線段的垂直平分線

19.4線段的垂直平分線

,知識點梳理

一、線段的垂直平分線

定義經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線.

線段垂直平分線的尺規(guī)作圖

求做線段AB的垂直平分線

作法：

(I)分別以點A,B為圓心，以大于LAB的長為半徑作弧，兩弧相交于c,D兩點；

2

(2)作直線CD,CD即為所求直線.

要點：作弧時的半徑必須大于LAB的長，否則就不能得到交點了.

2

二、線段的垂直平分線定理

線段的垂直平分線定理

線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等.

要點：線段的垂直平分線定理也就是線段垂直平分線的性質(zhì)，是證明兩線段相等的常用方法之一.同

時也給出了引輔助線的方法，那就是遇見線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點的距離，這樣就出現(xiàn)相

等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件.

三、線段的垂直平分線逆定理

線段的垂直平分線逆定理

和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

要點：

到線段兩個端點距離相等的所有點組成了線段的垂直平分線，也就是線段的垂直平分線可以看做是和

這條線段兩個端點的距離相等的點的集合.

三角形三邊垂直平分線交于一點，該點到三角形三頂點的距離相等，這點是三角形外接圓的圓心一一

外心.

心典幽寫第幽

題型1:線段的垂直平分線的性質(zhì)

1.如圖，在AABC中，A8的垂直平分線分別交AB、BC于點。、E,連接AE,若AE=4,EC=2,則BC

的長是()

BC

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到EB=EA=4,結(jié)合圖形計算，得到答案.

【解析】解：是AB的垂直平分線，AE=4,

：.EB=EA=4,

：.BC=EB+EC=4+2=6,

故選：C.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩

個端點的距離相等.

2.如圖，已知4c=8C,PCVAB,連接必和PB,則以PB.（選填或“=”）

【答案】=

【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PC垂直平分AB,再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端

點的距離相等的性質(zhì)解答.

【解析】解：?；4C=BC,PC±AB,

??.PC垂直平分AB（等腰三角形三線合一），

：.PA=PB（線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等）.

故答案為：=.

【點睛】本題考查/線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，

判斷出PC垂直平分AB是解題的關(guān)鍵.

3.如圖所示，在..ABC中，48的垂直平分線交AC于點E,若AE=2目,則B、￡兩點間的距離是（）

A

BLA---------

A.口B.6C.2百D.4公

【答案】C

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求解即可.

【解析】解：如圖，連接8E.

垂直平分線段AB,

二BE=AE=2B

故選C.

BC

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì),解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握：線段垂直平分線上的點,

到線段兩點的距離相等.

4.如圖，AC=A。，BC=BD,則有（）

D

A.AB垂直平分CQB.C￡＞垂直平分AB

C.AB與8互相垂直平分D.CD平分/ACS

【答案】A

【分析】由AC=4O,BC=BD,可得點A在CO的垂直平分線上,點B在CD的垂直平分線上，又由兩點

確定一條直線，可得AB是CQ的垂直平分線.

【解析】解：；AC=AO,BC=BD,

...點A在C￡＞的垂直平分線上，點8在CZ）的垂直平分線上，

是CD的垂直平分線.

即AB垂直平分CD.

故選:A

【點睛】本題考查了垂直平分線的判定定理，熟悉垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，A,B,C表示三個居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準備建一個文化廣場，使它到三個小

區(qū)的距離相等，則文化廣場應(yīng)建在（）

A.AC,BC兩邊高線的交點處B.AC,8c兩邊中線的交點處

C.AC,BC兩邊垂直平分線的交點處D.ZA,NB兩內(nèi)角平分線的交點處

【答案】C

【分析】要求到三個小區(qū)的距離相等，首先思考到A小區(qū)、C小區(qū)距離相等，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆

定理知滿足條件的點在線段AC的垂直平分線上，同理到8小區(qū)、C小區(qū)的距離相等的點在線段的垂直

平分線上，于是到三個小區(qū)的距離相等的點應(yīng)是其交點，答案可得.

【解析】解：A,B,C表示三個居民小區(qū)，為豐富居民們的文化生活，現(xiàn)準備建一個文化廣場，使它到三

個小區(qū)的距離相等，則文化廣場應(yīng)建在AC,BC兩邊垂直平分線的交點處.

故選：C.

【點睛】本題主要考查線段的垂直平分線定理的逆定理：到一條線段的兩端距離相等的點在這條線段的垂

直平分線上，掌握線段垂直平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在一A5c中，AB=AC,NA=40。，AB的垂直平分線交4B于點。，交AC于點E,連接BE,則

NCBE的度數(shù)為（）

D.

