陜西省西安市西安交通大學2023學年高考數(shù)學押題試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知全集。=1<,函數(shù)y=ln（l-x）的定義域為集合N={x%2—x<o},則下列結(jié)論正確的是

A.MN=NB.M（①N）=0

C.MN=UD.

2.如圖，在四邊形ABC。中，AB=\,BC=3,ZABC^120°,ZACD=90°,NS4=60°,則80的長度

為（）

B.273

D.述

3

3.點A氏。是單位圓。上不同的三點，線段。。與線段AB交于圓內(nèi)一點M,若

OC=mOA+nOB^m>(),H>()),m+H=2,則NAO8的最小值為()

冗7121

B.-C.D.

637T

4.某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）.

萬元

A.收入最高值與收入最低值的比是3:1

B.結(jié)余最高的月份是7月份

C.1與2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同

D.前6個月的平均收入為40萬元

5.已知三棱錐尸-ABC的頂點都在球。的球面上，PA=O,PB=A，AB=4,CA=CB=4\Q,面帖5_￡面45。,

則球O的表面積為（）

10125萬40萬50乃

A.------B.------C.------D.------

3693

6.如圖，在平行四邊形A3CD中，。為對角線的交點，點尸為平行四邊形外一點，且A。OB,BP則。2=

()

3

A.DA+2DCB.-DA^DC

2

31

C.2DA+DCD.一D4+—OC

22

7.復數(shù)息的虛部是()

1+21

A.iB.-iC.1D.-1

8.已知a*,?,公（o,"tana=言瑞，則（）

八TCC71

A.(5——B.a+/?=i

c兀TC

C.a-0=-^D.a+2/3=-

9.已知直線機力和平面。，若/%_La,貝！|“m_L〃”是“〃〃a”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充分必要條件D.不充分不必要

10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的5=()

11.已知直線y=無一2a2是曲線y=lnx-a的切線，則。=()

A.-2或1B.-1或2C.-1或'D.一'或1

22

22

12.雙曲線G：與―4=1(。>0，b>0)的一個焦點為b(c,O)(c>0),且雙曲線G的兩條漸近線與圓。2：

ab~

2

(龍—c)2+y2=J均相切，則雙曲線G的漸近線方程為()

4

A.x土百y=0B.VJx±y=()C.J5x±y=0D.x±s[5y-0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在一次體育水平測試中，甲、乙兩校均有100名學生參加，其中:甲校男生成績的優(yōu)秀率為70%,女生成績的優(yōu)秀

率為50%;乙校男生成績的優(yōu)秀率為60%,女生成績的優(yōu)秀率為40%.對于此次測試，給出下列三個結(jié)論：

①甲校學生成績的優(yōu)秀率大于乙校學生成績的優(yōu)秀率；

②甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女生成績的優(yōu)秀率；

③甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，所有正確結(jié)論的序號是

14.如圖，在A4BC中，BC=2,AB=&，點￡在邊AB上，且NACE=NBCE,將射線CB

繞著C逆時針方向旋轉(zhuǎn)并在所得射線上取一點。，使得C0=6-1,連接。E,則ACDE的面積為__________

6

[Ix+1|,x<0°=a

15.已知函數(shù)/（x）=,若函數(shù)y=/（x）-。有3個不同的零點不,工,,天（不<為<七），則%+9+一的取值

2

[4x,x>0x3

范圍是.

16.曲線y=V在點（1,1）處的切線與x軸及直線x=a所圍成的三角形面積為,，則實數(shù)。=—.

6

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為2的菱形，44Q=6O。，PB=PD=0.

（1）證明：平面PAC_L平面A3C。；

（2）設〃在AC上，AH^-AC,若PH=史,求產(chǎn)”與平面尸5c所成角的正弦值.

33

,、22

18.（12分）已知點B（0,—2）和橢圓M：玄r+、v=1.直線/:^=依+1與橢圓M交于不同的兩點尸，Q.

（1）當人=!時，求△P3Q的面積；

2

（2）設直線PB與橢圓M的另一個交點為C,當。為尸3中點時，求攵的值.

x-2cosa,

19.（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線（a為參數(shù)），以坐標原點。為極點，z軸的正半軸為

y=sina

極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線G的極坐標方程為夕=-2sin。.

（1）求曲線G的普通方程和曲線C2的普通方程;

（2）若P,Q分別為曲線G，G上的動點，求IPQI的最大值.

20.（12分）已知等差數(shù)列｛4｝中，4=5,%=14,數(shù)列出｝的前〃項和S“=22—1.

（1）求知,”;

⑵若c“=（—l）"a“+b”,求｛%｝的前〃項和7；.

