(人教A版必修第二冊)高一數(shù)學下冊同步講義 專題08 空間直線與平面與平面與平面的垂直（重難點突破）原卷版+解析

專題08空間直線與平面、平面與平面的垂直一、考情分析二、考點梳理考點一直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b考點二平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α考點三知識拓展1.兩個重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”.

三、題型突破重難點題型突破01線面垂直例1．（1）、（2021·陜西·西安高級中學高一階段練習）若表示直線，表示平面，下面推論中正確的個數(shù)為（

）①，則；②，則；③，則.A．1 B．2 C．3 D．0（2）、（2022·全國·高三專題練習）如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體S－EFG中必有（

）A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF（3）、（2022·廣東茂名·高三階段練習）（多選題）已知正方體中，點是底面的中心，點是側(cè)面內(nèi)的一個動點，且平面，則以下關系一定正確的是（

）A． B． C． D．

【變式訓練1-1】、（2022·浙江麗水·高二期末）空間中兩條不同的直線m，n和平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【變式訓練1-2】、（2022·浙江·模擬預測）已知圓錐SO，AB是圓O的直徑，P是圓O上一點（不與A，B重合），Q在平面SAB上，則（

）A．直線可能與平面垂直 B．直線可能與平面垂直C．直線可能與平面平行 D．直線可能與平面平行【變式訓練1-3】、（2022·全國·模擬預測）（多選題）如圖，在正四棱柱中，與交于點，是上的動點，下列說法中一定正確的是（

）A．B．平面C．點在上運動時，三棱錐的體積為定值D．點在上運動時，始終與平面平行

例2．（2022·四川成都·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，平面ABE，且，，，.(1)求證：平面ABC；(2)若點F滿足，且平面CEF，求.【變式訓練2-1】、（2022·廣西廣西·模擬預測（文））在平行四邊形中，，，過點A作CD的垂線交CD的延長線于點E，，連接EB交AD于點F，如圖①，將沿AD折起，使得點E到達點P的位置，如圖②.(1)求證：平面；(2)若G為PB的中點，H為CD的中點，且平面平面ABCD，求三棱錐的體積.

【變式訓練2-2】、（2022·山西晉中·一模（文））如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，過點B作BE⊥AC，交AD于點E，點F，G分別為線段PD，DC的中點．(1)證明：AC⊥平面BEF；(2)求三棱錐F-BGE的體積．

重難點題型突破02面面垂直例3．（1）、（2022·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高一期末）已知兩條直線及兩個平面，以下說法中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則（2）、（2021·山東·高二學業(yè)考試）如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE（3）、（2021·山東省濰坊第四中學高三開學考試）（多選題）在四邊形ABCD中，，，，，將沿BD折起，使平面平面BCD，構(gòu)成三棱錐，則在三棱錐中，下列命題錯誤的是（

）A．平面平面ABC B．平面平面BCDC．平面平面BCD D．平面平面ABC（4）、（2021·四川省內(nèi)江市第六中學高二階段練習（理））如圖，已知矩形ABCD，，，平面ABCD，且，點E為線段DC(除端點外)上的一點，沿直線AE將向上翻折成，M為的中點，則下列結(jié)論正確的有______．(寫出所有正確結(jié)論的序號)①三棱錐的體積為；②當點E固定在線段DC某位置時，則在某圓上運動；③當點E在線段DC上運動時，則在某球面上運動；④當點E在線段DC上運動時，三棱錐的體積的最小值為． 【變式訓練3-1】、（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二開學考試）（多選題）己知m，n為兩條不重合的直線，，為兩個不重合的平面，則（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，則

【變式訓練3-2】、（2022·四川達州·高二期末（文））（多選題）在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點，下列敘述正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【變式訓練3-3】、（2022·全國·高三專題練習）（多選題）如圖，點為邊長為1的正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，則（

）A．直線、是異面直線B．C．直線與平面所成角的正弦值為D．三棱錐的體積為

【變式訓練3-4】、（2021·河南省杞縣高中高三階段練習（理））已知，是兩條直線，、、是三個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，且，，則；④若，為異面直線，且，，，，則．其中正確命題的序號是______．例4．（2022·陜西咸陽·高一期末）如圖甲，直角梯形中，，，為的中點，在上，且，現(xiàn)沿把四邊形折起得到空間幾何體，如圖乙.在圖乙中求證：(1)平面平面；(2)平面平面.