R

A.70°B.50°C.40°D.30°

【答案】D

【分析】由△ABC中，AB=AC,ZA=40°,即可求得NA8C的度數(shù)，又由線段A8的垂直平分線交A8于D,

交AC于七，可得繼而求得NA8E的度數(shù)，則可求得答案.

【解析】解：?.?等腰△ABC中，AB=AC,ZA=40°,

—國—70。,

???線段A8的垂直平分線交AB于。，交AC于E,

:?AE=BE,

：.ZABE=ZA=40°,

???ZCBE=AABC-ZAB￡=30°.

故選：D.

【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思

想的應(yīng)用.

7.如圖，OE是△A3C中AC邊上的垂直平分線，如果BC=8cm,AB^\0cm,則△EBC的周長為（）

A.16cmB.18anC.26cmD.28cm

【答案】B

【分析】由DE是△ABC中AC邊上的垂直平分線，可得4E=CE,繼而可得△EBC的周長=BC+A8.

【解析】解：:OE是△ABC中AC邊上的垂直平分線,

：.AE=CE,

BC=Scm,AB=\0cm,

.,.△E8C的周長為：BC+BE+CE=BC+BE+AE=BC+AB=8+10=18(cm).

故選：B.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì).注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.

8.如圖，在ABC中，PM、QN分別是線段A3、AC的垂直平分線，若BC=100,則△4PQ的周長是（）

A

C.100D.90

【答案】C

【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)得/%=尸8，QA=QC,等量代換即可求解.

【解析】解：QN分別是線段A3、AC的垂直平分線,

二PA=PB,QA=QC,

△AP。的周長=P。+QA+PA=PQ+QC+PB=8C=100.

故選C.

【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.

9.如圖，在ABC中，NC=31。，NABC的平分線8。交AC于點。，如果DE垂直平分BC,那么4=()

C.87°D.88°

【答案】C

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到QB=OC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NQBC=NC=31。，根據(jù)

角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可.

【解析】解：；在一ABC中，NC=31。，OE垂直平分8C,

:.BD=DC,BE=CE,

在上和△￡>CE中,

BD=CD

BE=CE

DE=DE

:?“DBEaDCE（SSS）,

：.ZDBE=ZC=31°,

*.?8。是/ABC的平分線,

ZABC=2/DBE=2x31°=62°,

ZA=180°-Z.C-ZABC=180°-31°-62°=87°.

故選：C

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，掌握線段的垂直平分線上的

點到線段的兩個端點的距離相等.

10.如圖，DE為43c中AC邊的中垂線，3c=8,A3=10,則一砂C的周長是（）

【答案】B

【分析】利用線垂直平分線的性質(zhì)得AE=CE,再等量代換即可求得三角形的周長.

【解析】是A4BC中AC邊的垂直平分線，AE=CE,

,AE+BE=CE+BE=\0,

A￡8C的周長=8E+CE+3C=8+10=18.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；利用線段進行等量代換，把線段進行等效轉(zhuǎn)移是正確解

答本題的關(guān)鍵.

題型2:線段的垂直平分線的判定

11.如圖，等邊ABC中，AD1BC,垂足為。，點E在線段AD上，Z￡BC=45°,則NACE等于（）

A.15°B.20°C.45°D.60°

【答案】A

【分析】先判斷出A力是BC的垂直平分線，進而求出NEC8=45。，即可得出結(jié)論.

【解析】解：??,等邊三角形A8c中，AD±BC,

：.BD=CD,即:4。是＜C的垂直平分線,

?.?點E在上，

?：BE=CE,

：.NEBC=NECB,

'：ZEBC=45°,

：.ZECB=45°,

△ABC是等邊三角形，

，ZACB=60°,

：.ZACE=ZACB-ZECB=15°,

故選：A.

【點睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂直平分線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出NEC8

是解本題的關(guān)鍵.

12.如圖，ABC中，ZACB=90°,AD平分NBAC,OEL4B于E.

⑴若/R4C=48。，求ZEEM的度數(shù)；

(2)求證：直線AO是線段CE的垂直平分線.

【答案】(1)66。

(2)見解析

【分析】(1)在Rf中，求出NE4D即可解決問題；

(2)證明二"ACD得出A￡=AC,ED=DC,利用線段垂直平分線的判定即可證明.

(1)

解：VABAC=48°,A。平分/A4C,

ZE4D=-ZBAC=24°,

2

,:DELAB,

：.ZA￡D=90°,

/.ZEZM=90o-ZE4￡>=66o；

(2)

證明：VDEYAB,

ZAED=90P=ZACB,

又：AO平分NBAC,

：.ZDAE=NDAC,

"：AD=AD,

：.AED^_ACD,

：.AE^AC,ED=DC,

...點。在CE的垂直平分線上，點A在CE的垂直平分線上，(兩點確定一條直線)，

???直線A。是線段C￡的垂直平分線.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，解題

的關(guān)鍵是證明AE=AC,ED=DC.

