2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019選擇性課后習(xí)題第八章8-2-1　一元線性回歸模型　8-2-2　一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)

8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下,隨時(shí)間變化的繁殖情況,得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),并分析可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=0.85x0.25.由以上信息,得到下表中c的值為(天數(shù)x/天34567繁殖個(gè)數(shù)y/千個(gè)2.5344.5cA.5 B.6 C.7 D.82.紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一,一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān).現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù),用4種模型分別進(jìn)行擬合.由此得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析,進(jìn)一步得到如圖4幅殘差圖,根據(jù)殘差圖,擬合效果最好的模型是()A.模型一 B.模型二 C.模型三 D.模型四3.某咖啡廳為了解熱飲的銷售量y(單位:杯)與氣溫x(單位:℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的銷售量與氣溫,并制作了對(duì)照表:氣溫/℃1813101銷售量/杯24343864由表中數(shù)據(jù)分析,可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=2x+a.當(dāng)氣溫為4℃時(shí),預(yù)測(cè)銷售量約為(A.68杯 B.66杯 C.72杯 D.77杯4.關(guān)于殘差圖的描述錯(cuò)誤的是()A.殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào)B.殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或響應(yīng)變量C.殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄R2越小D.殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小5.由一組觀測(cè)數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),經(jīng)分析可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=3x+a^,若x=1.5,y=2,則a^=6.某工廠為了對(duì)新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù):單價(jià)x/元88.28.48.68.89銷量y/件908483807568(1)求銷量y關(guān)于單價(jià)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+a^,其中(2)預(yù)計(jì)在今后的銷售中,銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件,為使工廠獲得最大利潤(rùn),該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(利潤(rùn)=銷售收入成本)7.在一段時(shí)間內(nèi),某網(wǎng)店一種商品的銷售價(jià)格x(單位:元)和日銷售量y(單位:件)之間的一組數(shù)據(jù)如下表:價(jià)格x/元2220181614日銷售量y/件3741435056求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并用R2說(shuō)明擬合效果.參考數(shù)據(jù):∑i=15xiyi=3992,∑B級(jí)關(guān)鍵能力提升練8.研究表明蟋蟀鳴叫的頻率x(每分鐘鳴叫的次數(shù))與氣溫y(單位:℃)存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測(cè)人員根據(jù)如表的觀測(cè)數(shù)據(jù),建立了y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=0.25x+k,則下列說(shuō)法不正確的是(x/(次數(shù)/分鐘)2030405060y/℃2527.52932.536A.k的值是20B.變量x,y正相關(guān)C.若x的值增加1,則y的值約增加0.25D.當(dāng)蟋蟀52次/分鐘鳴叫時(shí),該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)測(cè)值為33.5℃9.(多選題)下列說(shuō)法正確的是()A.經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x,B.若兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的相關(guān)程度越強(qiáng),則樣本相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1C.在殘差圖中,殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄,說(shuō)明模型的擬合精度越高D.在線性回歸模型中,決定系數(shù)R2越接近于1,說(shuō)明回歸模型的擬合效果越好10.(2022甘肅蘭州期末)某研究所為了研究近幾年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)的情況,對(duì)2017至2021年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如表:年份20172018201920202021年份代碼12345留學(xué)生回國(guó)人數(shù)/萬(wàn)36.540.943.348.151.9根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)求得留學(xué)生回國(guó)人數(shù)y(單位:萬(wàn))與年份代碼x滿足的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=b^x+32.74,利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)2022A.63.14萬(wàn) B.64.72萬(wàn)C.66.81萬(wàn) D.55.54萬(wàn)11.已知蝗蟲的產(chǎn)卵量y與溫度x的關(guān)系可以用模型y=c1ec2x擬合,設(shè)z=lnyx2023252730z22.4334.6由上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程z=0.2x+a,則c1=()A.2 B.e2 C.3 D.e312.某工廠為研究某種產(chǎn)品產(chǎn)量x(單位:噸)與所需某種原材料y(單位:噸)的相關(guān)關(guān)系,在生產(chǎn)過(guò)程中收集了4組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)(x,y)如下表所示:x3456y2.534m根據(jù)表中數(shù)據(jù),得出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=0.7x+a.據(jù)此計(jì)算出在樣本(4,3)處的殘差為0.15,則表中m的值為.13.某品牌服裝專賣店為了解保暖襯衣的銷售量y(單位:件)與平均氣溫x(單位:℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了連續(xù)四旬的銷售量與當(dāng)旬平均氣溫,其數(shù)據(jù)如下表:時(shí)間二月上旬二月中旬二月下旬三月上旬旬平均氣溫x/℃381217旬銷售量y/件55m3324由表中數(shù)據(jù)算出經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+a^中的b^=2,x(1)表中數(shù)據(jù)m=.