【變式訓練4-1】、（廣西玉林市普通高中2022屆高三3月教學質(zhì)量監(jiān)測考試（第一次適應性測試）數(shù)學（文）試題）如圖所示，己知四棱錐中底面是矩形，面底面且，，為中點.(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離.【變式訓練4-2】、（2021·西藏林芝·高三階段練習（文））如圖所示，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點.(1)求證：平面平面.(2)若，求三棱錐的體積.

重難點題型突破03綜合應用例5．（2022·遼寧實驗中學高三階段練習）如圖，在正三棱柱中，各棱長均為2，D是的中點．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面ABC所成角的大?。?/p>

例6．（2022·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA＝PB＝3．(1)證明：∠PAD＝∠PBC；(2)當直線PA與平面PCD所成角的正弦值最大時，求此時二面角P—AB—C的大小．

例7．（2022·浙江紹興·高三期末）如圖，三棱錐中，，，.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.

例8．（2022·重慶南開中學模擬預測）如圖所示，四棱錐中，△為正三角形，，，，.(1)求四棱錐的體積；(2)求與面所成角的正弦值.

四、課堂訓練（30分鐘）1．（2022·黑龍江·一模（理））設m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列四個命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則2．（2022·四川·成都七中高三開學考試（文））已知，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題是真命題的個數(shù)為（

）命題①：若，，則

命題②：若，，則命題③：若，，則

命題④：若，，則A．4 B．3 C．2 D．13．（2022·浙江·高三專題練習）如圖，在正方體中，點P是線段上的一個動點，有下列三個結(jié)論：①面；②；③面面．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②4．（2021·陜西·西安高級中學高一階段練習）如圖，在直三棱柱中，為的中點，下列說法正確的個數(shù)有（

）①平面；②平面；③平面平面.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．（2021·湖南·常德市第二中學高二期中）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M?N分別為AC，A1B的中點，則下列說法正確的是（

）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直線MN與平面ABCD所成角為45°D．異面直線MN與DD1所成角為60°6．（2021·湖南·常德市第二中學高二期末）如圖，直線PA垂直于圓O所在的平面，△ABC內(nèi)接于圓O，且AB為圓O的直徑，點M為線段PB的中點．以下結(jié)論成立的是（

）A．BC⊥PCB．OM⊥平面ABCC．點B到平面PAC的距離等于線段BC的長D．三棱錐M-PAC的體積等于三棱錐M-ABC體積7．（2022·四川·成都七中高三開學考試（理））在三棱錐中，，，，且.(1)證明：平面平面；(2)求鈍二面角的余弦值.

8．（2022·全國·高三專題練習）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC=.點E在PC上.(1)求證：平面BDE⊥平面PAC；(2)若E為PC的中點，求直線PC與平面AED所成的角的正弦值.專題08空間直線與平面、平面與平面的垂直一、考情分析二、考點梳理考點一直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b考點二平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形表示符號表示判定定理一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α考點三知識拓展1.兩個重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面.(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法).2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”.

三、題型突破重難點題型突破01線面垂直例1．（1）、（2021·陜西·西安高級中學高一階段練習）若表示直線，表示平面，下面推論中正確的個數(shù)為（

）①，則；②，則；③，則.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【解析】【分析】對于①，利用線面垂直的性質(zhì)判斷即可，對于②，由線面垂直的性質(zhì)和線面平行的判定判斷，對于③，由線面平行的性質(zhì)判斷【詳解】對于①，當時，則相交垂直或異面垂直，所以①正確，對于②，當時，或，所以②錯誤，對于③，當時，與平行，或相交，或，所以③錯誤，故選：A（2）、（2022·全國·高三專題練習）如圖，在正方形SG1G2G3中，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)在沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使G1，G2，G3三點重合，重合后的點記為G，則在四面體S－EFG中必有（