題型3:尺規(guī)作圖

13.如圖，在中，分別以點A和點B為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N,連接

MN,交3c于點￡),交AB于點E,連接AZ).若ABC的周長等于17,△AOC的周長為9,那么線段AE

【答案】C

【分析】根據(jù)作圖過程可得MN是A8的垂直平分線，進而可得AE=^AB,再由二MC的周長等

于17,△AQC的周長為9,可得AC+AQ+C￡>=9,AC+CD+BD+AB^ll,兩式相減可得答案.

【解析】解：根據(jù)題意可得MN是A8的垂直平分線，

一AOC的周長為9,

AC+AD+CD=9,

的周長等于17,

AC+CD+BD+AB=U,

.MN是AB的垂直平分線，

/.AD=BD,AE=\AB,

2

AC+CD+AD+AB=\1,

.-.AB=17-9=8,

.\AE-4.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了作線段的垂直平分線，以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線

的性質(zhì).

14.如圖，在已知的中，按以下步驟作圖：

①分別以8,C為圓心，以大于g3C的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點M,N；

2

②作直線MN交AB于點￡>,連接C。.

若AC=4,AB=10,則一ACD的周長為（）

A.8B.9C.10D.14

【答案】D

【分析】根據(jù)作圖可得MN是8C的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得CD=QB,然后可得

AD+CD=\0,進而可得△AC。的周長.

【解析】解：根據(jù)作圖可得是BC的垂直平分線，

是BC的垂直平分線，

：.CD=DB,

：AB=10,

：.CD+AD=\0,

/\ACD的周長=CO+A￡)+AC=4+10=14,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和作法，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段

兩端點的距離相等.

題型4：線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用

15.如圖，在AABC中，ZACB=\\\°,AC邊上的垂直平分線交A8于點￡),交AC邊于點E,連接8.

(2)若AD=8C,試求ZA的度數(shù).

【答案】(1)23

(2)23°

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得CD=AO,根據(jù)三角形的周長公式，可得答案；

(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得CD=4),根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得/3與/COB的關(guān)系，根

據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得/a?與NA的關(guān)系，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得答案.

【解析】(1)解：班是AC的垂直平分線，

AD=CD.

C&BCD=BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB,

又?AB=15,BC=8,

??=23；

(2)W：,AD=CD

:.ZA=ZACDf設(shè)NA=x,

AD=CB,

:.CD=CB,

ZCDB=ZCBD.

NCD5是AACE＞的外角，

:.ZCDB=ZA-^ZACD=2x,

NA、NB、NAC8是三角形的內(nèi)角，

ZA+Zfi+ZACB=180°,

.?.x+2x+lll°=180°,

解得x=23。

.-.ZA=23O.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出。。與的關(guān)系，把

三角形的周長轉(zhuǎn)化成AB+BC是解題關(guān)鍵，（2）利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)得出N8與NA

的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

16.如圖，在一ABC中，DE垂直平分線段BC,ACD的周長為18,且A3—AC=4,

求A3、AC的長各為多少？

【分析】利用中垂線的性質(zhì)得到，AC￡）的周長=AC+AB,再結(jié)合43-AC=4,即可得解.

【解析】解：:OE垂直平分線段8C,

DB=DC,

又???_ACD的周長為18,

AD+DC+CA=i8,

：.AD+DB+CA=18,即：AB+AC=18,

XVAB-AC^4,

：.AB=AC+4,

4+AC+AC=18,

二AC=7,

AB=7+4=11.

【點睛】本題考查中垂線的性質(zhì).熟練掌握中垂線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

17.如圖在一ABC中，AB^AC=\2,3c=15,AC的垂直平分線交3c于點￡>,垂足為E.

A

E

BC

D

(1)求的周長；

(2)若N8=35。，求—BAD的度數(shù).

【答案】(1)27；

⑵/&4D=75。.

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)易得到AABO的周長=4B+8C；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NC=/B=/C4/)=35。，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出-4)8,然后由三

角形內(nèi)角和定理求得NBAD的度數(shù).

【解析】(1)解：是4c的垂直平分線，

,AD=CD,

VAB=AC=12,BC=15,

：.△ABO的周長是：AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=\2+15=21；

(2)解：如圖，VAB=AC,NB=35。，

/.Zfi=ZC=35°,

又YAD=CD,

ZDAC=ZC=35°,

：.ZADB=NDAC+NC=35。+35。=70°,

?.ABAD=180°-ZB-ZADB=180°-35°-70°=75°.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定

理，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題關(guān)鍵.

