三角形與四邊形（傳統(tǒng)解答證明題）-2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題分類（全國通用）（解析版）

專題11三角形與四邊形（傳統(tǒng)解答證明題）

一、解答題

1.（2021?湖北十堰?中考真題）已知等邊三角形A8C,過A點(diǎn)作AC的垂線/,點(diǎn)尸為/上

一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接C尸，把線段CP繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到C。，連QB.

（圖D（圖3）

（1）如圖1,直接寫出線段AP與8。的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)尸、8在AC同側(cè)且AP=AC時，求證：直線尸B垂直平分線段CQ；

（3）如圖3,若等邊三角形ABC的邊長為4,點(diǎn)P、8分別位于直線AC異側(cè)，且AAPQ的

面積等于且，求線段AP的長度.

4

【答案】（1）AP=BQ；（2）見詳解；（3）括或,或|6+率

【分析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，可得CP=CQ,SACP^BCQ,AC^BC,進(jìn)而

即可得到結(jié)論；

（2）先證明△BC。是等腰直角三角形，再求出自CBD=45。，根據(jù)等腰三角形三線合一的性

質(zhì)，即可得到結(jié)論；

（3）過點(diǎn)B作BESil,過點(diǎn)。作Q/W,根據(jù)△ACP^XBCQ,可得AP=BQ,回C4P=?C8Q=90。,

設(shè)”=x,則BQ=x,例。=片：指，QF=(X；G)XY1,再列出關(guān)于x的方程，即可求解.

332

【解析】

(1)證明：回線段CP繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到CQ,

EICP=C。，回PCQ=60°,

回在等邊三角形ABC中，B4C8=60。，AC=BC,

E0ACP=I3BCQ,

回△ACPgZ\8CQ,

13Ap=BQ；

(2)0AP=AC,C40/,

回△人"是等腰直角三角形，

laAACP^ABCg,

回△BCQ是等腰直角三角形，(3CBQ=9O。，

回在等邊三角形4BC中，AC=AB,回8ACRL48c=60°,

SAB=AP,0BAP=9O°-6O°=3O°,

aa48P=。4P8=(180°-30°片2=75°,

回回C8D=180°-75°-60°=45°,

SPD平分13cBQ,

團(tuán)直線戶8垂直平分線段CQ；

(3)①當(dāng)點(diǎn)。在直線上方時，如圖所示，

延長BQ交/與點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。尸，/與點(diǎn)尸,

由題意得AC=8C,PC=CQ,ZACB=ZPCQ=6(rf

??.ZACP=NBCQ,

:.^APC^BCQ(SAS),

/.AP=BQ,NC3Q=NC4P=90。，

vZC4B=ZABC=60°,

.\ZBAE=ZAB￡=30°,

?/AB=AC=4,

...AE=BE=^a

3

.\ZBEF=60°,

設(shè)"=r,則3Q=f,

EQ考t

在Rf^EFQ中,。/=乎E。=乎(殍-)，

1J7

s

A”APyO=-2AP.—QF=—j,

即夫奉竽-）邛,

解得f=石或3,

3

即AP的長度為G或且;

3

②當(dāng)點(diǎn)。在直線/下方時，

過點(diǎn)8作8￡0/,過點(diǎn)。作。丸/,

由（1）小題，可知：△ACP四/SBCQ,

SAP=BQ,回CAP=I3CBQ=9O°,

0EL4CB=6OO,0CAM=9O",

aaAMB=360°-60°-90°-90°=120°,即：SBME=S\QMF=60°,

a3BAE=90°-60°=30°,AB=4,

SBE=-AB=2,

2

?BM=BE+sin60°=2+走，6,

23

設(shè)AP=x,則80=x,MQ=x-+g,QF=MQxsin60°=（x-±萬）x@,

332

回AAPQ的面積等于必，

4

^APxQF=Jl,即：g風(fēng)X：6）XB=J^,解得：x=2百+叵或x=26-叵（不

2423243333

合題意，舍去），

財P=2指+叵.

33

ME

Q

綜上所述，AP的長為：6或立或26+叵.

333

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形,

根據(jù)題意畫出圖形，添加輔助線，構(gòu)造直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

2.(2021?遼寧大連?中考真題)已知AE=EF,ZABD=ZAEF.

(1)找出與皿尸相等的角并證明；

(2)求證：ZBFD=ZAFB；

AP

(3)AF=kDF,ZEDF+ZMDF=180°,求——.

MF

【答案】(1)NBAE(2)見解析(3)k-1

【分析】

(1)根據(jù)三角形外角的性質(zhì)直接求解即可；

(2)在BF上截取BP,使AE=BP,即可證明△ME絲△ADP,進(jìn)一步證明△隹/和△以?

