上海市金山2023年高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生須知：

1,全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2,請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究，第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他用圓內(nèi)接和外切

正多邊形的周長確定圓周長的上下界，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得乃

的近似值，他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級數(shù)等各種萬值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn)，使

得不值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式：^=2X2X4X4X6X6X根據(jù)該公式繪制出了估

計圓周率兀的近似值的程序框圖，如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖，已知輸出的T>2.8,若判斷框內(nèi)填入的條件為42機(jī)？，

則正整數(shù)機(jī)的最小值是

A.2B.3C.4D.5

2.已知命題p:x<2m+1心：/-5x+6<0,且〃是4的必要不充分條件，則實數(shù)%的取值范圍為（）

A.m>—B.m>—C.m>\D.m>1

22

3.為比較甲、乙兩名高中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測驗（指標(biāo)值滿分為100分,

分值高者為優(yōu)），根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述不正確的是（）

.▲■甲■乙

A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙B.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算最強(qiáng)

4.已知第函數(shù)/a）=xa的圖象過點（3,5）,且。=上，。=五，c=log“一，貝！|4,b,C的大小關(guān)系為（）

4

A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

5,若函數(shù)/。）=/+℃2+3%_9在工=_3時取得極值，貝jq=（）

A.2B.3C.4D.5

6.已知四棱錐E-ABCD,底面A5CD是邊長為1的正方形，ED=1,平面EC。，平面A5C。，當(dāng)點C到平面A5E

的距離最大時，該四棱錐的體積為（）

A.—B.-C.—D.1

633

7.某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范

圍是17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為17.5,20）,20,22.5）,22.5,25）,25,27.5）,27.5,30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)

生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是（）

A.56B.60C.140D.120

8.已知拋物線>2=2px(p>0),F為拋物線的焦點且MN為過焦點的弦，若|MN|=8,則.QWN的面

積為()

A.272B.3亞C.4夜。?當(dāng)

9.如圖所示，直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8,

n64區(qū)「96島25理n

15.----------L?----------JLI.----------------

33

10.我國南北朝時的數(shù)學(xué)著作《張邱建算經(jīng)》有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先

入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中間四人未到者，亦依次更給，問各得金幾何？”則在該問題中,

等級較高的二等人所得黃金比等級較低的九等人所得黃金()

A.多1斤B.少1斤C.多2斤D.少1斤

33

一，元<0

11.已知函數(shù)/(x)=：，若函數(shù)/(x)=/(x)-履在R上有3個零點，則實數(shù)上的取值范圍為()

\nx八

--,x>0

.x

A.(0,—)B.(0,—)C.(-00,—)D.(―,—)

e2e2e2ee

12.設(shè)團(tuán)，”是空間兩條不同的直線，a,僅是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：

①若ml/a,nl//3,a11/3,則〃〃/〃；

②若。_L/?,〃?_!_，，m(ta,則m//a；

③若加_Ln,aI/(3,則〃//，；

④若aJ_p,aB=l，mlla,機(jī)_U,則根?!~/?.其中正確的是()

A.①②B.②③C.②④D.③④

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.為激發(fā)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個班進(jìn)行班級間的拔河比賽.每兩班之間只比賽

1場，目前（一）班已賽了4場，（二）班已賽了3場，（三）班已賽了2場，（四）班已賽了1場.則目前（五）班已

經(jīng)參加比賽的場次為.

14.已知點P是直線y=x+/上的動點，點。是拋物線y=f上的動點.設(shè)點M為線段的中點，。為原點，則QM的最

小值為.

15.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據(jù)實驗表明，該藥物釋放量y（〃?g/m）與時間t（h）

kt,o<?<-

2

的函數(shù)關(guān)系為y=1（如圖所示），實驗表明，當(dāng)藥物釋放量y<0.75（mg/旭3）對人體無害.(1)

1

t>-

2

k=；（2）為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過_____分鐘

人方可進(jìn)入房間.

16.若的展開式中各項系數(shù)之和為32,則展開式中x的系數(shù)為

尤

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在平面直角坐標(biāo)系X0V中，直線）="+1仕。（））與拋物線。：/=4°），（0>0）交于4,B兩點,且

當(dāng)左=1時，|A@=8.

（1）求P的值；

（2）設(shè)線段A3的中點為拋物線。在點A處的切線與C的準(zhǔn)線交于點N,證明：MN//y軸.

18.（12分）設(shè),ABC的內(nèi)角A,民C的對邊分別為〃力,c,2Z?cosB=acosC+ccosA.

