（新高考通用）2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型 第24練 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）解析版

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第24練平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（精練）刷真題刷真題明導(dǎo)向一、單選題1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：B.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．【詳解】因?yàn)椋?，，由可得，，即，整理得：．故選：D．5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C6．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】向量滿足，所以.故選：B7．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知非零向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【分析】考慮兩者之間的推出關(guān)系后可得兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】如圖所示，,當(dāng)時(shí)，與垂直，，所以成立，此時(shí)，∴不是的充分條件，當(dāng)時(shí)，，∴,∴成立，∴是的必要條件，綜上，“”是“”的必要不充分條件故選：B.8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.9．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D二、填空題10．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量．若，則______________．【答案】【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.11．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，若，則__________．【答案】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以由可得，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．12．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量．若，則________．【答案】.【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求得向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量垂直的條件，屬基礎(chǔ)題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數(shù)量積.13．（2021·全國(guó)·高考真題）若向量滿足，則_________.【答案】【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.14．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．15．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，滿足，，則______．【答案】【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.【詳解】法一：因?yàn)?，即，則，整理得，又因?yàn)?，即，則，所以.法二：設(shè)，則，由題意可得：，則，整理得：，即.故答案為：.16．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知向量，，，_______．【答案】【分析】由已知可得，展開(kāi)化簡(jiǎn)后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.三、雙空題17．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為_(kāi)___________；的最小值為_(kāi)___________．【答案】1【分析】設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.【詳解】設(shè)，，為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，，，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：1；.【A組

在基礎(chǔ)中考查功底】一、單選題1．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（

）A． B．5 C． D．10【答案】C【分析】根據(jù)共線先求出，根據(jù)向量的模的坐標(biāo)公式即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解?所以，.故選：C.2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)都是單位向量，且，則向量的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等式將移到另一端,兩邊同時(shí)平方,由都是單位向量可求出的夾角.【詳解】由，可知，故，所以.設(shè)的夾角為，即，又，所以.故選：C.3．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量在向量上的投影向量是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量求出，代入的定義式即可.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄可系耐队跋蛄渴牵?因此.故選：A.4．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知的半徑為2，，則（

）

A．1 B．-2 C．2 D．【答案】C【分析】判斷形狀可得，然后根據(jù)數(shù)量積定義直接求解即可.【詳解】由題知，為正三角形，所以，所以.故選：C5．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，若，則（

）A． B． C．3 D．5【答案】D【分析】依題意可得，即可求出的值，在求出的坐標(biāo)，從而求出其模.【詳解】因?yàn)椋遥?，所以，所以，，所?故選：D.6．（2023·山東濰坊·三模）已知平面向量與的夾角是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用模的公式可得到，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律即可得到答案【詳解】由可得，因?yàn)槠矫嫦蛄颗c的夾角是，且所以故選：C7．（2023·人大附中校考三模）已知向量，與共線，則=（

）A．6 B．20 C． D．5【答案】C【分析】運(yùn)用平面向量共線及向量的模的坐標(biāo)計(jì)算公式求解即可.【詳解】由題意知，又，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C8．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量滿足，其中，則在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式求值即可.【詳解】因?yàn)閱挝幌蛄繚M足，所以，由投影向量計(jì)算公式可知在上的投影向量是，即故，而，故.故選：D9．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，，則向量在向量方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出兩個(gè)向量的數(shù)量積，再根據(jù)公式可求投影向量.【詳解】因?yàn)椋?，故，而向量在向量方向上的投影向量為，故選：B.10．（2023春·海南·高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）已知向量滿足，且與夾角的余弦值為，則（

）A． B． C．12 D．72【答案】A【分析】運(yùn)用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，且與夾角的余弦值為，所以.故選：A.11．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）在△ABC中，，且點(diǎn)D滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算和題干條件得到，從而得到.【詳解】由題意得，平方得，故，因?yàn)辄c(diǎn)D滿足，所以，平方得，故.故選：D12．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，，則（