18.如圖，在ZABC中，A8=AC,AB的垂直平分線交AB于N,交AC于M.

⑴若NB=65。，則NNMA的度數(shù)是；

⑵連接若A8=6cm,4M8C的周長是10cm.

①求BC的長：

②在直線MN上是否存在點￡>,使由8、C、。三點構(gòu)成的4OBC的周長值最?。咳舸嬖?，標出點力的位置

并求Z。8c的周長最小值；若不存在，說明理由.

【答案】(1)40。

(2)①BC的長為4cm：②存在，標出點。的位置見解析，ZO8C的周長最小值為10cm

【分析】(1)根據(jù)等腰三角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，可得/A的度數(shù)，根據(jù)直角三角形兩銳角的關(guān)

系，可得答案；

(2)①根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得AM與M8的關(guān)系，再根據(jù)三角形的周長，可得答案；②根據(jù)兩點之

間線段最短，可得。點與M點的關(guān)系，可得。8+OC與AC的關(guān)系.

(1)

解：；A8=4C,

:.NB=/C,

：.Z^=180°-2ZB,

又MN垂直平分AB,

AZWA=90°-ZA=90°-(180°-2ZB)=2/B-90°=40°,

故答案為：40°；

(2)

如圖：

①,；/修垂直平分AB,

：.MB=MA,

又「△MBC的周長是10cm,

，AC+BC=10cm,

/.5c=4cm.

②當點。與點M重合時，△O8C的周長最小，最小值是10cm.

【點睛】本題考查了軸對稱，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等得出08=04.

心跟蹤釧練

一、單選題

1.如圖，在ABC中，OE是AC的垂直平分線，AE=3cm,△A3。的周長為13cm，則ABC的周長是().

BDC

A.13cmB.16cmC.19cmD.22cm

【答案】C

【分析】由已知條件，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，得到AQ=CQ,AC=2AE,結(jié)合周長，進行線段的等

量代換可得答案.

【解析】解：???DE是AC的垂直平分線，

.'.AD=CD,AC=2AE=6cm,

又△ABC的周長=48+8￡>+4￡>=13cm,

AB+BD+CD=13cm,

即A8+BC=13cm,

二/\ABC的周長=A8+BC+AC=13+6=19cm.

故選C.

【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)（垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等），進行線

段的等量代換是正確解題關(guān)鍵.

2.如圖，在四邊形ABCD中，AC垂直平分垂足為點E,下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.AB^ADB.NBCE=NDCEC.△BEUADECD.AB=BD

【答案】D

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB=A。，BC=BD,再對各選項進行逐一分析即可.

【解析】解：：AC垂直平分5。，

AB=AD,BC=CD,BE=DE,故A正確，該選項不符合題意；

BC=DC,

在.BEC和QEC中，＜CE=CE,

BE=DE,

:.BEC空DEC（SSS）,故C正確，該選項不符合題意，；

，N8C￡=N〃CE,故B正確，該選項不符合題意；；

A8不一定等于80,故。錯誤，符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟知線段垂直平分線上任意一

點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵.

3.下列條件中，不能判定直線C。是線段AB（C,/）不在線段AB上）的垂直平分線的是（）

A.CA^CB,DA=DBB.CA=CB,CDYAB

C.CA=DA,CB=DBD.CA=CB,CO平分AB

【答案】C

【分析】根據(jù)垂直平分線的概念逐個判斷即可.

【解析】解：A、CA=CB,DA=DB,可以判定直線CD是線段A8（C,。不在線段AB上）的垂直平分線，不

符合題意；

B、CA=CB,CD1AB,可以判定直線C￡＞是線段AB（C,。不在線段A8上）的垂直平分線，不符合題意；

C、CA=DA,CB=DB,不能判定直線8是線段A8（C,。不在線段AB上）的垂直平分線，符合題意：

D、CA=CB,C￡＞平分4B,可以判定直線C￡＞是線段4B（C,。不在線段AB上）的垂直平分線，不符合題意.

故選：C.

【點睛】此題考查了垂直平分線的概念，解題的關(guān)犍是熟練掌握垂直平分線的概念.

4.如圖，在ABC中，分別以點A和點8為圓心，大于〈A3長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N,連接MN,

交BC于點D,交A3于點E,連接40.若..ABC的周長等于17,△ADC的周長為9,那么線段AE的長

等于（）

A.3B.3.5C.4D.8

【答案】c

【分析】根據(jù)作圖過程可得MN是AB的垂直平分線，進而可得A￡>=8力，AE=^AB,再由；MC的周長等

于17,ZWC的周長為9,可得AC+仞+CD=9,AC+CD+BD+,兩式相減可得答案.