（1）求3；

（2）若A6C為銳角三角形，求二的取值范圍.

a

19.（12分）二ABC中的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,C,若J%=4c,B=2C.

（1）求cosB；

（2）若c=5,點。為邊上一點，且33=6,求&A0C的面積.

20.(12分)已知。為坐標(biāo)原點，點的(一0,0),6(、6,0),5(3夜,())，動點N滿足|的|+|八5卜4百，點尸

為線段N”的中點，拋物線C：》2=2機(jī)>(加>0)上點4的縱坐標(biāo)為八，OAOS=6展.

(1)求動點P的軌跡曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若拋物線C的準(zhǔn)線上一點。滿足OPLOQ,試判斷品y+仍，是否為定值，若是，求這個定值；若不是,

請說明理由.

21.(12分)在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，46_1尸4,48〃。。,48=,8,424。是等邊三角形，點”在棱PC上，

2

平面PAD，平面ABCD.

(1)求證：平面PC0_L平面尸AD；

(2)若AB=4D,求直線AM與平面P8C所成角的正弦值的最大值；

ANPMAN

(3)設(shè)直線AM與平面PBD相交于點N,若——=—7,求——的值.

AMPCAM

22(五、(五、

22.(10分)已知橢圓：C：=+二=1(0>/?>()),四點耳(1,1),6(0,1),A，P41，：中恰有三

ab\J\?

點在橢圓C上.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓。的左右頂點分別為A5.P是橢圓C上異于A3的動點，求NAPB的正切的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解析】

ooR

初始：Z=l,7=2,第一次循環(huán)：T=2xjx：=:<2.8,k=2,繼續(xù)循環(huán)；

第二次循環(huán)：T=1X^X^=^>2.8,k=3,此時T>2.8,滿足條件，結(jié)束循環(huán)，

所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是人23?,所以正整數(shù)〃?的最小值是3,故選B.

2.D

【解析】

求出命題4不等式的解為2<x<3,〃是4的必要不充分條件，得4是。的子集，建立不等式求解.

【詳解】

解：命題p:x<2/〃+l,g:x?-5x+6<0,即：2cx<3,

〃是4的必要不充分條件，

(2,3)a(-oo,2/n+l,),

：.2/??+1>3,解得，“2/.實數(shù)機(jī)的取值范圍為〃22/.

故選：D.

【點睛】

本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：

⑴解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參

數(shù)的不等式(組)求解.

(2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗.

3.D

【解析】

根據(jù)所給的雷達(dá)圖逐個選項分析即可.

【詳解】

對于A,甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為100分，乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，

故甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于乙，故A正確；

對于B,乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)為80分，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)為60分，

故乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，故B正確；

對于C,甲的六大素養(yǎng)整體水平平均得分為

100+80+100+80+100+80_310

3

80+60+80+60+60+100

乙的六大素養(yǎng)整體水平均得分為一丁，故C正確;

對于D,甲的六大素養(yǎng)中數(shù)學(xué)運(yùn)算為80分，不是最強(qiáng)的，故D錯誤；

故選：D

【點睛】

本題考查了樣本數(shù)據(jù)的特征、平均數(shù)的計算，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.A

【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)a,根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

【詳解】

依題意，得3“=5，故&=10835€(1,2),

(1、陶5_______|

故0<a=-<1,b=^/log35>1,c=loglogi5-<0,

34

則c<a<Z?.

故選：A.

【點睛】

本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.

5.D

【解析】

對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x=-3時取得極值，得到/'(一3)=0,即可求出結(jié)果.

【詳解】

因為/(x)=d+必2+3x-9,所以r(x)=3%2+2依+3,

又函數(shù)/(x)=x3+依2+3x-9在％=—3時取得極值，

所以/(—3)=27—6a+3=0,解得a=5.

故選D

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的問題，屬于常考題型.

6.B

【解析】

過點￡作￡以，。。，垂足為"，過“作〃垂足為尸，連接EE因為C。//平面48E,所以點C到平面

冗

ABE的距離等于點H到平面ABE的距離〃.設(shè)NCD￡=8(0<eWq),將〃表示成關(guān)于。的函數(shù)，再求函數(shù)的最值,

即可得答案.

【詳解】

過點E作E”_LCD,垂足為“，過"作〃尸，AB，垂足為尸，連接EE

因為平面EC。，平面A5C。，所以上夕，平面ABC。，

所以EHA.HF.

因為底面ABQ9是邊長為1的正方形，HF//AD,所以狼=AQ=1.

因為CP//平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.

易證平面￡FH，平面ABE,

所以點H到平面A5E的距離，即為“到E尸的距離〃.