）A． B． C．12 D．24【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解．【詳解】由，所以．故選：C．13．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知向量，，，則實(shí)數(shù)m的值為（

）．A． B． C． D．1【答案】D【分析】先求得的坐標(biāo)，再由求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，所以，又因?yàn)?，所以，解得，故選：D14．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若平面向量，滿足，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂直的向量表示求出的表達(dá)式，再利用向量夾角公式求解作答.【詳解】因?yàn)榕c垂直，則，即，化簡(jiǎn)得，而，則．又，有，所以與的夾角為.故選：B15．（2023·甘肅·模擬預(yù)測(cè)）平行四邊形中，，，，則等于（

）A． B． C．4 D．8【答案】A【分析】利用轉(zhuǎn)化基底的方法進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意知平行四邊形中，，，得，故選：A.16．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，，為邊的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用向量表示，結(jié)合數(shù)量積的定義求.【詳解】由已知，，又，，所以.所以.故選：A.17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，若，則的最小值為（）A．7 B．C．7＋4 D．4【答案】B【分析】由數(shù)量積的運(yùn)算公式求得，化簡(jiǎn)，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，若，可得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.二、多選題18．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為D．若向量與非零向量共線，則【答案】AD【分析】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，主要考查了兩向量的夾角、投影向量、向量的平行與垂直的基本知識(shí)，一一驗(yàn)證即可.【詳解】由題意知，，，則，因此A正確；在方向上的投影向量為，因此B錯(cuò)誤；與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，因此C錯(cuò)誤；因?yàn)?，，若向量與向量共線，則，解得，因此D正確.故選：AD.19．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）已知向量，，則（

）A． B．C． D．在上的投影向量是【答案】AC【分析】根據(jù)與的數(shù)量積為可得A正確；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示可得B錯(cuò)誤；根據(jù)模長(zhǎng)公式可得C正確；求出投影向量可得D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，故A正確；因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；，，故C正確；因?yàn)樵谏系耐队跋蛄渴?，故D錯(cuò)誤.故選：AC．20．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知向量，//，，，則（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】A選項(xiàng)根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷；B選項(xiàng)根據(jù)模長(zhǎng)公式計(jì)算；C選項(xiàng)利用向量共線的關(guān)系結(jié)合模長(zhǎng)公式計(jì)算；D選項(xiàng)根據(jù)向量的加法進(jìn)行判斷.【詳解】因?yàn)椋?，則A正確；，則B正確；因?yàn)?/，所以設(shè)，因?yàn)?，所以，解得，所以或，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤．故選：AB21．（2023·山東濱州·統(tǒng)考二模）已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若∥，則C．若，則 D．若，則向量，的夾角為鈍角【答案】BD【分析】由向量模的計(jì)算公式判斷A；由共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷B；由向量垂直時(shí)數(shù)量積為0判斷C；由向量的數(shù)量積判斷D.【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，，解得或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椤?，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，，又因?yàn)榇藭r(shí)，不共線，所以向量，的夾角為鈍角，故D正確.故選：BD.22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】設(shè)的坐標(biāo)，利用向量模的坐標(biāo)公式及關(guān)系，建立方程組解出來(lái)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，所以，解得或，故或．故選：AC.23．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）有關(guān)平面向量的說(shuō)法，下列錯(cuò)誤的是（