）A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF【答案】A【解析】【分析】根據(jù)在折疊的過程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即可得SG⊥GE，SG⊥GF，從而由線面垂直的判定定理可得結(jié)論【詳解】對于A，因為在正方形SG1G2G3中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，所以在四面體SEFG中，SG⊥GE，SG⊥GF，因為GE∩GF＝G，所以SG⊥平面EFG．所以A正確，對于B，因為SG⊥平面EFG，平面，所以，所以，所以不可能為直角，所以與不垂直，所以與平面不可能垂直，所以B錯誤，對于C，由題意可知為等腰直角三角形，且，，所以與平面不可能垂直，所以C錯誤，對于D，由選項B的解析可知，不可能為直角，所以與不垂直，所以與平面不可能垂直，所以D錯誤，故選：A．（3）、（2022·廣東茂名·高三階段練習）（多選題）已知正方體中，點是底面的中心，點是側(cè)面內(nèi)的一個動點，且平面，則以下關系一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正方體的性質(zhì)，利用線面、面面平行垂直的判定定理及性質(zhì)定理逐一驗證即可.【詳解】A：因為O為底面中心，連接，，因為平面，根據(jù)線面平行性質(zhì)定理可知：，A正確；B：因為直線CM與平面不平行，所以點C與點M到平面的距離必然不相等，故，B錯誤.C：根據(jù)中位線可知：M為中點，所以，因為與不垂直，所以不垂直，故C錯誤.D：根據(jù)正方體性質(zhì)易知：平面，所以，所以，故D正確.故選：AD【變式訓練1-1】、（2022·浙江麗水·高二期末）空間中兩條不同的直線m，n和平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】A【解析】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)判斷A；舉特例說明并判斷B，C，D作答.【詳解】對于A，，，由線面垂直的性質(zhì)知，，A正確；對于B，在長方體，平面視為平面，棱所在直線分別視為直線m，n，如圖，顯然有，，此時m與n相交，B不正確；對于C，在長方體，平面視為平面，棱所在直線分別視為直線m，n，顯然有，，此時，C不正確；對于D，在長方體，平面視為平面，棱所在直線分別視為直線m，n，顯然有，，此時，D不正確.故選：A【變式訓練1-2】、（2022·浙江·模擬預測）已知圓錐SO，AB是圓O的直徑，P是圓O上一點（不與A，B重合），Q在平面SAB上，則（

）A．直線可能與平面垂直 B．直線可能與平面垂直C．直線可能與平面平行 D．直線可能與平面平行【答案】C【解析】【分析】按照對應選項的條件假設，再結(jié)合題目條件，利用反證法證明，對選項逐一判斷.【詳解】對A，若平面，則，又，平面，平面，又因為時，不垂直于平面，所以必相交，所以平面，不符合題意，故A錯誤；對B，若平面，則，又，平面，平面，又因為時，不垂直于平面，所以必相交，所以平面，不符合題意，故B錯誤；對C，若平面，又平面，平面平面，所以，如圖所示，可能存在，故C正確；對D，與平面有公共點，不可能平行，故D錯誤.故選：C【點睛】解答本題的關鍵是利用反證法對選項逐一證明判斷.【變式訓練1-3】、（2022·全國·模擬預測）（多選題）如圖，在正四棱柱中，與交于點，是上的動點，下列說法中一定正確的是（

