安徽省合肥市第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷

合肥市第四中學(xué)高一12月數(shù)學(xué)月考試卷出卷人：陳玉玲考試時間：70分鐘滿分：100分姓名：______分數(shù)：______一、單選題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）1.下列根式、分數(shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（）A.（） B.C.（） D.（）【答案】C【解析】【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪與根式的互化公式逐個判斷即可.【詳解】A中，（），故A錯誤；B中，，故B錯誤；C中，（），故C正確；D中，（），故D錯誤．故選：C．2.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)開偶次方根被開方數(shù)非負及對數(shù)真數(shù)大于零確定函數(shù)定義域.【詳解】由得，所以函數(shù)的定義域為.故選:B【點睛】此題為基礎(chǔ)題，考查函數(shù)定義域的求法.3.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的定義域排除C，由函數(shù)的奇偶性排除D，由特殊的函數(shù)值排除B，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性判斷A.【詳解】由得，則函數(shù)的定義域為，排除選項C；又，所以為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項D；當時，，排除選項B，因為為偶函數(shù)，且當時，函數(shù)單調(diào)遞減，選項A中圖象符合.故選：A4.已知，，，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由函數(shù)的單調(diào)性可得.再由的單調(diào)性可得.從而可得選項.【詳解】因為在R上遞減，且，所以.又因為在R上遞增，且，所以.所以.故選：D.【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用之比較指數(shù)式的大小，屬于中檔題.5.若是方程的實數(shù)解，則屬于區(qū)間（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點存在性定理判斷即可.【詳解】令，則在定義域上單調(diào)遞增，又，，，，所以，所以在上存在唯一零點，即存在使得.故選：C6.已知函數(shù)若函數(shù)有四個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將函數(shù)有四個不同的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個交點，再數(shù)形結(jié)合即可解答.【詳解】依題意，函數(shù)有四個不同的零點，即有四個解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個交點，由函數(shù)函數(shù)可知，當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當時，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；結(jié)合圖象，可知實數(shù)的取值范圍為.故選：A二、多選題（本大題共2小題，每小題5分，共10分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）7.己知是定義在奇函數(shù)，且時，，則下列結(jié)論正確的是（）A.增區(qū)間為和 B.有3個根C.的解集為 D.時，【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合條件可得函數(shù)的解析式判斷D，解方程可判斷B，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷A，解不等式可判斷C.【詳解】由是定義在的奇函數(shù)知，當時，，所以，D錯誤；由上可知，由可得或或，故B正確；由，時，的對稱軸為，時，的對稱軸為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)知在和上均單調(diào)遞增，故A正確；由，可得或，解得或，故C正確．故選：ABC．8.給出下列結(jié)論，其中不正確的結(jié)論是（）A.函數(shù)的最大值為B.已知函數(shù)（且）在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是C.函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為D.若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】先判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性求解最值判斷A，根據(jù)對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及真數(shù)大于0列出不等式求解判斷B，利用抽象函數(shù)的定義域求法求解判斷C，設(shè)函數(shù)的值域為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，可得，討論的取值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷D.【詳解】對于A，令函數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當時，有最小值，無最大值，錯誤；對于B，令，由知，函數(shù)單調(diào)遞減，由函數(shù)（，且）區(qū)間上單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增且，所以，解得，所以的取值范圍是，錯誤；對于C，因為函數(shù)的定義域為，所以在中，解得，所以函數(shù)的定義域為，錯誤；對于D，設(shè)函數(shù)的值域為，因為的值域為，所以.當時，的值域為，符合題意.當時，由，解得.綜上，的取值范圍為.正確.故選：ABC三、填空題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）9.已知，，則______.（用、表示）【答案】【解析】【分析】利用對數(shù)運算的法則和換底公式求解即可.【詳解】因為，則，又，所以.故答案為：10.現(xiàn)定義一種運算“”；對任意實數(shù)，，設(shè)，若函數(shù)的圖象與軸恰有二個公共點，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：由題意得出函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示，若函數(shù)的圖象與軸恰有二個公共點，則方程即恰有二個不同實根，則或或，所以的取值范圍是，故答案應(yīng)填.考點：1、分段函數(shù)；2、函數(shù)的零點.【思路點睛】本題是一個新定義下的分段函數(shù)以及函數(shù)零點方面的綜合性問題，屬于難題.解決本題的基本思路是，首先根據(jù)題意得到函數(shù)的表達式，即，并作出函數(shù)的圖象，然后再作出直線的圖象，這時只需二圖象恰有兩個公共點即可，從而可求出實數(shù)的取值范圍，問題得到解決.四、解答題（本大題共4小題，共50分，第11題10分，第12題12分，其余2題各14分，解答題應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟）11.（1）；（2）.【答案】（1）3；（2）1【解析】【分析】利用分數(shù)指數(shù)冪運算法則和對數(shù)運算性質(zhì)即可計算的出（1）（2）的結(jié)果.【詳解】（1）原式（2）原式12.已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性并予以證明；（3）求不等式的解集.【答案】（1）（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷和證明；（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解．【小問1詳解】要使函數(shù)有意義,則，解得，故所求函數(shù)的定義域為；【小問2詳解】證明：由（1）知的定義域為，設(shè)，則,且，故為奇函數(shù)；【小問3詳解】因為，所以，即可得，解得,又，所以，所以不等式的解集是．13.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值.（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明.（3）解不等式.【答案】13.14.函數(shù)在R上為減函數(shù)，證明見解析15.【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）先判斷函數(shù)單調(diào)遞減，再利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明；（3）先利用奇偶性將不等式化為，再根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.【小問1詳解】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，又，則，所以，所以，解得；【小問2詳解】，則函數(shù)在R上為減函數(shù)，證明如下：設(shè)，則，因為，所以，即，且，，所以，即，所以函數(shù)在上為減函數(shù).【小問3詳解】不等式，即，又是奇函數(shù)，所以，而在R單調(diào)遞減，故，即，解得.所以不等式的解集為.14.塑料袋給我們生活帶來了方便，但塑料在自然界可停留長達年之久，給環(huán)境帶來了很大的危害，國家發(fā)改委?生態(tài)環(huán)境部等9部門聯(lián)合印發(fā)《關(guān)于扎實推進塑料污染治理工作的通知》明確指出，2021年1月1日起，將禁用不可降解的塑料袋?塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋經(jīng)自然降解后殘留量與時間年之間的關(guān)系為為初始量，為光解系數(shù)（與光照強度?濕度及氧氣濃度有關(guān)），為塑料分子聚態(tài)結(jié)構(gòu)系數(shù)，已知分子聚態(tài)結(jié)構(gòu)系數(shù)是光解系數(shù)的90倍.（參考數(shù)據(jù)：）（1）塑料自然降解，殘留量為初始量的，大約需要多久？（2）為了縮短降解時間，該塑料改進工藝，改變了塑料分子聚態(tài)結(jié)構(gòu)，其他條件不變，已知2年就可降解初始量的，則殘留量不足初始量的