）A．若，，則 B．若與共線且模長(zhǎng)相等，則C．若且與方向相同，則 D．恒成立【答案】ABC【分析】取，可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的概念可判斷B選項(xiàng)；利用向量不能比大小可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，因?yàn)椋?，則、不一定共線，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若與共線且模長(zhǎng)相等，則或，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，任何兩個(gè)向量不能比大小，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，恒成立，D對(duì).故選：ABC.三、填空題24．（2023·四川成都·樹(shù)德中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，且，則___________.【答案】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，解得，所以，?故答案為：.25．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量，若，則___________.【答案】【分析】由數(shù)量積等于0并結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求解.【詳解】由題意可得，因?yàn)椋瑒t，解得.故答案為：26．（2023·河南濮陽(yáng)·濮陽(yáng)一高?？寄M預(yù)測(cè)）若，，，則______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解作答.【詳解】因?yàn)?，，，則，解得，所以.故答案為：27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，若，則______【答案】【分析】根據(jù)平面向量垂直的向量表示以及平面向量的夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】由可知，即，可得，又，，故．故答案為：28．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知單位向量，滿足，則__________．【答案】【分析】將兩邊平方，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，為單位向量且滿足，所以，即，即，解得.故答案為：29．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量，的夾角為，，，則______．【答案】9【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求得答案.【詳解】由及，夾角為可知，又，解得，則，故，故答案為：930．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則在上的投影向量______.【答案】【分析】根據(jù)在上的投影向量即可求解.【詳解】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量.故答案為：.31．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知菱形中，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】設(shè)與交于，則且是線段的中點(diǎn)，，由平面向量數(shù)量積的幾何意義知，.故答案為：32．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）若平面四邊形滿足，，則該四邊形一定是______.【答案】菱形【分析】根據(jù)向量相等可證明四邊形為平行四邊形，再由向量數(shù)量積為0知對(duì)角線互相垂直可知為菱形.【詳解】，,所以四邊形ABCD為平行四邊形，,，所以DB垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.故答案為：菱形.33．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考三模）在平行四邊形中，若，則___________.【答案】4【分析】根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得，然后由數(shù)量積的坐標(biāo)表示可解.【詳解】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以又所以所以故答案為：4【B組

在綜合中考查能力】一、單選題1．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知菱形的邊長(zhǎng)為2，且，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及運(yùn)算律，結(jié)合菱形圖形特征，計(jì)算求解可得.【詳解】由條件可知，所以，在中，由余弦定理，可得，，菱形的對(duì)角線互相垂直，則向量與向量的夾角為，則.故選：D.2．（2023·河南鄭州·三模）若向量、滿足，則向量與向量的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】已知式平方得，平方求得，兩種方法計(jì)算后可得結(jié)論．【詳解】，所以，又，所以，，，又，所以，，又，所以，故選：D．3．（2023·湖北·校聯(lián)考三模）正的邊長(zhǎng)為2，，則（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，表示出向量，再利用向量基本運(yùn)算法則表示出向量，再利用向量額數(shù)量積運(yùn)算即可.【詳解】設(shè)，如圖所示：因?yàn)樗裕蔬x：C．4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，，，則（

）A．-1 B．-2 C．1 D．2【答案】D【分析】由，，用表示，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，，所以，，，故選：D5．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知，為單位向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的定義分析可得反向，進(jìn)而可得，運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可得：，因?yàn)椋瑒t，即，可得，且，則，即反向，可得.故選：D.6．（2023春·安徽阜陽(yáng)·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考專題練習(xí)）中，||=2||，則sinA的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由||=2||，兩邊，整理得到，結(jié)合基本不等式進(jìn)而得到的最小值，再利用平方關(guān)系求解.【詳解】解：由||=2||，兩邊同時(shí)平方得，展開(kāi)整理得，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又且時(shí)，所以取最大值.故選：C7．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若，均為單位向量，且，則k的值可能是（

）A．-2 B．2 C．3 D．-3【答案】B【分析】?jī)蛇呁瑫r(shí)平方，得到，余弦值只能在判斷即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，由于，均為單位向量，所以，所以，由于，所以只有B符合.故選：B.8．（2023·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，是單位向量，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，從而可求得，再根據(jù)即可得解.【詳解】由，得，即，所以，則，，則，又，所以，即向量與的夾角為.故選：D.9．（2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)是的重心，，則（

）A．32 B．30 C．16 D．14【答案】A【分析】利用勾股定理和向量垂直數(shù)量積為0，列向量方程求解即可.【詳解】記，因?yàn)槭堑闹匦模?，，因?yàn)樗哉淼盟?，解得，即故選：A10．（2023·江蘇常州·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？级＃┮阎矫嫦蛄?，滿足，則的最小值為（