21.（12分）..ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊長分別為。、b、c,已知acosB=（4c—8）cosA.

(1)求cosA的值;

uuir-

（2）若8=4,點M是線段8C的中點，AM=V10,求.ABC的面積.

2

22.（10分）在平面直角坐標系X。），中，直線/的參數(shù)方程為（f為參數(shù)）.在以原點。為極點，x軸

y=加+叵t

2

正半軸為極軸的極坐標系中，圓。的方程為°=2石sin。.

（1）寫出直線/的普通方程和圓C的直角坐標方程；

（2）若點P坐標為（3,右），圓C與直線/交于A,8兩點，求|PA|+|P3|的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

求函數(shù)定義域得集合M,N后，再判斷.

【詳解】

由題意M=｛x|x<l｝,N=｛x[0<x<l｝,；.MN=N.

故選A.

【點睛】

本題考查集合的運算，解題關(guān)鍵是確定集合中的元素.確定集合的元素時要注意代表元形式，集合是函數(shù)的定義域,

還是函數(shù)的值域，是不等式的解集還是曲線上的點集，都由代表元決定.

2.D

【解析】

設NACB=a,在AABC中，由余弦定理得AC?=1（）-6cosl2（T=13,從而求得C。，再由由正弦定理得

--求得sina，然后在ABC。中，用余弦定理求解.

sinasml20°

【詳解】

設NAC8=a,在AABC中，由余弦定理得AC?=1（）_68$120。=13,

13

則AC=Vo，從而CD=

ABAC，即sina=-^,

由正弦定理得

sinasin120°2V13

從而8S/8?！?gt;=85(90。+々)=一5吊々="——,

')2V13

1349

在ABC。中，由余弦定理得：BD2=9+—+2x3x

3T

則如半

故選：D

【點睛】

本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.

3.D

【解析】

由題意得l=m2+n2+2mncosZAOB，再利用基本不等式即可求解.

【詳解】

將0C=mOA+nOB平方得1=n?+/+2mHcosZAOB，

，，八八1-m2-n~l-(/n+n)2+2mn

cosZAOB=-------------=----------------------

2mn2mn2加〃2X"52

（當且僅當m=n=l時等號成立）,

0<ZAOB<n,

ZAOB的最小值為『，

故選：D.

【點睛】

本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，考查基本不等式的應用，屬于中檔題.

4.D

【解析】

由圖可知，收入最高值為90萬元，收入最低值為3()萬元，其比是3:1,故A項正確；

結(jié)余最高為7月份，為80-20=60,故B項正確；

1至2月份的收入的變化率為4至5月份的收入的變化率相同，故C項正確；

前6個月的平均收入為1(40+60+30+30+50+60)=45萬元，故D項錯誤.

綜上，故選D.

5.D

【解析】

由題意畫出圖形，找出△DIB外接圓的圓心及三棱錐尸-BC。的外接球心。，通過求解三角形求出三棱錐尸-BCD的

外接球的半徑，則答案可求.

【詳解】

如圖；設48的中點為。；

,:PA=6,PB=9,AB=4,

.?.△R18為直角三角形，且斜邊為A8,故其外接圓半徑為：r=448=40=2；

2

設外接球球心為O;

'：CA=CB=y/\Q,ffiPAB1^ABC,

二CD±AB可得C。，面PABi且。C=yJCAr-AD2=顯■

二。在CD上；

L5

故有：AO2=OD2+AD2=>R2=(舊一R)2+P=>R=-^；

/4-yA。

.?.球O的表面積為：47r肥=4TTX3.

故選：D.

【點睛】

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查思維能力與計算能力，屬于中檔題.

6.D

【解析】

連接0P,根據(jù)題目，證明出四邊形APQD為平行四邊形，然后，利用向量的線性運算即可求出答案

【詳解】

連接0P,由APOB,BP04知，四邊形AP8O為平行四邊形，可得四邊形AP0。為平行四邊形，所以

1131

DP^DA+DO^DA+-DA+-DC^-DA+-DC.

2222

【點睛】

本題考查向量的線性運算問題，屬于基礎(chǔ)題

7.C

【解析】

5i5/(1-2z)10+5/C.5i

因為丁丁=*^77^=一丁=2+，，所以1丁的虛部是1,故選C.

l+2z(l+2z)(l-2z)51+21

8.C

【解析】

利用二倍角公式，和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式，化簡可得tana=，儂=tan|y+|，即可求得結(jié)果.

l-sin22/7,14)

【詳解】

cos2/?cos2y5-sin2p1+tan/

tana=tan?尸,

1-sin2(3cos2^+sin2/？-2sin/cos/?1-tan/?