不妨設(shè)/?！?lt;=6(0<(9(5)，則￡'"=$山6，EF=\]1+sin20?

因為SEHF=gEFh=g.EHFH,所以。Jl+sh?。=sin。，

,_sin。_1<3

所以‘飛+sin2=h門—彳，當(dāng)。=方時，等號成立?

1,1

2

此時E/Z與E。重合，所以E”=l,VE_ABCD=-xIx1=-.

故選：B.

本題考查空間中點到面的距離的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,

求解時注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.

7.C

【解析】

試題分析：由題意得，自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為（0.16+0.08+0.04）x2.5=0.7,故自習(xí)時間不少于22.5小時

的頻率為0.7x200=140,故選C.

考點：頻率分布直方圖及其應(yīng)用.

8.A

【解析】

根據(jù)I1=1可知V=4x，再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.

【詳解】

由題意可知拋物線方程為y2=4x,設(shè)點M（玉,%）點N（W,為），則由拋物線定義

知,MNHM用+1樣1=藥+馬+2,1"N|=8則$+々=6.

2

由y2=4%得y）=4芭,y\=4X2則y；+及=24.

又MN為過焦點的弦，所以弘必=一4,則昆一y|="寸+貨-2%%=4近,所以S1-兇|=2夜.

故選：A

【點睛】

本題考查拋物線的方程應(yīng)用，同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.

9.A

【解析】

設(shè)球心為。，三棱柱的上底面/由鳥G的內(nèi)切圓的圓心為該圓與邊與J切于點M,根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得，。。產(chǎn)/為

直角三角形，然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出圓。/半徑，進(jìn)而求得球的半徑，最后可求出球的體積.

【詳解】

如圖，設(shè)三棱柱為，48C-4坊G，AAB=12,BC=5,AC=13,高必=4.

所以底面/當(dāng)嗎J為斜邊是由的的直角三角形，設(shè)該三角形的內(nèi)切圓為圓圓。/與邊與g切于點M,

則圓。/的半徑為=2.

0

B

設(shè)球心為O,則由球的幾何知識得仞。也為直角三角形，且。0=8-4=4,

所以O(shè)A/=卜+/=2而，

即球。的半徑為R5，

所以球O的體積為:x乃x(27=絲3.

故選A.

【點睛】

本題考查與球有關(guān)的組合體的問題，解答本題的關(guān)鍵有兩個：

(1)構(gòu)造以球半徑及、球心到小圓圓心的距離4和小圓半徑，為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，這

是解決與球有關(guān)的問題時常用的方法.

(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑「=佇0,合理利用中間結(jié)論可提高

2

解題的效率.

10.C

【解析】

設(shè)這十等人所得黃金的重量從大到小依次組成等差數(shù)列｛4｝，則％+4+%=4,%+%+%)=3,由等差數(shù)列的性

,441

質(zhì)得%=大,%=1,?二g一%=§_]=q，

故選C

11.B

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當(dāng)x<0,無>(),將問題轉(zhuǎn)化為％=￡國的零點問題，用數(shù)形結(jié)合的方法研究.

X

【詳解】

當(dāng)x<0時，k==\,令g(x)=4，g'(x)=--^->0,g(x)在xe(-8,0)是增函數(shù)，左>0時，攵=/1^1

XXx~XX

有一個零點,

當(dāng)x>0時，人盤=與，令h(x)=H,〃，(x)=lz4H

XXXX

當(dāng)xe((),五)時，〃'(x)X),；./z(x)在(0,〃)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(G,+oo)時，"(x)VO,〃(x)在(〃,+oo)上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=&時，〃(%)取得最大值乙，

2e

因為尸(x)=-履在R上有3個零點，

所以當(dāng)x〉0時，。有2個零點，

X

如圖所示：

綜上可得實數(shù)A的取值范圍為(。,?

故選：B

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.

12.C

【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.

【詳解】

解：①：加、〃也可能相交或異面，故①錯

②：因為。_L/7,mLp,所以加ua或加//c,

因為/nda,所以m//a,故②對

③：〃//￡或〃u￡,故③錯

因為a0=1,在內(nèi)a過點￡作直線/的垂線a,

則直線。，尸，a±/

又因為m//a,設(shè)經(jīng)過〃?和a相交的平面與a交于直線。，則加/必

又mL,所以。_U

因為a_L/,b±l,bua,aua

所以匕//a//〃z,所以“，尸，故④對.

故選：C

【點睛】

考查線面平行或垂直的判斷，基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.2

【解析】

根據(jù)比賽場次，分析，畫出圖象，計算結(jié)果.