【解析】解：根據(jù)題意可得MN是AB的垂直平分線，

AZ5C的周長為9,

AC+AD+CD=9,

_"C的周長等于17,

/.AC+CD+BD+AB=]1,

MV是4B的垂直平分線，

:.AD=BD,AE=^AB,

：.AC+CD+AD+AB=\1,

.,.AB=17-9=8,

:.AE=4.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了作線段的垂直平分線，以及線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線

的性質(zhì).

5.如圖，AD±BE,瓦>=DE,點E在線段AC的垂直平分線上，若AB=6cm,BD=3cm,則。C的長為

()

A.3cmB.6cmC.9cmD.12cm

【答案】c

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE=4B=6,EA=EC,結(jié)合圖形計算，得到答案.

【解析】解：AD1.BE,BD=DE,

AE=AB=6,

.點E在線段AC的垂直平分線上，

:.EA=EC,

:.DC=DE+EC=AB+BD=9（c”，），

故選：c.

【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相

等是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，線段AC的垂直平分線交線段A8于點。，ZBZ)C=100°,則ZA=()

A.30°B.50°C.70°D.80°

【答案】B

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到8="＞，再由平角的定義求出一4)C的度數(shù)，最后利用三角

形內(nèi)角和定理求解即可.

【解析】解：二?線段AC的垂直平分線交線段A8于點。，

,CD=AD,

:ZBZX7=1(X)°,

:.ZADC=180°-ZBDC=80°,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知線段垂直

平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E,AC的垂直平分線交BC邊于點N,若/BAC=70。,

則/EAN的度數(shù)為()

B-FC

A.35°B.40°C.50°D.55°

【答案】B

【分析】由三角形內(nèi)角和180。解得ZB+ZC=110°,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，解得AEA=EB,NA=NC,

進而根據(jù)等邊對等角性質(zhì)，解得=ZNAC=NC,最后根據(jù)角的和差計算NEW的度數(shù)即可.

【解析】ZBAC=70°,

N8+NC=180°—70°=110°,

AB的垂直平分線交BC于點E,AC的垂直平分線交BC于點N,

:.EA=EB,NA=NC,

:.NEAB=ZB,ZAMC=ZC,

NBAC=NBAE+ZNAC-4EAN=NB+NC-NEAN,

ZEAN=NB+NC—ZBAC=110。-70。=40°,

故選：B.

【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊對等角、三角形內(nèi)角和180。等性質(zhì)，是重要考點，難度較

易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

8.如圖，AABC中，AD_LBC于點D,且BD=DC,E是BC延長線上一點，且點C在AE的垂直平分線上,

有下列結(jié)論：

①AB=AC=CE；②AB+BD=DE；(3)AD=-AE；④BD=DC=CE,

2一

其中，正確的結(jié)論是()

A.只有①B.只有①②

C.只有①?③D.只有①④

【答案】B

【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CA=CE,又可判定AB=AC,可AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE,由

于/E不一定等于30。，于是得到AD不一定等于;AE,由BD=CD<AC,故④錯誤.

【解析】解：VBD=CD,AD±BC,

AAD垂直平分BC,

AB=AC,

???C在AE的垂直平分線上，

:.AC=CE,

，AB=AC=CE,故①正確，

；.AB+BD=AC+CD=CE+CD=DE,故②正確，

YNE不一定等于30°,

...AD不一定等于;AE,故③錯誤，

?；BD=CD<AC,故④錯誤.

故選B.

【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解

題的關(guān)鍵.

9.如圖，線段A8,OE的垂直平分線交于點C,HZABC=ZEDC=12°,/AEB=92°,則NEB。的度數(shù)為（）

A.118°B.128°C.126°D.136°

【答案】B

【分析】連接CE,依據(jù)線段AB,OE的垂直平分線交于點C,可得C4=C8,CE=CD,判定△ACE四△BCD,

可得NAEC=/BQC,設(shè)NAEC=/8QC=a,貝i」NBDE=72°-a,ZCEB=92°-a,

ZBED=ZDEC-ZCEB=12°-(92°-a)=a-20°,即可得到4中，ZEBD=180°-(72°-a)-(?-20°)=128°.

【解析】如圖，連接CE,

?.?線段AB,OE的垂直平分線交于點C,

：.CA=CB,CE=CD,

"：ZABC=ZEDC=72°=ZDEC,

：./ACB=/EC￡)=36。，

NACB-NBCE=NECD-/BCE,即NACE=NBCD,

在△ACE和ABC。中，

CA=CB,ZACE=ZBCD,CE=CD,

AAC￡^△BCD(SAS),

，NAEC=NBDC,

設(shè)NAEC=NBDC=a,PJlJZBDE=72°-a,ZCEB=92°-a,

：.ZBED=ZDEC-ZCEB=72°-(92°-a)=a-20°,

在△BDE中，ZEBD=180o-(72°-a)-(ct-20o)=128°,

故選:B.

