復(fù)變 積分變換

積分變換1引言變換：原問題變換較易解決的問題直接求解較難求解原問題的解逆變換在變換域里的解例如：對(duì)數(shù)變換、解析幾何的坐標(biāo)變換、高等代數(shù)中的線性變換；在積分中的變量代換和積分運(yùn)算化簡(jiǎn)；在微分方程中所作的自變量或未知函數(shù)的變換；復(fù)變函數(shù)的保角變換；積分變換。2引言積分變換：通過積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變換。

積分域；積分變換的核；象原函數(shù)；稱為的象函數(shù)。3引言當(dāng)選取不同的積分域和變換核時(shí)，就得到不同名稱的積分變換。傅里葉（Fourier）變換：變換核為；積分域拉普拉斯（Laplace）變換：變換核為；積分域Z變換、梅林（Mellin）變換、漢科爾（Hankel）變換，小波變換。4引言一般來說，當(dāng)用積分變換去求解微分方程或其它方程時(shí)，在積分變換之下，原來的偏微分方程可以減少自變量的個(gè)數(shù)，直至變成常微分方程；原來的常微分方程可以變成代數(shù)方程，從而使得在函數(shù)類B中的運(yùn)算簡(jiǎn)化，找出在B中的一個(gè)解，再經(jīng)過逆變換，就得到原來要在函數(shù)類A中所求的解。（當(dāng)然，上述求變換與求逆變換是可以依賴于積分變換表來完成的）。5第一章傅立葉（Fourier）變換

第1節(jié)傅立葉積分公式第2節(jié)傅立葉變換第3節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)第4節(jié)卷積與相關(guān)函數(shù)

61-1傅立葉積分公式如果是以T為周期的周期函數(shù)，并且在上滿足狄利克雷（Dirichlet）條件：即函數(shù)在上滿足：1、連續(xù)或至多只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；2、至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)。那么在上的連續(xù)點(diǎn)t處，可以展開成傅里葉級(jí)數(shù)。若t是的間斷點(diǎn)，則71-1傅立葉積分公式級(jí)數(shù)的三角形式：其中81-1傅立葉積分公式傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式：91-1傅立葉積分公式傅里葉積分公式101-1傅立葉積分公式[傅里葉積分定理]若在任何有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，并且在無限區(qū)間上絕對(duì)可積（即積分收斂），則有

111-1傅立葉積分公式傅里葉積分公式的三角形式：121-1傅立葉積分公式傅里葉正弦積分公式傅里葉余弦積分公式

131-1傅立葉積分公式[例1-1]求函數(shù)的傅里葉積分表達(dá)式。[解]141-1傅立葉積分公式狄利克雷積分:[例1-2]證明151-2傅立葉變換傅里葉積分公式：傅里葉變換：傅立葉逆變換：161-2傅立葉變換在不考慮在間斷點(diǎn)的取值時(shí)，和通過指定的積分運(yùn)算可以相同表達(dá)，即

和在傅里葉變換下是一一對(duì)應(yīng)的。為此，稱和構(gòu)成了一個(gè)傅里葉變換對(duì)，記為。它們有相同的奇偶性。171-2傅立葉變換傅里葉正弦積分公式：傅里葉正弦變換式（正弦變換）：傅里葉正弦逆變換式：181-2傅立葉變換傅里葉余弦積分公式：傅里葉余弦變換式（余弦變換）：傅里葉余弦逆變換式：191-2傅立葉變換[例1]求單邊指數(shù)衰減函數(shù)（其中為常數(shù)）的傅里葉變換和傅里葉積分公式。[解]當(dāng)時(shí)，上式左端應(yīng)為201-2傅立葉變換211-2傅立葉變換[例2]設(shè)，，試證：和是一對(duì)傅里葉變換對(duì)。[證明][注]為傅里葉核，雖然它在不絕對(duì)可積，但其傅里葉變換是存在的。221-2傅立葉變換[例3]求矩形脈沖函數(shù)的傅里葉變換，且利用傅里葉積分公式證明：231-2傅立葉變換[例5]求函數(shù)的正弦變換和余弦變換。[解]241-2傅立葉變換[例6]求積分方程[解]251-2傅立葉變換傅里葉變換的物理意義——頻譜