【詳解】

畫圖所示，可知目前（五）班已經(jīng)賽了2場.

（-?）班（二）班（三）班（四）班（五）班

故答案為：2

【點睛】

本題考查推理，計數(shù)原理的圖形表示，意在考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題型.

3亞

14.~16

【解析】

過點。作直線平行于y=x+/,則M在兩條平行線的中間直線上，當(dāng)直線相切時距離最小，計算得到答案.

【詳解】

如圖所示：過點。作直線平行于丫=》+/,則卜在兩條平行線的中間直線上，

11

2X=~V=X-~

y=x\則『=2x=],2,故拋物線的與直線平行的切線為-4.

3限

V=x+-d=—（==-----

點“為線段/b的中點，故M在直線§時距離最小，故也16.

34

故答案為：元.

【點睛】

本題考查了拋物線中距離的最值問題，轉(zhuǎn)化為切線問題是解題的關(guān)鍵.

15.240

【解析】

(1)由/='時,

y=l,即可得出A的值;

2

2

(2)解不等式組,即可得出答案.

—<0.75

2t

【詳解】

1]_1_SL_2

(D由圖可知，當(dāng)r=—時，>=1,即，1一in、一

2KX—

2

t>-

22

(2)由題意可得,解得/>§

—<0.75

[2t

2

則為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過60=40分鐘人方可進(jìn)入

房間.

故答案為:(1)2；(2)40

【點睛】

本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.2025

【解析】

利用賦值法，結(jié)合展開式中各項系數(shù)之和列方程，由此求得〃的值.再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中x的

系數(shù).

【詳解】

依題意，令x=l,解得2"=32,所以〃=5,則二項式的展開式的通項為:

(2Y三5

?一3/=55一。(—3)℃]X2

\7

3

令一5=1,得廠=4,所以x的系數(shù)為55-4、(一3尸xC：=2025.

2

故答案為：2025

【點睛】

本小題主要考查二項式展開式各項系數(shù)之和，考查二項式展開式指定項系數(shù)的求法，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)1；(2)見解析

【解析】

(1)設(shè)A(/y),聯(lián)立直線和拋物線方程，得1-4*-4。=0,寫出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長公式，即可求

出P=l；

(2)由)得y，=；x,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出拋物線在點A點處切線方程，進(jìn)而求出％N=XM，即可證

出A/N//y軸.

【詳解】

解：⑴設(shè)A(X1,yJ,8(孫為)，

將直線/代入C中整理得：V-4沖-4/7=0,

x,+x2=4p,xix2--4p,

:.|AB\=>/2?J（X1+工2）2-4中2=3,Jl6P2+16p=8,

解得：P=L

⑵同（1）假設(shè)A（X1,yJ,B（x2,y2）,

由,y%2,得了=白,

從而拋物線在點4點處的切線方程為y#%(X一%),

1I

即an,=5玉彳_1石2，

令y=-i,得/=T—,

2%,

k+與々_X,+X_

由(1)知一4=否％2，從而礪2

2

這表明MN//y軸.

【點睛】

本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及聯(lián)立方程組、韋達(dá)定理、弦長公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想

和計算能力.

18.(1)B=—(2)一,21

312J

【解析】

(1)利用正弦定理化簡已知條件，由此求得cosb的值，進(jìn)而求得B的大小.

(2)利用正弦定理和兩角差的正弦公式，求得￡的表達(dá)式，進(jìn)而求得二的取值范圍.

aa

【詳解】

(1)由題設(shè)知，2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,

即2sinBcosB=sin(A+C),

所以2sin3cos3=sin3,

即cos3=',又()v3<九

2

TT

所以8=

3

(2)由題設(shè)知，csinCsin(1200-A)]cosA+；sinA,

asinAsinAsinA

即￡=立L_+l,

a2tanA2

又ABC為銳角三角形，所以30°<A<90°,即tanA>也

3

所以0<」一<百，即!<且.-?—+!<2,

tanA22tanA2

所以上的取值范圍是j1,21.

【點睛】

本小題主要考查利用正弦定理解三角形，考查利用角的范圍，求邊的比值的取值范圍，屬于中檔題.

3

19.(1)-(2)10

5

【解析】

(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理，可得8$。=至，再根據(jù)二倍角的余弦公式計算COS8即可;

5

(2)由已知可得8=46,利用余弦定理解出。，由已知計算出8與sinC,再根據(jù)三角形的面積公式求出結(jié)果即

可.

