新教材2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)模擬測(cè)試題三

高二期末復(fù)習(xí)測(cè)試題三

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）為了調(diào)查某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的尺寸是否合格，現(xiàn)從500件產(chǎn)品中抽出10件

進(jìn)行檢驗(yàn).先將500件產(chǎn)品編號(hào)為000,001,002,499,在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)開

始，例如選出第6行第8列的數(shù)4開始向右讀（為了便于說明，下面摘取了隨機(jī)數(shù)表，附表

1的第6行至第8行），即第一個(gè)號(hào)碼為439,則選出的第5個(gè)號(hào)碼是（）

162277943949544354821737932378

844217533157245506887704744767

630163785916955567199810507175

A.:548B.443C.379D.217

2.（5分）若復(fù)數(shù)z?在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，且4=-l+2i,則復(fù)數(shù)五的

Z2

共較復(fù)數(shù)為（）

3434

A.-1B.1C.D.---/

5555

3.（5分）已知向量“,b滿足|闔=4,b=（-,—）,向量a,b的夾角為二，則|。+2〃

223

）

A.272B.2瓜C.273D.5

4.（5分）周長(zhǎng)為9的三角形三邊長(zhǎng)a,b,c長(zhǎng)度依次相差1,最大內(nèi)角和最小內(nèi)角分別

記為a,夕，則cos（a+0=（）

A.AB.在C.-HD.U

16161616

5.（5分）已知一個(gè)圓柱的表面積等于側(cè)面積的2,且其軸截面的周長(zhǎng)為16,則該圓柱的

2

體積為（）

A.8萬B.167rC.27萬D.36乃

6.（5分）設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，若|A8|=1,|AC|=2,[ABAC]=1,則N8AC

的取值范圍為（）

A.[-,-）B.[0,-]C.（0,-JD.[-,兀）

32333

7.（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內(nèi)有一個(gè)方錐,

方錐的底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點(diǎn)在半球的球面上，若方錐的體積為18,則半球

的表面積為（）

A.9兀B.18乃C.27萬D.36萬

8.（5分）重慶譽(yù)為“橋都”，數(shù)十座各式各樣的大橋橫跨長(zhǎng)江、嘉陵江兩岸，其中朝天門

長(zhǎng)江大橋是世界第一大拱橋，其主體造型為：橋拱部分（開口向下的拋物線）與主桁（圖中

粗線）部分（可視為余弦函數(shù)一個(gè)周期的圖象）相結(jié)合.已知拱橋部分長(zhǎng)552,〃，兩端引橋

各有190機(jī)，主桁最高處距離橋面89.5機(jī)，則將下列函數(shù)等比放大后，與主桁形狀最相似的

是（）

2233

A.y=0.45cos—xB.y=4.5cos—xC.y=0.9cos—xD.y=9cos—x

3322

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得（）分，部分選對(duì)的得3分.

9.（5分）下列關(guān)于說法中正確的是（）

A.過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行

B.過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直

C.兩條異面直線不能垂直于同一個(gè)平面

D.空間中與兩條異面直線同時(shí)平行的平面有無數(shù)個(gè)

10.(5分)下列關(guān)于說法中正確的是()

A.正弦函數(shù)在第一象限內(nèi)是增函數(shù)

B.函數(shù)y=sin2x的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)沿著x軸向右平移3個(gè)單位得到

y=sin2(x-0)的圖象

C.已知。=(422),〃=(342),如果。與人的夾角為銳角，則力的取值范圍是;或

3

2>0

D.函數(shù)y=tan(2x-t)的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是(幺+工，0)(A:eZ)

448

11.(5分)某同學(xué)通過研究函數(shù)f(x)=sin1*x+cos'x,得到以下結(jié)論，你認(rèn)為正確的是(

)

A.函數(shù)/(x)的最小正周期是工

2

B.函數(shù)的最大值是1

C.函數(shù)在區(qū)間［0,芻上是減函數(shù)

2

D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=工對(duì)稱

4

12.(5分)空氣質(zhì)量指數(shù)AQ/是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，AQ/指數(shù)越小，表明空氣質(zhì)量