1非正弦的周期函數(shù)的頻譜2非周期函數(shù)的頻譜261-2傅立葉變換1非正弦的周期函數(shù)的頻譜271-2傅立葉變換第n次諧波：第n次諧波的頻率：第n次諧波的振幅：基波：基頻：相位：281-2傅立葉變換復(fù)指數(shù)形式：291-2傅立葉變換這些直線段稱為譜線，而全體稱為周期函數(shù)的振動(dòng)頻譜（簡(jiǎn)稱為頻譜）。頻率與振幅的關(guān)系圖稱為頻譜圖。周期函數(shù)有離散頻譜。

301-2傅立葉變換[例7]周期矩形脈沖波在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為設(shè)和，分別作出相應(yīng)的頻譜圖。311-2傅立葉變換2非周期函數(shù)的頻譜傅立葉變換又稱為的頻譜密度函數(shù)，它的模稱為的振幅頻譜，也簡(jiǎn)稱為頻譜。由于是連續(xù)變化的，這時(shí)頻譜圖是連續(xù)曲線，所以稱這種頻譜為連續(xù)頻譜。也就是說，非周期函數(shù)有連續(xù)的頻譜圖。對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)作傅立葉變換，就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)的頻譜函數(shù)。注意，321-2傅立葉變換定義的幅角主值為函數(shù)的相角頻譜。

331-2傅立葉變換[例8]求單邊指數(shù)衰減函數(shù)的振幅頻譜和相角頻譜。[解]341-2傅立葉變換[例9]求單位脈沖函數(shù)的振幅頻譜和相角頻譜。[解]35第3節(jié)單位脈沖函數(shù)1、物理意義2、定義3、性質(zhì)4、導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)5、廣義傅立葉變換36第3節(jié)單位脈沖函數(shù)1、單位脈沖函數(shù)的物理意義：（1）集中質(zhì)量的密度；（2）電學(xué)中的集中電荷。37第3節(jié)單位脈沖函數(shù)2、單位脈沖函數(shù)的定義：（1）類似普通函數(shù)形式的定義

函數(shù)是滿足如下兩個(gè)條件的函數(shù)。（1）（2）（2）普通函數(shù)序列極限形式的定義

（3）第三種定義

38第3節(jié)單位脈沖函數(shù)多維函數(shù)的定義：（1）（2）性質(zhì)：39第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)：（1）線性性質(zhì)：（2）分段性質(zhì)：40第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)：（3）篩選性質(zhì)：（4）時(shí)間尺度變換性質(zhì)：推論：41第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)：（5）乘以時(shí)間函數(shù)的性質(zhì)推論：

（6）單位階躍函數(shù)，或稱為海維塞（Heaviside）函數(shù)。42第3節(jié)單位脈沖函數(shù)4、單位脈沖函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)：K階導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）43第3節(jié)單位脈沖函數(shù)4、單位脈沖函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)：（4）（5）44第3節(jié)單位脈沖函數(shù)3、廣義傅立葉變換：（1）極限意義下的傅立葉變換

若則[例1]考察符號(hào)函數(shù)的傅立葉變換。[解]45第3節(jié)單位脈沖函數(shù)（2）函數(shù)的傅立葉變換

46第3節(jié)單位脈沖函數(shù)[例2]證明單位階躍函數(shù)的傅立葉變換為[例3]求正弦函數(shù)的傅立葉變換。[解]47第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)2、對(duì)稱性質(zhì)3、相似性質(zhì)4、位移性質(zhì)5、微分性質(zhì)6、積分性質(zhì)7、卷積與卷積定理48第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)：49第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)2、對(duì)稱性質(zhì)：50第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)3、相似性質(zhì)：翻轉(zhuǎn)公式：