均為等腰三角形且頂角相等，即可證明NB氏￡>=/4即；

ApEF

(3)由(2)可得AAEFS^FPD，即可得--=--=k,設(shè)PF=PD=a,則￡F=AE=ka，

DrPF

根據(jù)N￡DF+NMCE=180。，可求得/PDM=ZPED,即可證明,列比例求

〃Ap

出加=三，代入以上數(shù)據(jù)即可求得等的值.

k-lMF

【解析】

(1)根據(jù)題意可知NA￡F=NABb+/a4￡,

ZABD=ZABF+/DBF,

?.ZABD=ZAEF,

:.ZDBF=ZBAE；

(2)如圖，在3尸上截取5尸，使AE=8P,

由(1)得ZDBF=ZBAE,

即ND3P=N84E,

在△ABE和中，

AB=BD

</BAE=/DBP,

AE=BP

:.BE=DP,ZAEB=/BPD,

?;BP=AE,AE=EF,

:.BP=EF,

:.BP-EP=EF-EP,

即3石=尸尸，

?：PE=PD,

；,PF=PD,

.?.△A￡F和△尸汽。均為等腰三角形，

又,；ZAEB=/BPD,

:.ZAEF=ZFPD,

「?△A斯和為頂角相等的等腰三角形，

1.ZEAF=NEFA=ZPFD=ZPDF,

/BFD=ZAFB；

(3)又(1)可知△AEFs?p￡),

-,-AF=kDF,

AFEF,

/.-----=-----=k,

DFPF

設(shè)PF=PD=a,則4￡=砂二3，

?.?NEDF+ZMDF=180。,

ZMDF=/MDP+NPDF,

ZEDF=180°-/FED-APFD,

則180°=ZMDP+/PDF+180°-ZFED-ZPFD,

,,4PDF=4PFD,

..AMDP=/FED,

?.NEPD=NDPM,

.APMD^APDE，

PDPM,

??—=-r—，nn^PD2=PM^PE^

由此得a?=PM?(A-l)a,

則「*力'

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形綜合，涉及到的知識點(diǎn)有，等腰三角形判定與性質(zhì)，全等三角形的判定

與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意用含字母的式子表示出

4E和"尸的值是解題關(guān)鍵.

3.(2021?湖南婁底?中考真題)如圖①，E、F是等腰BAABC的斜邊8c上的兩動點(diǎn)，

ZEAF=45°,?！辏?，5(7且?！?=的.

圖①

(1)求證：

(2)求證：EF?=BE2+CF2；

(3)如圖②，作A〃_L8C,垂足為H,設(shè)NEA”=a,ZFAH-(3,不妨設(shè)=請

tana+tan/?

利用(2)的結(jié)論證明：當(dāng)。+月=45。時，tan(c+p)=成立.

1-tana-tanp

【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解；(3)證明見詳解.

【分析】

(1)財3。是等腰直角三角形，AB=ACf回MC=90。，由CQ姐C,可求配＞。=財3E即可；

(2)EUI2L4BE00ACD,可得團(tuán);鞏□二團(tuán)EAR可證團(tuán)4EF0MDF(S4S),可得￡尸=。RSRt^CDF

中，根據(jù)勾股定理，。尸=82+。產(chǎn)即可；

(3)將酎BE逆時針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。到△ACQ,由aABC為等腰直角三角形，可求回OC尸=90。，

由43=&,在放△A8C中由勾股定理8c=2,由A/708C,可求8H=CH=A”=1,可表示

EF=tan?+=l-tanct/CF=1-tan/?,可證比zkA。產(chǎn)(SAS),得至ij￡b二。凡由

EF2=BE2+CF2(tana+tan/?)2=(l-tana)2+(l-tan/7)2,整理即得結(jié)論.

【解析】

(1)證明：甌ABC是等腰直角三角形，

[M8=AC,MAC=90°,

的鉆。湎4C3=45。，

0CZZ3BC,

團(tuán)團(tuán)DC6=90°,

fflDCA=90o-[MCB=90o-45o=45o=a4BE,

在AABE和AAC。中，

AB=AC

ZABE=ZACDf

BE=CD

回△ABEBAAC。(SAS),

(2)證明團(tuán)

^BAE^CAD,AE=AD,

團(tuán)團(tuán)E4F=45°,

00BAE+[?1MC=9OO-0E4F=9OO-45O=45O,

^FAD=^FAC^CAD=^FAC+^BAE=^5°=^EAFf

在AAM和△4￡>/中，

AE=AD

<NEAF=ZDAF,

AF=AF

^AE^ADF(SAS),

aEF=DF,

在CD尸中，根據(jù)勾股定理，

DF2=CD2+CF2,

BPEF2=BE2+CF2;

(3)證明：將"BE逆時針繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90。到△ACO,連結(jié)FD,

團(tuán)團(tuán)BAE二團(tuán)CAD,BE二CD,AE=AD,

團(tuán)ZkABC為等腰直角三角形，

EL4C8二回8=勖C￡)=45°,[3DCF=SDC/4+[?L4CF=45o+45o=90o,

團(tuán)A8=&，

團(tuán)AC=AB=y/i,

在Rt^ABC中由勾股定理BC=>jAB2^AC2=《用+(血J=2

^BH=CH=AH=-BC=]