(2)氣象部門預(yù)測(cè)三月中旬的平均氣溫約為22℃,據(jù)此估計(jì),該品牌的保暖襯衣在三月中旬的銷售量約為件.

14.流感每年在世界各地均有傳播,在我國(guó)北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季兩個(gè)流行高峰.某幼兒園將去年春季該園患流感小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù):年齡x23456患病人數(shù)y2222171410(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)r(計(jì)算結(jié)果精確到0.01),并回答是否可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng)?(若|r|∈[0.75,1],則x,y相關(guān)性很強(qiáng);若|r|∈[0.3,0.75),則x,y相關(guān)性一般;若|r|∈[0,0.25],則x,y相關(guān)性較弱)參考數(shù)據(jù):30≈5.477.參考公式:b^=∑i=1n15.為了防控疫情,某醫(yī)療科研團(tuán)隊(duì)攻堅(jiān)克難研發(fā)出一種新型防疫產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成,每件產(chǎn)品的非原料成本y(單位:元)與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量x(單位:千件)有關(guān),根據(jù)已經(jīng)生產(chǎn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),繪制了如右的散點(diǎn)圖:觀察散點(diǎn)圖,兩個(gè)變量不具有線性相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)考慮用函數(shù)y=a+bx對(duì)兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行擬合.參考數(shù)據(jù)如下其中ui=1xiuu∑∑i=16∑∑i=16ui00.410.16811.49230620858.44173.850.39(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并求y關(guān)于u的樣本相關(guān)系數(shù)(精確到0.01);(2)該產(chǎn)品采取訂單生產(chǎn)模式(根據(jù)訂單數(shù)量進(jìn)行生產(chǎn),即產(chǎn)品全部售出).根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研數(shù)據(jù),若該產(chǎn)品單價(jià)定為80元,則簽訂9千件訂單的概率為0.7,簽訂10千件訂單的概率為0.3;若單價(jià)定為70元,則簽訂10千件訂單的概率為0.3,簽訂11千件訂單的概率為0.7.已知每件產(chǎn)品的原料成本為30元,根據(jù)(1)的結(jié)果,要想獲得更高利潤(rùn),產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇80元還是70元?請(qǐng)說(shuō)明理由.參考公式:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其經(jīng)驗(yàn)回歸方程v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為β^=∑i=1nuC級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練16.某市某小區(qū)2020年11月至2021年11月期間的在售二手房均價(jià)(單位:萬(wàn)元/平方米)的散點(diǎn)圖如圖所示.(圖中月份代碼1~13分別對(duì)應(yīng)2020年11月~2021年11月)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇y=a+bx和y=c+dlnx兩個(gè)模型進(jìn)行擬合,經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程分別為y^=0.9369+0.0285x和y^=0.9554+0.0306lnx,類型y^=0.93690.0285xy^=0.95540.0306lnx∑0.0005910.000164∑0.006050(1)請(qǐng)利用R2判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好.(2)某位購(gòu)房者擬于2022年4月購(gòu)買這個(gè)小區(qū)m(70≤m≤160)平方米的二手房(欲購(gòu)房為其家庭首套房).