越好，如表是空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖是經(jīng)整理后的某市2019年2月與

2020年2月的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，下列敘述正確的是()

空氣質(zhì)量指數(shù)(4Q/)

優(yōu)(AQ/,,50)

良(50<@,,100)

輕度污染(100<AQ/,,150)

中度污染(150<AQ/?200)

重度污染(200<AQ/,,300)

嚴(yán)重污染(AQ/>300)

A.該市2020年2月份的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)的頻率為0.032

B.該市2020年2月份的空氣質(zhì)量整體上優(yōu)于2019年2月份的空氣質(zhì)量

C.該市2020年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)大于2019年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)

D.該市2020年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的方差小于2019年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的方差

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中橫線上).

13.(5分)已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)如圖所示，用分層抽樣的方法抽取200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)

查，則抽取的高中生人數(shù)為

小學(xué)

4500人

14.(5分)已知向量。=(4,5),處=(-2,11),則向量。在向量b方向上的投影為.

15.(5分)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的

最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,8兩點(diǎn)

間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測(cè)得8=45機(jī)，NADB=135。，

ZBDC=ZDCA=15°,ZACB=120°,則兩點(diǎn)的距離為m,A￡>兩點(diǎn)的距離為

16.(5分)已知tanatan尸=，"，cos(a-p)=n,則cos(a+￡)=.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(10分)在①z<0,②z為虛數(shù)，③z為純虛數(shù)，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

問題中.

已知復(fù)數(shù)：z=(/n2-2m-8)+(m2-4)z.

(1)若,求實(shí)數(shù)〃z的值；

(2)若復(fù)數(shù)z-機(jī)2(l+i)+8的模為2若，求相的值.

18.(12分)如圖，在平行四邊形ABC。中，E是BC的中點(diǎn)，且尸在直線0c上，且。尸=rFC,

、21

1己AB=。，AD=b,DE+BF=—a+—b.

32

(1)求■的值；

(2)若|AB|=3,ZDAB=~,且|BF|=百，求|Z)E|.

3

19.(12分)已知三棱柱A8C-A4G(如圖所示)，底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)

棱CG，底面ABC,CC,=4,E為4G的中點(diǎn).

(1)求證：AC"/平面8AE；

(2)若G為A耳的中點(diǎn)，求證：GG，平面AgBA；

(3)求三棱錐A-EBA的體積?

20.(12分)已知向量a=(sinx,cosx-l),b=(g,-1),設(shè)/(x)=ab.

(1)求函數(shù)f{x}的最小正周期和對(duì)稱軸方程；

(2)已知a為銳角，0e(0,1),f(a+—)=—,sin(a+0=——>求sin/7的值.

6513

21.(12分)已知AA3C的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為Q,方，c,若QQ如CgB

且cpinAsinB=3.

（1）求角C的值;

（2）求的最小值?

22.（12分）某科研課題組通過一款手機(jī)APP軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每

周的跑步量（簡(jiǎn)稱“周跑量”），得到如下的頻數(shù)分布表：

周跑量[10,15)[15,[20,[25,[30,[35,[40,[45,[50,

20)25)30)35)40)45)50)55)

（kml

周）

人數(shù)100120130180220150603010

（1）補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖;

（2）根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)，試求樣本的中位數(shù)（保留一位小數(shù)）

（3）根據(jù)跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以下三類，不同類別的跑者購(gòu)買的裝備

的價(jià)格不一樣，如表：

周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里

類別休閑跑者核心跑者精英跑者

裝備價(jià)格（單位：元）250040004500

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)該市每位跑步愛好者購(gòu)買裝備，平均需要花費(fèi)多少元？

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.（5分）為了調(diào)查某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的尺寸是否合格，現(xiàn)從500件產(chǎn)品中抽出10件

進(jìn)行檢驗(yàn).先將500件產(chǎn)品編號(hào)為000,001,002,499,在隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)開

始，例如選出第6行第8列的數(shù)4開始向右讀（為了便于說明，下面摘取了隨機(jī)數(shù)表，附表

1的第6行至第8行），即第一個(gè)號(hào)碼為439,則選出的第5個(gè)號(hào)碼是（）

162277943949544354821737932378

844217533157245506887704744767

630163785916955567199810507175

A.548B.443C.379D.217

【解答】解：選出第6行第8列的數(shù)4開始向右讀（為了便于說明，下面摘取了隨機(jī)數(shù)表,

附表1的第6行至第8行），

即第一個(gè)號(hào)碼為439,則選出的前4個(gè)號(hào)碼是：439,495,443,217,379,

.?.選出的第5個(gè)號(hào)碼是379.

