新教材2021-2022學(xué)年人教B版必修第一冊3 . 4 函數(shù)的應(yīng)用

3.33.4函數(shù)的應(yīng)用（一）數(shù)學(xué)建模活動：決定蘋果的最佳出售時間點(diǎn)

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]

1.某商場以每件30元的價格購進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的

銷量加（件）與售價武元/件）之間的關(guān)系滿足一次函數(shù)：機(jī)=162—3工若要使每天獲

得最大的銷售利潤，則該商品的售價應(yīng)定為（）

A.40元/件B.42元/件

C.54元/件D.60元/件

解析：選B.設(shè)每天獲得的銷售利泗為y元，則），=。-30）（162—3%）=—3（%

-42>+432,所以當(dāng)x=42時，獲得的銷售利潤最大，故該商品的售價應(yīng)定為

42元/件.

2.（多選）在某種金屬材料的耐高溫試驗中，溫度隨著時間變化的情況由計算

機(jī)記錄后顯示的圖像如圖所示.給出下列說法，其中正確的是（）

A.前5min溫度增加的速度越來越快

B.前5min溫度增加的速度越來越慢

C.5min以后溫度保持勻速增加

D.5min以后溫度保持不變

解析：選BD.溫度y關(guān)于時間/的圖像是先凸后平，即5min前每當(dāng)，增加

一個單位增量△/，則y相應(yīng)的增量△,￥越來越小，而5min后y關(guān)于f的增量保

持為0,則BD正確.

3.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元.若每批生產(chǎn)

x件，則平均倉儲時間為玄天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元.為使平均到

每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品（）

A.60件B.80件

C.100件D.120件

解析：選B.設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元，

由通意傳），=丁+分力2y丁方=20?

當(dāng)且僅當(dāng)咨弋（x>0）,即x=80時“=”成立，故選B.

4.某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為y=

f4x,lWx<10,xGN,

《2x+10,10Wx<100,xGN,其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù).若面

11.5A:,X2100,XGN.

試人數(shù)為60,則該公司擬錄用人數(shù)為（）

A.15B.40

C.25D.130

解析：選C.令y=60,若4x=60,則x=15>10,不合題意；若2x+10=60,

則尤=25,滿足題意；若1.5x=60,則x=40<100,不合題意.故該公司擬錄用

25人.

5.長為4、寬為3的矩形，當(dāng)長增加%,且寬減少鄂寸面積最大，此時x=

，最大面積5=.

解析：S=（4+x）（3—?

=—y+x+12

當(dāng)X=1時，Smax=苧.

25

答案：1~

6.一艘輪船在勻速行駛過程中每小時的燃料費(fèi)與它的速度的平方成正比，

除燃料費(fèi)外其他費(fèi)用為每小時96元.當(dāng)速度為10海里/小時時，每小時的燃料

費(fèi)是6元.若勻速行駛10海里，當(dāng)這艘輪船的速度為海里/小時時，費(fèi)

用總和最小.

解析：設(shè)每小時的燃料費(fèi)>=依2,因為速度為10海里/小時時，每小時的燃

料費(fèi)是6元，所以仁而尢=春,費(fèi)用總和為￥（家+96）=10康+粵）

210X2,恭96=48,當(dāng)且僅當(dāng)京粵，即0=40時取等號.

答案：40

7.某家報刊銷售點(diǎn)從報社買進(jìn)報紙的價格是每份0.35元，賣出的價格是每

份0.50元，賣不掉的報紙還可以以每份0.08元的價格退回報社.在一個月（30

天）里，有20天每天可以賣出400份，其余10天每天只能賣出250份.設(shè)每天

從報社買進(jìn)的報紙的數(shù)量相同，則應(yīng)該每天從報社買進(jìn)多少份，才能使得每月獲

得的利潤最大？銷售一個月最多可賺得多少元？

解：設(shè)每天應(yīng)從報社買進(jìn)x份，易知250WxW400,xGN+，且每月可賺y

元，則y=0.5-X-20+0.5X250X10+（%-250）X0.08X10-0.35-X-30=0.3x+1

050（250WxW400,xWN+）.