51第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)4、位移性質(zhì)：時(shí)移性：頻移性：52第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)5、微分性質(zhì)：如果在連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，則53第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)6、積分性質(zhì)：設(shè)（1）若則（2）54第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)7、卷積與卷積定理卷積：卷積的性質(zhì)：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）對(duì)加法的分配律：

55第4節(jié)傅立葉變換的性質(zhì)7、卷積與卷積定理[卷積定理]

[頻譜卷積定理]

56積分變換哈爾濱工程大學(xué)理學(xué)院馮國峰57第二章拉普拉斯（Laplace）變換第1節(jié)

Laplace變換的概念第2節(jié)Laplace變換的基本性質(zhì)

第3節(jié)象原函數(shù)的求法

第4節(jié)Laplace變換的應(yīng)用

582-1Laplace變換的概念[傅里葉積分定理]若在任何有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件，并且在無限區(qū)間上絕對(duì)可積（即積分收斂），則有

592-1Laplace變換的概念Fourier變換的局限：（1）絕對(duì)可積的條件較強(qiáng)，許多簡(jiǎn)單的常見函數(shù)（如單位階躍函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及線性函數(shù)等）都不滿足這個(gè)條件，都不能作古典的Fourier變換。（2）可以進(jìn)行Fourier變換的函數(shù)必須在整個(gè)數(shù)軸上有定義，但在物理和無線電技術(shù)等實(shí)際應(yīng)用中，許多以時(shí)間t作為自變量的函數(shù)往往在時(shí)是無意義的或是不需要考慮的，像這樣的函數(shù)都不能取Fourier變換。602-1Laplace變換的概念如何克服上述兩個(gè)缺點(diǎn)？（1）單位階躍函數(shù)用乘以，這樣得到的，在時(shí)就等于零，在時(shí)仍為，就有可能使其積分區(qū)間由變?yōu)?12-1Laplace變換的概念（2）對(duì)于許多在不絕對(duì)可積的函數(shù)，往往是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，其絕對(duì)值減小太慢的緣故。由于指數(shù)衰減函數(shù)有當(dāng)時(shí)衰減得很快的特點(diǎn)，因此如果用去乘，只要充分大，一般可使當(dāng)時(shí)絕對(duì)值就衰減得很快，使得能夠變得絕對(duì)可積。622-1Laplace變換的概念設(shè)是定義在上的實(shí)（或復(fù)）值函數(shù)，如果積分（s是一個(gè)復(fù)變量）在s的某個(gè)區(qū)域內(nèi)存在，則由此積分確定的函數(shù)可寫為，稱復(fù)函數(shù)為函數(shù)的象函數(shù)或Laplace變換，記為。稱為的象原函數(shù)或Laplace逆變換，記為。又稱這兩個(gè)函數(shù)為Laplace變換對(duì)，記為。632-1Laplace變換的概念（1）Laplace變換實(shí)際上就是一種單邊的廣義的Fourier變換。（2）Laplace變換的復(fù)反演積分公式：（3）Laplace變換的象原函數(shù)與象函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。642-1Laplace變換的概念[例]求單位階躍函數(shù)、符號(hào)函數(shù)及的Laplace變換。[解]652-1Laplace變換的概念[例2]求的Laplace變換。[例3]求的Laplace變換（k為復(fù)常數(shù)）。[解]662-1Laplace變換的概念[定義]對(duì)實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)，如果存在兩個(gè)常數(shù)及，使得對(duì)于一切，都成立即的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)，則稱為指數(shù)級(jí)函數(shù)，稱它的增大是不超過指數(shù)級(jí)的，c為它的增長指數(shù)。672-1Laplace變換的概念[例]，此處，此處，此處，此處。它們都是指數(shù)級(jí)函數(shù)。但是對(duì)于函數(shù)，不論選M及c多么大，總有，所以它不是指數(shù)級(jí)函數(shù)。682-1Laplace變換的概念[Laplace變換存在定理]若函數(shù)滿足下列條件：（1）當(dāng)時(shí)，；（2）在的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)是有限個(gè)，且都是第一類間斷點(diǎn)。（3）是指數(shù)級(jí)函數(shù)。則的Laplace變換在半平面上一定存在，并且為解析函數(shù)。692-1Laplace變換的概念說明：（1）Laplace變換存在定理的條件是充分的，而不是必要的。即若不滿足存在定理的條件下，Laplace變換仍可能存在。（2）一個(gè)函數(shù)的增大是不超過指數(shù)級(jí)的要比函數(shù)要絕對(duì)可積的條件相比，前者的條件要弱得多。由此可見，對(duì)于某些問題（如在線性系統(tǒng)分析中），Laplace變換的應(yīng)用范圍就更為廣泛。702-1Laplace變換的概念說明：（3）工程技術(shù)中所遇到的函數(shù)大部分是存在Laplace變換的，但像，這類函數(shù)是不存在Laplace變換的。（4）如果為指數(shù)級(jí)函數(shù)，則其增長指數(shù)不唯一。把能使成立的一切x的最大下界記作c，稱它為Laplace變換的收斂坐標(biāo)。在復(fù)平面上，直線稱為Laplace積分的收斂軸。712-1Laplace變換的概念[例4]三角函數(shù)的Laplace變換。722-1Laplace變換的概念[例]求冪函數(shù)（m為整數(shù)）的Laplace變換。[解]伽瑪（Gamma）函數(shù)：732-1Laplace變換的概念周期函數(shù)的Laplace變換：設(shè)在內(nèi)是以T為周期的函數(shù)，即且在一個(gè)周期內(nèi)分段連續(xù)，則有742-2Laplace變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)