【詳解】

(1)B=2C,

?*-sinB=sin2C=2sinCcosC,

.———sinBb

在.A8C中，由正弦定理得，-----=-

sinCc

又用=4c，

.「sinBb2^5

…cosC=--------=—=------

2sinC2c5

、3

/.cosB—cos2C=2cos"C-1=—

5

???b=4亞,

由余弦定理得，Z?2=a2+c2-2accos8,

,3

則80=標(biāo)+25-

化簡得，a2-6a-55=0,

解得。=11或。=一5（負(fù)值舍去）,

BD=6,：.CD=5,

COSC=~~'。€(°，%)，

sinC=Vl-cos2C=,

???工ADC的面積S=，OC.AC-sinC=Lx5x4V^x乎=10.

22

【點睛】

本題考查了三角形面積公式以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查了二倍角公式的應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

2

20.（1）曲線卬的標(biāo)準(zhǔn)方程為、+y2=i.拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為*2=2#〃Q）見解析

【解析】

(1)由題知|產(chǎn)品|+|尸產(chǎn)2|=幽業(yè)川=26>|尸1尸2|,判斷動點尸的軌跡W是橢圓，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)平面

2

向量數(shù)量積運(yùn)算和點A在拋物線上求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)出點尸的坐標(biāo)，再表示出點N和。的坐標(biāo)，根

據(jù)題意求出產(chǎn)的值，即可判斷結(jié)果是否成立.

\OP\-\0Q\-

【詳解】

(1)由題知歸周=中，|?用=崢1,

所以|P制+|P用」八用.；加周=26>忻用，

因此動點P的軌跡W是以"，工為焦點的橢圓，

又知2a=26，2c=2&，

2

所以曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程為±+y2=i.

3-

又由題知

所以O(shè)AOS=(%指卜卜0,0)=3瓜人=6屈,

所以4=26，

又因為點A(26,指)在拋物線C上，所以加=指，

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為￡=2a.

(2)設(shè)尸(赤，%),Q%2，一日)，

由題知OP_LOQ,所以X/%-邁型=0,即々=西上(％,*0),

22%p

—!~^+—!~^=,1,+二—3+2*

所以|OP『|OQ『片+療3/3=(2-^v

2門23+叼

又因為與+次=1,"

3+2莓3+2xp]

所以(片+/)，

33(X2+1_4｝

Ip3>

所以Q^+歷，為定值，且定值為1?

【點睛】

本題考查了圓錐曲線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查拋物線的幾何性質(zhì)及點在曲線上的代換，也考查了推理與運(yùn)算能

力，是中檔題.

21.(1)證明見解析(2)2叵(3)任=工

19AM2

【解析】

(1)取中點為0,連接P。,由等邊三角形性質(zhì)可得PO_LAQ,再由面面垂直的性質(zhì)可得PO，DC，根據(jù)平行直線

的性質(zhì)可得CD1PA，進(jìn)而求證；

(2)以。為原點，過。作AB的平行線OF，分別以。4,OE,OP分別為x軸,丁機(jī)二軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

AB=AD=2,由點M在棱PC上河設(shè)QM=(1—r)OP+rOC=(T4f,G(1—1))/e[0,1]，即可得到AM，再求得平

面P3C的法向量，進(jìn)而利用數(shù)量積求解；

ANPM__.___________

(3)設(shè)A￡>=2,OC=〃z,——=：=女,則PM=ZPC,AN=kAM,求得AM，AN，即可求得點N的坐標(biāo)，再由

AMPC

DN與平面PBD的法向量垂直，進(jìn)而求解.

【詳解】

(1)證明:取AD中點為連接P。，

因為叢PAD是等邊三角形，所以PO1AD,

因為平面HADI平面ABCD且相交于AD，所以PO，平面ABCD,^以尸O_LDC,

因為AB〃CD,AB，PA,所以C。，P4,

因為P0PA=P,在平面PAD內(nèi)，所以CO_L平面PAD,

所以平面PC?！榔矫鍼AO.

(2)以。為原點，過。作A3的平行線OF，分別以。4,OF,。尸分別為x軸,V軸，二軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

AB=AD=2,則A(l,0,0),5(1,2,0),C(-l,4,0),P((),0,6),

因為"在棱PC上，可設(shè)=(1-z)OP+/OC=(T,4r,V3(l-z)),re[0,l],

所以=—"8(IT)),

設(shè)平面PBC的法向量為〃=(x,y,z)，因為BC=(-2,2,0),PC=(-1,4,—百),

x=l

n-BC=0—2x+2y=0

所以《，令尤=1,可得，y=l，即〃

，即-x+4y—Gz=0=