故選：C.

2.（5分）若復(fù)數(shù)4，Z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于），軸對(duì)稱，且z=-l+2i,則復(fù)數(shù)五的

共舸復(fù)數(shù)為（）

3434

A.-1B.1C.D.-一一i

5555

【解答】解：Z1=-l+2i,又復(fù)數(shù)z，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，

/.z2=14-2/,

z,-l+2z(l-2i)(-l+2z)3+4i34.

則mil—=------=-------------=-----=—I—I，

z21+2，(1+2/)(1-2/)555

則復(fù)數(shù)2的共帆復(fù)數(shù)為3一&,

2255

故選：D.

3.(5分)已知向量。，b滿足|。|=4,b=(-,—),向量。，b的夾角為紅，則|”+2。g

223

)

A.2收B.276C.26D.5

2乃

【解答】解:|止4,聞=l,va,b>=學(xué),

。?力=-2,

|a+2b|=yj（a+2b丫=+4夕6+4〃=716-8+4=2上.

故選：C.

4.（5分）周長(zhǎng)為9的三角形三邊長(zhǎng)。，bfc長(zhǎng)度依次相差1,最大內(nèi)角和最小內(nèi)角分別

記為B,則cos（a+夕）=（）

A.ABC.-11D.H

16161616

【解答】解：因?yàn)橹荛L(zhǎng)為9的三角形三邊長(zhǎng)成公差為1的等差數(shù)列，

故三邊長(zhǎng)分別為2,3,4,

設(shè)中間邊對(duì)應(yīng)的角為A,

4?+2?-3211

則cosA=

2x4x216

故cos(a+尸)=cos(〃-A)=-cosA=

故選：C.

3

5.（5分）已知一個(gè)圓柱的表面積等于側(cè)面積的士，且其軸截面的周長(zhǎng)為16,則該圓柱的

2

體積為（）

A.8萬B.16萬C.27萬D.36萬

【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為/,

3,

2冗戶+iTtrl=—27VH.[/=4

則nil《2解n得zn1

4r+2/=16〔'=

.,.該圓柱的體積為V=^x22x4=16^-.

故選：B.

6.（5分）設(shè)㈤表示不大于x的最大整數(shù)，若|A例=1,|AC|=2,[A8AC]=1,則NBAC

的取值范圍為（）

A.[-,-）B.[0,-]C.（0,-1D.[-,萬）

32333

【解答】解：由題意可知：1?ABAC<2,即L,2COSN8AC<2,

/.—?cosZBACv1,

2

.-.0<ZBAC?y.

故選：C.

7.（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內(nèi)有一個(gè)方錐,

方錐的底面內(nèi)接于半球的底面，方錐的頂點(diǎn)在半球的球面上，若方錐的體積為18,則半球

的表面積為（）

A.9萬B.187C.27萬D.36萬

【解答】解：由題意可得方錐的高為球的半徑R,且方錐的底面正方形的對(duì)角線為球的直

2R

徑2R,所以正方形的邊長(zhǎng)=0R,

所以方錐的體積V=g（夜A）?R=18,解得R=3,

所以半球的表面積為S=-4萬店+兀R2=3萬R2=27萬，

2

故選：c.