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是

依據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，以及三角形內(nèi)角和定理得出結(jié)論.

10.如圖，在等腰AABC中，AB^AC,ZBAC=50,NB4C的平分線與線段A8的中垂線交于點。，點

C沿EF折疊后與點。重合，則/CEF的度數(shù)是()

【答案】B

【分析】延長AO交BC于點M,連接OB,根據(jù)已知，求得NBA0=NABO25。，ZABC^ZACB=65°,繼而

得至l」N。8c=NOCB-40。，設(shè)OC與EF的交點為G,根據(jù)折疊的性質(zhì)，求得NEGC=90。,從而得到NCEF=50。.

【解析】如圖，延長A。交8c于點M,連接。8,

因為=ABAC=50,NBAC的平分線與線段48的中垂線交于點。，

所以NG4O=/BAO=/ABO=25。，NABC=NACB=65°,直線AM是線段8c的垂直平分線，

所以O(shè)B=OC,ZOBC=Z0cB=40。，

設(shè)OC與EF的交點為G,根據(jù)折疊的性質(zhì),

所以NEGC=90。,

所以NCEQ50。.

故選B.

【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一性質(zhì)，線段的垂直平分線性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握三條性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.線段的垂直平分線；經(jīng)過并且的叫做這條線段的垂直平分線（也叫線段的中垂

線）.

【答案】線段的中點垂直于這條線段直線

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線

段的垂直平分線，即可求得答案.

【解析】解：經(jīng)過線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線.

故填：線段的中點，垂直于這條線段，直線.

【點睛】此題考查了線段垂直平分線的定義，比較簡單，注意掌握線段垂直平分線的定義是解此題的關(guān)鍵.

12.如圖，8垂直平分線段A8,且垂足為點則圖中一定相等的線段有對.

【答案】3

【分析】由CO垂直平分線段A8,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線商店的點到線段兩端點的距離

相等，可得AC=3C,AM=BM,AD=BD,從而求得答案.

【解析】垂直平分線段A8,

AC=BC,AM=BM,AD=BD.

...圖中一定相等的線段有3對.

故答案為：3.

【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)并能靈活運用是解題關(guān)鍵.

13.如圖，根據(jù)已知條件，填寫由此得出的結(jié)論.

(1)ABC中，AB=AC,:.NB=.

(2)中，AB=4C,N1=N2,AO垂直平分

⑶：ABC中，AB=AC,ADYBC,：.BD=.

(4)；.ABC中，AB=AC,BD=DC,：.ADA..

【答案】NCBCCDBC

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等邊對等角可得；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三線合一可得；

(3)根據(jù)三線合一可得；

(4)根據(jù)三線合一可得；

【解析】(1)「一ABC中，AB=AC,:.NB=/C.

(2)：ABC中，AB=AC,Z.\=Z2,二A￡)垂直平分BC.

⑶；_A8C中，AB=AC,AD1BC,：.BD=CD.

(4)中，AB=AC,BD=DC,ADJ.BC.

故答案為：(1)/C；(2)BC；(3)CD；(4)BC

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在ABC中，AB=AC=10cm,AB的垂直平分線交AC于點。，且△88的周長為17cm,則

BC=cm.

【答案】7

【分析】根據(jù)。E是A3的垂直平分線可得4)=3。，結(jié)合△BCD的周長為17cm可得結(jié)論.

【解析】：止是A3的垂直平分線，

/.AD=BD,

,/△88的周長為17cm,

ABC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=\7(cm),

又；AB=AC=10cm,

BC=17-10=7(cm).

故答案為：7.

【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，熟知垂直平分線上的任意一點到兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在A4BC中，AB=AC,NA=42。，AB的垂直平分線交4B于點D,交AC于點E,連接BE,則NC8E

【答案】27

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出/A8C=NC=69。，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到E4=EB,計算即

可.

【解析】'：AB=AC,ZA=42°,

，ZABC=ZC=69°,

DE是AB的垂直平分線，

：.EA=EB,

：.ZEBA=ZA=42°,

：.NCBE=/ABC-NEBA=27。,

故答案為：27.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.

16.如圖，在△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于D、E,若/BAC=100。，則/DAE=.

【答案】20。

【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可知：NB=NBAD,ZC=ZCAE,即得：NDAE=NBAC—NB—NC,即

NDAE=ABAC-(1800-ABAC),即求出ZDAE=2伊.