2f

^EF=EH+FH=AHtana+AHtan夕=tana+tat\/3,BE=BH-EH=1-tana,CF=CH-HF=l-lav\p,

00EAF=45°,

^BAE-^CAF=90°-^EAF=45°,

^DAF^DAC+^CAF=^BAE^CAF=45°=^EAF,

在尸和尸中,

AE=AD

<ZEAF=ZDAF,

AF=AF

^LAEF^LADF(SAS),

0EF=DF,

在AfZiC。尸中，DF2=CD2+CF2RPEF2=BE2+CF2,

回(tana+tan/?y=(l-tana)~+(l-tan,

整理得2tanaTan/?=l-2tana+l-2tan/7,

EPtana-tan/?=1-tanor-tan/?,

團(tuán)tana+tan夕=1-tana?tan夕,

言篙5…:…),

tana+tanp

[?]tan(?+/?)=

1-tan6??tan[}

【點(diǎn)睛】

本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理，銳

角三角函數(shù)及其公式推導(dǎo)，掌握上述知識、靈活應(yīng)用全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

4.（2021?湖南郴州?中考真題）如圖1,在等腰直角三角形ABC中，N54C=90。.點(diǎn)E,F

分別為AB,AC的中點(diǎn)，H為線段E尸上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)E,尸重合），將線段4"繞點(diǎn)A

逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到AG,連接GC,HB.

（1）證明：i.AHB^AGC；

（2）如圖2,連接GF,HC,A尸交A尸于點(diǎn)Q.

①證明：在點(diǎn)”的運(yùn)動過程中，總有N"尸G=90。；

②若AB=AC=4,當(dāng)￡”的長度為多少時，AAQG為等腰三角形？

【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②當(dāng)E"的長度為2或正時，AAQG為等腰三角

形

【分析】

（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AH=AG,I3/MG=9O。，從而得回B44=回CHG,進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（2）①由AAHB%AGC,得AH=AG,再證明^AEH^AFG,進(jìn)而即可得到結(jié)論;②AAQG

為等腰三角形，分3種情況：Q）當(dāng)?QAG=囪QG4=45。時，（6）當(dāng)回G4Q=團(tuán)GQ4=67.5。時，（c）

當(dāng)MQG=IMG2=45。時，分別畫出圖形求解，即可.

【解析】

解：（1）回線段A"繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到AG,

EIAH=AG,回”4G=90°,

回在等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,

酬8A”=90°■團(tuán)CA〃二包CAG,

團(tuán)“"B四△AGC；

(2)①團(tuán)在等腰直角三角形46C中，4歷AC,點(diǎn)E,尸分別為A8,AC的中點(diǎn),

團(tuán)AEMF△用是等腰直角三角形，

^AH=AGf^BAH=0C4G,

回AAEH、AFG,

團(tuán)酎七”二MR7=45°,

0(?)HFG=0AFG+1?L4FE=45O+45O=9OO,E|J：ZHFG=90°；

②回A8=AC=4,點(diǎn)E,尸分別為48,AC的中點(diǎn)，

^AE=AF=2,

aSAGH=45。，AAQG為等腰三角形，分3種情況：

(o)當(dāng)回QAG=E1QG4=45°時，如圖，貝靦/MF=90°-45°=45°,

B4”平分團(tuán)E4尸，

團(tuán)點(diǎn)”是所的中點(diǎn)，

SEH=yjAE2+AF2=x>/22+22=應(yīng)；

(b)當(dāng)13GAQ=E)G0A=(180°-45°)+2=67.5°時，如圖，則?￡4"=ElG4Q=67.5°,

aSE/M=180°-45°-67.5°=67.5°,

^EHA^EAH,

^1EH=EA=2；

(c)當(dāng)財QG=MGQ=45。時，點(diǎn)”與點(diǎn)尸重合，不符合題意，舍去,

綜上所述：當(dāng)￡77的長度為2或正時，AAQG為等腰三角形.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,

熟練掌握全等三角形的判定定理，根據(jù)題意畫出圖形，進(jìn)行分類討論，是解題的關(guān)鍵.

5.(2021?海南?中考真題)如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是邊8c上一點(diǎn)，且點(diǎn)E不與

點(diǎn)、B、C重合，點(diǎn)F是54的延長線上一點(diǎn)，且AF=CE.

（1）求證：ADCEmADAF；

（2）如圖2,連接E尸，交AD于點(diǎn)K,過點(diǎn)、。作DH_LEF,垂足為H,延長“〃交BF于

點(diǎn)G,連接

①求證：HD=HB；

②若DKHC=6，求"E的長.

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②HE=\.

【分析】

（1）直接根據(jù)SAS證明即可；

（2）①根據(jù)（1）中結(jié)果及題意，證明△DFE為等腰直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上

的中線即可證明HD=HB;②根據(jù)已知條件，先證明ADCH”ABCH,再證明ADKFS^HEC,

然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出"E的長.

【解析】

（1）證明：13四邊形ABCD是正方形，

CD=AD,ADCE=ZZMF=90°.

又?.?CE=47,

:.ADCE%DAF.

（2）①證明；由（1）得ADCE均DAF,

:.DE=DF,^CDE=ZADF.

NFDE=ZADF+ZADE=NCDE+AADE=ZADC=90°.

.”。莊為等腰直角三角形.

又YDH1.EF,

???點(diǎn)H為E戶的中點(diǎn).

