底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個半徑為eq\f(1,2)cm的實心鐵球，四個球兩兩相切，其中底層兩球與容器底面相切．現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好浸沒所有鐵球，則需要注水________cm3.解析：設(shè)四個實心鐵球的球心為O1，O2，O3，O4，其中O1，O2為下層兩球的球心，O1O2O3O4為正四面體，棱O1O2到棱O3O4的距離為eq\f(\r(2),2)，所以注水高為1＋eq\f(\r(2),2).故應(yīng)注水體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)))－4×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),2)π.答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(\r(2),2)))π3．如圖①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE＝4.如圖②所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點F是AB的中點．(1)求證：DE⊥平面BCD；(2)若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐B-DEG的體積．解：(1)證明：在題圖①中，因為AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝60°.因為CD為∠ACB的平分線，所以∠BCD＝∠ACD＝30°，所以CD＝2eq\r(3).又因為CE＝4，∠DCE＝30°，所以DE＝2.則CD2＋DE2＝CE2，所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD.在題圖②中，因為平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD，所以DE⊥平面BCD.(2)在題圖②中，因為EF∥平面BDG，EF?平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG.因為點E在線段AC上，CE＝4，點F是AB的中點，所以AE＝EG＝CG＝2.過點B作BH⊥CD交于點H.因為平面BCD⊥平面ACD，BH?平面BCD，所以BH⊥平面ACD.由條件得BH＝eq\f(3,2).又S△DEG＝eq\f(1,3)S△ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·CD·sin30°＝eq\r(3)，所以三棱錐B-DEG的體積為V＝eq\f(1,3)S△DEG·BH＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),2).4.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐E-ACD的側(cè)面積．解：(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.因為BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BE⊥AC.因為BD∩BE＝B，BD?平面BED，BE?平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因為AE⊥EC，所以在Rt△A