TTIT

所以&=—+￡,即a-￡=—.

44

故選:C.

【點睛】

本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數(shù)，難度較易.

9.B

【解析】

由線面關(guān)系可知〃?J_〃，不能確定〃與平面a的關(guān)系，若〃〃。一定可得加_L〃,即可求出答案.

【詳解】

不能確定“ua還是??<za,

nila,

當n!/cc時，存在aua,n!/ci,,

由根_La=>〃z_La,

又〃〃a,可得加_L〃，

所以“/n_L〃"是"nlla"的必要不充分條件，

故選：B

【點睛】

本題主要考查了必要不充分條件，線面垂直，線線垂直的判定，屬于中檔題.

10.B

【解析】

運行程序，依次進行循環(huán)，結(jié)合判斷框，可得輸出值.

【詳解】

起始階段有i=l,S=3,

第一次循環(huán)后s=^=—；,i=2,

A0=--1--=一2

第二次循環(huán)后,13,7=3,

1n--

2

q==2

第三次循環(huán)后?2~,/=4,

3

第四次循環(huán)后s=1[=一:，i=5,

1-32

所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3,

當i=2019時，再次循環(huán)輸出的S=3,1=2020,此時2020>2019,循環(huán)結(jié)束，輸出5=3,

故選：B

【點睛】

本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識，經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.

11.D

【解析】

求得直線y=x-2/的斜率，利用曲線y=lnx-。的導數(shù)，求得切點坐標，代入直線方程，求得。的值.

【詳解】

直線y=x—2/的斜率為1,

對于y=lnx-a,令了='=1,解得尤=1,故切點為（1,一。），代入直線方程得一。=1—26,解得。=一]或1.

x2

故選：D

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)切線方程求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

12.A

【解析】

be

根據(jù)題意得到1==?，化簡得到。2=3/,得到答案.

/a2+b2

【詳解】

八b,bec

根據(jù)題意知：焦點/9,0）到漸近線>=—x的距離為〃=/,；=-,

ayja'+b~2

故/=3尸，故漸近線為x±6y=（）.

故選：A.

【點睛】

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，雙曲線的漸近線，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(2X3)

【解析】

根據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確;

因為甲乙兩校的男生的優(yōu)秀率均大于女生成績的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校所有男生成績的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校所有女

生成績的優(yōu)秀率，故②正確;

因為不能確定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學生成績的優(yōu)秀率與甲、乙兩校所有學生成績的優(yōu)秀率的大小關(guān)

系，故③正確.

故答案為：(1X3).

【點睛】

本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學生的理解能力和應用能力.

14.36-5

【解析】

,再結(jié)合正弦定理得sinNBAC=也，進而得sin/AEC=sin(27T+工7TV6+>/2

由余弦定理求得AC=6-1

2(3"4

得CE=4-26,則面積可求

【詳解】

由AB?=AC2+3C2—2AC8CCOSNAC8,得AC?+2AC—2=0,解得4。=百一1.

BCAB,所以sin/8AC=也，NBAC=%

因為

sin/84csinZACB24

7t7rl,^6+

所以sinZAEC=sin(ZACE+ABAC)=sin

34；4

CEAC

又因為，所以CE=4-2JL

sinZBAC~sinZAEC

TT=LCE-CD=36-5.

因為NECD=NBCE+NBCD=3所以%8

2

故答案為30-5

【點睛】

本題考查正弦定理、余弦定理的應用，考查運算求解能力，是中檔題

15.(—2,0]

【解析】

作出函數(shù)y=/(x)的圖象及直線y=a,如下圖所示，因為函數(shù)y=/(%)—。有3個不同的零點＜當＜w),

所以由圖象可知玉+工2=-2,。＜七(:，a=f(x3)=4xjf所以玉+%+"=-2+4%,w(-2,0].

2X3

【解析】

利用導數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率，以及切線方程，求得切線與X軸和X=。的交點，由三角形的面積公式可得所

求值.

【詳解】

y=V的導數(shù)為了=3/，

可得切線的斜率為3,切線方程為、-1=33-1),

2

可得y=3x-2,可得切線與x軸的交點為g,0),切線與x=a的交點為(a,3a-2),

1211

可得彳。一彳卜|3。-2=w,解得。=1或；。

23o3

【點睛】

本題主要考查利用導數(shù)求切線方程，以及直線方程的運用，三角形的面積求法。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)見解析；(2)逅

3

【解析】

(1)記AC「BD=O,連結(jié)P。，推導出8。_L平面PAC,由此能證明平面B4C_L平面ABC。；(2)

推導出PHLAC,平面A8CD,連結(jié)”8,由題意得〃為AA8D的重心，BCLBH,從而平面平

面PBC,進而是P”與平面PBC所成角，由此能求出P”與平面P8C所成角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：記AC「BD=O,

連結(jié)PO,APBD中,OB=OD,PB=PD，：.BDVPO,

BD±AC,PO=O,平面PAC,

QBDu平面ABC。，.?平面平面ABCD.