:.HD=-EF.

2

同理，由是RtAEBF斜邊上的中線得,

HB=-EF.

2

:.HD=HB.

②13四邊形ABC。是正方形，

CD=CB.

又?；HD=HB,CH=CH,

:ADCH"ABCH.

ZDCH=ZBCH=45°.

又?.FDEF為等腰直角三角形，

ZDFE=45°.

:.ZHCE=ZDFK.

???四邊形ABCO是正方形，

??.AD//BC.

：.ZDKF=ZHEC.

.?.△DKFS&HEC.

DKDF

:.DKHC=DFHE.

又團(tuán)在等腰直角三角形。切中，DF=6HF=OHE

:.DKHC=DFHE=42HE2=>/2.

：.HE=\.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三

角形斜邊上的中線以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟知圖形的性質(zhì)與判定是解決本題的關(guān)鍵.

6.(2021?安徽?中考真題)如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC=ABCD,點(diǎn)E在邊上，

且A￡//C￡>,作CF//AD交線段AE于點(diǎn)尸，連接BF.

(1)求證：AAfiF^AEW；

(2)如圖2,若AB=9,CD=5,AECF=ZAED,求BE的長；

(3)如圖3,若BF的延長線經(jīng)過AO的中點(diǎn)M,求B蕓E的值.

【答案】(1)見解析；(2)6；(3)1+V2

【分析】

(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)及已知條件易證NABE=NA￡B,NDCE=NDEC,即可得=

DE=DC；再證四邊形AFC￡)是平行四邊形即可得AT=CD,所以AF=DE,根據(jù)SAS即

可證得△ABFAEAD；

(2)證明利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；

(3)延長BM、ED交于點(diǎn)G.易證^ABE^^DCE,可得空=空=空：設(shè)CE=1,BE=x,

DCDECE

DC=DE=a,由此可得==AF=CD=a；再證明ZWR絲△MOG,根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)可得QG=Afi=or.證明△E4"-Z\￡EG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

PAAA?/7ax

—=-1即丁F=丁=，解方程求得x的值，繼而求得的值.

FEEGa(x-Y)。(工+1)

【解析】

(1)證明：-AE//CD,

.?.ZAEB=ZDCE；

-DEIIAB,

ZABE=ZDECfZ1=Z2,

???ZABC=NBCD,

:.ZABE=^AEB,NDCE=/DEC,

/-AB=AEfDE=DC,

VAF//CD,AD//CF,

二?四邊形AFC。是平行四邊形

.\AF=CD

.\AF=DE

在△ABE與△￡?!￡)中.

AB=EA

<N1=N2,

AF=ED

.../\ABF^/\EAD(SAS)

(2)?八ARg八EAD.

.\BF=AD,

在。AFC￡＞中，AD=CF,

；.BF=CF,

/FBC=/FCB,

又???NFC3=N2,Z2=Z1,

/.ZFBC=Z1,

在△￡￡?/與△￡4B中.

J/EBF=N1

1/BEF=/AEB，

:.△EBFsAEAB；

EBEF

一=——；

EAEB

-AB=9,

:,AE=9；

\CD=5,

：.AF=5；

;.EF=4,

,EB_4

?.8石=6或一6（舍）；

（3）延長BM、ED交于點(diǎn)G.

?「△ABE與△￡)(%均為等腰三角形，ZABC=ZDCEf

??.AABE^ADCE,

,ABAEBE

~DC~~DE~~CE，

設(shè)CE=1,BE=x,DC=DE=a,

則AB=AE=ax,AF=CD=a,

EF=a(x-I),

-.AB//DG,

.?.Z3=NG；

在△M43與△MDG中，

23=NG

<N4=N5,

MA=MD

/./\MDG(AAS)；

/.DG=AB=ax.

EG=a[x+\)?

-：ABIIEG,

:./\FAB^/\FEG,

FAAB

/.----=------,

FEEG

.a_ax

tz(x-l)a(x+\)'

/.x(x-l)=x+l,

x2—2x—1=0,

/.(x-1)2=2,

x=1±5/2,

Xj=1—V2(舍)，x2=1+V2,

EC

【點(diǎn)睛】

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質(zhì)及判定、相似三角形的性質(zhì)及判定，熟練判

定三角形全等及相似是解決問題的關(guān)鍵.

7.(2021?江蘇徐州?中考真題)如圖1,正方形ABC。的邊長為4,點(diǎn)尸在邊上(P不與

A。重合)，連接PRPC.將線段尸B繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90。得到PE,將線段PC繞點(diǎn)尸逆

時針旋轉(zhuǎn)90。得到PF.連接EF,EA,FD.

(1)求證：

①尸的面積S=g；

②￡4=包＞；

(2)如圖2,E4.戶曾的延長線交于點(diǎn)取E尸的中點(diǎn)N,連接MN,求MN的取值范圍.