若購(gòu)房時(shí)該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿2年但未滿5年,請(qǐng)你利用(1)中擬合效果更好的模型解決以下問(wèn)題:①估算該購(gòu)房者應(yīng)支付的購(gòu)房金額;(購(gòu)房金額=房款+稅費(fèi),房屋均價(jià)精確到0.001萬(wàn)元/平方米)②若該購(gòu)房者擬用不超過(guò)100萬(wàn)元的資金購(gòu)買該小區(qū)一套二手房,試估算其可購(gòu)買的最大面積.(精確到1平方米)附注:根據(jù)有關(guān)規(guī)定,二手房交易需要繳納若干項(xiàng)稅費(fèi),稅費(fèi)是按房屋的計(jì)稅價(jià)格(計(jì)稅價(jià)格=房款)進(jìn)行征收的.房產(chǎn)證滿2年但未滿5年的征收方式如下:首套面積90平方米以內(nèi)(含90平方米)為1%;首套面積90平方米以上且140平方米以內(nèi)(含140平方米)為1.5%;首套面積140平方米以上或非首套為3%.參考數(shù)據(jù):ln2≈0.69,ln3≈1.10,ln17≈2.83,ln19≈2.94,2≈1.41,3≈1.73,17≈4.12,19≈4.36.參考公式:R2=1∑i8.2.1一元線性回歸模型8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)1.B∵x=3+4+5+6+75=5,且(x,y)在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上,∴y=0.85x0.25=0.85×∴2.5+3+4+4.5+c=4×5=20,解得c=6.故選B.2.D當(dāng)殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中,說(shuō)明選用的模型比較合適,這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說(shuō)明擬合效果越好,對(duì)比4個(gè)殘差圖,可知模型四的圖對(duì)應(yīng)的帶狀區(qū)域的寬度最窄.3.A∵x=18+13+10-14=10,y=24+34+38+64∴y=2x+a,即a=40+2×10=60∴經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=2x+60∴當(dāng)x=4時(shí),y^=68.故選A4.C殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄,說(shuō)明模型擬合精度越高,則殘差平方和越小,此時(shí)R2的值越大,故描述錯(cuò)誤的是選項(xiàng)C.5.2.5因?yàn)閤=1.5,y=2,經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=3x+a所以2=3×1.5+a^,解得a^=2.6.解(1)因?yàn)閤=16×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,y=16×(90+84+83+所以a^=y-b^x=80+20×8.5=250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為L(zhǎng)(單位:元),依題意得L=x(20x+250)4(20x+250)=20x2+330x1000=20x-3342+當(dāng)且僅當(dāng)x=334=8.25時(shí),L取得最大值故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí),工廠可獲得最大利潤(rùn).7.解作出散點(diǎn)圖(圖略),觀察散點(diǎn)圖可知這些點(diǎn)散布在一條直線的附近,故可知x與y線性相關(guān).因?yàn)閤=22+20+18+16+14y=37+41+43+50+565=45所以b^=∑ia^=45.4(2.35)×18=87.7所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=2.35x+87.7yiy^i與yiyyiy10.32.40.11.2yiy8.44.42.44.610.6計(jì)算得∑i=15(yiy^i)∑i=15(yiy)2=所以R2=18.3229.因?yàn)?.964很接近于1,所以該模型的擬合效果比較好.8.D由題意,得x=15×(20+30+40+50+60)=40,y=15×(25+27.5+29則k=y0.25x=300.25×40=20,故A正確;由經(jīng)驗(yàn)回歸方程可知,b^=0.25>0,變量x,y呈正相關(guān)關(guān)系,故B正確若x的值增加1,則y的值約增加0.25,故C正確;當(dāng)x=52時(shí),y^=0.25×52+20=33(℃),故D錯(cuò)誤9.ACD對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x,y),故選項(xiàng)A對(duì)于選項(xiàng)B,由樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越趨近于1,相關(guān)程度越強(qiáng)可知,若兩個(gè)變量負(fù)線性相關(guān),其線性相關(guān)程度越強(qiáng),則樣本相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