【解析】由垂直平分線的性質(zhì)可知：ZB=ZBAD,ZC=ZCAE,

'：ZDAE^ZBAC-ZBAD-ZCAE,

：.NDAE=NBAC-NB-NC,即ND4E=NBAC-(N8+NC),

ZDAE=ABAC-(1800-ABAC),EpZDAE=100°-(180°-100°),

ZO4￡=20°

故答案為：20°.

【點睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理.由垂直平分線的性質(zhì)得出

NB=NBAD,NC=NC4E是解答本題的關(guān)鍵.

17.如圖，線段A8,BC的垂直平分線《4交于點O.若NB=35°,則N4OC=°

【答案】70

【分析】連接OB,由線段垂直平分線的性質(zhì)求得AO=OB=OC,由等腰三角形的性質(zhì)得NA=NABO,

ZC=ZCBO,進而得至IJ/A+NC=/ABC,然后利用三角形外角的性質(zhì)求解.

【解析】解：連接BO并延長，如圖：

線段AB,BC的垂直平分線交于點。

AAO=OB=OC

.?.A=NABO,ZC=ZCBO

，ZA+ZC=ZABC=35°

/?ZAOC=ZAOD+ZCOD=ZA+ZABO+ZC+ZCBO=ZA+ZC+ZABC=10

故答案為：70

【點睛】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握線段的垂

直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，等腰三角形ABC的底邊8C長為6,面積是18,腰AC的垂直平分線EF分別交AC,AB于E,F

點，若點。為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，則ACDM的周長的最小值為.

D

B

【答案】9.

【分析】連接AD,AM,由于AABC是等腰三角形，點D是BC邊的中點，故ADJ_BC,再根據(jù)三角形的

面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點A關(guān)于直線EF的對稱點為點C,

MA=MC,推出MC+DM=MA+DMNAD,故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論.

【解析】連接AO,MA.

「△ABC是等腰三角形，點。是BC邊的中點，

：.AD±BC,

：.SAABC=^BC>AD=；x6xA￡>=18,解得AD=6,

,：EF是線段AC的垂直平分線，

...點A關(guān)于直線EF的對稱點為點C,

：.MC+DM=MA+DM>AD,

：.AD的長為CM+MD的最小值，

的周長最短=(CM+MD)+CQ=AO+1BC=6+：X6=6+3=9.

故答案為9.

【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題.能根據(jù)軸對稱的性質(zhì)

得出AM=MC,并由此得出MC+DM=MA+DM>AD是解決此題的關(guān)鍵.

三、解答題

19.已知，如圖，在△ABC中，AB<AC,8c邊上的垂直平分線。E交8c于點￡>,交AC于點E,AC=8,

△ABE的周長為14,求AB的長.

【答案】6

【分析】利用垂直平分線的性質(zhì)和已知的周長計算.

【解析】解：???￡）￡是BC的中垂線，

：.BE=EC,

貝ijAC=EC+AE=BE+EA^S,

又?.,△48E的周長為14,

故AB=14-8=6.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段垂直平分線上任意一點，和線段兩端點的距離相等，

熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

20.如圖，在AABC中，ABAC=120°,ZB=40°,邊AB的垂直平分線與邊A8交于點E,與邊BC交于

點、D.

（1）求NADC的度數(shù)：

（2）求證：AACD為等腰三角形.

【答案】（1）ZADC=80°；（2）見解析.

【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得DB=DA,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得/B=/DAB,利用三角形

外角的性質(zhì)求出NADC的度數(shù)即可；

（2）根據(jù)角的和差關(guān)系可求出NDAC=80。，可得/ADC=/DAC,即可證明CA=CD,可得△ACD是等腰

三角形.

【解析】（1）???￡>￡：垂直平分A8,

,DB=DA,

:.ZB=Z.DAB

"：4=40°,

ZB=ZZMB=4O°,

，AADC=ZB+NDAB=80°.

(2)VZBAC=120°,ZDAB=40°,

，ADAC=ZBAC-ZDAB=120°-40°=80°,

,/ZAZX7=8O°,

:.ZADC=ZDAC,

：.CA=CD,

"8為等腰三角形.

【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的判定，熟練掌握垂直平分線

上的點到相等兩端點的距離相等及等角對等邊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

21.如圖，已知.ABC,其中AB=AC.

(1)作AC的垂直平分線交AC于點。，交A3于點E,連結(jié)CE(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)；

(2)在(1)所作的圖中，若BC=7,AC=9,求一BCE的周長.