）A．-1 B．0 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)及均值不等式化簡(jiǎn)可得，即可得解?！驹斀狻坑煽傻茫?，而，當(dāng)且且，反向時(shí)等號(hào)成立，所以，即，等號(hào)成立條件為.故選：A二、多選題11．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（

）A． B．C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是【答案】BC【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，，即可求出數(shù)量積以及模，判斷A、B項(xiàng)；根據(jù)投影向量的公式，求出投影向量，即可判斷C、D項(xiàng).【詳解】由已知可得，，.對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)椋?，，所以在上的投影向量是，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，，所以在上的投影向量是，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.12．（2023春·江蘇宿遷·高三江蘇省泗陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)，非零向量，，則（

）.A．若，則 B．若，則C．存在，使 D．若，則【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，驗(yàn)證即可；B選項(xiàng)，驗(yàn)證；C選項(xiàng)，由題可得，，據(jù)此可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，由題可得，據(jù)此可判斷選項(xiàng)【詳解】A選項(xiàng)，，則，故A正確；B選項(xiàng)，，則，故，故B正確；C選項(xiàng)，假設(shè)存在，使，則，，則可得，故可得，則假設(shè)不成立，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因，則，又由題可得，則，故D正確.故選：ABD13．（2023·山東·煙臺(tái)二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】AD選項(xiàng)，由可得，，后結(jié)合，可判斷選項(xiàng)正誤；BC選項(xiàng)，結(jié)合AD選項(xiàng)分析可得，據(jù)此可判斷BC選項(xiàng)正誤.【詳解】AD選項(xiàng)，，得，整理得①．由，得，整理得②．由①②及，得，所以，.故AD正確；BC選項(xiàng)，，所以，所以反向共線，又，所以，.故B正確，C錯(cuò)誤.故選：ABD．14．（2023春·西藏拉薩·高三拉薩中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是BC，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若點(diǎn)O為△ABC的外心，BC＝4，則【答案】AB【分析】由為中點(diǎn)，結(jié)合平行四邊形法則判斷A；由重心的性質(zhì)判斷B；由三角形法則和平行四邊形法則判斷C；由三角形外心性質(zhì)結(jié)合數(shù)量積公式判斷D.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋詾橹悬c(diǎn)，由題易知，故A正確．選項(xiàng)B：若，則點(diǎn)O為△ABC的重心，（三角形重心的性質(zhì)）則，故B正確．選項(xiàng)C：若，則，故C錯(cuò)誤．選項(xiàng)D：若點(diǎn)O為△ABC的外心，BC＝4，則，（三角形外心的性質(zhì)）故，故D錯(cuò)誤．故選：AB三、填空題15．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，則向量與的夾角為_(kāi)_____．【答案】【分析】由可得，，后由向量夾角的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】，則，則，又，則故答案為：.16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在邊長(zhǎng)為6的正中，若點(diǎn)滿足，則__________.【答案】【分析】以、作為一組基底表示出、，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，，所?故答案為：17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面內(nèi)非零向量，滿足，則__________.【答案】【分析】由已知條件可求得，，將平方展開(kāi)代入求值即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，兩邊平方得：，解得，所?所以.故答案為：18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，圓為的外接圓，，，為邊的中點(diǎn)，則______.【答案】【分析】由三角形中線性質(zhì)可知，再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點(diǎn)可知，同理可得，再由數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】是BC中點(diǎn)，，M為的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點(diǎn)，，同理可得，.故答案為：.19．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足且，當(dāng)向量與向量的夾角最大時(shí)，向量的模為_(kāi)_____．【答案】【分析】由可平方求得，利用向量夾角公式可化簡(jiǎn)得到，采用換元法，令，結(jié)合基本不等式可求得，根據(jù)取等條件可確定.【詳解】，，，即；設(shè)向量與向量的夾角為，，令，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）；當(dāng)最大時(shí)，最小，此時(shí)，解得：.故答案為：.20．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，，，則的最小值為_(kāi)________【答案】3【分析】由題意不妨設(shè),,，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，，從而由向量模的坐標(biāo)公式表示出，即可得答案.【詳解】不妨設(shè),,，則，，則，故，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為3，故答案為：321．（2023·安徽宣城·統(tǒng)考二模）已知向量滿足，對(duì)任意的的最小值為，則與的夾角為_(kāi)_______．【答案】【分析】利用模的計(jì)算得到恒成立，判斷出取等號(hào)的條件，即可求出與的夾角.【詳解】因?yàn)橄蛄繚M足，所以向量滿足.設(shè)與的夾角為所以因?yàn)槿我獾牡淖钚≈禐?，所以恒成立，配方后可得：恒成立，所以?dāng)時(shí)，取得最小值3，此時(shí)，解得：.又因?yàn)椋?因?yàn)?，所?故答案為：.【C組