EE

【答案】(1)①見詳解；②見詳解：(2)4<MN<2>/5

【分析】

(1)①過點(diǎn)尸作FGBL4。交AO的延長線于點(diǎn)G,證明APFG之ACP。，即可得到結(jié)論；②

過點(diǎn)E作EM3D4交D4的延長線于點(diǎn)，，證明APE”當(dāng)ABP4,結(jié)合APFG學(xué)ACPD,可得

GD=EH,同理：FG=AH,從而得“AHE絲“FGD,進(jìn)而即可得到結(jié)論；

(2)過點(diǎn)尸作FGS4D交AD的延長線于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EHSDA交DA的延長線于點(diǎn)H,

可得財MQ=90°,MN=3EF,HG=2A￡>=8,EH+FG=AD=4,然后求出當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時,

最大值=4有，當(dāng)點(diǎn)P與的中點(diǎn)重合時，EF最小值="G=8,進(jìn)而即可得到答案.

【解析】

(1)①證明：過點(diǎn)尸作尸GB4O交AO的延長線于點(diǎn)G,

圖1

SSFPG+SPFG=90°,^FPG+^\CPD=90°,

團(tuán)團(tuán)bPG二團(tuán)CPO,

又團(tuán)團(tuán)PG/7二團(tuán)CD尸=90°,PC=PF,

伺APFGQACPD(A4S),

團(tuán)FG=PD,

I3APDF的面積S=-PDFG=-PD2；

22

②過點(diǎn)E作EH&DA交DA的延長線于點(diǎn)H,

圖1

H3EPH+回PE4=90°,SEPH+SBPA=90°,

^iPEH^BPA,

又EHPHE=I3BAP=9O°,PB=PE,

0.PEH%BPA(AAS),

^EH=PA,

由①得：FG=PD,

?EH+FG=PA+PD=AD=CD,

由①得：APFG迫CPD,

國PG=CD,

I3PD+GD=CD=EH+FG,

0FG+GD=EH+FG,

@GD=EH,

同理：FG二AH,

又［ML4H樂團(tuán)FG￡）,

團(tuán)AAHE知FGD,

0E4=FE＞；

（2）過點(diǎn)尸作尸刖。交AO的延長線于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作a應(yīng)D4交D4的延長線于點(diǎn)”,

由（1）得：“WE絲△尸GO,

^\HAE=^GFD,

WGFD+^GDF=90°f

團(tuán)團(tuán)”AE+團(tuán)G￡>b=90°,

WHAE=^MADf^GDF^\MDA,

團(tuán)團(tuán)M4O+團(tuán)MD4=90°,

0[?HMD=9OO,

團(tuán)點(diǎn)N是Eb的中點(diǎn)，

團(tuán)MN=；EF,

^EH=DG=APfAH=FG=PD,

^HG=AH+DG^AD=PD+AP^AD=2AD=8,EH+FG=AP+PD=AD=4,

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時，F(xiàn)G=O,EH=4,HG=8,

此時EF最大值="2+82=46，

當(dāng)點(diǎn)P與A。的中點(diǎn)重合時，F(xiàn)G=2,EH=2,HG=8,

此時E尸最小值=柩7=8,

的取值范圍是：44MNV2后.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，添加輔助

線，構(gòu)造直角全等的直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

8.（2021?四川南充?中考真題）如圖，點(diǎn)E在正方形ABCO邊4）上，點(diǎn)尸是線段AB上的

動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）.。尸交4c于點(diǎn)G,于點(diǎn)”，AB=\,DE=\-

D

AFB

(1)求tanZACE.

(2)設(shè)AF=x,GH=y,試探究y與x的函數(shù)關(guān)系式(寫出x的取值范圍).

(3)當(dāng)NA￡>F=NACE時，判斷EG與AC的位置關(guān)系并說明理由.

1Y

【答案】(1)⑵尸7n⑶E的4C,理山見解析

【分析】

(1)過E作EMMC于M,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出自D4C=45。，AD=AB=BC=1,利用等腰三

角形的性質(zhì)得出EM=AM怎,再利用正切的定義即可得出答案；

3

(2)過G作GNB48于N,先證得四邊形HANG為正方形，再證明I3GN~~團(tuán)94凡根據(jù)比

利式即可得出結(jié)論：

(3)根據(jù)EL43F=a4CE和3痼ACE=；得出AF=；,根據(jù)(2)中的函數(shù)關(guān)系式得出HG=；,

從而得出回暇/G為等腰直角三角形，繼而得出EG0AC

【解析】

(1)過E作EM2L4c于M

在正方形ABC。中0￡>AC=45。，AD=AB=BC=1

?2

^\DE=-f^\AE=-9AC=-72

?EM=AM=變AE=巫x2=也

2233

SCM=AC-AM=應(yīng)-孝=手

EMI

在Rf^\CEM中,tcui^ACE=-—

⑵過6作6雁48于N

團(tuán)HQ2A。，0DAB=9OO

團(tuán)四邊形"ANG為矩形，GA04D

團(tuán)團(tuán)HAG=45。

^AH=HG

團(tuán)四邊形HANG為正方形

⑦HG=GN=AN=y

0GAB4D

團(tuán)團(tuán)GNE?0DAF

GNNF

團(tuán)---=---

ADAF

0AF=X,^\NF=x-y

yx-y

[3—=——-

1x

x

0y=------(0V%?1)

x+l

⑶國AQF二朋CE

tan^\ACE=—

2

…LAF1

^\tcm^\ADF==—

AD2

財0=1

（?L4F=-

2

即

當(dāng)X=L時，y=HG=-

23

在R/0AHG中，E）H4G=45。

田AH=HG=1,EIHGA=45°

3

BHE=AE-AH=-

3

aaEHG為等腰直角三角形

aaEGH=45°

0MGE=9O°

回EG包4c

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)與判定、相似三角形的性質(zhì)與判定、解直角三角形等知識，適當(dāng)添