8.（5分）重慶譽(yù)為“橋都”，數(shù)十座各式各樣的大橋橫跨長(zhǎng)江、嘉陵江兩岸，其中朝天門

長(zhǎng)江大橋是世界第一大拱橋，其主體造型為：橋拱部分（開口向下的拋物線）與主桁（圖中

粗線）部分（可視為余弦函數(shù)一個(gè)周期的圖象）相結(jié)合.已知拱橋部分長(zhǎng)552根，兩端引橋

各有190〃?，主桁最高處距離橋面895%則將下列函數(shù)等比放大后，與主桁形狀最相似的

是（）

2233

A.y=0.45cos—xB.y=4.5cos—xC.y=0.9cos—xD.y=9cos-x

3322

如圖所示；

貝!j/(x)=Acoscox；

甘士,89.5

其中A=------h45，

2

T=552+190+190=932^900,

若按100:1的比例縮小,

貝|JA'=0.45,T'=9,a）=-^——=-,

r93

,2

所以函數(shù)y=0.45cos-x.

3

故選：A.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.

9.（5分）下列關(guān)于說法中正確的是（）

A.過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面平行

B.過平面外一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知平面垂直

C.兩條異面直線不能垂直于同一個(gè)平面

D.空間中與兩條異面直線同時(shí)平行的平面有無數(shù)個(gè)

【解答】解：對(duì)應(yīng)A,假設(shè)過平面外一點(diǎn)有不止一個(gè)平面和已知平面平行，那么那些平面

都互相平行（平行的傳遞性），

則這些平面不可能過同一點(diǎn)（平行平面無交點(diǎn)），這違反了條件“過平面外一點(diǎn)”這個(gè)條件,

所以假設(shè)不成立，故A正確；

對(duì)于8,過平面外一點(diǎn)有無數(shù)平面與已知平面垂直，故8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若兩條異面直線垂直于同一個(gè)平面，則該兩條直線平行，與異面矛盾，故C正確；

對(duì)于。，過空間任一點(diǎn)，分別作兩條異面直線的平行線，這兩條相交直線確定一個(gè)平面，

這個(gè)平面和兩條異面直線平行，又空間中的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故作出的平面也有無數(shù)個(gè)，故。正

確.

故選：ACD.

10.（5分）下列關(guān)于說法中正確的是（）

A.正弦函數(shù)在第一象限內(nèi)是增函數(shù)

B.函數(shù)y=sin2x的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)沿著x軸向右平移生個(gè)單位得到

3

y=sin2(x-y)的圖象

A

C.已知”(九2田，。=(342),如果。與人的夾角為銳角，則2的取值范圍是％或

3

2＞0

D.函數(shù)y=tan(2x—?)的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是?,0)(ZcZ)

【解答】解：對(duì)于A：由于王和區(qū)都為第一象限角，但是sin工〉sin史，故正弦函數(shù)在

3636

第一象限上為增函數(shù)顯然錯(cuò)誤，故A錯(cuò)誤.

對(duì)于8：函數(shù)y=sin2x的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)沿著x軸向右平移？個(gè)單位得到

y=sin2(x_y)=sin(2x-^-)的圖象，故8正確.

對(duì)于C：己知”(422),/?=(32,2),如果。與b的夾角為銳角，所以3萬+4丸＞0,解得

A1

或義＞0且4#上，故C錯(cuò)誤.

33

對(duì)于。：令2x-2=3，解得x=a+X/eZ),故圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是(包+工，

424848

0)(/wZ),故。正確.

故選：BD.

11.(5分)某同學(xué)通過研究函數(shù)/(x)=sin4x+cos4x,得到以下結(jié)論，你認(rèn)為正確的是(

)

A.函數(shù)/(x)的最小正周期是三

2

B.函數(shù)的最大值是1

c.函數(shù)在區(qū)間［0,2］上是減函數(shù)

2

D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=工對(duì)稱

4

【解答】解：

々、.44/.22、2c「91sir^lx[cos4x-l3+cos4x

j(X)=sinx+cosx=(sin-J;+COS-X)-2sin-xcos-x=l-------=1+-------=--------

，對(duì)于A,函數(shù)/(x)的最小正周期是7=二=石，故正確；

42

對(duì)于8,由于cos4xe[-l,1],可得/(x)=3+：4、wg,”，故正確；

對(duì)于C,令2版啜4x2k兀+7i,keZ,解得以領(lǐng)卜―+―,keZ,可得f(x)的單調(diào)遞減

224

區(qū)間為：[紅，—+keZ,故錯(cuò)誤；

224

對(duì)于。，由于應(yīng))=三詈=g=/(x)加“，故正確?