）A．B．平面C．點在上運動時，三棱錐的體積為定值D．點在上運動時，始終與平面平行【答案】ACD【解析】【分析】依題意可得，，即可得到平面，即可判斷A；根據(jù)正四棱柱的性質(zhì)可得不一定成立，即可判斷B，易知平面，即可判斷C，由面面平行的判定定理得到平面平面，由平面，即可得到平面，即可得證；【詳解】解：對于選項A，由條件得，，，平面，所以平面．又因為平面，所以，故選項A正確；對于選項B，由于正四棱柱的側(cè)面不一定是正方形，所以不一定成立，所以平面不一定成立，故選項B錯誤；對于選項C，易知平面，所以點到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，故選項C正確；對于選項D，由于，，所以平面，且，平面，且，所以平面平面，點在上運動時，平面，所以平面，故選項D正確．故選：ACD．例2．（2022·四川成都·高三階段練習（文））如圖，在四棱錐中，平面ABE，且，，，.(1)求證：平面ABC；(2)若點F滿足，且平面CEF，求.【答案】(1)證明見解析(2)4【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理求得，再根據(jù)勾股定理證得，利用線面垂直的判定定理可得證；（2）連接交于點，連接，根據(jù)平面，得到，由求解.(1)證明：在中，，解得.∴，即.∵平面ABE，∴，又AB，平面ABC，，∴平面ABC.(2)解：如圖所示：連接交于點，連接.∵平面，平面平面，∴，∴.在直角梯形中，，∴，所以，所以，∴.【變式訓練2-1】、（2022·廣西廣西·模擬預測（文））在平行四邊形中，，，過點A作CD的垂線交CD的延長線于點E，，連接EB交AD于點F，如圖①，將沿AD折起，使得點E到達點P的位置，如圖②.(1)求證：平面；(2)若G為PB的中點，H為CD的中點，且平面平面ABCD，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）通過證明來證得平面.（2）先證明平面，然后根據(jù)錐體體積公式，求得三棱錐的體積.(1)折疊前，在中，，，且，是直角三角形，，，在中，，，，，，又，，.折疊后，，，，平面BFP.(2)平面平面ABCD，且平面平面，平面ADP，且由（1）知，平面ABCD.由（1）得.由于是的中點，所以到平面的距離是到平面的距離的一半.設到平面的距離為，則.，，.【變式訓練2-2】、（2022·山西晉中·一模（文））如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，過點B作BE⊥AC，交AD于點E，點F，G分別為線段PD，DC的中點．(1)證明：AC⊥平面BEF；(2)求三棱錐F-BGE的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用線面垂直證明，由可知，結(jié)合可以證明結(jié)論.（2）先利用面積分割法求出三角形BGE的底面積，然后利用椎體的計算公式求解.(1)證明：，所以，又，，，，又，，，點E為線段AD的中點，，又平面ABCD，平面ABCD，，，又，EF，平面BEF，平面BEF．(2)解：由（1）可知且又平面ABCD平面ABCD所以三棱錐．重難點題型突破02面面垂直例3．（1）、（2022·陜西·寶雞市金臺區(qū)教育體育局教研室高一期末）已知兩條直線及兩個平面，以下說法中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面平行、線線平行的性質(zhì)可判斷AB，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可判斷CD.【詳解】對于A，，，則可能平行、相交、異面，故錯誤；對于B，，，則在平面內(nèi)或，故錯誤；對于C，由，，可得，又，所以，故正確；對于D，由C可知，得不到，故錯誤.故選：C（2）、（2021·山東·高二學業(yè)考試）如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE【答案】C【解析】【分析】利用垂直關系，結(jié)合面面垂直的判斷定理，即可判斷選項.【詳解】因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因為AC在平面ABC內(nèi)，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選：C（3）、（2021·山東省濰坊第四中學高三開學考試）（多選題）在四邊形ABCD中，，，，，將沿BD折起，使平面平面BCD，構(gòu)成三棱錐，則在三棱錐中，下列命題錯誤的是（