因為）'=0.3x+1050是定義域上的增函數(shù)，

所以當(dāng)x=400時，y的最大值為120+1050=1170.

即每天應(yīng)從報社買進(jìn)400份報紙，每月獲得的利潤最大，銷售一個月最多可

賺得1170元.

[B能力提升]

8.如圖所示，點(diǎn)P在邊長為1的正方形的邊上運(yùn)動，M是CO是中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)

P沿路線A-B-C-M運(yùn)動時，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與的面積y之間的函數(shù)y

=/U）的圖像大致是（）

解析：選A.由題意得，當(dāng)04W1時，Sjp“=；x1Xx=；x；

當(dāng)時，S^APM=SABCM~S/\ABP-SAPCM

1113

-X+-

22--4

4A

5

,

-X）*1=—$+土.結(jié)合各選項可知選A.

7

9.小明在某次投籃中，球的運(yùn)動路線是拋物線y=一$+3.5的一部分，如

圖所示，若命中籃圈中心，則他與籃底的距離L是.

解析：當(dāng)），=3.05時，-N+SSnS.OS,即9=5X0.45,解得x=1.5或x

=一1.5（不合題意，舍去），故L=3+1.5=4.5（m）.

答案：4.5m

10.某蔬菜基地種植青瓜，由歷年市場行情得知，從4月1日起的300天內(nèi),

青瓜的種植成本。（萬元）與上市時間《天）的關(guān)系如下表所示：

種植成本。/萬元150100

上市時間〃天50150

模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)01⑺=a(f—150)2+雙公卜為常數(shù),且。#0)或

一次函數(shù)。2(。=6十〃欣，"2為常數(shù)，且AW0).已知種植成本Q=112.5萬元時，

上市時間，=200天，則用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由.

。(50)=150

解：由題意，知”

Qi(150)=100'

,_1

a(50-150)2+。=150

即＜,解得“-200,

la(150-150)2+匕=100

0=100

所以。1?)=就”—150)2+100.

Q(50)=150

又由題意,知《

Qi(150)=100'

50左+〃2=150k——彳

即《,解得2所以02(/)=-^+175.

1150A:4-m=100

、機(jī)=175

因為01(200)=^(200-150)2+100=112.5,

02(200)=一；X200+175=75,

所以選用。1")=六"-150)2+100作為模擬函數(shù)較好.

11.某創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊擬生產(chǎn)A,3兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投

資額成正比(如圖1),8產(chǎn)品的利潤與投資額的算術(shù)平方根成正比(如圖2).(注：

利潤與投資額的單位均為萬元)

(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤式x),g(x)表示為投資額x的函數(shù)；

(2)該團(tuán)隊已籌到10萬元資金，并打算全部投入A,8兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：

當(dāng)8產(chǎn)品的投資額為多少萬元時，生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品能獲得最大利潤，最大利

潤為多少？

解：⑴由題意可設(shè)人x)=Mx,g(x)=k2\[x,則式1)=11=0.25,g(4)=2攵2=2.5,

依=1.25.

所以/U)=0.25x(x20),

g(x)=1.25也(xNO).

(2)設(shè)8產(chǎn)品的投資額為x萬元，則A產(chǎn)品的投資額為(10—x)萬元.

y=/U0—x)+g(x)=0.25(10—x)+1.255(0WxW10),

令t=y[x,則y=-0.25?+1.25/4-2.5.

所以當(dāng)r=2.5,即x=6.25時，收益最大，ymax=瞪萬元.

J1O

故投資3產(chǎn)品6.25萬元，A產(chǎn)品3.75萬元時，能獲得最大利潤，最大利潤

為器萬元.

16

[C拓展探究]

12.某單位在國家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采用新工藝把二氧化碳

轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月二氧化碳的處理量最少為4003

最多為600t,

月處理成本y(元)與月處理量Mt)之間的函