故選：ABD.

12.(5分)空氣質(zhì)量指數(shù)A。/是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，4。/指數(shù)越小，表明空氣質(zhì)量

越好，如表是空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖是經(jīng)整理后的某市2019年2月與

2020年2月的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，下列敘述正確的是()

空氣質(zhì)量指數(shù)(AQ)

優(yōu)（AQ/,,50）

良(50<AQ/,,100)

輕度污染(100<AQ/,,150)

中度污染(150200)

重度污染(200<A。/,,300)

嚴(yán)重污染(A。/>300)

A.該市2020年2月份的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)的頻率為0.032

B.該市2020年2月份的空氣質(zhì)量整體上優(yōu)于2019年2月份的空氣質(zhì)量

C.該市2020年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)大于2019年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)

D.該市2020年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的方差小于2019年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的方差

【解答】解：2020年2月份的空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)的頻率為(0.013+0.019)x25=0.8,故A

錯(cuò)誤；

2020年2月份空氣質(zhì)量平均值為

1x2x512+0卜3

2019年2月份空氣質(zhì)量平均值為

1x2x502+64<3x55+

該市2020年2月份的空氣質(zhì)量整體上優(yōu)于2019年2月份的空氣質(zhì)量，故B正確：

2020年2月份，空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為：25+竺二處必生x25。34.21,

0.019x25

2019年2月份，空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為：50+0-5~(0001+0012)x25x25?60.29,

0.017x25

該市2020年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)小于2019年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)，故

C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，由整理后的某市2019年2月與2020年2月的空氣質(zhì)量指數(shù)頻率分布直方圖，得

到:

該市2020年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的方差小于2019年2月份空氣質(zhì)量指數(shù)的方差，故。正

確.

故選：BD.

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共2（）分.把答案填在題中橫線上）.

13.（5分）已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)如圖所示，用分層抽樣的方法抽取200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)

查，則抽取的高中生人數(shù)為40

【解答】解：某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)如圖所示,

用分層抽樣的方法抽取200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,

2000

則抽取的高中生人數(shù)為:200x=40.

2500+2000+4500

故答案為：40

14.(5分)已知向量。=(4,5),a—20=(—2,11),則向量。在向量6方向上的投影為

_>/2

2-,

【解答]解：b=—[a—(a—2Z?)]=—(6,-6)=(3,—3)>

22

a8=12-15=-3,聞=3板,

,。在方方向上的投影為：*=?=-變.

\b\3V22

故答案為：■

2

15.（5分）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的

最后遺產(chǎn)”，我國(guó)擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,8兩點(diǎn)

間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測(cè)得8=45〃？，乙4。8=135。，

ZBDC=ZDCA=15°,4cB=120。，則BO兩點(diǎn)的距離為_45上—機(jī)，A￡＞兩點(diǎn)的距離

為tn.

【解答】解：ABCD中，ZBDC=15°,ZBCD=135°,/.ZDBC=30°,

由正弦定理：一圾一=—9一，

sinZBCDsinNDBC

45x變

所以叨=C/"sin/8C/)=—=45夜,

sinZDBCJ

2

ZDAC=180°-ZADB-4BDC-ZDCA=180°-135°-15°-15°=15°,

Z.DAC=ZDCA,

AD=DC=45,

故答案為：45夜；45.

16.(5分)已知tanatan/?=cos(a-]3)=n,則cos(a+/?)=_—~~—

14-77?

【解答】解：tancrtan/?=/w,

sinasinB

------------=m,即sinasinp=mcosacosp,

cosacos夕

cos(a-/3)=n,

cos(cr-/3)=cosacosj3+sinasinf3=n,得cosacos/7+mcosacosQ=n,

得cos2cos/?=――，sincusin/3-

\-\-m1+m

nmnn(\—in)

則cos(cr+〃)=cosacos/?-sinasin[i=

\+m1+加1+m

故答案是：曲3

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（10分）在①z<0,②z為虛數(shù)，③z為純虛數(shù)，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

問題中.

已知復(fù)數(shù)：z=(m2-2/n-8)+(/n2-4)/.