）A．平面平面ABC B．平面平面BCDC．平面平面BCD D．平面平面ABC【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合面面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合二面角的定義，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：因為在四邊形ABCD中，，，，，所以，又平面平面BCD，且平面平面，故平面ABD，又面，則，又，又面，故平面ADC，又面，所以平面平面ADC，故正確；設，則，，，由，又，面，可得平面ADC，又面，可得，，所以為平面ABD與平面ABC所成角，且，故二面角不為直角，故錯誤；由上述證明可知，為平面ADC與平面BCD所成角，為45°，故錯誤；若平面平面BCD，取BC的中點H，可得，則平面ABC，平面ABC，可得，而△中，，，，顯然△不為直角三角形，故錯誤.故選：ABC.（4）、（2021·四川省內(nèi)江市第六中學高二階段練習（理））如圖，已知矩形ABCD，，，平面ABCD，且，點E為線段DC(除端點外)上的一點，沿直線AE將向上翻折成，M為的中點，則下列結(jié)論正確的有______．(寫出所有正確結(jié)論的序號)①三棱錐的體積為；②當點E固定在線段DC某位置時，則在某圓上運動；③當點E在線段DC上運動時，則在某球面上運動；④當點E在線段DC上運動時，三棱錐的體積的最小值為．【答案】②③④【解析】【分析】利用等體積法求出體積，即可判斷選項①，利用A⊥E，即可判斷選項②，根據(jù)A＝1保持不變，即可判斷選項③，求出點M到平面BCF的距離的最小值，過點A作出BF的垂線，求出最小值，即可判斷選項④．【詳解】對于①，由等體積法可得，，∴三棱錐A﹣BCF的體積為，故選項①錯誤；對于②，當固定點E時，可知點在球面被平面截得的圓弧上，即在某圓上運動，故選項②正確；對于③，當點E在線段DC上運動時，A＝1保持不變，∴點的軌跡為以點A為球心，半徑為1的球面的一部分，故選項③正確；對于④，∵BC×BF，∴求三棱錐M﹣BCF的體積的最小值即求點M到平面BCF的距離的最小值，即求點到平面距離d的最小值，且d，過點A作BF的垂線，垂足為H，∵AF⊥平面ABCD，且BC平面ABCD，故AF⊥BC，又BC⊥AB，且ABAF＝A，AF，AB平面ABF，∴BC⊥平面ABF，又AH?平面ABF，則BC⊥AH，又BCBF＝F，BC，BF?平面BCF，故AH⊥平面BCF，∵點在以點A為球心，半徑為1的球面上運動，則點到平面BCF距離的最小值為d＝AH﹣1，∴，故三棱錐M﹣BCF的體積的最小值為，故選項④正確．故答案為：②③④． 【變式訓練3-1】、（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高二開學考試）（多選題）己知m，n為兩條不重合的直線，，為兩個不重合的平面，則（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間里面直線、平面的位置關系即可逐項判斷.根據(jù)線面平行判定定理可以判斷A，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可判斷B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷C，根據(jù)面面垂直的判定定理可判斷D.【詳解】若，，則無法判斷m與平面α的位置關系，故A錯誤；若，，，故根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知m∥n，故B正確；若，，則根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理知m∥n，故C正確；若，，則根據(jù)面面垂直的判定定理知，故D正確.故選：BCD.【變式訓練3-2】、（2022·四川達州·高二期末（文））（多選題）在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點，下列敘述正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】D【解析】【分析】利用反證法可判斷A選項；利用面面垂直的性質(zhì)可判斷BC選項；利用面面垂直的判定可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，平面，若平面，因為，則平面平面，事實上，平面與平面相交，假設不成立，A錯；對于B選項，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，平面，平面，則，，，平面，而過作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯；對于C選項，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為平面，平面，則，，，則平面，若平面平面，過點在平面內(nèi)作，垂足為點，因為平面平面，平面平面，平面，平面，而過點作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯；對于D選項，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，，，平面，因為平面，因此，平面平面平面，D對.故選：D.【變式訓練3-3】、（2022·全國·高三專題練習）（多選題）如圖，點為邊長為1的正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點，則（