(2)kPOB中,ZPOB^-,03=1,PB=O,；.PO=1,

2

AO=也，OH=——>

3

PH2=俘P=：,PH2=PO2+OH2,

.-.PHVAC,.?.P"_L平面ABC。，PH_LBC,

連結(jié)由題意得，為的重心，

-rr1T

;.NHBO=-,NHBC=—,;.BC1.BH,BC_L平面

62

平面PHB，平面PBC,：?H在平面PBC的射影落在PB上,

ZHPB是PH與平面PBC所成角,

...RtAPHB中，PH=*,PB=6,=手

:.s"BPH=%=空占=旦

BP363

PH與平面PBC所成角的正弦值為—.

3

【點睛】

本題考查面面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求

解能力，是中檔題.

,c/,Xc_A八、，3_p.3-\/14

18.(1)S=4；(2)k=------或&=-----

1414

【解析】

(1)聯(lián)立直線/的方程和橢圓方程，求得交點的橫坐標，由此求得三角形PBQ的面積.

（2）法一：根據(jù)P,5的坐標求得C的坐標，將P,C的坐標都代入橢圓方程，化簡后求得戶的坐標，進而求得Z的值.

法二：設出直線心的方程，聯(lián)立直線心的方程和橢圓的方程,化簡后寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合當=2%求得P點

的坐標，進而求得攵的值.

【詳解】

⑴設P（5，M）,。（工2，%），

若％=g,則直線/的方程為y=；x+l,

I/V2

由＜4]2,得3/+4工一4=0,

V=—X+1

12

2

解得玉=-2,x2=-,

設直線/與）,軸交于點A（O,1）,貝ij|43|=3且

SMO=；|AB|x（kJ+k2|）=；x3x（g+2）=4.

（2）法一：設點。（毛，%）

x-五

因為P（x,,yJ,B（0,-2）,所以/

"2

又點P（N，X），。（毛,丹）都在橢圓上，

-1

42

所以仔

142

ffA

解得＜*或＜2

11

所以人一血或小正.

1414

法二：設c（w，%）

顯然直線心有斜率，設直線總的方程為y=^x-2

"22

工+匕=1

由<42，得（2攵；+1卜2-84X+4=。

y=k,tx-2

A=16（2^2-l）＞0

8K

所以《

4

26+1

714

F

解得

3V14

14

所以<

珀、1,3V14-,3V14

所以上=-----或左=--------.

1414

【點睛】

本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中三角形面積的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題.

19.（1）—+/=1,f+（+i）2=i；（2）述+i

43

【解析】

試題分析：（1）由siVa+cos2a=1消去參數(shù)a,可得G的普通方程，由Y+y2=/Ay=Qsin?？傻肎的普通

方程；

⑵設P（2cosa,sina）為曲線G上一點，點尸到曲線C2的圓心（0,-1）的距離d=卜[ina—；）+與，結(jié)合

sinaw[—1』可得最值，|PQ|的最大值為。+廠，從而得解.

試題解析：

v-2

(1)G的普通方程為土■+y2=i.

4

???曲線C2的極坐標方程為P=-2sin。，

二曲線G的普通方程為f+V=_2),即Y+(y+ip=1.

(2)設P(2cosa,sina)為曲線C上一點，

則點P到曲線G的圓心(。,一1)的距離

d=J4cos+(sine+以=J-3sin%+2sina+5=J-3(sina-—j+—?

.?.當sina=g時，d有最大值上^.

又；P,Q分別為曲線G，曲線上動點，

.??儼。|的最大值為4+廠=竽+1.

3

2"+—為偶數(shù)

20.(1)?！?3〃一1,4=2"\(2)4=

2"—之"一三,〃為奇數(shù)

I22

【解析】

%=4+d=5(4=2,、

(1)由條件得出方程組?…,,=>；°,可求得4｝的通項，當〃22時，d=S“-S,i，可得

々5=4+44=14[a=3

或=2%,當〃=1時，￡=4=2仿一1,,得出也｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，可求得也｝的通項；

(2)由(1)可知，c?=(-ir(3z7-l)+2n-',分〃為偶數(shù)和"為奇數(shù)分別求得.

【詳解】

a2=a}+d=5q=2

(1)由條件知,<n〈a=3n-l

。5=4+