（1）若,求實(shí)數(shù)機(jī)的值;

（2）若復(fù)數(shù)2-〃?2（1+。+8的模為26,求小的值.

【解答】解：⑴選擇①z<0,則卜解得機(jī)=2.

團(tuán)2-4=0

選擇②z為虛數(shù)，則M-400,解得加工±2.

選擇③z為純虛數(shù)，則/-2m-8=0,加二dwo,解得相=4.

(2)z=(M—2m—8)+(病—4*可知復(fù)數(shù)

z-7722(31+/)+8=(m2-2m-8)+(/??2-4)z-m2(l+z)4-8=-2/n-4z,

依題意&-24)2+16=2石，

解得m=±1,

此時(shí)加=±1.

18.(12分)如圖,在平行四邊形48C。中，E是8c的中點(diǎn)，且E在直線QC上，且￡>/=小。，

、21

I己AB=〃，AD=b,DE+BF=—a+-b.

32

(1)求，的值；

(2)若|A8|=3,ZDAB=-f且|8尸|=百，求|?！陓.

3

【解答】解：(1)E是8c的中點(diǎn)，

DE=DC+CE=a—b,

2

DE+BF=-a+-b，

32

2111

,BF=(-a+—b)-(a——b)=b——a，

3223

又DF=tFC,

CF=—CD=--—a,

z+1r+1

BF=BC+CF=b--—a,

r+1

解得r=2.

t+\3

(2)|AB|=3,DF=2FC,

"CF\=\,

在ABC尸中，ZDCB=ZDAB=-,|8F|=百，

3

由余弦定理知，|BF『=|CF『+13CT-21CF11BC|cosZDCB,

.-.3=1+|BC|2-2xlx|BC|cosy,BP|BC|2-|BC|-2=0.

解得|BC|=2或—1(舍負(fù))，

DE=DC+CE=a--b,

2

|DE『=DE2=(a-?-b)2=a2-ab+—b2=32-3x2xcos—+—x22=7,

2434

：\DE\=y/7.

19.(12分)已知三棱柱ABC-(如圖所示)，底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)

棱CG，底面ABC,CC}=4,E為qG的中點(diǎn).

(1)求證：AC；//平面A4,E；

(2)若G為的中點(diǎn)，求證：CQ_L平面4片區(qū)4；

(3)求三棱錐A-ERA,的體積.

【解答】解：(1)證明：連接AA，做=。

因?yàn)橹崩庵?，則為矩形，則。為4月的中點(diǎn)

ACX//OE

連接。E,在△ABC中，0E為中位線，則ACJ/OEAGu平面48￡"=>46//平面48￡

。吐平面4的

(2)證明：連接GG,CC；_L底面_L底面4與0

C]Gu底面AB?=>C[GJ-①

G為正△AB?邊A4的中點(diǎn)=>C|G_LA4②

由①②及A4BBl=耳=>GG_L平面ABlBA.

(3)解：因?yàn)樨癬9￡=瞑-皿，

S皿=gA8xM=4,

取GB】的中點(diǎn)/，連接￡F,則EFI/C\GnEFL平面\BXBA,即斯為高，

口口_小_v_1Q尸4sz百_26

￡/一^-匕-43E-^E-ABA,一ISA8A乂石/一§乂4X^--一^―

20.(12分)已知向量a=(sinx,cosx-l),》=(J5,-1),設(shè)f(x)=a).

(1)求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱軸方程；

(2)已知。為銳角，。6(0,4),/(</+—)=—,sin(a+0=—―?求sin/的值.

6513

【解答】解：=(sinx,cosx-l),b=(6,-1),

/(x)=aZ?=V3sinx-cosx+l=2sin(x--)4-1.

6

(1)最小正周期丁=至=2萬；

1

x--=—+k7T,keZ,則工=空+攵4，kwZ,

623

故函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程為X=至+AT,keZ.

(2)由題意知，/(a+^)=2sin(a+--^)+l=y,

3

sincr=—

5

a為銳角即ae(0,工)，；.cosa=，l-sin2a=—

25

3萬

又尸￡(0,乃)，.\a+y0e(O,—).

534

sin(a+/?)=--,:.a+/3e(^,—),

f