【答案】(1)見解析

⑵16

【分析】(1)根據(jù)題意作出AC的垂直平分線。E,交AC于點交48于點E,連結(jié)CE即可；

(2)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出E4=EC,根據(jù)根據(jù)題意以及三角形的周長公式進行計算即可求解.

(1)

如圖所示,

D

E

(2)

???OE是4c的垂直平分線，

EA=EC,AB=AC

VBC=7,AC=9,

:..BCE的周長=8E+EC+CB

=BE+AE+BC

=AB+BC

=7+9

=16.

【點睛】本題考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線，垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，△ABC中，ADLBC,EF垂直平分AC,交AC于點凡交BC于點E,S.BD=DEf連接

⑴求證：AB=EC；

(2)若△ABC的周長為14cm,AC=6cm,求0c長.

【答案】(1)見解析

(2)4cm

【分析】(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AE=EC,AB=AE,即可求證；

(2)根據(jù)△ABC的周長為14cm,可得48+8C=8(cm),再由A8=EC,BD=DE,nJWDC=DE+EC=y

(AB+BC),即可求解.

(1)

證明：???EF垂直平分AC,

：.AE=EC,

VAD1BC,BD=DE,

：.AB=AE,

：.AB=EC；

(2)

解：???△ABC的周長為14cm,

：.AB+BC+AC=]4(cm),

VAC=6cm,

.\AB+BC=S(cm),

VAB=EC,BD=DE,

：.DC=DE+EC=~(AB+BC)=4(cm).

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等

是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，8平分/ACS,DELCA,DFLCB.求證：

(I)ACDE/ACDF；

(2)CO垂直平分EF.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(D直接利用AAS證明ACDE名ACDF即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE=DE?！?。/即可證明8垂直平分后尸.

【解析】(1)解：...8平分NAC5,DE1CA,DFLCB,

：.ZDCE=ZDCF,ZDEC=ZDFC=90°,

又?：CD=CD,

：.△(?￡)￡■絲△CDF(AAS)；

(2)解：ACDE^ACDF,

ADE=DF,CE=CF,

CD垂直平分EF.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的判定，角平分線的定義，證明

△CDE^ACDF是解題的關(guān)鍵.

24.已知，在AABO中，ZABD=45°,ZAZ)3=90°,點B關(guān)于直線A￡＞的對稱點為E,連接AE,點C在

射線。E上，作直線4C,作ENLAC于N,8例，47于M.

(1)若點C在點E的右邊，如圖1,若EN=1,BM=3,求MN的長；

(2)當點C在線段。E上運動時，請求出EMBM,MN之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)4

Q)BM=MN+EN

【分析】(1)根據(jù)對稱的性質(zhì)，44%)=45。，4403=90°，得到：AB=AE,ZBAE=90°,根據(jù)同角的

余角相等，得到NA/8A=NE4N,證明：AMBAMNAE,利用的V=AM+AN即可得解；

(2)如圖，同(1)證明△AffiA=AM4E,得到4W=EN,AN=BM,即可求出.

(1)

解：點5和點E關(guān)于直線AO對稱，

.??AO是線段BE的垂直平分線，

AB=AE,

：.ZAED=ZABD=45°,

：.NBA￡=180°-ZAB￡)—ZAED=90°,

VENIAC,BMAC

ZBMA=ZANE=90°

，ZBAM+ZABM=90°f

?//BAM+ZEAN=180°-NBAE=90°,

???ZABM=ZNAE

：.^MBA=/\NAE(AAS),

:?AM=EN=1,AN=BM=3,

：.MN=AM+AN=l+3=4；

(2)

解：點5和點E關(guān)于直線AQ對稱，

：.AD是線段BE的垂直平分線，

:.AB=AE,

：.ZAED=ZABD=45°,

???ZBAE=180°-ZABD-ZAED=9()°,

VENIAC,BM1AC

：.ZBMA=ZANE=90°

：.NBAM+NABM=90。,

*/NB4M+NE4N=90。，

，ZABM=ZNAE

：./\MBA=/\NAE(AAS),

：?AM=EN,AN=BM,

?/AN=AM+MN

JBM=MN+EN.

【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì).熟練掌握對稱的性質(zhì)，同角的余角相等是解題的關(guān)鍵.在求

解線段之間的和差關(guān)系時，通常利用全等三角形進行證明.

25.如圖，在AABC中，己知A8=AC,A3的垂直平分線交AB于點N,交AC于點M,連接MB.

A

(1)若NABC=70。，則/NMA的度數(shù)是度.

(2)若AB=8cm,△的周長是14cm.

①求BC的長度；

②若點P為直線MN上一點，請你直接寫出△P8C周長的最小值.

【答案】(1)50

(2)@6；②14

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)①根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)可得然后求出^MBC的周

長