加輔助線，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?四川廣元?中考真題）如圖1,在AABC中，ZACB=90%AC=BC,點(diǎn)。是A8邊

上一點(diǎn)（含端點(diǎn)A、8）,過點(diǎn)B作BE垂直于射線C。，垂足為E,點(diǎn)F在射線C。上，且印=破，

連接AF、BF.

圖1圖2

（1）求證：qABFs巫BE；

（2）如圖2,連接AE,點(diǎn)P、M、N分別為線段AC、AE.E尸的中點(diǎn)，連接PM、MN、

PN.求NPMN的度數(shù)及空的值；

PM

（3）在（2）的條件下，若BC=C，直接寫出AP暇N面積的最大值.

MNr-1

【答案】（1）證明見解析；（2）NPMN=135";—=72；（3）-

PM4

【分析】

（1）根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等判定即可.

MN

（2）NPMN的值可以根據(jù)中位線性質(zhì)，進(jìn)行角轉(zhuǎn)換，通過三角形內(nèi)角和定理求解即可，—7

PM

AT

的比值轉(zhuǎn)換為黑的比值即可求得.

CE

（3）過點(diǎn)P作戶。垂直于的延長線于點(diǎn)。，S^PMN=~MN.PQ,將相關(guān)線段關(guān)系轉(zhuǎn)化為

CE,可得關(guān)系與加2二三。爐，觀察圖象，當(dāng)CE=8C=夜時，可得最大值.

O

【解析】

(1)證明：1348=90°,AC=BC

SAB=y[2BC,ZABC=NBAC=45;

I28E垂直于射線C￡),

0ZB￡F=9O,

又⑦EF=BE

國FB=-JlEB,NFBE=NEFB=45'

0ZABC+ZABE=ZABE+NFBE

即：ZABF=NCBE

dABBFrr

又回一=—=J2

CBBE

團(tuán)AABFS^CBE

(2)解：團(tuán)點(diǎn)尸、M、N分別為線段AC、AE.歷的中點(diǎn)

0PM//CN,MN//AF,PM」CE,MN」AF

22

回4MPN=4CNP,/CNM=NEFA

團(tuán)ZMPN+NMNP=NCNP+ZMNP=4CNM=ZEFA

宓A(chǔ)ABFSJJBE

0ZAFB=ZCEB=9O

又團(tuán)ZEFB=45

^ZEFA=ZAFB-ZBFE=90-45=45°

⑦/MPNtNMNP=45,

又團(tuán)/MPN+/MNP+NPMN=180

0ZPW=18O-45=135

-AF.

rMNAFc

又回——2_

PM

依CE

又EIAABFSACBE

^AFABrr

田---=---=J2

CECB

MNr-

0----=A/2

PM

(3)如下圖:

過點(diǎn)P作PQ垂直于NM的延長線于點(diǎn)Q,

,;NPMN=135°,

ZPMQ^45°=ZMPQ,

PQ=^-PM,

又?8C=&

^AF=y/2CE

10o

回當(dāng)CE取得最大值時?，APMN取得最大值,

???BE.LCE,

「.￡在以6c的中點(diǎn)為圓心，8C為直徑的圓上運(yùn)動，

二當(dāng)。七=。8=及時，CE最大，

11

EloS=-x2=—,

84

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形相似和判定、以及三角形面積最大值的求法，根據(jù)題意找見相關(guān)的等量

是解題關(guān)鍵.

10.（2020?遼寧大連?中考真題）如圖1,中，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,AC上，BE=CE,

點(diǎn)G在線段CO上，CG=CA,GF=DE,NAFG=NCDE.

（1）填空：與NC4G相等的角是；

（2）用等式表示線段A￡＞與8。的數(shù)量關(guān)系，并證明；

AC

（3）ZBAC=90\ZABC=2ZACD（如圖2）,求'~?的值.

AB

【答案】（1）ZCGA；（2）AD=^-BD,理由見解析；（3）立.

23

【分析】

（1）由CG=6可得到答案；

（2）在CG上取點(diǎn)丹，使GH=AF,連接￡77,先證明AAGHGAGAF,再證明四邊形AHED

是平行四邊形，從而得到E”為ACBD的中位線，從而可得答案；

（3）如圖，在CG上取點(diǎn)使GH=AF,連接同理可得：四邊形是平行四

邊形，證明A"=ZW=C"，再證明NBDE=/BED,得到BD=BE=CE,設(shè)A￡>=〃?，利用

勾股定理求解4C,即可得到答案.

【解析】

解：(1)-.,CG=CA,

NG4G=ZCGA,

故答案為：NCGA.