)樵跉埐顖D中,殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄,說(shuō)明模型的擬合精度越高,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)樵诰€性回歸模型中,決定系數(shù)R2越接近于1,說(shuō)明線性回歸模型的擬合效果越好,故選項(xiàng)D正確.10.D由表中數(shù)據(jù)可得,x=1+2+3+4+55=3,y=∵留學(xué)生回國(guó)人數(shù)y(單位:萬(wàn))與年份代碼x滿足的線性回歸方程為y^=b^∴44.14=b^×3+32.74,解得b^=故y^=3.8x+32.2022年對(duì)應(yīng)的年份代碼為6,令x=6,則y^=3.8×6+32.74=55.故預(yù)測(cè)2022年留學(xué)生回國(guó)人數(shù)為55.54萬(wàn).故選D.11.B由已知可得,x=15×(20+23+25+27z=15×(2+2.4+3+3+4代入z=0.2x+a,得a=30.2×25=2,z=lny=ln(c1ec2x)=c2x+ln則lnc1=2,即c1=e2.12.4.5由在樣本(4,3)處的殘差為0.15,可得y^=3.15.故3.15=0.7×4+a,解得a=0.35由題意可知產(chǎn)量x的平均值為x=14×(3+4+5+6)=因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線過(guò)點(diǎn)(x,所以y=0.7x+0.35=0.7×4.5+0.35=3.5.又因?yàn)閥=14(9.所以m=4.5.13.(1)40(2)14(1)由y=14(55+m+33+24)=38,解得(2)由a^=y-b^故y^=2x+58當(dāng)x=22時(shí),y^=14故三月中旬的銷售量約為14件.14.解(1)由題意可得x=2+3+4+5+65=4,b^(-2)×5+a^=y-b^x=17+3.2故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=3.2x+29.8(2)r=∑i-3210×由r<0,可知x,y負(fù)相關(guān).又因?yàn)閨r|∈[0.75,1],所以x,y相關(guān)性很強(qiáng).因此,可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng).15.解(1)令u=1x,則y=a+bx可轉(zhuǎn)化為因?yàn)閥=306所以b^=∑所以a^=y-b^u=51100×0.41=10.所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=10+y關(guān)于u的樣本相關(guān)系數(shù)為r=∑i=16uiy(2)(方法一)(ⅰ)若產(chǎn)品單價(jià)為80元,記企業(yè)利潤(rùn)為X(單位:元).當(dāng)訂單為9千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為10+1009+30=40+1009企業(yè)的利潤(rùn)為8040+1009×9000=260000(元).當(dāng)訂單為10千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為10+10010+30=50(元企業(yè)的利潤(rùn)為(8050)×10000=300000(元).所以企業(yè)利潤(rùn)X的分布列為X260000300000P0.70.3E(X)=260000×0.7+300000×0.3=272000.(ⅱ)若產(chǎn)品單價(jià)為70元,記企業(yè)利潤(rùn)為Y(單位:元).當(dāng)訂單為10千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為10+10010+30=50(元企業(yè)的利潤(rùn)為(7050)×10000=200000(元).當(dāng)訂單為11千件時(shí),每件產(chǎn)品的成本為10+10011+30=40+10011企業(yè)的利潤(rùn)為7040+10011×11000=230000(元).所以企業(yè)利潤(rùn)Y的分布列為Y200000230000P0.30.7E(Y)=200000×0.3+230000×0.7=221000.所以E(X)>E(Y),故企業(yè)要想獲得更高利潤(rùn),產(chǎn)品單價(jià)應(yīng)選擇80元.(方法二)(ⅰ)若產(chǎn)品單價(jià)為80元,記企業(yè)的產(chǎn)量為X(單位:千件),其分布列為X910P0.70.3所以E(X)=9×0.7+10×0.3=9.3,企業(yè)的利潤(rùn)為8040+1009.3×9300=272000(元).(ⅱ)若產(chǎn)品單價(jià)為70元,記企業(yè)的產(chǎn)量為Y(單位:千件),其分布列為Y1011P0.30.7所以E(Y)=10×0.3+11×0.7=10.7,企業(yè)的利潤(rùn)為7040+10010.7×10700=221000(元).因?yàn)?72000>221000,所以企業(yè)要想獲