新教材2023版高中數(shù)學(xué)第五章數(shù)列5.3等比數(shù)列5.3.1等比數(shù)列第1課時(shí)等比數(shù)列的定義課件新人教B版選擇性必修第三冊(cè)

第1課時(shí)等比數(shù)列的定義1.通過(guò)生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義．2．能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問(wèn)題．3．體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學(xué)習(xí)

2同一常數(shù)公比

知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)一般地，對(duì)于等比數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an，有公式an＝________．這就是等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，其中a1為首項(xiàng)，q為公比．(2)通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m(n，m∈N＋)．a(chǎn)1qn－1

孤立知識(shí)點(diǎn)四等比數(shù)列的單調(diào)性基

礎(chǔ)

自

測(cè)

1．已知數(shù)列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a滿足(

)A．a(chǎn)≠1B．a(chǎn)≠0或a≠1C．a(chǎn)≠0D．a(chǎn)≠0且a≠1解析：由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比數(shù)列，則a需滿足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.答案：D2．已知{an}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為(

)A．a(chǎn)n＝2·3n＋1B．a(chǎn)n＝3·2n＋1C．a(chǎn)n＝2·3n－1D．a(chǎn)n＝3·2n－1解析：由已知可得a1＝2，q＝3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1·qn－1＝2·3n－1.答案：C

答案：C

課堂探究·素養(yǎng)提升

方法歸納判斷一個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法定義法：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，否則，不是等比數(shù)列，且等比數(shù)列中任意一項(xiàng)不能為0，對(duì)于含參的數(shù)列需要分類(lèi)討論．

答案：AD

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用【思考探究】1．類(lèi)比歸納等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，你能歸納出首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式嗎？[提示]由等比數(shù)列的定義可知：a2＝a1q，a3＝a2q＝a1q2，a4＝a3q＝a1q3，a5＝a4q＝a1q4，…由此歸納等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1.

(2)在等比數(shù)列{an}中，a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.

方法歸納1．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式涉及4個(gè)量a1，an，n，q，只要知道其中任意三個(gè)就能求出另外一個(gè)，在這四個(gè)量中，a1和q是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，問(wèn)題便迎刃而解．2．關(guān)于a1和q的求法通常有以下兩種方法：(1)根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規(guī)方法．(2)充分利用通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m(n，m∈N＋)．直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡(jiǎn)化運(yùn)算．

跟蹤訓(xùn)練2

在等比數(shù)列{an}中．(1)若它的前三項(xiàng)分別為5，－15，45，求a5；

(2)若a4＝2，a7＝8，求an；

等比數(shù)列的判斷與證明例3

(1)在數(shù)列{an}中，如果an＝32－n(n＝1，2，3，…)，那么這個(gè)數(shù)列是(

)A．公比為2的等比數(shù)列B．公差為3的等差數(shù)列C．首項(xiàng)為3的等比數(shù)列D．首項(xiàng)為3的等差數(shù)列

【答案】

C

(3)已知數(shù)列{an}，且a1＝2，an＋1＝2an－1，n∈N*.①證明：數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列；②求{an}的通項(xiàng)公式．

跟蹤訓(xùn)練3

(1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，2an＋1＝an(n∈N＋)，則a6＝________．

(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an＋1(n∈N＋)，求證{an}是等比數(shù)列，并求出通項(xiàng)公式．

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)型函數(shù)的關(guān)系例4

(1)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且公比大于0，則“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(

)A．充要條件B．必要不充分條件C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)a1<0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，即充分性不成立；當(dāng)“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”時(shí)，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立；即“q>1”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件．

【答案】

D(2)若{an}為等比數(shù)列，則“a1<a3<a5”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【解析】若等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，可得a1<a3<a5一定成立；反之：例如數(shù)列{(－1)n＋12n}，此時(shí)滿足a1<a3<a5，但數(shù)列{an}不是遞增數(shù)列，所以“a1<a3<a5”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的必要不充分條件．【答案】B方法歸納判斷等比數(shù)列的單調(diào)性的方法(1)a1>0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞增等比數(shù)列；(2)a1>0，0<q<1時(shí)，數(shù)列{an}為正項(xiàng)的遞減等比數(shù)列；(3)a1<0，q>1時(shí)，數(shù)列{an}為負(fù)項(xiàng)的遞減等比數(shù)列；(4)a1<0，0<q<1時(shí)，數(shù)列{an}為負(fù)項(xiàng)的遞增等比數(shù)列；(5)q＝1時(shí)，數(shù)列{an}為常數(shù)列；(6)q<0時(shí)，數(shù)列{an}為擺動(dòng)數(shù)列；奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，偶數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同．

解析：由公比q<0可知，該等比數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列．答案：D

(2)設(shè){an}是等比數(shù)列，則“a1<a2”是“數(shù)列{an}是遞增數(shù)列”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不

答案：B教材反