2、相似性質(zhì)

3、延遲性質(zhì)4、位移性質(zhì)5、微分性質(zhì)6、積分性質(zhì)7、卷積與卷積定理

752-2Laplace變換的基本性質(zhì)1、線性性質(zhì)

762-2Laplace變換的基本性質(zhì)2、相似性質(zhì)772-2Laplace變換的基本性質(zhì)3、延遲性質(zhì)782-2Laplace變換的基本性質(zhì)4、位移性質(zhì)792-2Laplace變換的基本性質(zhì)5、微分性質(zhì)802-2Laplace變換的基本性質(zhì)6、積分性質(zhì)若積分存在，812-2Laplace變換的基本性質(zhì)7、卷積與卷積定理

822-2Laplace變換的基本性質(zhì)7、卷積與卷積定理[卷積定理]

832-3象原函數(shù)的求法[（推廣的）若當(dāng)引理]設(shè)以為中心，R為半徑的左半圓弧復(fù)變量s的一個(gè)函數(shù)滿足：（1）它在左半平面上除有限個(gè)奇點(diǎn)外是解析的。（2）對(duì)于的s，當(dāng)時(shí)趨于零。則對(duì)充分大的，函數(shù)沿半圓周的積分存在，且對(duì)任意，有。842-3象原函數(shù)的求法[展開定理]如果在整個(gè)復(fù)平面s上除了有限個(gè)奇點(diǎn)外都解析，并且所有的奇點(diǎn)都在半平面內(nèi)。并且當(dāng)時(shí)，。則在的連續(xù)點(diǎn)t處，有其中為復(fù)變函數(shù)在奇點(diǎn)處的留數(shù)。852-3象原函數(shù)的求法留數(shù)的計(jì)算：（1）單極點(diǎn)：（2）復(fù)極點(diǎn)：862-3象原函數(shù)的求法[例4]求的逆變換。[解]這里，是單零點(diǎn)，為二級(jí)零點(diǎn)。由展開定理可得：872-4Laplace變換的應(yīng)用1、解常系數(shù)線性微分方程的初值問題2、求解常系數(shù)線性微分方程邊值問題3、解某些變系數(shù)線性微分方程4、求解某些