(2)AD=-BD,理由如下：

2

在CG上取點(diǎn)使G”=AF,連接E4,

-.-ZHGA=ZFAG,AG=GA,

.,.△AGH/△GAF,

AH=GF,NGHA=ZAFG,

???GF=DE,ZAFG=/CDE,

ZGHA=/CDE,AH=DE,

/.AH"DE,

???四邊形A"E'。是平行四邊形，

AD=EH,AD//EH,

?.?BE=CE,

???￡〃為△CM的中位線，

:.EH=-BD,

2

??.AD=-BD.

2

D

/1"

E

圖1

（3）如圖，在CG上取點(diǎn)〃，使G"=AF,連接￡77,

同理可得：四邊形4/石。是平行四邊形，

AD=EH=^BD,即為△0?￡＞的中位線，

?/ZBAC=90°,

??.AH=DH=CH,

設(shè)N4CO=x。，

ZHAC=ZHCA=x0,

ZAHD=2x0,

ZHDA=/HAD=90°-x°,

AHUDE,

:.ZHDE=ZDHA=2x°,

.\ZBDE=180o-2xo-（90o-xo）=90o-x°,

\ZABC=2ZACDf

ZB=2x°,

/BED=180°-2x°-（90°-x°）=90°-廿，

/.ZBDE=/BED,

.?.BD=BE=CE,

設(shè)AD=m,

BD=BE=CE=2m,

AB=3m,BC=4/n,

:.AC=ylBC2-AB2=J（4m）2—（3加了=島,

AC_幣m_"

AB3〃？3

1.

圖2

【點(diǎn)睛】

本題考查的等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì),三角形的中位線的性質(zhì)，

直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的判定與性質(zhì)掌握以上知識是解題的關(guān)

鍵.

11.（2021?重慶十八中模擬預(yù)測）如圖1,在四邊形ABCZ）中，/\B=AC,AC=60°,

團(tuán)8+回。+&4￡）8=4EIBAC,

於A工

DDD

圖1圖2圖3

⑴求S4OC的度數(shù)；

⑵如圖2,若AO=BO+CQ,求證：AQ平分團(tuán)3￡>C；

⑶如圖3,在(2)的條件下，E、尸分別在AC、AB上，交于點(diǎn)P,使得回BPC=I38￡>C,若

BD=EF=7,AD=15,求AEFP的面積.

【答案】⑴B4OC=60°

(2)見解析

⑶△EFP的面積為史跡

129

【分析】

(1)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和解答即可；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出。、C、￡三點(diǎn)共線，進(jìn)而得出是等邊三角形，最后根據(jù)旋

轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)解答即可；

(3)過點(diǎn)B、點(diǎn)尸分別作BGfflCQ,FHSAC,分別交的延長線于點(diǎn)G,連接BC,先證

△AFC00CEB,設(shè)CE=AF=x,根據(jù)解直角三角形得出AF、CE、8c的長，再根據(jù)三角形的

面積公式得出結(jié)論.

⑴

團(tuán)團(tuán)BAC=60°,

團(tuán)團(tuán)3+團(tuán)C+團(tuán)3￡>C=360°-60°=300°,

^BDC=^\ADB+^ADCf0B+0C+0ADB=40BAC,

回魴+0C+團(tuán)8。。-媯。。=4吸。，

的4。。=300°-240°=60°；

(2)

把△A8O繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得至IJzkACE,如圖1,

圖1

根據(jù)（1）得：a4DC=60",

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AD=AE,BD=CE,回D4E=EL4OC=60。，

^\AD—BD+CD,DE—DC+CE,

SO、C、E三點(diǎn)共線，

I30A0E是等邊三角形，

0a4L>B=0￡=6O°,

0HL4DB=EL4DC=6OO,

04。平分ELBOC；

⑶

過點(diǎn)8、點(diǎn)尸分別作BG0CD,FH^AC,分別交CD的延長線于點(diǎn)G,連接BC,

G

圖2

由題意及（2）可得：△ABC是等邊三角形，回8OC=120。,

^AB=AC=BCf^BDG=60°,

田BD=EF=7,AD=15f

7/?

^DG=-,BG=73,DC=AD-BD=8,

22

723

團(tuán)GC=GD+DC=—F8=—,

22

在Rt^BGC中,BC=yjBG2+GC2=J（半+（y）2=13,

^BPC=^BDC=120°,

團(tuán)團(tuán)P8C+0PC8=18O°-120°=60°,

00ECP+0PCB=6O°,

^\ECP=^EBCf

在AAFC與ACEB中,

/-FAC=乙BCA=60°

AC=BC，

.乙ECP=乙EBC

團(tuán)團(tuán)AFCHaC硝（ASA）,

^CE=AF,

設(shè)CE=4尸=x,

（ME=13-x,AH=cos60°-x=^-x,FH=sin60°-x=^-x,

22

3

團(tuán)EH=13x,

2

在RtAFHE中,FH2^EH2=EF2,

即（罵2+（13&）2=72,

22

解得：xi=5fX2=8,

①當(dāng)CE=A/=5時，則AE=8,

回SABEC=SRAFC='FH二Xi3x2=這

224

s_1]2137365x/3?r-

_38c-、ABEC_7、13x----=26,3,

AA224

團(tuán)SMiFE~SMRE一SMFE~26"\/5—10\fi=16\/5?