）A．直線、是異面直線B．C．直線與平面所成角的正弦值為D．三棱錐的體積為【答案】BD【解析】【分析】通過作輔助線可以看到直線、是相交直線，說明A選項錯誤；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可以證明平面，從而求得，計算線與平面所成角的正弦值即可判斷C的正誤，借助于C的計算過程，再求出，可知B的對錯；根據(jù)三棱錐體積公式求得其體積即可判斷D的對錯.【詳解】對于A選項，連接，則點為的中點，、平面，平面，同理可知平面，所以，與不是異面直線，A選項錯誤；對于C選項，四邊形是邊長為的正方形，，平面平面，交線為，平面，平面，所以，直線與平面所成角為，為的中點，且是邊長為的正三角形，則，，，C選項錯誤；對于B選項，取的中點，連接、，則且，，平面，平面，平面，，，，B選項正確；對于D選項，平面，的面積為，所以三棱錐的體積為，D選項正確.故選：BD.【變式訓練3-4】、（2021·河南省杞縣高中高三階段練習（理））已知，是兩條直線，、、是三個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，且，，則；④若，為異面直線，且，，，，則．其中正確命題的序號是______．【答案】②④【解析】【分析】作出一個正方體，進而根據(jù)各個面的位置關系并結(jié)合條件可以判斷①；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可以判斷②；根據(jù)面面平行的判定定理可以判斷③④.【詳解】如圖1，記平面為平面，平面，平面，顯然，，但.所以①錯誤；垂直于同一條直線的兩個平面平行.所以②正確；一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行.所以③錯誤；如圖2，因為，過m作平面，使得，所以，易知，所以，又異面，則相交，設交點為M，又，，所以.所以④正確.故答案為：②④.例4．（2022·陜西咸陽·高一期末）如圖甲，直角梯形中，，，為的中點，在上，且，現(xiàn)沿把四邊形折起得到空間幾何體，如圖乙.在圖乙中求證：(1)平面平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）證明出平面，平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立.(1)證明：翻折前，，翻折后，則有，，因為平面，平面，平面，因為平面，平面，平面，因為，因此，平面平面.(2)證明：翻折前，在梯形中，，，則，，則，翻折后，對應地，，，因為，所以，平面，，則平面，平面，因此，平面平面.【變式訓練4-1】、（廣西玉林市普通高中2022屆高三3月教學質(zhì)量監(jiān)測考試（第一次適應性測試）數(shù)學（文）試題）如圖所示，己知四棱錐中底面是矩形，面底面且，，為中點.(1)求證：平面平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理可得線面垂直，結(jié)合勾股定理可證面面垂直；（2）利用等體積轉(zhuǎn)化求點到平面的距離.(1)由平面底面，且平面底面，又底面是矩形，則，，平面，，，又，且是中點，，，，，，又，則平面，又平面，所以平面平面；(2)如圖所示，取中點，連接，作，連接，則，，又平面底面，且平面底面，平面，故平面，，，，又，即，，解得，故點到平面的距離為.【變式訓練4-2】、（2021·西藏林芝·高三階段練習（文））如圖所示，直三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點.(1)求證：平面平面.(2)若，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可得證；（2）利用等體積法，計算體積即可.(1)證明：幾何體是直棱柱，底面，又底面，，直三棱柱的底面是正三角形，是的中點，.又，平面，平面，平面，平面平面；(2)為，在直角中，可得，等邊三角形的邊長為2，，，利用等體積法知.重難點題型突破03綜合應用例5．（2022·遼寧實驗中學高三階段練習）如圖，在正三棱柱中，各棱長均為2，D是的中點．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面ABC所成角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）取的中點為，的中點為，連接，可得平面，從而得到所證的面面垂直.（2）延長交的延長線于，連接，可證為平面與平面ABC所成的銳二面角，根據(jù)可得其大小.(1)取的中點為，的中點為，連接，由正三棱柱可得平面，而平面，故，而為等邊三角形，，所以，在中，、分別為所在棱的中點，故，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，由可得平面，而平面，故平面平面.(2)延長交的延長線于，連接.因為，故，由可得，所以，因為為等邊三角形，故，所以，所以為直角三角形且，故為平面與平面ABC所成的銳二面角，在中，，故，所以平面與平面ABC所成的銳二面角為.例6．（2022·全國·高三專題練習）如圖，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形，PA＝PB＝3．(1)證明：∠PAD＝∠PBC；(2)當直線PA與平面PCD所成角的正弦值最大時，求此時二面角P—AB—C的大小．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與平面位置關系，把問題轉(zhuǎn)化為全等三角形問題即可證明；（2）用等面積法建立二面角與線面角關系，當線面角滿足正弦最大時，即可求二面角大?。?1)證明：分別取，的中點，，連接，，，因為，所以，又因為，所以，又因為，，所以平面，因為平面，所以，在中，因為垂直平分，所以，又因為，，所以，從而可得；(2)解：由（1）知，是二面角的平面角，設，，在中，，過點作于，則，因為平面，平面，所以平面平面，又因為平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，即為，設直線與平面所成角為，所以，令，，，則，當且僅當，即時，有最大值2，此時直線與平面所成角為的正弦值最大，所以當直線與平面所成角的正弦值最大時，二面角的大小為．例7．（2022·浙江紹興·高三期末）如圖，三棱錐中，，，.(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）若分別是中點，連接，由已知條件及勾股定理可得、，根據(jù)線面垂直的判定和面面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）由（1）可得，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)求到面的距離，由等體積法求到面的距離，進而求直線與平面所成角的正弦值.(1)如下圖，若分別是中點，連接，令，由，即△為等腰直角三角形，則；在等腰△中，可得且，又，所以，即，又且面，所以面，而面，故平面平面.(2)由（1）知：，，則，即，若為到上的高，則，可得，又面面，且面面，易知到面的距離為.所以，又，，若到面的距離為，則，可得，又，所以直線與平面所成角的正弦值.例8．（2022·重慶南開中學模擬預測）如圖所示，四棱錐中，△為正三角形，，，，.(1)求四棱錐的體積；(2)求與面所成角的正弦值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）取的中點，連接，可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)并連接，取中點，連接，，則△，△均為正三角形，可得且，根據(jù)線面、面面垂直的判定證明面面，延長，作于，由面面垂直的性質(zhì)有面，進而求、，再由棱錐的體積公式求的體積；（2）連接，根據(jù)余弦定理可得，再由勾股、余弦定理及同角三角函數(shù)的平方關系求、，進而求，利用求到面的距離，即可求與面所成角的正弦值.(1)，取的中點，連接，可得，，，由平行四邊形，可得，連接，取中點，連接，，△，△均為正三角形，且，又，面，又面，面面，，，可得，延長，作于，面面，且面面，面，，，.(2)連接，在△中，，，，，由余弦定理有：，可得，，，，，又，設到面的距離為，，，，可得，設與面所成角為，則.