在創(chuàng)新中考查思維】一、單選題1．（2023·河南安陽(yáng)·安陽(yáng)一中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】C【分析】設(shè)的中點(diǎn)是，根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得，即可確定的軌跡.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)是，，即，所以，所以動(dòng)點(diǎn)在線段的中垂線上，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過(guò)的外心，故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量的運(yùn)算法則，熟練掌握向量的運(yùn)算法則，數(shù)量積與垂直的關(guān)系，三角形的外心定義是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.2．（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知A，B，C是單位圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出，，表達(dá)出，結(jié)合，求出最小值.【詳解】以的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，由于，故當(dāng)時(shí)，最小，故最小值為，此時(shí)，滿足要求，故選：B【點(diǎn)睛】平面向量解決幾何最值問(wèn)題，通常有兩種思路：①形化，即用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或取值范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行求解；②數(shù)化，即利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域，不等式的解集，方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)，不等式，方程的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓為銳角的外接圓，，點(diǎn)在圓上，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把轉(zhuǎn)化為，由余弦定理、數(shù)量積的定義得，討論的位置得，結(jié)合銳角三角形恒成立，即可得范圍.【詳解】由為銳角三角形，則外接圓圓心在三角形內(nèi)部，如下圖示，又，而，若外接圓半徑為r，則，故，且，即，由，對(duì)于且在圓上，當(dāng)為直徑時(shí)，當(dāng)重合時(shí)，所以，綜上，，銳角三角形中，則，即恒成立，所以，則恒成立，綜上，.故選:C4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量滿足，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出軌跡方程，利用幾何意義即可求出的最大值.【詳解】由可知,，故，如圖建立坐標(biāo)系，，，設(shè)，由可得：，所以的終點(diǎn)在以為圓心,1為半徑的圓上，所以，幾何意義為到距離的2倍，由兒何意義可知，故選：D.5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知平面向量、、滿足，則與所成夾角的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)與夾角為，與所成夾角為，利用平面向量的數(shù)量積可得出，并可得出，利用基本不等式可求得的最小值，可得出的取值范圍，即可得解.【詳解】設(shè)與夾角為，與所成夾角為，，所以，，①，②又，③②與③聯(lián)立可得，④①④聯(lián)立可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，，，則，故與所成夾角的最大值是，故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求平面向量夾角的方法：（1）定義法：利用向量數(shù)量積的定義得，其中兩向量的取值范圍是；（2）坐標(biāo)法：若非零向量、，則.6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知與為單位向量，且⊥，向量滿足，則||的可能取值有（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得，進(jìn)而由向量模的計(jì)算公式可得，分析可得在以為圓心，半徑為2的圓上，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，的方向?yàn)檩S的正方向建立坐標(biāo)系，則，，設(shè)，則，若，則有，則在以為圓心，半徑為2的圓上，設(shè)為點(diǎn)，則，則有，即，則的取值范圍為；故選：D．二、多選題7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．在向量上的投影向量為C．若，則為的中點(diǎn)D．若在線段上，且，則的取值范圍為【答案】BD【分析】以為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，A錯(cuò)誤，投影向量為，B正確，直線與正