設(shè)S"FP=a,S^EFP=b,SABPC=C,S&EPC=d,

則有：a：c=b：d=FP：PC,

MSABFE=SABFP+SAFEP,SABEC=S^BPC+SXEPC,

團(tuán)SABFE：SXBEC=FP：PC,

團(tuán)S^FE:S^EC=FP:PC—16G:國產(chǎn)=",

465

同c1nrru1<5625-73

sS.=—C￡?FH=—x5x---=-----,

"FEFCC2224

⑸c64c6425y/340073

□5^=—5^=—x--=--；

②當(dāng)CE=AF=8時，AE=5,

則有：BEA=SAFC=-AC-FH=-x\3x^-=^H,

AUC/IA/ire222!

_169后6573__-

一°A4?C-D&BEC.：--=ZOV5，

48

團(tuán)S^BFE=SgBE_SgFE=65,_10JJ=25y，

44

由①得：SgFE：S.EC=FP:PC=尊:266=盤,

4104

SS^.EC=^CEFH=-x8x4y/3=16yf3,

回5回）=至5_=至*16指=竺述

皿129129129

4008

綜上所述，S

4￡fP129

【點(diǎn)睛】

本題考查了四邊形的綜合題，考查了全等三角形、等邊三角形等各個知識點(diǎn)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)

用各個知識點(diǎn).

12.(2021?江蘇?高港實(shí)驗(yàn)學(xué)校二模)如圖，在正方形ABCC中，/為BC為邊上的定點(diǎn)，E、

G分別是AB、CD邊上的動點(diǎn)，AF和EG交于點(diǎn)”且人用瓦；.

(1)求證：AF=EG；

(2)若AB=6,BF=2.

①若BE=3,求AG的長；

②連結(jié)AG、EF,求AG+E尸的最小值.

【答案】(1)見解析；(2)①百；②4石

【分析】

(1)過點(diǎn)G作GMSAD交AB于點(diǎn)M,則可得AD=MG,然后證明團(tuán)GMH3&4BF即可；

(2)①過點(diǎn)G作GMM。交A8于點(diǎn)M,連接4G,由(1)可得EM=BF=2,從而可求得

AM,在R/a4MG中由勾股定理即可求得AG的長；

②過點(diǎn)尸作尸H3EG,FP=EG,連接AP,則易得GP=EF,當(dāng)A、G、P三點(diǎn)共線時，AG+EF

最小，在Rf^AFP中由勾股定理即可求得AP的長即可.

【解析】

(1)過點(diǎn)G作GM0A。交A8于點(diǎn)M

回四邊形A5CD是正方形

團(tuán)團(tuán)BAO=團(tuán)8=90°,A813C。，AD=AB

團(tuán)團(tuán)EMG二團(tuán)BAO二團(tuán)3二900

EL4B0CD,GMMO

團(tuán)四邊形AMGD是平行四邊形

團(tuán)四邊形AMG。是矩形

^MG=AD

^\MG=AB

^AF^EG

^\AEH^EAH=90°

西EA//+0A必=90°

^\AEH=^\AFB

在團(tuán)GME和M3月中

/EMG=/B

vZAEH=ZAFB

MG=AB

甌GM￡aaA8F(A4S)

0AF=EG

(2)①過點(diǎn)G作GMZL4。交A3于點(diǎn)M,連接AG,如圖

由(1)知，^GME^ABF

國EM=BF=2

國48=6,BE=3

團(tuán)A4=AB-8E=3

^AM=AE-EM=1

2222

在R/tZLAMG中，GM=AD=69由勾股定理得：AG=-^AM+GM=>/14-6=V37

②過點(diǎn)尸作尸咫EG,FP=EG9連接AP,如圖

則四邊形EFPG是平行四邊形

aGP二EF

^AG+GP>GP

團(tuán)當(dāng)4、G、尸三點(diǎn)共線時，AG+M=AG+GP最小,最小值為線段A尸的長

ELA/T3EG,FP^\EG

0FFI2L4F

在R/B4B尸中，由勾股定理得小尸==&+力=2亞

^AF=EG,EG=FP

SFP=AF=2y/\0

在R/B4FP中，由勾股定理得AP=jAF?FP?=46

所以AG+EF的最小值為4石.

本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判

定與性質(zhì)，勾股定理,兩點(diǎn)間線段最短等知識，靈活運(yùn)用這些知識是解決的關(guān)鍵,確定AG+EF

最小值是線段AP的長是難點(diǎn).

13.（2021?廣東?深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）三模）在平行四邊形A8C。中，AD=8,DC=6,

的頂點(diǎn)在BC上，EF交直線A8于尸點(diǎn).

(1)如圖1,若NFED=NB=90°,BE=5,貝ij8F=

圖1

EFBE

(2)如圖2,在AB上取點(diǎn)G,使3G=3E,連接EG,若NB=NFED=60。，求證：H==

ED