四、課堂訓練（30分鐘）1．（2022·黑龍江·一模（理））設m，n是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列四個命題中正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】D【解析】【分析】利用線線，線面，面面的位置關系，即可判斷選項.【詳解】A.若，，則兩直線平行，相交，異面，故A錯誤；B.若，，與平行或相交，故B錯誤；C.若，，，則平行或異面，故C錯誤；D.若，，則，若，，故D正確.故選：D2．（2022·四川·成都七中高三開學考試（文））已知，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，下列命題是真命題的個數(shù)為（

）命題①：若，，則

命題②：若，，則命題③：若，，則

命題④：若，，則A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】【分析】由線面平行的性質(zhì)定理及面面垂直、線面垂直的性質(zhì)定理入手，依據(jù)線面平行、面面平行、線面垂直的判定定理去判定推理即可解決.【詳解】命題①：若，，則或與相交.判斷錯誤；命題②：若，，則由線面垂直的性質(zhì)可得.判斷正確；命題③：若，，則與相交或或.判斷錯誤；命題④：若，，則與相交或平行或.判斷錯誤.故選：D3．（2022·浙江·高三專題練習）如圖，在正方體中，點P是線段上的一個動點，有下列三個結(jié)論：①面；②；③面面．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②【答案】A【解析】【分析】對于①.先證明平面平面即可判斷；對于②.先證明平面即可判斷；對于③.由②有平面從而可判斷.【詳解】對于①.在正方體連結(jié)可得，又平面,平面,所以平面,又平面,平面,所以平面又，所以平面平面又平面，所以面，故①正確.對于②.連結(jié)在正方體中，平面，則又,且，所以平面而平面,所以又,平面,平面,則由，所以平面而平面，所以,有所以平面,平面,所以，故②正確.對于③.由②可知平面，又平面所以面面，即面面，故③正確.故選：A4．（2021·陜西·西安高級中學高一階段練習）如圖，在直三棱柱中，為的中點，下列說法正確的個數(shù)有（

）①平面；②平面；③平面平面.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解析】【分析】通過線線垂直證明線面垂直及面面垂直，通過線線平行證明線面平行.【詳解】三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又為的中點，所以,且,平面ABA1,所以平面，又平面，所以平面平面，故①③都正確；連接交于點，再連接，可知為的中位線，所以，又平面，在平面外，所以平面，故②正確.故選：D5．（2021·湖南·常德市第二中學高二期中）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M?N分別為AC，A1B的中點，則下列說法正確的是（

）A．MN∥平面ADD1A1B．MN⊥ABC．直線MN與平面ABCD所成角為45°D．異面直線MN與DD1所成角為60°【答案】ABC【解析】【分析】取中點，連接，證明平面平面，得線面平行，判斷A，證明平面，得線線垂直判斷B，確定直線MN與平面ABCD所成角判斷C，由異面直線